दीर्घ विभाजन: Difference between revisions
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{{about| | {{about|प्राथमिक हस्तलिखित विभाजन|गणितीय परिभाषा और गुणधर्म|प्रभाग (गणित)|और|यूक्लिडियन विभाजन|सॉफ्टवेयर कलन विधि|विभाजन कलन विधि|अन्य उपयोग}} | ||
[[अंकगणित]] में, दीर्घ विभाजन एक मानक [[विभाजन एल्गोरिथ्म]] है जो बहु-अंकीय हिंदू-अरबी अंक प्रणाली को विभाजित करने के लिए उपयुक्त है। हिंदू-अरबी अंक (स्थितीय अंकन) जो हाथ से प्रदर्शन करने के लिए काफी सरल है। यह [[विभाजन (गणित)]] की समस्या को आसान चरणों की एक श्रृंखला में | [[अंकगणित]] में, दीर्घ विभाजन एक मानक [[विभाजन एल्गोरिथ्म|विभाजन कलन विधि]] है जो बहु-अंकीय हिंदू-अरबी अंक प्रणाली को विभाजित करने के लिए उपयुक्त है। हिंदू-अरबी अंक (स्थितीय अंकन) जो हाथ से प्रदर्शन करने के लिए काफी सरल है। यह [[विभाजन (गणित)]] की समस्या को आसान चरणों की एक श्रृंखला में विभाजित करता है। | ||
जैसा कि सभी विभाजन समस्याओं में, एक संख्या, जिसे विभाजन (गणित) कहा जाता है, को दूसरे से विभाजित किया जाता है, जिसे वि[[भाजक]] कहा जाता है, जिससे भागफल कहा जाता है। यह सरल चरणों की एक श्रृंखला का पालन करके | जैसा कि सभी विभाजन समस्याओं में, एक संख्या, जिसे विभाजन (गणित) कहा जाता है, को दूसरे से विभाजित किया जाता है, जिसे वि[[भाजक]] कहा जाता है, जिससे भागफल कहा जाता है। यह सरल चरणों की एक श्रृंखला का पालन करके अव्यवस्थिततः बड़ी संख्या में गणना करने में सक्षम बनाता है।<ref>{{MathWorld | urlname=LongDivision | title= Long Division}}</ref> दीर्घ विभाजन के संक्षिप्त रूप को [[लघु विभाजन]] कहा जाता है, जिसका प्रयोग लगभग सदैव दीर्घ विभाजन के स्थान पर किया जाता है जब भाजक में केवल एक अंक होता है। [[चंकिंग (विभाजन)|खंडीयन]] (जिसे आंशिक भागफल विधि या बधिक विधि के रूप में भी जाना जाता है) यूके में प्रमुख लंबे विभाजन का एक कम यांत्रिक रूप है जो विभाजन प्रक्रिया की अधिक समग्र समझ में योगदान देता है। | ||
जबकि संबंधित | जबकि संबंधित कलन विधि 12वीं शताब्दी से अस्तित्व में हैं,<ref>{{Cite web|url=http://new.math.uiuc.edu/im2008/rogers/algebra.html|title=इस्लामी गणित|website=new.math.uiuc.edu|access-date=2016-03-31}}</ref> आधुनिक उपयोग में विशिष्ट कलन विधि [[हेनरी ब्रिग्स (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था {{Circa}} 1600.<ref>{{Cite book|title=हेनरी ब्रिग्स - ऑक्सफोर्ड संदर्भ|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110810104516866}}</ref> | ||
== शिक्षा == | == शिक्षा == | ||
सस्ते | सस्ते परिगणक और परिकलक विभाजन की समस्याओं को हल करने का सबसे सामान्य तरीका बन गए हैं, एक पारंपरिक गणितीय अभ्यास को नष्ट कर रहे हैं, और कागज और अंकनी प्रविधियों द्वारा ऐसा करने का तरीका दिखाने के शैक्षिक अवसर को कम कर रहे हैं। (आंतरिक रूप से, वे उपकरण विभिन्न प्रकार के विभाजन कलन विधि में से एक का उपयोग करते हैं, जो तीव्रता से कार्यों को प्राप्त करने के लिए सन्निकटन और गुणन पर विश्वास करते हैं।) संयुक्त राज्य अमेरिका में, लंबे विभाजन को विशेष रूप से डी-ब्लाघात, या यहां तक कि उन्मूलन के लिए लक्षित किया गया है। स्कूली पाठ्यक्रम, [[सुधार गणित]] द्वारा, हालांकि परंपरागत रूप से चौथी या पांचवीं कक्षा में प्रारंभ किया गया था।<ref>{{Cite web|url=http://www.csun.edu/~vcmth00m/longdivision.pdf|title=The Role of Long Division in the K-12 Curriculum|last=Klein, Milgram|website=CiteSeer|access-date=June 21, 2019}}</ref> | ||
== विधि == | == विधि == | ||
अंग्रेजी बोलने वाले देशों में, लंबे विभाजन में [[विभाजन स्लैश]] | अंग्रेजी बोलने वाले देशों में, लंबे विभाजन में [[विभाजन स्लैश|विभाजन काट]] {{angle brackets|[[∕]]}} का उपयोग नहीं होता है या [[विभाजन चिह्न]] {{angle brackets|÷}} प्रतीकों के बजाय एक दृश्य का निर्माण करता है।<ref>{{citation |last=Nicholson |first=W. Keith |title=Introduction to Abstract Algebra, ''4th ed.'' |publisher=John Wiley & Sons |date=2012 |page=[https://books.google.com/books?id=w-GaLpapRcEC&pg=PA206 206] }}.</ref> भाजक को दाहिने कोष्ठक {{angle brackets|[[)]]}} द्वारा लाभांश से अलग किया जाता है या[[ ऊर्ध्वाधर बार ]]{{angle brackets|[[vertical bar|{{!}}]]}}; लाभांश को विंकुलम (प्रतीक) (अर्थात, एक [[ overbar ]]) द्वारा भागफल से अलग किया जाता है। इन दो प्रतीकों के संयोजन को कभी-कभी लंबे विभाजन प्रतीक या विभाजन कोष्ठक के रूप में जाना जाता है।<ref>{{citation |title=Wolfram MathWorld |contribution-url=http://mathworld.wolfram.com/LongDivisionSymbol.html |contribution=Long Division Symbol |url=http://wolfram.com |access-date=11 February 2016 }}.</ref> यह 18वीं शताब्दी में पहले के एकल-पंक्ति संकेतन से विकसित हुआ था जो लाभांश को बाएं कोष्ठक द्वारा भागफल से अलग करता था।<ref>{{citation |contribution=Symbols of Operation |contribution-url=http://jeff560.tripod.com/operation.html |date=2010 |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |last=Miller |first=Jeff }}.</ref><ref>{{citation |last=Hill|first=John|title=Arithmetick both in the theory and practice|publisher=Straben et al.|year=1772|edition=11th|orig-year=First published 1712|place=London|url=http://digital.library.pitt.edu/cgi-bin/t/text/pageviewer-idx?c=nietz;cc=nietz;idno=00abf4892m;node=00abf4892m%3A1.11;frm=frameset;view=image;seq=3;page=root;size=s|access-date=12 February 2016|page=200}}</ref> | ||
एक उदाहरण नीचे | भाजक द्वारा लाभांश के सबसे बाएं अंक को विभाजित करके प्रक्रिया प्रारंभ की जाती है। भागफल (एक पूर्णांक तक गोल) परिणाम का पहला अंक बन जाता है और [[शेष]] की गणना की जाती है (यह चरण घटाव के रूप में व्याख्या की जाती है)। यह शेषफल तब आगे बढ़ता है जब प्रक्रिया को लाभांश के निम्नलिखित अंक पर दोहराया जाता है (शेष के अगले अंक को 'नीचे लाने' के रूप में नोट किया जाता है)। जब सभी अंक संसाधित हो जाते हैं और कोई शेष नहीं रहता है, तो प्रक्रिया पूर्ण हो जाती है। | ||
