आवरण (तरंग)

भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक दोलन सिग्नल (इलेक्ट्रॉनिक्स) का आवरण एक चिकनी वक्र है जो इसकी चरम सीमाओं को रेखांकित करता है। आवरण इस प्रकार एक निरंतर आयाम की अवधारणा को एक तात्कालिक आयाम में सामान्यीकृत करता है। यह आंकड़ा एक 'ऊपरी आवरण' और 'निचला आवरण' के बीच अलग-अलग संशोधित साइन तरंग दिखाता है। आवरण कार्य समय, स्थान, कोण, या वास्तव में किसी भी चर का कार्य हो सकता है।

File:Signal envelopes.png

संग्राहक साइन तरंग के लिए आवरण।

तरंगों की धड़कन में

File:Modulated wave.png

समान आयाम और लगभग समान तरंग दैर्ध्य और आवृत्ति की दो साइन तरंगों को जोड़ने से उत्पन्न एक मॉडुलेटेड तरंग।

एक सामान्य स्थिति जिसके परिणामस्वरूप अंतरिक्ष x और समय t दोनों में एक आवरण कार्य होता है, इस प्रकार लगभग समान तरंग दैर्ध्य और आवृत्ति की दो तरंगों का सुपरपोज़िशन होता है:

${\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}$

जो त्रिकोणमितीय पहचान या उत्पाद-से-योग और योग-से-उत्पाद पहचान के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र और सन्निकटन Δλ ≪ λ का उपयोग करता है, :

${\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.$

यहाँ मॉडुलन तरंग दैर्ध्य λ_mod द्वारा दिया गया है:

$\lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .$

मॉड्यूलेशन वेवलेंथ आवरण की दोगुनी है क्योंकि मॉड्यूलेटिंग कोसाइन वेव की प्रत्येक आधी-वेवलेंथ मॉड्यूलेटेड साइन वेव के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मानों को नियंत्रित करती है। इसी तरह विस्पंद आवृत्ति आवरण की होती है, जो मॉडुलक तरंग की दुगुनी या 2Δf होती है।

यदि यह तरंग ध्वनि तरंग है, जिससे कान f से जुड़ी आवृत्ति को सुनता है और इस ध्वनि का आयाम विस्पंद आवृत्ति के साथ बदलता रहता है।

चरण और समूह वेग

See also: तरंग § चरण वेग और समूह वेग

File:Wave group.gif

लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, और हरे वृत्त समूह वेग के साथ फैलते हैं।

एक कारक 2 के अतिरिक्त उपरोक्त साइनसोइड्स का तर्क π हैं:

$\xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,$

$\xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,$

सदस्यता सी और ई के साथ वाहक और आवरण का जिक्र है। तरंग का समान आयाम F ξ_C और ξ_E के समान मानों से उत्पन्न होता है, जिनमें से प्रत्येक x और t के अलग-अलग किन्तु उचित रूप से संबंधित विकल्पों पर समान मूल्य पर वापस आ सकता है। इस व्युत्क्रम का अर्थ है कि अंतरिक्ष में इन तरंगों का पता लगाया जा सकता है जिससे निश्चित आयाम की स्थिति की गति का पता लगाया जा सकता है क्योंकि यह समय में फैलता है; वाहक तरंग के तर्क के समान रहने के लिए नियम है:

$\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,$

जो एक निरंतर आयाम रखने के लिए दिखाता है दूरी Δx तथाकथित चरण वेग v द्वारा समय अंतराल Δt_p से संबंधित है

$v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .$

दूसरी ओर, वही विचार दिखाते हैं कि आवरण तथाकथित समूह वेग वी_g पर फैलता है:

$v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .$

समूह वेग के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति वेववेक्टर k प्रस्तुत करके प्राप्त की जाती है:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .$

हम देखते हैं कि छोटे परिवर्तनों के लिए Δλ, वेववेक्टर में संबंधित छोटे परिवर्तन का परिमाण, Δk, है:

$\Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,$

इसलिए समूह वेग को फिर से लिखा जा सकता है:

$v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,$

जहां ω रेडियंस/सेकंड में आवृत्ति है: ω = 2πएफ सभी मीडिया में, आवृत्ति और वेववेक्टर एक फैलाव संबंध से संबंधित होते हैं, ω = ω(k), और समूह वेग लिखा जा सकता है:

$v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .$

File:Phonon dispersion relations in GaAs.png

जीएएएस में जाली कंपन के अनुरूप कुछ तरंगों के लिए फैलाव संबंध ω=ω(k)।

मौलिक निर्वात जैसे माध्यम में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए फैलाव संबंध है:

$\omega =c_{0}k$

जहां सी₀ मौलिक निर्वात में प्रकाश की गति है। इस स्थिति के लिए, चरण और समूह वेग दोनों c₀ हैं.

