दीर्घ विभाजन: Difference between revisions

[[अंकगणित]] में, दीर्घ विभाजन एक मानक [[विभाजन एल्गोरिथ्म|विभाजन कलन विधि]] है जो बहु-अंकीय हिंदू-अरबी अंकों (स्थितीय संकेतन) को विभाजित करने के लिए उपयुक्त है जो हाथ से प्रदर्शन करने के लिए काफी सरल है। यह [[विभाजन (गणित)|विभाजन]] की समस्या को आसान चरणों की एक श्रृंखला में विभाजित करता है।

जैसा कि सभी विभाजन समस्याओं में, एक संख्या, जिसे भाज्य कहा जाता है, जिसको दूसरे से विभाजित किया जाता है, जिसे वि[[भाजक]] कहा जाता है, जिससे भागफल कहा जाता है। यह सरल चरणों की एक श्रृंखला का पालन करके अव्यवस्थिततः बड़ी संख्या में गणना करने में सक्षम बनाता है।<ref>{{MathWorld | urlname=LongDivision | title= Long Division}}</ref> दीर्घ विभाजन के संक्षिप्त रूप को [[लघु विभाजन]] कहा जाता है, जिसका प्रयोग लगभग सदैव दीर्घ विभाजन के स्थान पर किया जाता है जब भाजक में केवल एक अंक होता है। [[चंकिंग (विभाजन)|खंडीयन]] (जिसे आंशिक भागफल विधि या बधिक विधि के रूप में भी जाना जाता है) यूके में प्रमुख दीर्घ विभाजन का एक कम यांत्रिक रूप है जो विभाजन प्रक्रिया की अधिक समग्र समझ में योगदान देता है।

जबकि संबंधित कलन विधि 12वीं शताब्दी से अस्तित्व में हैं,<ref>{{Cite web|url=http://new.math.uiuc.edu/im2008/rogers/algebra.html|title=इस्लामी गणित|website=new.math.uiuc.edu|access-date=2016-03-31}}</ref> आधुनिक उपयोग में विशिष्ट कलन विधि [[हेनरी ब्रिग्स (गणितज्ञ)|हेनरी ब्रिग्स सी 1600]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{Cite book|title=हेनरी ब्रिग्स - ऑक्सफोर्ड संदर्भ|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110810104516866}}</ref>

सस्ते परिगणक और परिकलक विभाजन की समस्याओं को हल करने का सबसे सामान्य तरीका बन गया हैं, एक पारंपरिक गणितीय अभ्यास को नष्ट कर रहे हैं और कागज और अंकनी प्रविधियों द्वारा ऐसा करने का तरीका दिखाने के शैक्षिक अवसर को कम कर रहे हैं। आंतरिक रूप से, वे उपकरण विभिन्न प्रकार के विभाजन कलन विधि में से एक का उपयोग करते हैं, जो तीव्रता से कार्यों को प्राप्त करने के लिए सन्निकटन और गुणन पर विश्वास करते हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, दीर्घ विभाजन को विशेष रूप से डी-बलोच्चार, या यहां तक ​​कि उन्मूलन के लिए लक्षित किया गया है। स्कूली पाठ्यक्रम, [[सुधार गणित]] द्वारा, हालांकि परंपरागत रूप से चौथी या पांचवीं कक्षा में प्रारंभ किया गया था।<ref>{{Cite web|url=http://www.csun.edu/~vcmth00m/longdivision.pdf|title=The Role of Long Division in the K-12 Curriculum|last=Klein, Milgram|website=CiteSeer|access-date=June 21, 2019}}</ref>