एक उदाहरण नीचे दर्शाया गया है, जो 500 को 4 (परिणाम 125 के साथ) से विभाजित करता है। | |||
<u>1<span style="रंग:" हरा;>2</span><span style="रंग:" नीला;>5</span></u> (स्पष्टीकरण) | |||
4)500 | 4)500 | ||
<u>4</u> ( 4 × <span style= color: red; >1</span> = 4) | <u>4</u> ( 4 × <span style="color:" red;>1</span> = 4) | ||
10 ( 5 - 4 = <span style="color:" darkorange;>1</span>) | |||
<u>8</u> ( 4 × <span style="color:" green;>2</span> = 8) | |||
20 (10 - 8 = <span style="color:" darkcyan;>2</span>) | |||
<u>20</u> ( 4 × <span style="color:" blue;>5</span> = 20) | |||
0 (20 - 20 = 0) | |||
[[File:Long division.JPG|thumb| | [[File:Long division.JPG|thumb|परिगणक के बिना प्रदर्शन किए गए लंबे विभाजन का उदाहरण।]]चरणों का अधिक विस्तृत विश्लेषण इस प्रकार है: | ||
# | # भाज्य 500 के बाएं छोर से प्रारंभ होने वाले अंकों का सबसे छोटा क्रम ज्ञात करें, जिसमें भाजक 4 कम से कम एक बार जाता है। इस स्थिति में, यह केवल पहला अंक है, 5। भाजक 4 को 5 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकने वाला सबसे बड़ा नंबर 1 है, इसलिए भागफल का निर्माण प्रारंभ करने के लिए अंक 1 को 5 से ऊपर रखा जाता है। | ||
# अगला, 1 को भाजक 4 से गुणा किया जाता है, सबसे बड़ी पूर्ण संख्या प्राप्त करने के लिए जो 5 (इस | # अगला, 1 को भाजक 4 से गुणा किया जाता है, सबसे बड़ी पूर्ण संख्या प्राप्त करने के लिए जो 5 (इस स्थिति में 4) से अधिक के बिना भाजक 4 का गुणक है। इस 4 को फिर 5 के नीचे रखा जाता है और 5 से घटाया जाता है, शेष 1 प्राप्त करने के लिए, जिसे 4 के नीचे 5 के नीचे रखा जाता है। | ||
# बाद में, लाभांश में पहले के रूप में अभी तक अप्रयुक्त अंक, इस | # बाद में, लाभांश में पहले के रूप में अभी तक अप्रयुक्त अंक, इस स्थिति में 5 के बाद पहला अंक 0, सीधे उसके नीचे और शेष 1 के निकट में, संख्या 10 बनाने के लिए अनुकरण किया जाता है। | ||
# इस बिंदु पर | # इस बिंदु पर निष्कर्ष तक पहुंचने के लिए प्रक्रिया को पर्याप्त बार दोहराया जाता है: सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 10 से अधिक के बिना गुणा किया जा सकता है, 2 है, इसलिए 2 को दूसरे सबसे बाएं भागफल अंक के रूप में लिखा गया है। इस 2 को भाजक 4 से गुणा करके 8 प्राप्त किया जाता है, जो 4 का सबसे बड़ा गुणक है जो 10 से अधिक नहीं है; इसलिए 8 को 10 के नीचे लिखा जाता है, और शेष 2 प्राप्त करने के लिए घटाव 10 माइनस 8 किया जाता है, जिसे 8 के नीचे रखा जाता है। | ||
# लाभांश के अगले अंक (500 में अंतिम 0) को सीधे उसके नीचे | # लाभांश के अगले अंक (500 में अंतिम 0) को सीधे उसके नीचे अनुकरण किया जाता है और शेष 2 के निकट में 20 बनता है। तब सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 