तथाकथित फैलाव (प्रकाशिकी) में फैलाव संबंध वेववेक्टर का एक जटिल कार्य हो सकता है, और चरण और समूह वेग समान नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जीएएएस में परमाणु कंपन (फोनोन) द्वारा प्रदर्शित कई प्रकार की तरंगों के लिए, फैलाव संबंधों को ब्रिलॉइन ज़ोन या वेववेक्टर 'के' के महत्वपूर्ण बिंदुओं के चित्र में दिखाया गया है। सामान्य स्थिति में, चरण और समूह वेगों की अलग-अलग दिशाएँ हो सकती हैं।

फलन सन्निकटन में

See also: के·पी विघ्न सिद्धांत

File:Electron probabilities in GaAs quantum well.png

आवरण कार्यों से गणना के रूप में एक जीएएएस-गालअस क्वांटम हेटरोस्ट्रक्चर में 160Ǻ जीएएएस क्वांटम कूप के निम्नतम दो क्वांटम राज्यों में इलेक्ट्रॉन संभावनाएं।

संघनित पदार्थ भौतिकी में एक क्रिस्टल में एक मोबाइल चार्ज वाहक के लिए एक ऊर्जा ईजेनफंक्शन को बलोच तरंग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,$

जहाँ n बैंड के लिए सूचकांक है (उदाहरण के लिए, कंडक्शन या वैलेंस बैंड) 'r' एक स्थानिक स्थान है, और 'k' एक वेववेक्टर है। एक्सपोनेंशियल एक साइनसॉइडली भिन्न फलन है जो धीरे-धीरे अलग-अलग आवरण के अनुरूप होता है जो वेवफंक्शन यू के_n,k तेजी से भिन्न भाग को संशोधित करता है जाली के परमाणुओं के कोर के निकट वेवफंक्शन के व्यवहार का वर्णन करता है। आवरण क्रिस्टल के ब्रिलौइन क्षेत्र द्वारा सीमित सीमा के अन्दर k-मानों तक सीमित है, और यह सीमित करता है कि यह स्थान r के साथ कितनी तेज़ी से भिन्न हो सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग कर वाहकों के व्यवहार का निर्धारण करने में, सामान्यतः आवरण सन्निकटन का उपयोग किया जाता है जिसमें श्रोडिंगर समीकरण को केवल आवरण के व्यवहार को संदर्भित करने के लिए सरलीकृत किया जाता है, और इस प्रकार सीमा नियमों को सीधे आवरण फलन पर प्रयुक्त किया जाता है, किन्तु पूर्ण तरंग की तुलना में उदाहरण के लिए, एक अशुद्धता के पास फंस गए एक वाहक के तरंग फलन को एक आवरण फलन एफ द्वारा नियंत्रित किया जाता है जो बलोच कार्यों की सुपरपोजिशन को नियंत्रित करता है:

$\psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,$

जहां आवरण F('k') के फूरियर घटक अनुमानित श्रोडिंगर समीकरण से पाए जाते हैं। कुछ अनुप्रयोगों में, आवधिक भाग u_k बैंड किनारे के पास इसके मान से प्रतिस्थापित किया जाता है, मान लीजिए k=k₀, और तब::

$\psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .$

विवर्तन प्रतिरूप में

File:Double-slit diffraction pattern.png

डबल स्लिट के विवर्तन प्रतिरूप में सिंगल-स्लिट आवरण होता है।

एकाधिक स्लिट्स से विवर्तन प्रतिरूप में एकल स्लिट विवर्तन प्रतिरूप द्वारा निर्धारित आवरण होते हैं। एकल छिद्र के लिए प्रतिरूप इस प्रकार दिया गया है::$I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,$

जहां α विवर्तन कोण है, d छिद्र चौड़ाई है, और λ तरंग दैर्ध्य है। एकाधिक स्लिट्स के लिए, प्रतिरूप है :

$I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,$

जहाँ q स्लिट्स की संख्या है, और g ग्रेटिंग स्थिरांक है। पहला कारक, एकल-स्लिट परिणाम I₁, अधिक तेजी से बदलते दूसरे कारक को संशोधित करता है जो स्लिट्स की संख्या और उनकी रिक्ति पर निर्भर करता है।

अनुमान

एक आवरण डिटेक्टर एक इलेक्ट्रॉनिक परिपथ है जो आवरण को एक सिग्नल से निकालता है।

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, आवरण का अनुमान लगाया जा सकता है कि वह हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म या चलती औसत आरएमएस आयाम को नियोजित करता है।

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक संकेत § जटिल आवरण/बेसबैंड
• अनुभवजन्य मोड अपघटन
• आवरण (गणित)
• आवरण ट्रैकिंग
• तात्कालिक चरण
• मॉडुलन
• दोलन का गणित
• पीक आवरण शक्ति
• स्पेक्ट्रल आवरण

संदर्भ

This article incorporates material from the Citizendium article "Envelope function", which is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License but not under the GFDL.