चेबीशेव फलन: Difference between revisions

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साथ {{math|''Z'' (''u'') → 0}} जैसा{{math|''u'' → ∞}}.
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इस गैर-रैखिक [[अभिन्न समीकरण]] का समाधान (दूसरों के मध्य) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है
इस अरेखीय [[अभिन्न समीकरण]] का समाधान (दूसरों के मध्य) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
:<math>V^{-1} (x) \approx \sqrt {4\pi}\cdot \frac{d^\frac12}{dx^\frac12} N(x)</math>
:<math>V^{-1} (x) \approx \sqrt {4\pi}\cdot \frac{d^\frac12}{dx^\frac12} N(x)</math>
क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए:
क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए:
:<math>\pi N(E) = \operatorname{Arg} \xi \left(\tfrac12+iE\right).</math>
:<math>\pi N(E) = \operatorname{Arg} \xi \left(\tfrac12+iE\right).</math>


 
== स्मूथिंग फलन ==
== चौरसाई फलन ==
[[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|चिकने चेबीशेव फलन का अंतर और {{math|{{sfrac|''x''<sup>&hairsp;2</sup>|2}}}}
[[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|चिकने चेबीशेव फलन का अंतर और {{math|{{sfrac|''x''<sup>&hairsp;2</sup>|2}}}}
के लिए {{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}]]चौरसाई फलन के रूप में परिभाषित किया गया है
के लिए {{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}]]स्मूथिंग फलन के रूप में परिभाषित किया गया है:


:<math>\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.</math>
:<math>\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.</math>
ज़ाहिर तौर से <math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>
स्पष्ट रूप से <math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>
 


== परिवर्तनशील सूत्रीकरण ==
== परिवर्तनशील सूत्रीकरण ==
 
{{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''t''</sup>}} पर मूल्यांकन किया गया चेबीशेव फलन [[कार्यात्मक (गणित)|कार्यात्मक]] को न्यूनतम करता है:
चेबिशेव फलन का मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''t''</sup>}} [[कार्यात्मक (गणित)]] को कम करता है


:<math>J[f] = \int_{0}^{\infty}\frac{f(s)\zeta' (s+c)}{\zeta(s+c)(s+c)}\,ds-\int_{0}^{\infty}\!\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,</math>
:<math>J[f] = \int_{0}^{\infty}\frac{f(s)\zeta' (s+c)}{\zeta(s+c)(s+c)}\,ds-\int_{0}^{\infty}\!\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,</math>
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:<math>f(t) = \psi(e^t)e^{-ct} \quad\text{for } c > 0.</math>
:<math>f(t) = \psi(e^t)e^{-ct} \quad\text{for } c > 0.</math>


 
== टिप्पणियाँ ==
==टिप्पणियाँ==
<references/>
<references/>
* {{note|Dusart2010}} [[Pierre Dusart]], "Estimates of some functions over primes without R.H.". {{arxiv|1002.0442}}
* {{note|Dusart2010}} [[Pierre Dusart]], "Estimates of some functions over primes without R.H.". {{arxiv|1002.0442}}
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* {{planetmathref| urlname=ChebyshevFunctions| title=Chebyshev functions}}
* {{planetmathref| urlname=ChebyshevFunctions| title=Chebyshev functions}}
* [http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html Riemann's Explicit Formula], with images and movies
* [http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html Riemann's Explicit Formula], with images and movies
[[Category: अंकगणितीय कार्य]]


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Latest revision as of 18:27, 12 July 2023

This article utilizes technical mathematical notation for logarithms. All instances of log(x) without a subscript base should be interpreted as a natural logarithm, commonly notated as ln(x) or loge(x).
File:ChebyshevPsi.png
चेबीशेव फलन ψ (x), साथ x < 50
File:Chebyshev.svg
कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 104
File:Chebyshev-big.svg
कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 107

गणित में, चेबीशेव फलन या तो स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) या दो संबंधित फलनों में से है। प्रथम चेबिशेव फलन ϑ  (x) या θ (x) द्वारा दिया गया है:

जहाँ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी अभाज्य संख्याओं p पर विस्तारित होता है जो x से कम या उसके समान हैं।

दूसरा चेबीशेव फलन ψ (x) को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग x से अधिक नहीं है

जहाँ Λ मैंगोल्ड्ट फलन है। चेबीशेव फलन, विशेष रूप से दूसरा ψ (x), प्रायः अभाज्य संख्याओं से संबंधित गणितीय प्रमाणों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि सामान्यतः अभाज्य-गणना फलन, π (x) की तुलना में उनके साथ कार्य करना सरल होता है, (नीचे त्रुटिहीन सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव फलन x के लिए स्पर्शोन्मुख हैं, जो अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य कथन है।

त्चेबीशेफ़ फलन, चेबीशेव यूटिलिटी फलन, या भारित त्चेबीशेफ़ स्केलराइज़िंग फलन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फलन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फलन में स्केलराइज़ करना चाहता है:

[1]

विभिन्न मानों के लिए इस फलन को न्यूनतम करके , गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर सभी बिंदु प्राप्त करता है।[1]प्रायः फलन को न्यूनतम नहीं किया जाना चाहिए, किन्तु कुछ अदिशों के लिए तब [2]

तीनों फलनो का नाम पफन्युटी चेबीशेव के सम्मान में रखा गया है।

सम्बन्ध

दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है:

जहाँ k अद्वितीय पूर्णांक है जैसे कि p k ≤ x और x < p k + 1, k के मान OEIS: A206722 द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है:

ध्यान दें कि इस अंतिम योग में केवल अलुप्त होने वाली पदों की केवल एक सीमित संख्या है:

दूसरा चेबीशेव फलन 1 से n तक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक है: