फिशर संसूचना

गणितीय आँकड़ों में, फ़िशर संसूचना (कभी-कभी केवल सूचना कहलाती है) संसूचना की मात्रा को मापने का प्रकार है जो प्रेक्षण योग्य यादृच्छिक चर X वितरण के अज्ञात पैरामीटर θ के मॉडल X के विषय में होता है। औपचारिक रूप से, यह स्कोर की भिन्नता है, या देखी गई संसूचना का अपेक्षित मूल्य होता है।

सांख्यिकीविद् रोनाल्ड फिशर (फ्रांसिस यसिड्रो एडगेवर्थ द्वारा कुछ प्रारंभिक परिणामों के पश्चात) द्वारा अधिकतम-संभावना अनुमान के स्पर्शोन्मुख सिद्धांत में फिशर संसूचना की भूमिका पर जोर दिया गया था। फिशर संसूचना आव्यूह का उपयोग अधिकतम-संभावना अनुमानों से जुड़े सहप्रसरण आव्यूह की गणना करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग परीक्षण आँकड़ों के निर्माण में जैसे वाल्ड परीक्षण किया जा सकता है।

बायेसियन सांख्यिकी में, फिशर की संसूचना जेफ़रीज़ के नियम के अनुसार गैर-सूचनात्मक पूर्व वितरणों की व्युत्पत्ति में भूमिका निभाती है। यह पश्च वितरण के बड़े-प्रारूप सहप्रसरण के रूप में भी प्रकट होता है, नियम यह है कि पूर्व पर्याप्त रूप से सुचारू हो (परिणाम जिसे बर्नस्टीन-वॉन मिज़ प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिसे घातीय परिवारों के लिए लाप्लास द्वारा प्रत्याशित किया गया था)। लाप्लास के सन्निकटन के साथ पोस्टीरियर का अनुमान लगाते समय उसी परिणाम का उपयोग किया जाता है, जहां फिशर की संसूचना फिटेड गॉसियन के सहप्रसरण के रूप में दिखाई देती है।

वैज्ञानिक प्रकृति (भौतिक, जैविक, आदि) की सांख्यिकीय प्रणालियाँ जिनके संभावित कार्य शिफ्ट-इनवेरिएंट का पालन करते हैं, उन्हें अधिकतम फिशर संसूचना का पालन करने के लिए दिखाया गया है। अधिकतम स्तर प्रणाली बाधाओं की प्रकृति पर निर्भर करता है।

परिभाषा

फ़िशर संसूचना, संसूचना की मात्रा को मापने की विधि है जो अवलोकन योग्य यादृच्छिक चर है $X$ में अज्ञात पैरामीटर है जिस पर $\theta$ की संभावना है $X$ निर्भर करता है। मान लीजिये $f(X;\theta )$ के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (या प्रायिकता द्रव्यमान फलन) $X$ के मान पर प्रतिबंधित $\theta$ होता है। यह संभावना का वर्णन करता है कि हम दिए गए परिणाम का निरीक्षण करते हैं $X$, का ज्ञात मान $\theta$ दिया गया है। यदि $f$ में परिवर्तनों के संबंध में तीव्रता से चरम पर $\theta$ का उचित मान प्रदर्शित करना सरल है $\theta$ डेटा से, या समकक्ष, कि डेटा $X$ पैरामीटर $\theta$ के विषय में अत्यधिक संसूचना प्रदान करता है। यदि $f$ समतल और विस्तारित है, तो यह कई प्रतिरूप लेगा $X$ के वास्तविक उचित मान का अनुमान लगाने के लिए वह $\theta$ प्रतिचयन की जा रही संपूर्ण जनसंख्या का उपयोग करके प्राप्त किया जाएगा। यह $\theta$ किसी प्रकार के विचरण के संबंध में अध्ययन करने का सुझाव देता है।

औपचारिक रूप से, $\theta$ के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न प्रायिकता फलन के प्राकृतिक लघुगणक को स्कोर कहा जाता है। कुछ नियमितता प्रावधानों के अंतर्गत, यदि $\theta$ उचित पैरामीटर है (अर्थात $X$ वास्तव में $f(X;\theta )$ के रूप में वितरित किया जाता है), यह दिखाया जा सकता है कि स्कोर का अपेक्षित मान (प्रथम क्षण), उचित पैरामीटर मान पर मूल्यांकन $\theta$, 0 किया गया है: ${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(X;\theta )\right|\theta \right]={}&\int _{\mathbb {R} }{\frac {{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )\,dx\\[3pt]={}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx\\[3pt]={}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}1\\={}&0.\end{aligned}}$

फिशर संसूचना को स्कोर के विचरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\mathcal {I}}(\theta )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(X;\theta )\right)^{2}\right|\theta \right]=\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)^{2}f(x;\theta )\,dx,$

ध्यान दें कि $0\leq {\mathcal {I}}(\theta )$ उच्च फिशर संसूचना वाले यादृच्छिक चर का अर्थ है कि स्कोर का निरपेक्ष मान प्रायः उच्च होता है। फिशर की संसूचना किसी विशेष अवलोकन का कार्य नहीं है, क्योंकि यादृच्छिक चर X को औसत कर दिया गया है।

यदि log f(x; θ) θ के संबंध में दो बार अवकलनीय है, और कुछ नियमितता प्रावधानों के अंतर्गत, फ़िशर संसूचना को इस रूप में भी लिखा जा सकता है:

$\mathcal{I}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=-<!--\; -\; -->\mathrm{E}<!--\; \; -->[\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{}^{}}$