20 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकता है, जो कि 5 है, ऊपर तीसरे बाएँ भागफल अंक के रूप में रखा गया है। इस 5 को 20 प्राप्त करने के लिए भाजक 4 से गुणा किया जाता है, जिसे नीचे लिखा जाता है और शेष 0 प्राप्त करने के लिए मौजूदा 20 से घटाया जाता है, जिसे बाद में दूसरे 20 के नीचे लिखा जाता है। | ||
# इस बिंदु पर, चूंकि लाभांश से नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं और अंतिम घटाव परिणाम 0 था, हम आश्वस्त हो सकते हैं कि प्रक्रिया समाप्त हो गई है। | # इस बिंदु पर, चूंकि लाभांश से नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं और अंतिम घटाव परिणाम 0 था, हम आश्वस्त हो सकते हैं कि प्रक्रिया समाप्त हो गई है। | ||
यदि अंतिम शेष जब हम लाभांश अंकों से बाहर निकलते हैं तो 0 के अलावा कुछ और होता, तो कार्रवाई के दो संभावित पाठ्यक्रम होते: | यदि अंतिम शेष जब हम लाभांश अंकों से बाहर निकलते हैं तो 0 के अलावा कुछ और होता, तो कार्रवाई के दो संभावित पाठ्यक्रम होते: | ||
# हम | # हम केवल यहीं रुक सकते हैं और कह सकते हैं कि भाजक द्वारा विभाजित लाभांश शीर्ष पर लिखा हुआ भागफल है और शेष तल पर लिखा है, और उत्तर को भागफल के रूप में लिखें, जिसके बाद भाजक द्वारा विभाजित शेषफल है। | ||
# हम लाभांश को 500.000... के रूप में लिखकर बढ़ा सकते हैं और प्रक्रिया को जारी रख सकते हैं (लाभांश में सीधे दशमलव बिंदु के ऊपर भागफल में दशमलव बिंदु का उपयोग करके), दशमलव उत्तर प्राप्त करने के लिए, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण। | # हम लाभांश को 500.000... के रूप में लिखकर बढ़ा सकते हैं और प्रक्रिया को जारी रख सकते हैं (लाभांश में सीधे दशमलव बिंदु के ऊपर भागफल में दशमलव बिंदु का उपयोग करके), दशमलव उत्तर प्राप्त करने के लिए, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण। | ||
<u>31.75</u> | |||
4)127.00 | 4)127.00 | ||
<u>12</u> (12 ÷ 4 = 3) | <u>12</u> (12 ÷ 4 = 3) | ||
07 (0 शेष, अगला अंक नीचे लाएं) | 07 (0 शेष, अगला अंक नीचे लाएं) | ||
<u>4</u> (7 ÷ 4 = 1 r 3) | <u>4</u> (7 ÷ 4 = 1 r 3) | ||
3.0 (0 और दशमलव बिंदु को नीचे लाएं) | 3.0 (0 और दशमलव बिंदु को नीचे लाएं) | ||
<u>2.8</u> (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) | <u>2.8</u> (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) | ||
20 (एक अतिरिक्त शून्य नीचे लाया जाता है) | 20 (एक अतिरिक्त शून्य नीचे लाया जाता है) | ||
< | <u>20</u> (5 × 4 = 20) | ||
0 | 0 | ||
इस उदाहरण में, परिणाम के दशमलव भाग की गणना इकाई अंक से परे प्रक्रिया को जारी रखकर की जाती है, शून्य को लाभांश के दशमलव भाग के रूप में नीचे लाया जाता है। | इस उदाहरण में, परिणाम के दशमलव भाग की गणना इकाई अंक से परे प्रक्रिया को जारी रखकर की जाती है, शून्य को लाभांश के दशमलव भाग के रूप में नीचे लाया जाता है। | ||
यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि, प्रक्रिया की | यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि, प्रक्रिया की प्रारंभ में, शून्य उत्पन्न करने वाले चरण को छोड़ा जा सकता है। चूँकि पहला अंक 1 भाजक 4 से छोटा है, इसके बजाय पहला चरण पहले दो अंकों 12 पर किया जाता है। इसी तरह, यदि भाजक 13 थे, तो कोई 12 या 1 के बजाय 127 पर पहला चरण उठाएगा। | ||
== n ÷ m के लंबे विभाजन के लिए मूल प्रक्रिया == | |||
# लाभांश n और भाजक m में सभी दशमलव बिंदुओं का स्थान ज्ञात करें। | # लाभांश n और भाजक m में सभी दशमलव बिंदुओं का स्थान ज्ञात करें। | ||
# यदि आवश्यक हो, तो भाजक के दशमलव और भाज्य को दशमलव स्थानों की समान संख्या से दाईं ओर (या बाईं ओर) ले जाकर दीर्घ विभाजन समस्या को सरल करें, ताकि भाजक का दशमलव अंतिम के दाईं ओर हो अंक। | # यदि आवश्यक हो, तो भाजक के दशमलव और भाज्य को दशमलव स्थानों की समान संख्या से दाईं ओर (या बाईं ओर) ले जाकर दीर्घ विभाजन समस्या को सरल करें, ताकि भाजक का दशमलव अंतिम के दाईं ओर हो अंक। | ||
# | # दीर्घ विभाजन करते समय झांकी के नीचे संख्याओं को ऊपर से नीचे की ओर सीधा पंक्तिबद्ध रखें। | ||
# प्रत्येक चरण के बाद, सुनिश्चित करें कि उस चरण के लिए शेष भाजक से कम है। यदि यह नहीं है, तो तीन संभावित समस्याएं हैं: गुणा गलत है, घटाव गलत है, या अधिक भागफल की आवश्यकता है। | # प्रत्येक चरण के बाद, सुनिश्चित करें कि उस चरण के लिए शेष भाजक से कम है। यदि यह नहीं है, तो तीन संभावित समस्याएं हैं: गुणा गलत है, घटाव गलत है, या अधिक भागफल की आवश्यकता है। | ||
# अंत में, शेष, r, बढ़ते भागफल में एक [[अंश (गणित)]], r/m के रूप में जोड़ा जाता है। | # अंत में, शेष, r, बढ़ते भागफल में एक [[अंश (गणित)]], r/m के रूप में जोड़ा जाता है। | ||
=== अचल | === अचल गुणधर्म और शुद्धता === | ||
प्रक्रिया के चरणों की मूल प्रस्तुति (ऊपर) | प्रक्रिया के चरणों की मूल प्रस्तुति (ऊपर) | ||
क्या कदम उठाए जाने हैं पर ध्यान दें, | क्या कदम उठाए जाने हैं पर ध्यान दें, | ||
बजाय उन चरणों के गुणों के जो सुनिश्चित करते हैं कि परिणाम सही होगा | बजाय उन चरणों के गुणों के जो सुनिश्चित करते हैं कि परिणाम सही होगा | ||
(विशेष रूप से, वह q × m + r = n, जहाँ q अंतिम भागफल है और r अंतिम शेषफल है)। | (विशेष रूप से, वह q × m + r = n, जहाँ q अंतिम भागफल है और r अंतिम शेषफल है)। | ||
प्रस्तुति में थोड़े | प्रस्तुति में थोड़े परिवर्तन के लिए अधिक लेखन की आवश्यकता होती है, | ||
और यह आवश्यक है कि हम भागफल के अंकों को | और यह आवश्यक है कि हम भागफल के अंकों को अद्यतन करने के बजाय बदलें, | ||
परन्तु इस पर अधिक प्रकाश डाल सकता है कि ये कदम वास्तव में सही उत्तर क्यों देते हैं | |||
प्रक्रिया में मध्यवर्ती बिंदुओं पर q × m + r के मूल्यांकन की अनुमति देकर। | प्रक्रिया में मध्यवर्ती बिंदुओं पर q × m + r के मूल्यांकन की अनुमति देकर। | ||
यह | यह कलन विधि की व्युत्पत्ति में उपयोग की जाने वाली प्रमुख गुणधर्म को दर्शाता है | ||
