विशार्ट वितरण: Difference between revisions

Wishart
Notation	X ~ Wp(V, n)
Parameters	n > p − 1 degrees of freedom (real); V > 0 scale matrix (p × p pos. def)
Support	X(p × p) positive definite matrix
PDF	Γp is the multivariate gamma function; tr is the trace function;
Mean
Mode	(n − p − 1)V for n ≥ p + 1
Variance
Entropy	see below
CF

Latest revision as of 15:22, 13 June 2023

आँकड़ों में, विशार्ट वितरण गामा वितरण के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम जॉन विशार्ट (सांख्यिकीविद्) के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में विशार्ट वितरण प्रकाशित किया था।^[1]

यह सममित गैर-ऋणात्मक निश्चित यादृच्छिक आव्यूह (अर्थात आव्यूह यादृच्छिक चर) पर परिभाषित संभाव्यता वितरण का एक समूह है। यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में विशार्ट आव्यूह समष्टि को विशार्ट समुच्चय कहा जाता है।

बहुचर आँकड़ों में सहप्रसरण आव्यूह के अनुमान में इन वितरणों का अत्यधिक महत्व है। बायेसियन सांख्यिकी में विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य यादृच्छिक सदिश के व्युत्क्रम सहप्रसरण आव्यूह से पहले का संयुग्म है।^[2]

अन्य नामों में यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत विशार्ट समुच्चय सम्मिलित है। आव्यूह पर संभाव्यता वितरण को सामान्यतः समुच्चय या विशार्ट-लगुएरे समुच्चय कहा जाता है चूंकि इसके आइगेन मान वितरण में जीओई, जीयूई, जीएसई के अनुरूप लैगुएरे बहुपद या एलओई, एलयूई, एलएसई बहुपद सम्मिलित है।^[3]

परिभाषा

मान लीजिए $G$ एक $p \times n$ आव्यूह है, जिनमें से प्रत्येक स्तम्भ स्वतंत्र रूप से $p$ -चर सामान्य वितरण से शून्य माध्य के साथ खींचा जाता है:

G_{i}=(g_{i}^{1},\dots ,g_{i}^{p})^{T}\sim {\mathcal {N}}_{p}(0,V).

विशार्ट वितरण $p \times p$ यादृच्छिक आव्यूह का प्रायिकता वितरण है:^[4]

S=GG^{T}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{T}

जिसको विस्तृत आव्यूह के रूप में जाना जाता है। यह इंगित करता है कि $S$ के पास लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है:

S\sim W_{p}(V,n).

धनात्मक पूर्णांक मे $n$ स्वतंत्रता की कोटियो की संख्या है। कभी-कभी इसे $W (V, p, n)$ लिखा जाता है और $n \geq p$ के लिए आव्यूह $S$ व्युत्क्रमणीय है यदि $V$ व्युत्क्रमणीय है तो प्रायिकता 1 होती है।

यदि $p = V = 1$ तो यह वितरण स्वतंत्रता की n कोटि वाला ची-वर्ग वितरण है।

घटना

विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य वितरण से प्रतिरूप के लिए सहप्रसरण आव्यूह के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। प्रायः बहुचर सांख्यिकीय विश्लेषण में संभावना-अनुपात परीक्षण होता है।^[5] यह यादृच्छिक आव्यूह के वर्णक्रमीय सिद्धांत और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में भी उत्पन्न होता है।^{[citation needed]} रेले लुप्तप्राय एमआईएमओ तार रहित चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय तार रहित संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।^[6]

संभाव्यता घनत्व फलन

विशार्ट-लागुएरे समुच्चय का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15) के चित्र 1 का पुनर्निर्माण ^[7].

विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व फलन द्वारा निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

माना कि $X$ यादृच्छिक चर का एक $p \times p$ सममित आव्यूह है जो धनात्मक अर्ध-निश्चित है। माना कि $V$ आकार का एक $p \times p$ सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है।

यदि $n \geq p$ , $X$ का विशार्ट वितरण स्वतंत्रता की $n$ कोटि के साथ है तब इसमें संभाव्यता घनत्व फलन है:

f_{\mathbf {X} }(\mathbf {X} )={\frac {1}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}{\left|\mathbf {X} \right|}^{(n-p-1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}

जहां $\left|{\mathbf {X} }\right|$ का निर्धारक $\mathbf {X}$ है और $Γ p$ बहुचर गामा फलन है जिसे परिभाषित किया गया है:

\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\frac {n}{2}}-{\frac {j-1}{2}}\right).

उपरोक्त घनत्व यादृच्छिक आव्यूह $X$ के सभी $p^{2}$ तत्वों का संयुक्त घनत्व नहीं है ऐसा $p^{2}$ आयामी घनत्व समरूपता बाधाओं $X_{ij}=X_{ji}$ के कारण सम्मिलित नहीं है लेकिन यह $p^{2}$ के लिए $p(p+1)/2$ तत्वों $X_{ij}$ का संयुक्त घनत्व है। इसके अतिरिक्त, उपरोक्त घनत्व सूत्र $\mathbf {x}$ केवल धनात्मक निश्चित आव्यूहों पर प्रयुक्त होता है अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर होता है।

वर्णक्रमीय घनत्व

आइगेन मान के लिए संयुक्त-आइगेन मान घनत्व $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p}\geq 0$ एक यादृच्छिक आव्यूह $\mathbf {X} \sim W_{p}(\mathbf {I} ,n)$ है,^[8]^[9]

c_{n,p}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\lambda _{i}}\prod \lambda _{i}^{(n-p-1)/2}\prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|

जहाँ $c_{n,p}$ एक स्थिरांक है।

वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक $n > p - 1$ तक बढ़ाया जा सकता है। यदि $n \leq p - 1$ विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है लेकिन यह एक अद्वितीय वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो निम्न आयाम उप-समष्टि में $p \times p$ आव्यूह है।^[10]

बायेसियन सांख्यिकी के प्रयोग

बायेसियन आंकड़ों में बहुचर सामान्य वितरण के संदर्भ में विशार्ट वितरण शुद्ध आव्यूह $Ω = Σ -1$ से पहले संयुग्मी है, जहां $Σ$ सहप्रसरण आव्यूह है।^[11]^: 135

मापदंडों का चुनाव

समुच्चय $n = p$ सबसे कम सूचनात्मक उपयुक्त विशार्ट वितरण से प्राप्त किया जाता है। जहाँ $W p (V, n)$ का पूर्व माध्य $n V$ है, जो सुझाव देता है कि $V$ के लिए एक उपयुक्त विकल्प $n -1 Σ 0 -1$ होगा, जहां $Σ 0$ सहप्रसरण आव्यूह के लिए पूर्व अनुमान है।^{[citation needed]}

गुण

लॉग-अपेक्षा

निम्नलिखित सूत्र विशार्ट वितरण से संबद्ध बेयस नेटवर्क के लिए चर बेयस व्युत्पन्न में एक भूमिका निभाता है:^[11]^: 693

\operatorname {E} [\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,]=\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\,\ln(2)+\ln |\mathbf {V} |

जहाँ $\psi _{p}$ बहुचर गामा फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न फलन है।

लॉग-भिन्नता

बायेसियन सांख्यिकी में निम्न सहप्रसरण गणना सहायक हो सकती है:

\operatorname {Var} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]=\sum _{i=1}^{p}\psi _{1}\left({\frac {n+1-i}{2}}\right)

जहाँ $\psi _{1}$ त्रिगामा फलन है। यह विशार्ट अनियमित चर की फिशर जानकारी की गणना करते समय सामने आता है।

एंट्रॉपी

वितरण की सूचना एन्ट्रापी में निम्नलिखित सूत्र हैं:^[11]^: 693

\operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]=-\ln \left(B(\mathbf {V} ,n)\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}

जहाँ $B (V, n)$ वितरण का सामान्यीकरण स्थिरांक है:

B(\mathbf {V} ,n)={\frac {1}{\left|\mathbf {V} \right|^{n/2}2^{np/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}.