अंग्रेजी बोलने वाले देशों में, दीर्घ विभाजन में [[विभाजन स्लैश|विभाजन काट]] {{angle brackets|[[∕]]}} या [[विभाजन चिह्न]] {{angle brackets|÷}} प्रतीकों का उपयोग नहीं करता है बल्कि इसके बजाय एक दृश्य का निर्माण करता है।<ref>{{citation |last=Nicholson |first=W. Keith |title=Introduction to Abstract Algebra, ''4th ed.'' |publisher=John Wiley & Sons |date=2012 |page=[https://books.google.com/books?id=w-GaLpapRcEC&pg=PA206 206] }}.</ref> भाजक को दाएँ कोष्ठक {{angle brackets|[[)]]}} या[[ ऊर्ध्वाधर बार | ऊर्ध्वाधर रेखा]] {{angle brackets|[[vertical bar|{{!}}]]}} द्वारा भाज्य से पृथक किया जाता है; भाज्य को रेखा कोष्ठक (अर्थात, एक [[ overbar |ओवरबार]]) द्वारा भागफल से पृथक किया जाता है। इन दो प्रतीकों के संयोजन को कभी-कभी दीर्घ विभाजन प्रतीक या विभाजन कोष्ठक के रूप में जाना जाता है।<ref>{{citation |title=Wolfram MathWorld |contribution-url=http://mathworld.wolfram.com/LongDivisionSymbol.html |contribution=Long Division Symbol |url=http://wolfram.com |access-date=11 February 2016 }}.</ref> यह 18वीं शताब्दी में पूर्व के एकल-पंक्ति संकेतन से विकसित हुआ था जो भाज्य को बाएं कोष्ठक द्वारा भागफल से पृथक करता था।<ref>{{citation |contribution=Symbols of Operation |contribution-url=http://jeff560.tripod.com/operation.html |date=2010 |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |last=Miller |first=Jeff }}.</ref><ref>{{citation |last=Hill|first=John|title=Arithmetick both in the theory and practice|publisher=Straben et al.|year=1772|edition=11th|orig-year=First published 1712|place=London|url=http://digital.library.pitt.edu/cgi-bin/t/text/pageviewer-idx?c=nietz;cc=nietz;idno=00abf4892m;node=00abf4892m%3A1.11;frm=frameset;view=image;seq=3;page=root;size=s|access-date=12 February 2016|page=200}}</ref>

भाजक द्वारा भाज्य के सबसे बाएं अंक को विभाजित करके प्रक्रिया प्रारंभ की जाती है। भागफल (एक पूर्णांक तक वर्तुल) परिणाम का पहला अंक बन जाता है और [[शेष]] की गणना की जाती है (यह चरण घटाव के रूप में व्याख्या की जाती है)। यह शेषफल तब आगे बढ़ता है जब प्रक्रिया को भाज्य के निम्नलिखित अंक पर दोहराया जाता है (शेष के अगले अंक को 'नीचे लाने' के रूप में व्याख्या की जाती है)। जब सभी अंक संसाधित हो जाते हैं और कोई शेष नहीं रहता है, तो प्रक्रिया पूर्ण हो जाती है।

       <u>1<span style="रंग:" हरा;>2</span><span style="रंग:" नीला;>5</span></u>     (स्पष्टीकरण)

       <u>4</u>       ( 4 × <span style="color:" red;>1</span> = 4)

      10      ( 5 - 4 = <span style="color:" darkorange;>1</span>)

      <u>8</u>     ( 4 × <span style="color:" green;>2</span> = 8)

      20    (10 - 8 = <span style="color:" darkcyan;>2</span>)

      <u>20</u>     ( 4 × <span style="color:" blue;>5</span> = 20)

        0     (20 - 20 = 0)

[[File:Long division.JPG|thumb|परिगणक के बिना प्रदर्शन किए गए दीर्घ विभाजन का उदाहरण।]]चरणों का अधिक विस्तृत विश्लेषण इस प्रकार है:

# भाज्य 500 के बाएं छोर से प्रारंभ होने वाले अंकों का सबसे छोटा क्रम ज्ञात करें, जिसमें भाजक 4 कम-से-कम एक बार जाता है। इस स्थिति में, यह केवल पहला अंक 5 है। भाजक 4 को 5 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकने वाला सबसे बड़ा नंबर 1 है, इसलिए भागफल का निर्माण प्रारंभ करने के लिए अंक 1 को 5 से ऊपर रखा जाता है।

# अगला, 1 को भाजक 4 से गुणा किया जाता है, सबसे बड़ी पूर्ण संख्या प्राप्त करने के लिए, जो 5 (इस स्थिति में 4) से अधिक के बिना भाजक 4 का गुणक है। इस 4 को फिर 5 के नीचे रखा जाता है और 5 से घटाया जाता है, शेष 1 प्राप्त करने के लिए, जिसे 4 के नीचे 5 के नीचे रखा जाता है।

# बाद में, भाज्य में पहले के रूप में अभी तक अप्रयुक्त अंक, इस स्थिति में 5 के बाद पहला अंक 0, सीधे उसके नीचे और शेष 1 के निकट में, संख्या 10 बनाने के लिए अनुकरण किया जाता है।

# इस बिंदु पर निष्कर्ष तक पहुंचने के लिए प्रक्रिया को पर्याप्त बार दोहराया जाता है: सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 10 से अधिक 2  के बिना गुणा किया जा सकता है, इसलिए 2 को दूसरे सबसे बाएं भागफल अंक के रूप में लिखा गया है। इस 2 को भाजक 4 से गुणा करके 8 प्राप्त किया जाता है, जो 4 का सबसे बड़ा गुणक है जो 10 से अधिक नहीं है; इसलिए 8 को 10 के नीचे लिखा जाता है और शेष 2 प्राप्त करने के लिए 10 से 8 घटाया जाता है, जिसे 8 के नीचे रखा जाता है।

# भाज्य के अगले अंक (500 में अंतिम 0) को सीधे उसके नीचे अनुकरण किया जाता है और शेष 2 के निकट में 20 बनता है। तब सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 20 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकता है, जो कि 5 है, ऊपर तीसरे बाएँ भागफल अंक के रूप में रखा गया है। इस 5 को 20 प्राप्त करने के लिए भाजक 4 से गुणा किया जाता है, जिसे नीचे लिखा जाता है और शेष 0 प्राप्त करने के लिए उपस्थिता 20 से घटाया जाता है, जिसे बाद में दूसरे 20 के नीचे लिखा जाता है।

# इस बिंदु पर, चूंकि भाज्य से नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं और अंतिम घटाव परिणाम 0 था, हम आश्वस्त हो सकते हैं कि प्रक्रिया समाप्त हो गई है।

यदि अंतिम शेष जब हम भाज्य अंकों से बाहर निकलते हैं तो 0 के अतिरिक्त कुछ और होता, तो क्रिया के दो संभावित पाठ्यक्रम होते:

# हम केवल यहीं रुक सकते हैं और कह सकते हैं कि भाजक द्वारा विभाजित भाज्य शीर्ष पर लिखा हुआ भागफल है और शेष तल पर लिखा है और उत्तर को भागफल के रूप में लिखें, जिसके बाद भाजक द्वारा विभाजित शेषफल है।

# हम भाज्य को 500.000... के रूप में लिखकर बढ़ा सकते हैं और प्रक्रिया को जारी रख सकते हैं (भाज्य में सीधे दशमलव बिंदु के ऊपर भागफल में दशमलव बिंदु का उपयोग करके), दशमलव उत्तर प्राप्त करने के लिए, जैसे कि निम्नलिखित उदाहरण है।

इस उदाहरण में, परिणाम के दशमलव भाग की गणना इकाई अंक से परे प्रक्रिया को जारी रखकर की जाती है, शून्य को भाज्य के दशमलव भाग के रूप में नीचे लाया जाता है।

यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि प्रक्रिया के प्रारंभ में, शून्य उत्पन्न करने वाले चरण को छोड़ा जा सकता है। चूँकि पहला अंक 1 भाजक 4 से छोटा है, इसके बजाय पहला चरण पहले दो अंकों 12 पर किया जाता है। इसी प्रकार, यदि भाजक 13 थे, तो कोई 12 या 1 के बजाय 127 पर पहला चरण उठाएगा।

=== n ÷ m के दीर्घ विभाजन के लिए मूल प्रक्रिया ===

# भाज्य n और भाजक m में सभी दशमलव बिंदुओं का स्थान ज्ञात करें।

# यदि आवश्यक हो, तो भाजक के दशमलव और भाज्य को दशमलव स्थानों की समान संख्या से दाईं ओर (या बाईं ओर) ले जाकर दीर्घ विभाजन समस्या को सरल करें, ताकि भाजक का दशमलव अंतिम अंक के दाईं ओर हो।

# दीर्घ विभाजन करते समय दृश्य के नीचे संख्याओं को ऊपर से नीचे की ओर सीधा पंक्तिबद्ध रखें।

# प्रत्येक चरण के बाद, सुनिश्चित करें कि उस चरण के लिए शेष भाजक से कम है। यदि यह नहीं है, तो तीन संभावित समस्याएं हैं: गुणा गलत, घटाव गलत, या अधिक भागफल की आवश्यकता है।

# अंत में, शेष r, बढ़ते भागफल में एक [[अंश (गणित)|भिन्न]] r/m के रूप में जोड़ा जाता है।

प्रक्रिया के चरणों की मूल प्रस्तुति (ऊपर) उन चरणों के गुणों के बजाय उन चरणों के गुणों पर ध्यान केंद्रित करती है जो सुनिश्चित करते हैं कि परिणाम सही होगा (विशेष रूप से, वह q × m + r = n, जहाँ q अंतिम भागफल है और r अंतिम शेषफल है)। प्रस्तुति में थोड़े परिवर्तन के लिए अधिक लेखन की आवश्यकता होती है और यह आवश्यक है कि हम भागफल के अंकों को अद्यतन करने के बजाय परिवर्तित करें, परन्तु इस पर अधिक दृष्टिकोण डाल सकता है कि ये चरण वास्तव में मध्यवर्ती पर q × m + r प्रक्रिया में अंक के मूल्यांकन की अनुमति देकर सही उत्तर क्यों देते हैं। यह कलन विधि (नीचे) की व्युत्पत्ति में उपयोग की जाने वाली प्रमुख विशेषता को दर्शाती है।

विशेष रूप से, हम उपरोक्त मूल प्रक्रियाओं में संशोधन करते हैं ताकि हम निर्माणाधीन भागफल के अंकों के बाद के स्थान को 0 से भरते हैं, कम-से-कम 1 के स्थान पर और उन 0 को उन संख्याओं में सम्मिलित करें जिन्हें हम विभाजन कोष्ठक के नीचे लिखते हैं।

यह हमें प्रत्येक चरण: ''q × m + r = n'' पर एक [[अपरिवर्तनीय (कंप्यूटर विज्ञान)|अपरिवर्तनीय संबंध]] बनाए रखने देता है, जहां ''q'' आंशिक रूप से निर्मित भागफल (विभाजन कोष्ठक के ऊपर) और ''r'' आंशिक रूप से निर्मित शेष (विभाजन कोष्ठक के नीचे नीचे की संख्या) है। ध्यान दें कि, प्रारंभ में q=0 और r=n, इसलिए यह गुण प्रारंभ में धारण करता है; प्रक्रिया r को कम करती है और प्रत्येक चरण के साथ q को बढ़ाती है, अंतत: रूक जाती है जब r<m यदि हम भागफल + पूर्णांक शेषफल रूप में उत्तर खोजते हैं।

ऊपर दिए गए 500 ÷ 4 उदाहरण पर समीक्षा करने पर हम पाते हैं:

      1<span style= रंग: हरा; >2</span><span style= रंग: नीला; >5</span>     (q, नीचे दिए गए व्याख्या के अनुसार 000 से <span style= color: red; >100</span> से <span style= color: red; >1</span><span style= में बदल जाता है) रंग: हरा; >20</span> से <span style= color: red; >1</span><span style= color: हरा; >2</span><span style= color: नीला; >5</span> <span style="color:" नीला;>में परिवर्तन)

    4)500

      <u>400</u>      ( 4 × <span style="color:" red;>100</span> = 400)

      100</span>      (500 - 400 = <span style= color: darkorange; >100</span>; अब q=<span style= color: red; >100</span>, r=<span style= रंग: गहरा नारंगी; >100</span>; व्याख्या q×4+r = 500)

=== बहु-अंकीय भाजक का उदाहरण ===

[[Image:LongDivisionAnimated.gif|thumb|right|बहु-अंकीय दीर्घ विभाजन का चालित उदाहरण।]]किसी भी अंक के भाजक का उपयोग किया जा सकता है। इस उदाहरण में, 1260257 को 37 से विभाजित किया जाना है। पहले समस्या को इस प्रकार स्थापित किया गया है:

संख्या 1260257 के अंक तब तक लिए जाते हैं जब तक कि 37 से बड़ी या उसके बराबर संख्या नहीं आ जाती। तो 1 और 12 37 से छोटे हैं, परन्तु 126 बड़ा है। अगला, 126 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणज परिकलित किया जाता है। तो 3 × 37 = 111 < 126, परन्तु 4 × 37 > 126 है। गुणक 111 को 126 के नीचे लिखा जाता है और 3 को सबसे ऊपर लिखा जाता है जहां हल दिखाई देगा:

प्रक्रिया दोहराती है: 150 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक घटाया जाता है। यह 148 = 4 × 37 है, इसलिए भागफल के अगले अंक के रूप में शीर्ष पर एक 4 जोड़ा जाता है। तब घटाव का परिणाम भाज्य से लिए गए दूसरे अंक से बढ़ाया जाता है:

22 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक 0 × 37 = 0 है। 22 में से 0 घटाकर 22 देता है, हम प्रायः घटाव चरण नहीं लिखते हैं। इसके बजाय, हम केवल भाज्य से एक और अंक लेते हैं:

गैर-दशमलव मुद्राओं के लिए (जैसे कि 1971 से पहले ब्रिटिश £एसडी प्रणाली) और उपायों (जैसे [[avoirdupois|भार प्रणाली]]) के लिए मिश्रित विधि विभाजन का उपयोग किया जाना चाहिए। 50 मील 600 गज को 37 टुकड़ों में विभाजित करने पर विचार करें:

         mi -     yd -  ft -  in

           <u>1 -    634    1      9 r. 15"</u>

चार स्तंभों में से प्रत्येक पर बारी-बारी से कार्य किया जाता है। मील से प्रारंभ: 50/37 = 1 शेष 13 है।  कोई और विभाजन संभव नहीं है, इसलिए मील को गज में परिवर्तित करने के लिए 1,760 से दीर्घ गुणा करें, परिणाम 22,880 गज है। इसे गज़ पंक्ति के शीर्ष पर ले जाएं और इसे 23,480 देने वाले भाज्य में 600 गज़ में जोड़ें। 23,480 / 37 का दीर्घ विभाजन अब 22 शेष के साथ सामान्य उपज 634 के रूप में आगे बढ़ता है। शेष को 3 से गुणा करके फीट प्राप्त किया जाता है और फीट पंक्ति तक ले जाया जाता है। फीट के दीर्घ विभाजन से 1 शेष 29 प्राप्त होता है जिसे बारह से गुणा करके 348 इंच प्राप्त होता है। परिणाम रेखा पर अंतिम शेष 15 इंच के साथ दीर्घ विभाजन जारी रहता है।