इसका विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

\begin{aligned} H [X] & = \frac{n}{2} \ln | V | + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln Γ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} E [\ln | X |] + \frac{n p}{2} \\ = \frac{n}{2} \ln | V | + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln Γ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} (ψ_{p} (\frac{n}{2}) + p \ln 2 + \ln | V |) + \frac{n p}{2} \\ = \frac{n}{2} \ln | V | + \frac{n p}{2} \ln 2 + \ln Γ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} ψ_{p} (\frac{n}{2}) - \frac{n - p - 1}{2} (p \ln 2 + \ln | V |) + \frac{n p}{2} \\ = \frac{p + 1}{2} \ln | V | + \frac{1}{2} p (p + 1) \end{aligned}

अनुप्रस्थ-एन्ट्रॉपी

पैरामीटर के साथ दो विशार्ट वितरण

p_{0}

की अनुप्रस्थ एंट्रोपी

n_{0},V_{0}

और

p_{1}

पैरामीटर के साथ

n_{1},V_{1}

है:

\begin{aligned} H (p_{0}, p_{1}) & = E_{p_{0}} [- \log p_{1}] \\ = E_{p_{0}} [- \log \frac{{| X |}^{(n_{1} - p_{1} - 1) / 2} e^{- tr (V_{1}^{- 1} X) / 2}}{2^{n_{1} p_{1} / 2} {| V_{1} |}^{n_{1} / 2} Γ_{p_{1}} (\frac{n_{1}}{2})}] \\ = \frac{n_{1} p_{1}}{2} \log 2 + \frac{n_{1}}{2} \log | V_{1} | + \log Γ_{p_{1}} (\frac{n_{1}}{2}) - \frac{n_{1} - p_{1} - 1}{2} E_{p_{0}} [\log | X |] + \frac{1}{2} E_{p_{0}} [tr (V_{1}^{- 1} X)] \\ = \frac{n_{1} p_{1}}{2} \log 2 + \frac{n_{1}}{2} \log | V_{1} | + \log Γ_{p_{1}} \end{aligned}

ध्यान दें कि जब

p_{0}=p_{1}

और

n_{0}=n_{1}

एंट्रॉपी को पुनर्प्राप्त किया जाता हैं।

केएल-विचलन

कुल्बैक-लीब्लर विचलन $p_{1}$ से $p_{0}$ है:

{\begin{aligned}D_{KL}(p_{0}\|p_{1})&=H(p_{0},p_{1})-H(p_{0})\\[6pt]&=-{\frac {n_{1}}{2}}\log |\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}|+{\frac {n_{0}}{2}}(\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0})-p)+\log {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {n_{1}}{2}}\right)}{\Gamma _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)}}+{\tfrac {n_{0}-n_{1}}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)\end{aligned}}

विशेषता फलन

विशार्ट वितरण का विशेषता फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है:

\Theta \mapsto \operatorname {E} \left[\,\exp \left(\,i\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }\,\right)\,\right)\,\right]=\left|\,1-2i\,{\mathbf {\Theta } }\,{\mathbf {V} }\,\right|^{-n/2}

जहाँ $E[\cdot]$ अपेक्षा दर्शाता है और $Θ$ समान आयामों वाला कोई आव्यूह है क्योंकि $V$ , $1$ पहचान आव्यूह को इंगित करता है और $i$ $-1$ एक वर्गमूल है।^[9] इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए अपेक्षाकृत सावधानी की आवश्यकता होती है, क्योंकि गैर-पूर्णांक समिश्र रीमैन सतह होती हैं जब $n$ पूर्णांक नहीं होता है, तो सही शाखा को विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से निर्धारित किया जाता है।^[12]

प्रमेय

यदि $p \times p$ अनियमित आव्यूह $X$ की विशार्ट वितरण स्वतंत्रता की कोटि $m$ और प्रसरण आव्यूह $V$ है तो $\mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}_{p}({\mathbf {V} },m)$ मे $C$ और $q$ का आव्यूह $q \times p$ है:^[13]

\mathbf {C} \mathbf {X} {\mathbf {C} }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{q}\left({\mathbf {C} }{\mathbf {V} }{\mathbf {C} }^{T},m\right).

उपप्रमेय 1

यदि $z$ गैर-शून्य $p \times 1$ अचर सदिश है, तब^[13]

\sigma _{z}^{-2}\,{\mathbf {z} }^{T}\mathbf {X} {\mathbf {z} }\sim \chi _{m}^{2}.

इस स्थिति में $\chi _{m}^{2}$ ची-वर्ग वितरण है और $\sigma _{z}^{2}={\mathbf {z} }^{T}{\mathbf {V} }{\mathbf {z} }$ मे ध्यान दें कि $\sigma _{z}^{2}$ स्थिरांक है यह धनात्मक है क्योंकि $V$ धनात्मक निश्चित है।

उपप्रमेय 2

उस स्थिति पर विचार करें जहां $z T = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)$ अर्थात, j-वां पद 1 है और अन्य सभी शून्य हैं तब उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है:

\sigma _{jj}^{-1}\,w_{jj}\sim \chi _{m}^{2}

आव्यूह के विकर्ण पर प्रत्येक पद का उपरोक्त सीमांत वितरण है।

जॉर्ज सेबर बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुचर ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि सवृत-विकर्ण तत्वों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर बहुचर शब्द को उस स्थिति के लिए आरक्षित करते हैं जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही समूह के होते है।^[14]

बहुचर सामान्य वितरण का अनुमानक

विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य वितरण के सहप्रसरण आव्यूह के अधिकतम-संभावना अनुमानक (एमएलई) का प्रतिरूप वितरण है।^[15] एमएलई की व्युत्पत्ति वर्णक्रमीय प्रमेय का उपयोग करती है।

बार्टलेट अपघटन

अदिश आव्यूह $V$ और $n$ स्वतंत्रता की कोटि के साथ एक $V$ -अचर विशार्ट वितरण से आव्यूह $X$ का बार्टलेट अपघटन गुणनखंड है:

\mathbf {X} ={\textbf {L}}{\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}{\textbf {L}}^{T},

जहाँ $L$ , $V$ का चोल्स्की अपघटन गुणांक है:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}c_{1}&0&0&\cdots &0\\n_{21}&c_{2}&0&\cdots &0\\n_{31}&n_{32}&c_{3}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\n_{p1}&n_{p2}&n_{p3}&\cdots &c_{p}\end{pmatrix}}

जहाँ $c_{i}^{2}\sim \chi _{n-i+1}^{2}$ और $n ij ~ N (0, 1)$ स्वतंत्र रूप मे विशार्ट वितरण से यादृच्छिक प्रतिरूप प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करते है।^[16]^[17]

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण

माना कि $V$ एक $2 \times 2$ पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक $-1 < ρ < 1$ और $L$ इसके चॉल्स्की कारक द्वारा विशेषता है:

\mathbf {V} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0\\\rho \sigma _{2}&{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\sigma _{2}\end{pmatrix}}

उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि $2 \times 2$ विशार्ट वितरण का एक यादृच्छिक फलन है:

\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}c_{1}^{2}&\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)\\\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)&\sigma _{2}^{2}\left(\left(1-\rho ^{2}\right)c_{2}^{2}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}n_{21}+\rho c_{1}\right)^{2}\right)\end{pmatrix}}

विकर्ण तत्व सबसे स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, स्वतंत्रता की कोटि $n$ के साथ $χ 2$ वितरण का अनुसारण करते हैं जिसे $σ 2$ द्वारा अदिश किया गया है जैसा कि अपेक्षित संवृत-विकर्ण तत्व अपेक्षाकृत कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक $χ 2$ वितरण है। संवृत-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए विचरण-गामा वितरण है:

f(x_{12})={\frac {\left|x_{12}\right|^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {2^{n-1}\pi \left(1-\rho ^{2}\right)\left(\sigma _{1}\sigma _{2}\right)^{n+1}}}}}\cdot K_{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\left|x_{12}\right|}{\sigma _{1}\sigma _{2}\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)\exp {\left({\frac {\rho x_{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}(1-\rho ^{2})}}\right)}

जहां $K ν (z)$ दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है।^[18] उच्च आयामों के लिए समान परिणाम प्राप्त हो सकते हैं, लेकिन संवृत-विकर्ण सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तीव्रता से समिश्र हो जाती है। गैर-केंद्रीय स्थिति में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन (अनिवार्य रूप से क्रेग की nवीं घात (1936) समीकरण 10) को लिखना संभव है। हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल फलनों का एक अनंत योग बन जाता है।^[19]

आकृति पैरामीटर की सीमा

यह दिखाया जा सकता है कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल यदि आकार पैरामीटर $n$ समुच्चय से संबंधित है:^[20]

\Lambda _{p}:=\{0,\ldots ,p-1\}\cup \left(p-1,\infty \right).

इस समुच्चय का नाम गिंडिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में इसे प्रस्तुत किया था।^[21] हालाँकि, गिंडिकिन समुच्चय के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात् $\Lambda _{p}^{*}:=\{0,\ldots ,p-1\},$ से संबंधित विशार्ट वितरण में कोई लेबेस्ग घनत्व नहीं है।

अन्य वितरणों से संबंध

विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है जिसे $W_{p}^{-1}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार यदि $X ~ W p (V, n)$ और यदि हम चर $C = X -1$ का परिवर्तन करते हैं, तो $\mathbf {C} \sim W_{p}^{-1}(\mathbf {V} ^{-1},n)$ इस संबंध को इस विषय पर ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है कि चरों के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान $| C | p +1$ है। उदाहरण के लिए समीकरण (15.15) में देखें।^[22]
बायेसियन आँकड़ों में विशार्ट वितरण बहुचर सामान्य वितरण के शुद्ध पैरामीटर से पहले एक संयुग्म है जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।^[11]
यह एक सामान्यीकरण बहुचर गामा वितरण है।
एक अन्य प्रकार का सामान्यीकरण सामान्य-विशार्ट वितरण है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ यह बहुचर सामान्य वितरण का उत्पाद है।

यह भी देखें

ची-वर्ग वितरण
समिश्र विशार्ट वितरण
एफ-वितरण
गामा वितरण
होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
बहुचर गामा वितरण
छात्र का टी-वितरण
विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण

संदर्भ

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बाहरी संबंध

A C++ library for random matrix generator

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[2] Koop, Gary; Korobilis, Dimitris (2010). "अनुभवजन्य मैक्रोइकॉनॉमिक्स के लिए बायेसियन बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला के तरीके". Foundations and Trends in Econometrics. 3 (4): 267–358. doi:10.1561/0800000013.

[3] Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018), Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (eds.), "Classical Ensembles: Wishart-Laguerre", Introduction to Random Matrices: Theory and Practice, SpringerBriefs in Mathematical Physics (in English), Cham: Springer International Publishing, pp. 89–95, doi:10.1007/978-3-319-70885-0_13, ISBN 978-3-319-70885-0, retrieved 2023-05-17

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Contents

परिभाषा

घटना

संभाव्यता घनत्व फलन

वर्णक्रमीय घनत्व

बायेसियन सांख्यिकी के प्रयोग

मापदंडों का चुनाव

गुण

लॉग-अपेक्षा

लॉग-भिन्नता

एंट्रॉपी

अनुप्रस्थ-एन्ट्रॉपी

केएल-विचलन

विशेषता फलन

प्रमेय

उपप्रमेय 1

उपप्रमेय 2

बहुचर सामान्य वितरण का अनुमानक

बार्टलेट अपघटन

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण

आकृति पैरामीटर की सीमा

अन्य वितरणों से संबंध

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

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 }}
-आँकड़ों में, विशार्ट वितरण [[गामा वितरण]] के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम [[जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्)]] के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में वितरण तैयार किया था।<ref name=Wishart>{{cite journal |first=J. |last=Wishart |author-link=John Wishart (statistician) |title=एक सामान्य बहुभिन्नरूपी जनसंख्या से नमूनों में सामान्यीकृत उत्पाद आघूर्ण वितरण|journal=[[Biometrika]] |volume=20A |issue=1–2 |pages=32–52 |year=1928 |doi=10.1093/biomet/20A.1-2.32 |jfm=54.0565.02 |jstor=2331939}}</ref>
+आँकड़ों में, '''विशार्ट वितरण''' [[गामा वितरण]] के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम [[जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्)|जॉन विशार्ट (सांख्यिकीविद्)]] के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में विशार्ट वितरण प्रकाशित किया था।<ref name="Wishart">{{cite journal |first=J. |last=Wishart |author-link=John Wishart (statistician) |title=एक सामान्य बहुभिन्नरूपी जनसंख्या से नमूनों में सामान्यीकृत उत्पाद आघूर्ण वितरण|journal=[[Biometrika]] |volume=20A |issue=1–2 |pages=32–52 |year=1928 |doi=10.1093/biomet/20A.1-2.32 |jfm=54.0565.02 |jstor=2331939}}</ref>
-यह संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जो सममित, [[गैर-नकारात्मक-निश्चित]] [[यादृच्छिक मैट्रिक्स]] (यानी [[मैट्रिक्स (गणित)]] -मूल्यवान यादृच्छिक चर) पर परिभाषित किया गया है। यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में, विशार्ट मैट्रिसेस के स्थान को विशार्ट पहनावा कहा जाता है।
-बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में सहप्रसरण मैट्रिक्स के अनुमान में इन वितरणों का बहुत महत्व है। बायेसियन अनुमान में, विशार्ट वितरण मैट्रिक्स व्युत्क्रम सहप्रसरण [[मैट्रिक्स उलटा]] पहले का संयुग्म है | एक [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] का सहप्रसरण-मैट्रिक्स | बहुभिन्नरूपी-सामान्य यादृच्छिक-वेक्टर।<ref>{{cite journal |first1=Gary |last1=Koop |first2=Dimitris |last2=Korobilis |year=2010 |title=अनुभवजन्य मैक्रोइकॉनॉमिक्स के लिए बायेसियन बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला के तरीके|journal=Foundations and Trends in Econometrics |volume=3 |issue=4 |pages=267–358 |doi=10.1561/0800000013 |doi-access=free }}</ref>
+यह सममित [[गैर-नकारात्मक-निश्चित|गैर-ऋणात्मक निश्चित]] [[यादृच्छिक मैट्रिक्स|यादृच्छिक आव्यूह]] (अर्थात [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] यादृच्छिक चर) पर परिभाषित संभाव्यता वितरण का एक समूह है। यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में विशार्ट आव्यूह समष्टि को विशार्ट समुच्चय कहा जाता है।
-अन्य नामों में विशार्ट एनसेम्बल ([[यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत]] में, मैट्रिसेस पर संभाव्यता वितरण को आमतौर पर पहनावा कहा जाता है), या विशार्ट-लगुएरे पहनावा (चूंकि इसके ईजेनवेल्यू वितरण में लैगुएरे बहुपद शामिल हैं), या एलओई, एलयूई, एलएसई (रैंडम मैट्रिक्स # गॉसियन के अनुरूप) शामिल हैं। पहनावा | GOE, GUE, GSE)।<ref>{{Citation |last=Livan |first=Giacomo |title=Classical Ensembles: Wishart-Laguerre |date=2018 |url=https://doi.org/10.1007/978-3-319-70885-0_13 |work=Introduction to Random Matrices: Theory and Practice |pages=89–95 |editor-last=Livan |editor-first=Giacomo |access-date=2023-05-17 |series=SpringerBriefs in Mathematical Physics |place=Cham |publisher=Springer International Publishing |language=en |doi=10.1007/978-3-319-70885-0_13 |isbn=978-3-319-70885-0 |last2=Novaes |first2=Marcel |last3=Vivo |first3=Pierpaolo |editor2-last=Novaes |editor2-first=Marcel |editor3-last=Vivo |editor3-first=Pierpaolo}}</ref>
+बहुचर आँकड़ों में सहप्रसरण आव्यूह के अनुमान में इन वितरणों का अत्यधिक महत्व है। बायेसियन सांख्यिकी में विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य यादृच्छिक सदिश के व्युत्क्रम सहप्रसरण आव्यूह से पहले का संयुग्म है।<ref>{{cite journal |first1=Gary |last1=Koop |first2=Dimitris |last2=Korobilis |year=2010 |title=अनुभवजन्य मैक्रोइकॉनॉमिक्स के लिए बायेसियन बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला के तरीके|journal=Foundations and Trends in Econometrics |volume=3 |issue=4 |pages=267–358 |doi=10.1561/0800000013 |doi-access=free }}</ref>
+अन्य नामों में [[यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत|यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत]] विशार्ट समुच्चय सम्मिलित है। आव्यूह पर संभाव्यता वितरण को सामान्यतः समुच्चय या विशार्ट-लगुएरे समुच्चय कहा जाता है चूंकि इसके आइगेन मान वितरण में जीओई, जीयूई, जीएसई के अनुरूप लैगुएरे बहुपद या एलओई, एलयूई, एलएसई बहुपद सम्मिलित है।<ref>{{Citation |last=Livan |first=Giacomo |title=Classical Ensembles: Wishart-Laguerre |date=2018 |url=https://doi.org/10.1007/978-3-319-70885-0_13 |work=Introduction to Random Matrices: Theory and Practice |pages=89–95 |editor-last=Livan |editor-first=Giacomo |access-date=2023-05-17 |series=SpringerBriefs in Mathematical Physics |place=Cham |publisher=Springer International Publishing |language=en |doi=10.1007/978-3-319-70885-0_13 |isbn=978-3-319-70885-0 |last2=Novaes |first2=Marcel |last3=Vivo |first3=Pierpaolo |editor2-last=Novaes |editor2-first=Marcel |editor3-last=Vivo |editor3-first=Pierpaolo}}</ref>
 == परिभाषा ==
-कल्पना करना {{mvar|G}} एक है {{math|''p'' × ''n''}} मैट्रिक्स, जिसका प्रत्येक स्तंभ [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] है जो एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से लिया गया है{{mvar|p}}-भिन्न सामान्य वितरण शून्य माध्य के साथ:
+मान लीजिए {{mvar|G}} एक {{math|''p'' × ''n''}} आव्यूह है, जिनमें से प्रत्येक स्तम्भ स्वतंत्र रूप से {{mvar|p}}-चर सामान्य वितरण से शून्य माध्य के साथ खींचा जाता है:
 :<math>G_{i} = (g_i^1,\dots,g_i^p)^T\sim \mathcal{N}_p(0,V).</math>
-फिर विशार्ट वितरण का संभाव्यता वितरण है {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक मैट्रिक्स <ref>{{cite book |first1=A. K. |last1=Gupta |first2=D. K. |last2=Nagar |date=2000 |title=मैट्रिक्स भिन्न वितरण|publisher=Chapman & Hall /CRC |isbn=1584880465}}</ref>
+विशार्ट वितरण {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक आव्यूह का प्रायिकता वितरण है:<ref>{{cite book |first1=A. K. |last1=Gupta |first2=D. K. |last2=Nagar |date=2000 |title=मैट्रिक्स भिन्न वितरण|publisher=Chapman & Hall /CRC |isbn=1584880465}}</ref>
 :<math>S= G G^T = \sum_{i=1}^n G_{i}G_{i}^T</math>
-[[ तितर बितर मैट्रिक्स ]] के रूप में जाना जाता है। एक इंगित करता है {{mvar|S}} में लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है
+जिसको विस्तृत आव्यूह के रूप में जाना जाता है। यह इंगित करता है कि {{mvar|S}} के पास लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है:
 :<math>S\sim W_p(V,n).</math>
-सकारात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)]] की संख्या है। कभी-कभी यह लिखा जाता है {{math|''W''(''V'', ''p'', ''n'')}}. के लिए {{math|''n'' ≥ ''p''}} गणित का सवाल {{mvar|S}} संभाव्यता के साथ उलटा है {{math|1}} अगर {{mvar|V}} उलटा है।
+धनात्मक पूर्णांक मे {{mvar|n}} [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)|स्वतंत्रता की कोटियो]] की संख्या है। कभी-कभी इसे {{math|''W''(''V'', ''p'', ''n'')}} लिखा जाता है और {{math|''n'' ≥ ''p''}} के लिए आव्यूह {{mvar|S}} व्युत्क्रमणीय है यदि {{mvar|V}} व्युत्क्रमणीय है तो प्रायिकता 1 होती है।
-अगर {{math|''p'' {{=}} ''V'' {{=}} 1}} तो यह वितरण एक [[ची-वर्ग वितरण]] है {{mvar|n}} स्वतंत्रता की कोटियां।
+यदि {{math|''p'' {{=}} ''V'' {{=}} 1}} तो यह वितरण स्वतंत्रता की n कोटि वाला [[ची-वर्ग वितरण]] है।
 == घटना ==
-विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से नमूने के लिए नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण में [[संभावना-अनुपात परीक्षण]]ों में यह अक्सर होता है। यह [[ यादृच्छिक मैट्रिक्स ]] के वर्णक्रमीय सिद्धांत में भी उत्पन्न होता है{{Citation needed|date=October 2010}} और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में।<ref>{{cite book |last=Gelman |first=Andrew |date=2003 |title=बायेसियन डेटा विश्लेषण|url=http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/ |publisher=Chapman & Hall |page=582 |isbn=158488388X |access-date=3 June 2015 |location=Boca Raton, Fla. |edition=2nd}}</ref> [[रेले लुप्तप्राय]] एमआईएमओ वायरलेस चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय वायरलेस संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।<ref>{{cite journal| last=Zanella| first=A.|author2=Chiani, M. |author3=Win, M.Z. |title=विशआर्ट मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू के सीमांत वितरण पर| journal=IEEE Transactions on Communications|date=April 2009| volume=57| issue=4| pages=1050–1060 | doi=10.1109/TCOMM.2009.04.070143| url=https://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/66900/1/Zanella-2009-On%20the%20Marginal%20Distribution%20of%20the%20Eigenvalues%20of%20Wishart%20Matrices.pdf| hdl=1721.1/66900| s2cid=12437386| hdl-access=free}}</ref>
+विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य वितरण से प्रतिरूप के लिए सहप्रसरण आव्यूह के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। प्रायः बहुचर सांख्यिकीय विश्लेषण में [[संभावना-अनुपात परीक्षण|संभावना-अनुपात]] परीक्षण होता है।<ref>{{cite book |last=Gelman |first=Andrew |date=2003 |title=बायेसियन डेटा विश्लेषण|url=http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/ |publisher=Chapman & Hall |page=582 |isbn=158488388X |access-date=3 June 2015 |location=Boca Raton, Fla. |edition=2nd}}</ref> यह [[ यादृच्छिक मैट्रिक्स |यादृच्छिक आव्यूह]] के वर्णक्रमीय सिद्धांत और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में भी उत्पन्न होता है।{{Citation needed|date=October 2010}} [[रेले लुप्तप्राय]] एमआईएमओ तार रहित चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय तार रहित संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।<ref>{{cite journal| last=Zanella| first=A.|author2=Chiani, M. |author3=Win, M.Z. |title=विशआर्ट मेट्रिसेस के आइगेनवैल्यू के सीमांत वितरण पर| journal=IEEE Transactions on Communications|date=April 2009| volume=57| issue=4| pages=1050–1060 | doi=10.1109/TCOMM.2009.04.070143| url=https://dspace.mit.edu/bitstream/1721.1/66900/1/Zanella-2009-On%20the%20Marginal%20Distribution%20of%20the%20Eigenvalues%20of%20Wishart%20Matrices.pdf| hdl=1721.1/66900| s2cid=12437386| hdl-access=free}}</ref>
+== संभाव्यता घनत्व फलन ==
+[[File:Spectral density of Wishart-Laguerre ensemble (8, 15).png|thumb|378x378px|विशार्ट-लागुएरे समुच्चय का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15) के चित्र 1 का पुनर्निर्माण <ref>{{Cite journal |last=Livan |first=Giacomo |last2=Vivo |first2=Pierpaolo |date=2011 |title=Moments of Wishart-Laguerre and Jacobi ensembles of random matrices: application to the quantum transport problem in chaotic cavities |url=http://arxiv.org/abs/1103.2638 |journal=Acta Physica Polonica B |volume=42 |issue=5 |pages=1081 |doi=10.5506/APhysPolB.42.1081 |issn=0587-4254}}</ref>.]]विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व फलन द्वारा निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:
+माना कि {{math|'''X'''}} यादृच्छिक चर का एक {{math|''p'' × ''p''}} सममित आव्यूह है जो [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक अर्ध-निश्चित]] है। माना कि {{math|'''V'''}} आकार का एक {{math|''p'' × ''p''}} सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है।
-== संभाव्यता घनत्व समारोह ==
+यदि {{math|''n'' ≥ ''p''}}, {{math|'''X'''}} का विशार्ट वितरण स्वतंत्रता की {{mvar|n}} कोटि के साथ है तब इसमें संभाव्यता घनत्व फलन है:
-[[File:Spectral density of Wishart-Laguerre ensemble (8, 15).png|thumb|378x378px|विशार्ट-लागुएरे एनसेंबल का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15)। के चित्र 1 का पुनर्निर्माण <ref>{{Cite journal |last=Livan |first=Giacomo |last2=Vivo |first2=Pierpaolo |date=2011 |title=Moments of Wishart-Laguerre and Jacobi ensembles of random matrices: application to the quantum transport problem in chaotic cavities |url=http://arxiv.org/abs/1103.2638 |journal=Acta Physica Polonica B |volume=42 |issue=5 |pages=1081 |doi=10.5506/APhysPolB.42.1081 |issn=0587-4254}}</ref>.]]विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व समारोह द्वारा [[लक्षण वर्णन (गणित)]] किया जा सकता है:
-होने देना {{math|'''X'''}} एक हो {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक चर का सममित मैट्रिक्स जो [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित। होने देना {{math|'''V'''}} आकार का एक (निश्चित) सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स हो {{math|''p'' × ''p''}}.
-तो अगर {{math|''n'' ≥ ''p''}}, {{math|'''X'''}} के साथ विशार्ट वितरण है {{mvar|n}} स्वतंत्रता की डिग्री अगर इसमें प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है
 :<math> f_{\mathbf X} (\mathbf X) = \frac{1}{2^{np/2} \left|{\mathbf V}\right|^{n/2} \Gamma_p\left(\frac {n}{2}\right ) }{\left|\mathbf{X}\right|}^{(n-p-1)/2} e^{-\frac{1}{2}\operatorname{tr}({\mathbf V}^{-1}\mathbf{X})}</math>
-कहाँ <math>\left|{\mathbf X}\right|</math> का निर्धारक है <math>\mathbf X</math> और {{math|Γ<sub>''p''</sub>}} बहुभिन्नरूपी गामा फलन के रूप में परिभाषित है
+जहां <math>\left|{\mathbf X}\right|</math> का निर्धारक <math>\mathbf X</math> है और {{math|Γ<sub>''p''</sub>}} बहुचर गामा फलन है जिसे परिभाषित किया गया है:
 :<math>\Gamma_p \left (\frac n 2 \right )= \pi^{p(p-1)/4}\prod_{j=1}^p \Gamma\left( \frac{n}{2} - \frac{j-1}{2} \right ).</math>
-ऊपर का घनत्व सभी का संयुक्त घनत्व नहीं है <math>p^2</math> यादृच्छिक मैट्रिक्स के तत्व {{math|'''X'''}} (ऐसा {{nowrap|<math>p^2</math>-dimensional}समरूपता की कमी के कारण } घनत्व मौजूद नहीं है <math>X_{ij}=X_{ji}</math>), बल्कि यह का संयुक्त घनत्व है <math>p(p+1)/2</math> तत्वों <math>X_{ij}</math> के लिए <math>i\le j</math> (,<ref name=Wishart />पृष्ठ 38). साथ ही, उपरोक्त घनत्व सूत्र केवल सकारात्मक निश्चित आव्यूहों पर लागू होता है <math>\mathbf x;</math> अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर है।
+उपरोक्त घनत्व यादृच्छिक आव्यूह {{math|'''X'''}} के सभी <math>p^2</math>तत्वों का संयुक्त घनत्व नहीं है ऐसा <math>p^2</math>आयामी घनत्व समरूपता बाधाओं <math>X_{ij}=X_{ji}</math> के कारण सम्मिलित नहीं है लेकिन यह <math>p^2</math> के लिए <math>p(p+1)/2</math> तत्वों <math>X_{ij}</math> का संयुक्त घनत्व है। इसके अतिरिक्त, उपरोक्त घनत्व सूत्र <math>\mathbf x</math> केवल धनात्मक निश्चित आव्यूहों पर प्रयुक्त होता है अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर होता है।
 === वर्णक्रमीय घनत्व ===
-आइगेनवैल्यू के लिए ज्वाइंट-आइगेनवैल्यू डेंसिटी <math>\lambda_1,\dots , \lambda_p\ge 0</math> एक यादृच्छिक मैट्रिक्स का <math> \mathbf{X}\sim W_p(\mathbf{I},n)</math> है,<ref>{{cite book |last=Muirhead |first=Robb J. |date=2005 |title=बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय सिद्धांत के पहलू|publisher=Wiley Interscience |isbn=0471769851 |edition=2nd}}</ref><ref name="Anderson" />
+आइगेन मान के लिए संयुक्त-आइगेन मान घनत्व <math>\lambda_1,\dots , \lambda_p\ge 0</math> एक यादृच्छिक आव्यूह <math> \mathbf{X}\sim W_p(\mathbf{I},n)</math> है,<ref>{{cite book |last=Muirhead |first=Robb J. |date=2005 |title=बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय सिद्धांत के पहलू|publisher=Wiley Interscience |isbn=0471769851 |edition=2nd}}</ref><ref name="Anderson">{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd
+ | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 259 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref>
 : <math>c_{n,p}e^{-\frac{1}{2}\sum_i\lambda_i}\prod \lambda_i^{(n-p-1)/2}\prod_{i<j}|\lambda_i-\lambda_j|</math>
-कहाँ <math>c_{n,p}</math>एक स्थिरांक है।
+जहाँ <math>c_{n,p}</math>एक स्थिरांक है।
-वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक तक बढ़ाया जा सकता है {{math|''n'' > ''p'' − 1}}. अगर {{math|''n'' ≤ ''p'' − 1}}, तो विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है - इसके बजाय यह एक विलक्षण वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो अंतरिक्ष के निम्न-आयाम उप-स्थान में मान लेता है {{math|''p'' × ''p''}} मैट्रिक्स।<ref name="Uhlig1994">{{Cite journal | doi = 10.1214/aos/1176325375| title = एकवचन विशार्ट और एकवचन बहुभिन्नरूपी बीटा वितरण पर| journal = The Annals of Statistics| volume = 22| pages = 395–405| year = 1994| last1 = Uhlig | first1 = H. | doi-access = free}}</ref>
+वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक {{math|''n'' > ''p'' − 1}} तक बढ़ाया जा सकता है। यदि {{math|''n'' ≤ ''p'' − 1}} विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है लेकिन यह एक अद्वितीय वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो निम्न आयाम उप-समष्टि में {{math|''p'' × ''p''}} आव्यूह है।<ref name="Uhlig1994">{{Cite journal | doi = 10.1214/aos/1176325375| title = एकवचन विशार्ट और एकवचन बहुभिन्नरूपी बीटा वितरण पर| journal = The Annals of Statistics| volume = 22| pages = 395–405| year = 1994| last1 = Uhlig | first1 = H. | doi-access = free}}</ref>
+== [[बायेसियन सांख्यिकी]] के प्रयोग ==
+बायेसियन आंकड़ों में बहुचर सामान्य वितरण के संदर्भ में विशार्ट वितरण शुद्ध आव्यूह {{math|'''Ω''' {{=}} '''Σ'''<sup>−1</sup>}} से पहले संयुग्मी है, जहां {{math|'''Σ'''}} सहप्रसरण आव्यूह है।<ref name="bishop"/>{{rp|135}}
-== [[बायेसियन सांख्यिकी]] में प्रयोग करें ==
-बायेसियन सांख्यिकी में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के संदर्भ में, विशार्ट वितरण सटीक मैट्रिक्स से पहले का संयुग्म है {{math|'''Ω''' {{=}} '''Σ'''<sup>−1</sup>}}, कहाँ {{math|'''Σ'''}} सहप्रसरण मैट्रिक्स है।<ref name="bishop"/>{{rp|135}}
 === मापदंडों का चुनाव ===
-कम से कम जानकारीपूर्ण, उचित विशार्ट प्रायर सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''n'' {{=}} ''p''}}.{{Citation needed|date=June 2014}}
+समुच्चय {{math|''n'' {{=}} ''p''}} सबसे कम सूचनात्मक उपयुक्त विशार्ट वितरण से प्राप्त किया जाता है। जहाँ {{math|''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} का पूर्व माध्य {{math|''n'''''V'''}} है, जो सुझाव देता है कि {{math|'''V'''}} के लिए एक उपयुक्त विकल्प {{math|''n''<sup>−1</sup>'''Σ'''<sub>0</sub><sup>−1</sup>}} होगा, जहां {{math|'''Σ'''<sub>0</sub>}} सहप्रसरण आव्यूह के लिए पूर्व अनुमान है।{{Citation needed|date=June 2014}}
-का पूर्व माध्य {{math|''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} है {{math|''n'''''V'''}}, यह सुझाव देते हुए कि एक उचित विकल्प {{math|'''V'''}} होगा {{math|''n''<sup>−1</sup>'''Σ'''<sub>0</sub><sup>−1</sup>}}, कहाँ {{math|'''Σ'''<sub>0</sub>}} सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए कुछ पूर्व अनुमान है।
 == गुण ==
 === लॉग-अपेक्षा ===
-निम्नलिखित सूत्र [[बेयस नेटवर्क]] के लिए वेरिएबल बेयस डेरिवेशन में एक भूमिका निभाता है
+निम्नलिखित सूत्र विशार्ट वितरण से संबद्ध [[बेयस नेटवर्क]] के लिए चर बेयस व्युत्पन्न में एक भूमिका निभाता है:<ref name="bishop"/>{{rp|693}}
-विशार्ट वितरण को शामिल करना:<ref name="bishop"/>{{rp|693}}
 :<math>\operatorname{E}[\, \ln\left|\mathbf{X}\right|\, ] =  \psi_p\left(\frac n 2\right) + p \, \ln(2) + \ln|\mathbf{V}|</math>
-कहाँ <math>\psi_p</math> बहुभिन्नरूपी डिगामा फ़ंक्शन है (बहुभिन्नरूपी गामा फ़ंक्शन के लॉग का व्युत्पन्न)।
+जहाँ <math>\psi_p</math> बहुचर गामा फलन के लघुगणक का व्युत्पन्न फलन है।
-=== लॉग-विचरण ===
+=== लॉग-भिन्नता ===
-बायेसियन सांख्यिकी में निम्न विचरण संगणना सहायक हो सकती है:
+बायेसियन सांख्यिकी में निम्न सहप्रसरण गणना सहायक हो सकती है:
 : <math>\operatorname{Var}\left[\, \ln\left|\mathbf{X}\right| \,\right]=\sum_{i=1}^p \psi_1\left(\frac{n+1-i} 2\right)</math>
-कहाँ <math>\psi_1</math> त्रिगामा कार्य है। यह विशार्ट रैंडम वेरिएबल की फिशर जानकारी की गणना करते समय सामने आता है।
+जहाँ <math>\psi_1</math> त्रिगामा फलन है। यह विशार्ट अनियमित चर की फिशर जानकारी की गणना करते समय सामने आता है।
 === एंट्रॉपी ===
@@ Line 96: / Line 90: @@
 :<math>\operatorname{H}\left[\, \mathbf{X} \,\right] = -\ln \left( B(\mathbf{V},n) \right) -\frac{n-p-1}{2} \operatorname{E}\left[\, \ln\left|\mathbf{X}\right|\,\right] + \frac{np}{2}</math>
-कहाँ {{math|''B''('''V''', ''n'')}} वितरण का [[सामान्यीकरण स्थिरांक]] है:
+जहाँ {{math|''B''('''V''', ''n'')}} वितरण का [[सामान्यीकरण स्थिरांक]] है:
 :<math>B(\mathbf{V},n) = \frac{1}{\left|\mathbf{V}\right|^{n/2} 2^{np/2}\Gamma_p\left(\frac n 2 \right)}.</math>
@@ Line 110: / Line 104: @@
 \end{align}
 </math>
+=== अनुप्रस्थ-एन्ट्रॉपी ===
+पैरामीटर के साथ दो विशार्ट वितरण <math>p_0</math> की अनुप्रस्थ एंट्रोपी <math>n_0, V_0</math> और <math>p_1</math> पैरामीटर के साथ <math>n_1, V_1</math> है:
-=== क्रॉस-एन्ट्रॉपी ===
-दो विशार्ट वितरणों की [[क्रॉस एन्ट्रापी]] <math>p_0</math> मापदंडों के साथ <math>n_0, V_0</math> और <math>p_1</math> मापदंडों के साथ <math>n_1, V_1</math> है
 :<math>\begin{align}
@@ Line 122: / Line 114: @@
 &=-\tfrac{n_1}{2} \log \left|\, \mathbf{V}_1^{-1} \mathbf{V}_0\, \right| +  \tfrac{p_1+1} 2 \log \left|\mathbf{V}_0\right| + \tfrac{n_0} 2 \operatorname{tr}\left(\, \mathbf{V}_1^{-1} \mathbf{V}_0\right)+ \log \Gamma_{p_1}\left(\tfrac{n_1}{2}\right) - \tfrac{n_1 - p_1 - 1}{2} \psi_{p_0}(\tfrac{n_0}{2})  +  \tfrac{n_1(p_1 - p_0)+p_0(p_1+1)}{2} \log 2
 \end{align}</math>
-ध्यान दें कि कब <math>p_0=p_1</math> और <math>n_0=n_1</math>हम एंट्रॉपी पुनर्प्राप्त करते हैं।
+ध्यान दें कि जब <math>p_0=p_1</math> और <math>n_0=n_1</math>एंट्रॉपी को पुनर्प्राप्त किया जाता हैं।
 === केएल-विचलन ===
-कुल्बैक-लीब्लर विचलन <math>p_1</math> से <math>p_0</math> है
+कुल्बैक-लीब्लर विचलन <math>p_1</math>से <math>p_0</math> है:
 :<math>
@@ Line 133: / Line 125: @@
 \end{align}
 </math>
+=== विशेषता फलन ===
+विशार्ट वितरण का विशेषता फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है:
-=== विशेषता समारोह ===
-विशार्ट वितरण का अभिलाक्षणिक फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है
 :<math>\Theta \mapsto \operatorname{E}\left[ \, \exp\left( \,i \operatorname{tr}\left(\,\mathbf{X}{\mathbf\Theta}\,\right)\,\right)\, \right] = \left|\, 1 - 2i\, {\mathbf\Theta}\,{\mathbf V}\, \right|^{-n/2} </math>
-कहाँ {{math|E[⋅]}} अपेक्षा दर्शाता है। (यहाँ {{math|Θ}} समान आयामों वाला कोई भी मैट्रिक्स है {{math|'''V'''}}, {{Math|1}} पहचान मैट्रिक्स को इंगित करता है, और {{mvar|i}} का वर्गमूल है{{Math|−1}}).<ref name="Anderson">{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd
+जहाँ {{math|E[⋅]}} अपेक्षा दर्शाता है और {{math|Θ}} समान आयामों वाला कोई आव्यूह है क्योंकि {{math|'''V'''}}, {{Math|1}} पहचान आव्यूह को इंगित करता है और {{mvar|i}} {{Math|−1}} एक वर्गमूल है।<ref name="Anderson" /> इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए अपेक्षाकृत सावधानी की आवश्यकता होती है, क्योंकि गैर-पूर्णांक समिश्र [[रीमैन सतह]] होती हैं जब {{Mvar|n}} पूर्णांक नहीं होता है, तो सही शाखा को [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के माध्यम से निर्धारित किया जाता है।<ref>{{cite arXiv |last=Mayerhofer |first=Eberhard |date=2019-01-27 |title=विशार्ट विशेषता समारोह में सुधार|class=math.PR |eprint=1901.09347 }}</ref>
- | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 259 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref> इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए थोड़ी सावधानी बरतने की आवश्यकता है, क्योंकि गैर-पूर्णांक जटिल शक्तियाँ [[रीमैन सतह]] हैं; कब {{Mvar|n}} गैर-पूर्णांक है, [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के माध्यम से सही शाखा निर्धारित की जानी चाहिए।<ref>{{cite arXiv |last=Mayerhofer |first=Eberhard |date=2019-01-27 |title=विशार्ट विशेषता समारोह में सुधार|class=math.PR |eprint=1901.09347 }}</ref>
 == प्रमेय ==
-यदि एक {{math|''p'' × ''p''}} यादृच्छिक मैट्रिक्स {{math|'''X'''}} के साथ विशार्ट वितरण है {{mvar|m}} स्वतंत्रता और विचरण मैट्रिक्स की डिग्री {{math|'''V'''}} - लिखना <math>\mathbf{X}\sim\mathcal{W}_p({\mathbf V},m)</math> - और {{math|'''C'''}} एक है {{math|''q'' × ''p''}} रैंक का मैट्रिक्स (मैट्रिक्स सिद्धांत) {{mvar|q}}, तब <ref name="rao">{{cite book |last=Rao |first=C. R. |title=रैखिक सांख्यिकीय निष्कर्ष और इसके अनुप्रयोग|publisher=Wiley |year=1965 |page=535 }}</ref>
+यदि {{math|''p'' × ''p''}} अनियमित आव्यूह {{math|'''X'''}} की विशार्ट वितरण स्वतंत्रता की कोटि {{mvar|m}} और प्रसरण आव्यूह {{math|'''V'''}} है तो <math>\mathbf{X}\sim\mathcal{W}_p({\mathbf V},m)</math> मे {{math|'''C'''}} और {{mvar|q}} का आव्यूह {{math|''q'' × ''p''}} है:<ref name="rao">{{cite book |last=Rao |first=C. R. |title=रैखिक सांख्यिकीय निष्कर्ष और इसके अनुप्रयोग|publisher=Wiley |year=1965 |page=535 }}</ref>
 :<math>\mathbf{C}\mathbf{X}{\mathbf C}^T \sim \mathcal{W}_q\left({\mathbf C}{\mathbf V}{\mathbf C}^T,m\right).</math>
+=== उपप्रमेय 1 ===
+यदि {{math|'''z'''}} गैर-शून्य {{math|''p'' × 1}} अचर सदिश है, तब<ref name="rao"/>
-=== कोरोलरी 1 ===
-अगर {{math|'''z'''}} एक अशून्य है {{math|''p'' × 1}} निरंतर वेक्टर, फिर:<ref name="rao"/>
 :<math>\sigma_z^{-2} \, {\mathbf z}^T\mathbf{X}{\mathbf z} \sim \chi_m^2.</math>
-इस मामले में, <math>\chi_m^2</math> ची-वर्ग वितरण है और <math>\sigma_z^2={\mathbf z}^T{\mathbf V}{\mathbf z}</math> (ध्यान दें कि <math>\sigma_z^2</math> एक स्थिरांक है; यह सकारात्मक है क्योंकि {{math|'''V'''}} सकारात्मक निश्चित है)।
+इस स्थिति में <math>\chi_m^2</math> ची-वर्ग वितरण है और <math>\sigma_z^2={\mathbf z}^T{\mathbf V}{\mathbf z}</math> मे ध्यान दें कि <math>\sigma_z^2</math> स्थिरांक है यह धनात्मक है क्योंकि {{math|'''V'''}} धनात्मक निश्चित है।
 === उपप्रमेय 2 ===
-मामले पर विचार करें जहां {{math|'''z'''<sup>''T''</sup> {{=}} (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)}} (वह यह है कि {{mvar|j}}-वाँ तत्व एक है और अन्य सभी शून्य)। फिर उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है
+उस स्थिति पर विचार करें जहां {{math|'''z'''<sup>''T''</sup> {{=}} (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)}} अर्थात, j-वां पद 1 है और अन्य सभी शून्य हैं तब उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है:
 :<math>\sigma_{jj}^{-1} \, w_{jj}\sim \chi^2_m</math>
-मैट्रिक्स के विकर्ण पर प्रत्येक तत्व का सीमांत वितरण देता है।
+आव्यूह के विकर्ण पर प्रत्येक पद का उपरोक्त सीमांत वितरण है।
-[[जॉर्ज सेबर]] बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुभिन्नरूपी ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि [[ऑफ-विकर्ण तत्व]]ों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर उस मामले के लिए बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी शब्द को आरक्षित करना पसंद करता है जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही परिवार के हों।<ref>{{cite book | last = Seber | first = George A. F. | title = बहुभिन्नरूपी अवलोकन| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | year = 2004 | isbn = 978-0471691211 }}</ref>
+[[जॉर्ज सेबर]] बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुचर ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि [[ऑफ-विकर्ण तत्व|सवृत-विकर्ण]] तत्वों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर बहुचर शब्द को उस स्थिति के लिए आरक्षित करते हैं जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही समूह के होते है।<ref>{{cite book | last = Seber | first = George A. F. | title = बहुभिन्नरूपी अवलोकन| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | year = 2004 | isbn = 978-0471691211 }}</ref>
+== बहुचर सामान्य वितरण का अनुमानक ==
+विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य वितरण के सहप्रसरण आव्यूह के अधिकतम-संभावना अनुमानक (एमएलई) का प्रतिरूप वितरण है।<ref>{{cite book |first1=C. |last1=Chatfield |first2=A. J. |last2=Collins |year=1980 |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण का परिचय|location=London |publisher=Chapman and Hall |pages=[https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 103–108] |isbn=0-412-16030-7 |url=https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 }}</ref> एमएलई की व्युत्पत्ति [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] का उपयोग करती है।
-== बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुमानक ==
-विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सहप्रसरण मैट्रिक्स की अधिकतम संभावना|अधिकतम-संभावना अनुमानक (MLE) का नमूना वितरण है।<ref>{{cite book |first1=C. |last1=Chatfield |first2=A. J. |last2=Collins |year=1980 |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण का परिचय|location=London |publisher=Chapman and Hall |pages=[https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 103–108] |isbn=0-412-16030-7 |url=https://archive.org/details/introductiontomu0000chat/page/103 }}</ref> सहप्रसरण मैट्रिसेस का अनुमान [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] का उपयोग करता है।
 == बार्टलेट अपघटन ==
-एक मैट्रिक्स का बार्टलेट अपघटन {{math|'''X'''}} एक से {{mvar|p}स्केल मैट्रिक्स के साथ }-विभिन्न विशार्ट वितरण {{math|'''V'''}} और {{mvar|n}} स्वतंत्रता की डिग्री गुणनखंड है:
+अदिश आव्यूह {{math|'''V'''}} और {{mvar|n}} स्वतंत्रता की कोटि के साथ एक {{math|'''V'''}}-अचर विशार्ट वितरण से आव्यूह {{math|'''X'''}} का बार्टलेट अपघटन गुणनखंड है:
 :<math>\mathbf{X} = {\textbf L}{\textbf A}{\textbf A}^T{\textbf L}^T,</math>
-कहाँ {{math|'''L'''}} का [[चोल्स्की अपघटन]] है {{math|'''V'''}}, और:
+जहाँ {{math|'''L'''}}, {{math|'''V'''}} का [[चोल्स्की अपघटन]] गुणांक है:
 :<math>\mathbf A = \begin{pmatrix}
@@ Line 179: / Line 162: @@
 n_{p1} & n_{p2} & n_{p3} &\cdots & c_p
 \end{pmatrix}</math>
-कहाँ <math>c_i^2 \sim \chi^2_{n-i+1}</math> और {{math|''n<sub>ij</sub>'' ~ ''N''(0, 1)}} स्वतंत्र रूप से।<ref>{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 257 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref> यह विशार्ट वितरण से यादृच्छिक नमूने प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करता है।<ref>{{cite journal |title=Algorithm AS 53: Wishart Variate Generator |first1= W. B. |last1=Smith |first2= R. R. |last2=Hocking |journal=[[Journal of the Royal Statistical Society, Series C]] |volume=21 |issue=3 |year=1972 |pages=341&ndash;345 |jstor=2346290}}</ref>
+जहाँ <math>c_i^2 \sim \chi^2_{n-i+1}</math> और {{math|''n<sub>ij</sub>'' ~ ''N''(0, 1)}} स्वतंत्र रूप मे विशार्ट वितरण से यादृच्छिक प्रतिरूप प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करते है।<ref>{{cite book | last = Anderson | first = T. W. | author-link = T. W. Anderson | title = बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण का एक परिचय| publisher = [[Wiley Interscience]] | edition = 3rd | location = Hoboken, N. J. | year = 2003 | page = 257 | isbn = 0-471-36091-0 }}</ref><ref>{{cite journal |title=Algorithm AS 53: Wishart Variate Generator |first1= W. B. |last1=Smith |first2= R. R. |last2=Hocking |journal=[[Journal of the Royal Statistical Society, Series C]] |volume=21 |issue=3 |year=1972 |pages=341&ndash;345 |jstor=2346290}}</ref>
-== मैट्रिक्स तत्वों का सीमांत वितरण ==
+== आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण ==
-होने देना {{math|'''V'''}} एक हो {{math|2 × 2}} [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक]] द्वारा अभिलक्षित प्रसरण मैट्रिक्स {{math|−1 < ''ρ'' < 1}} और {{math|'''L'''}} इसका निचला चॉल्स्की कारक:
+माना कि {{math|'''V'''}} एक {{math|2 × 2}} [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक]] {{math|−1 < ''ρ'' < 1}} और {{math|'''L'''}} इसके चॉल्स्की कारक द्वारा विशेषता है:
 :<math>\mathbf{V} = \begin{pmatrix}
@@ Line 194: / Line 176: @@
 \rho \sigma_2 & \sqrt{1-\rho^2} \sigma_2
 \end{pmatrix}</math>
-उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम पाते हैं कि एक यादृच्छिक नमूना {{math|2 × 2}} विशार्ट वितरण है
+उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि {{math|2 × 2}} विशार्ट वितरण का एक यादृच्छिक फलन है:
 :<math>\mathbf{X} = \begin{pmatrix}
@@ Line 200: / Line 182: @@
 \sigma_1 \sigma_2 \left (\rho c_1^2 + \sqrt{1-\rho^2} c_1 n_{21} \right ) & \sigma_2^2 \left(\left (1-\rho^2 \right ) c_2^2 + \left (\sqrt{1-\rho^2} n_{21} + \rho c_1 \right )^2 \right)
 \end{pmatrix}</math>
-विकर्ण तत्व, स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, अनुसरण करते हैं {{math|''χ''<sup>2</sup>}} के साथ वितरण {{mvar|n}} स्वतंत्रता की डिग्री (द्वारा स्केल किया गया {{math|''σ''<sup>2</sup>}}) आशा के अनुसार। ऑफ-विकर्ण तत्व कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक है {{math|''χ''<sup>2</sup>}} वितरण। ऑफ-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए भिन्नता-गामा वितरण है
+विकर्ण तत्व सबसे स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, स्वतंत्रता की कोटि {{mvar|n}} के साथ {{math|''χ''<sup>2</sup>}} वितरण का अनुसारण करते हैं जिसे {{math|''σ''<sup>2</sup>}} द्वारा अदिश किया गया है जैसा कि अपेक्षित संवृत-विकर्ण तत्व अपेक्षाकृत कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक {{math|''χ''<sup>2</sup>}} वितरण है। संवृत-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए विचरण-गामा वितरण है:
 :<math>f(x_{12}) =  \frac{\left | x_{12} \right |^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \sqrt{2^{n-1} \pi \left (1-\rho^2 \right ) \left (\sigma_1 \sigma_2 \right )^{n+1}}} \cdot K_{\frac{n-1}{2}} \left(\frac{\left |x_{12} \right |}{\sigma_1 \sigma_2 \left (1-\rho^2 \right )}\right) \exp{\left(\frac{\rho x_{12}}{\sigma_1 \sigma_2 (1-\rho^2)}\right)}</math>
-कहाँ {{math|''K<sub>ν</sub>''(''z'')}} [[दूसरी तरह का संशोधित बेसेल कार्य]] है।<ref>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = Karl | author1-link = Karl Pearson | last2 = Jeffery | first2 = G. B. | author2-link = George Barker Jeffery | last3 = Elderton | first3 = Ethel M. | author3-link = Ethel M. Elderton | title = अनिश्चित रूप से बड़ी सामान्य जनसंख्या से लिए गए नमूनों में, पहले उत्पाद के वितरण पर क्षण-गुणांक| journal = Biometrika | volume = 21 | pages = 164–201 | publisher = Biometrika Trust | date = December 1929  | issue = 1/4 | jstor = 2332556 | doi = 10.2307/2332556}}</ref> उच्च आयामों के लिए समान परिणाम मिल सकते हैं, लेकिन ऑफ-डायगोनल सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तेजी से जटिल हो जाती है। गैर-केंद्रीय मामले में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्य को लिखना संभव है (अनिवार्य रूप से क्रेग की nth शक्ति (1936)<ref>{{cite journal | last = Craig | first = Cecil C. | title = xy के फ्रीक्वेंसी फंक्शन पर| journal = Ann. Math. Statist. | volume = 7 | pages = 1–15 | year = 1936 | url = http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177732541 | doi = 10.1214/aoms/1177732541| doi-access = free }}</ref> समीकरण 10) हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल कार्यों का एक अनंत योग बन जाता है।
+जहां {{math|''K<sub>ν</sub>''(''z'')}} [[दूसरी तरह का संशोधित बेसेल कार्य|दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन]] है।<ref>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = Karl | author1-link = Karl Pearson | last2 = Jeffery | first2 = G. B. | author2-link = George Barker Jeffery | last3 = Elderton | first3 = Ethel M. | author3-link = Ethel M. Elderton | title = अनिश्चित रूप से बड़ी सामान्य जनसंख्या से लिए गए नमूनों में, पहले उत्पाद के वितरण पर क्षण-गुणांक| journal = Biometrika | volume = 21 | pages = 164–201 | publisher = Biometrika Trust | date = December 1929  | issue = 1/4 | jstor = 2332556 | doi = 10.2307/2332556}}</ref> उच्च आयामों के लिए समान परिणाम प्राप्त हो सकते हैं, लेकिन संवृत-विकर्ण सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तीव्रता से समिश्र हो जाती है। गैर-केंद्रीय स्थिति में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन (अनिवार्य रूप से क्रेग की nवीं घात (1936) समीकरण 10) को लिखना संभव है। हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल फलनों का एक अनंत योग बन जाता है।<ref>{{cite journal | last = Craig | first = Cecil C. | title = xy के फ्रीक्वेंसी फंक्शन पर| journal = Ann. Math. Statist. | volume = 7 | pages = 1–15 | year = 1936 | url = http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177732541 | doi = 10.1214/aoms/1177732541| doi-access = free }}</ref>
 == आकृति पैरामीटर की सीमा ==
-इसे दिखाया जा सकता है <ref>{{cite journal |doi=10.1214/aop/1176990455 |last1=Peddada and Richards |first1=Shyamal Das |last2=Richards |first2=Donald St. P. |title=विशार्ट डिस्ट्रीब्यूशन के विशिष्ट कार्य पर एम. एल. ईटन के अनुमान का प्रमाण|journal=[[Annals of Probability]] |volume=19 |issue=2 |pages=868&ndash;874 |year=1991 |doi-access=free }}</ref> कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है अगर और केवल अगर आकार पैरामीटर {{math|'''n'''}} समुच्चय के अंतर्गत आता है
+यह दिखाया जा सकता है कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है यदि और केवल यदि आकार पैरामीटर {{math|'''n'''}} समुच्चय से संबंधित है:<ref>{{cite journal |doi=10.1214/aop/1176990455 |last1=Peddada and Richards |first1=Shyamal Das |last2=Richards |first2=Donald St. P. |title=विशार्ट डिस्ट्रीब्यूशन के विशिष्ट कार्य पर एम. एल. ईटन के अनुमान का प्रमाण|journal=[[Annals of Probability]] |volume=19 |issue=2 |pages=868&ndash;874 |year=1991 |doi-access=free }}</ref>
 :<math>\Lambda_p:=\{0,\ldots,p-1\}\cup \left(p-1,\infty\right).</math>
-इस सेट का नाम गिंदिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पेश किया था<ref>{{cite journal |doi=10.1007/BF01078179 |first=S.G. |last=Gindikin |title=सजातीय डोमेन में अपरिवर्तनीय सामान्यीकृत कार्य|journal=[[Funct. Anal. Appl.]] |volume=9 |issue=1 |pages=50&ndash;52 |year=1975|s2cid=123288172 }}</ref> सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में। हालाँकि, Gindikin पहनावा के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात्,
+इस समुच्चय का नाम गिंडिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में इसे प्रस्तुत किया था।<ref>{{cite journal |doi=10.1007/BF01078179 |first=S.G. |last=Gindikin |title=सजातीय डोमेन में अपरिवर्तनीय सामान्यीकृत कार्य|journal=[[Funct. Anal. Appl.]] |volume=9 |issue=1 |pages=50&ndash;52 |year=1975|s2cid=123288172 }}</ref> हालाँकि, गिंडिकिन समुच्चय के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात् <math>\Lambda_p^*:=\{0, \ldots, p-1\},</math> से संबंधित विशार्ट वितरण में कोई लेबेस्ग घनत्व नहीं है।
-:<math>\Lambda_p^*:=\{0, \ldots, p-1\},</math>
-संबंधित विशार्ट वितरण में कोई लेबेस्ग घनत्व नहीं है।
 == अन्य वितरणों से संबंध ==
-* विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>W_p^{-1}</math>, इस प्रकार है: यदि {{math|'''X''' ~ ''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} और यदि हम चरों का परिवर्तन करते हैं {{math|'''C''' {{=}} '''X'''<sup>−1</sup>}}, तब <math>\mathbf{C}\sim W_p^{-1}(\mathbf{V}^{-1},n)</math>. यह संबंध यह देखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि चर के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान है {{math|{{!}}'''C'''{{!}}<sup>''p''+1</sup>}}, उदाहरण के लिए देखें समीकरण (15.15) में।<ref>{{cite journal |first=Paul S. |last=Dwyer |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में मैट्रिक्स डेरिवेटिव के कुछ अनुप्रयोग|journal=[[Journal of the American Statistical Association|J. Amer. Statist. Assoc.]] |year=1967 |volume=62 |issue=318 |pages=607–625 |doi=10.1080/01621459.1967.10482934 |jstor=2283988 }}</ref>
+* विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है जिसे <math>W_p^{-1}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार यदि {{math|'''X''' ~ ''W<sub>p</sub>''('''V''', ''n'')}} और यदि हम चर {{math|'''C''' {{=}} '''X'''<sup>−1</sup>}} का परिवर्तन करते हैं, तो <math>\mathbf{C}\sim W_p^{-1}(\mathbf{V}^{-1},n)</math> इस संबंध को इस विषय पर ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है कि चरों के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान {{math|{{!}}'''C'''{{!}}<sup>''p''+1</sup>}} है। उदाहरण के लिए समीकरण (15.15) में देखें।<ref>{{cite journal |first=Paul S. |last=Dwyer |title=बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में मैट्रिक्स डेरिवेटिव के कुछ अनुप्रयोग|journal=[[Journal of the American Statistical Association|J. Amer. Statist. Assoc.]] |year=1967 |volume=62 |issue=318 |pages=607–625 |doi=10.1080/01621459.1967.10482934 |jstor=2283988 }}</ref>
-* बायेसियन सांख्यिकी में, विशार्ट वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण की परिशुद्धता (सांख्यिकी) से पहले एक संयुग्म है, जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।<ref name = "bishop">{{cite book |first=C. M. |last=Bishop |title=पैटर्न मान्यता और मशीन प्रवीणता|publisher=Springer |year=2006 }}</ref>
+* बायेसियन आँकड़ों में विशार्ट वितरण बहुचर सामान्य वितरण के शुद्ध पैरामीटर से पहले एक संयुग्म है जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।<ref name = "bishop">{{cite book |first=C. M. |last=Bishop |title=पैटर्न मान्यता और मशीन प्रवीणता|publisher=Springer |year=2006 }}</ref>
-* एक सामान्यीकरण [[बहुभिन्नरूपी गामा वितरण]] है।
+* यह एक सामान्यीकरण [[बहुभिन्नरूपी गामा वितरण|बहुचर गामा वितरण]] है।
-* एक अलग प्रकार का सामान्यीकरण [[सामान्य-विशार्ट वितरण]] है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का उत्पाद है।
+* एक अन्य प्रकार का सामान्यीकरण [[सामान्य-विशार्ट वितरण]] है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ यह बहुचर सामान्य वितरण का उत्पाद है।
 == यह भी देखें ==
 {{Colbegin}}
 * ची-वर्ग वितरण
-* [[जटिल विशार्ट वितरण]]
+* [[समिश्र विशार्ट वितरण]]
 * एफ-वितरण
 * गामा वितरण
 * होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
 * व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
-* बहुभिन्नरूपी गामा वितरण
+* बहुचर गामा वितरण
 * छात्र का टी-वितरण
 * विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
@@ Line 242: / Line 221: @@
 {{ProbDistributions|multivariate}}
-{{DEFAULTSORT:Wishart Distribution}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: बहुभिन्नरूपी निरंतर वितरण]] [[Category: सहप्रसरण और सहसंबंध]] [[Category: रैंडम मेट्रिसेस]] [[Category: पूर्व वितरण संयुग्मित करें]] [[Category: घातीय परिवार वितरण]]
+{{DEFAULTSORT:Wishart Distribution}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements|Wishart Distribution]]
-[[Category:Created On 01/06/2023]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from June 2014|Wishart Distribution]]
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+[[Category:पूर्व वितरण संयुग्मित करें|Wishart Distribution]]
+[[Category:बहुभिन्नरूपी निरंतर वितरण|Wishart Distribution]]
+[[Category:रैंडम मेट्रिसेस|Wishart Distribution]]
+[[Category:सहप्रसरण और सहसंबंध|Wishart Distribution]]

Notation	$X ~ W p (V, n)$
Parameters	$n > p - 1$ degrees of freedom (real) $V > 0$ scale matrix ( $p \times p$ pos. def)
Support	$X (p \times p)$ positive definite matrix
PDF	$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )={\frac {\|\mathbf {x} \|^{(n-p-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {x} )/2}}{2^{\frac {np}{2}}\|{\mathbf {V} }\|^{n/2}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}$ $Γ p$ is the multivariate gamma function $tr$ is the trace function
Mean	$\operatorname {E} [X]=n{\mathbf {V} }$
Mode	$(n - p - 1) V$ for $n \geq p + 1$
Variance	$\operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n\left(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj}\right)$
Entropy	see below
CF	$\Theta \mapsto \left\|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right\|^{-{\frac {n}{2}}}$

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विशार्ट वितरण: Difference between revisions

Latest revision as of 15:22, 13 June 2023

परिभाषा

घटना

संभाव्यता घनत्व फलन

वर्णक्रमीय घनत्व

बायेसियन सांख्यिकी के प्रयोग

मापदंडों का चुनाव

गुण

लॉग-अपेक्षा

लॉग-भिन्नता

एंट्रॉपी

अनुप्रस्थ-एन्ट्रॉपी

केएल-विचलन

विशेषता फलन

प्रमेय

उपप्रमेय 1

उपप्रमेय 2

बहुचर सामान्य वितरण का अनुमानक

बार्टलेट अपघटन

आव्यूह तत्वों का सीमांत वितरण

आकृति पैरामीटर की सीमा

अन्य वितरणों से संबंध

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

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