मनमाना आधार के लिए #Algorithm|(नीचे)। | मनमाना आधार के लिए #Algorithm|(नीचे)। | ||
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और उन 0 को उन संख्याओं में शामिल करें जिन्हें हम विभाजन कोष्ठक के नीचे लिखते हैं। | और उन 0 को उन संख्याओं में शामिल करें जिन्हें हम विभाजन कोष्ठक के नीचे लिखते हैं। | ||
यह हमें हर कदम पर एक [[अपरिवर्तनीय (कंप्यूटर विज्ञान)]] बनाए रखने देता है: | यह हमें हर कदम पर एक [[अपरिवर्तनीय (कंप्यूटर विज्ञान)|अपरिवर्तनीय (परिकलक विज्ञान)]] बनाए रखने देता है: | ||
क्यू × एम + आर = एन, जहां क्यू आंशिक रूप से निर्मित भागफल है (विभाजन | क्यू × एम + आर = एन, जहां क्यू आंशिक रूप से निर्मित भागफल है (विभाजन कोष्ठक के ऊपर) | ||
और आर आंशिक रूप से निर्मित शेष (विभाजन | और आर आंशिक रूप से निर्मित शेष (विभाजन कोष्ठक के नीचे नीचे की संख्या)। | ||
ध्यान दें कि, प्रारंभ में q=0 और r=n, इसलिए यह गुण प्रारंभ में धारण करता है; | ध्यान दें कि, प्रारंभ में q=0 और r=n, इसलिए यह गुण प्रारंभ में धारण करता है; | ||
प्रक्रिया r को कम करती है और प्रत्येक चरण के साथ q को बढ़ाती है, | प्रक्रिया r को कम करती है और प्रत्येक चरण के साथ q को बढ़ाती है, | ||
अंतत: रूक जाता है जब r<m यदि हम भागफल + पूर्णांक शेषफल रूप में उत्तर खोजते हैं। | अंतत: रूक जाता है जब r<m यदि हम भागफल + पूर्णांक शेषफल रूप में उत्तर खोजते हैं। | ||
ऊपर दिए गए 500 ÷ 4 उदाहरण पर | ऊपर दिए गए 500 ÷ 4 उदाहरण पर समीक्षा करने पर हम पाते हैं | ||
1<span style= रंग: हरा; >2</span><span style= रंग: नीला; >5</span> (q, नीचे दिए गए व्याख्या के अनुसार 000 से <span style= color: red; >100</span> से <span style= color: red; >1</span><span style= में बदल जाता है) रंग: हरा; >20</span> से <span style= color: red; >1</span><span style= color: हरा; >2</span><span style= color: नीला; >5</span> <span style="color:" नीला;>में परिवर्तन) | |||
4)500 | 4)500 | ||
<u>400</u> ( 4 × <span style= color: red; >100</span> = 400) | <u>400</u> ( 4 × <span style="color:" red;>100</span> = 400) | ||
100</span> (500 - 400 = <span style= color: darkorange; >100</span>; अब q=<span style= color: red; >100</span>, r=<span style= रंग: गहरा नारंगी; >100</span>; व्याख्या q×4+r = 500) | |||
<u>80</u> ( 4 × <span style= color: green; >20</span> = 80) | <u>80</u> ( 4 × <span style= color: green; >20</span> = 80) | ||
20 (100 - 80 = <span style= color: darkcyan; >20</span>; अब q=<span style= color: red; >1</span><span style= color: हरा ; >20</span>, r=<span style= color: darkcyan; > 20</span>; व्याख्या q×4+r = 500) | |||
<u>20</u> ( 4 × <span style= color: blue; >5</span> = 20) | <u>20</u> ( 4 × <span style= color: blue; >5</span> = 20) | ||
0 ( 20 - 20 = 0; अब q=<span style= color: red; >1</span><span style= color: green; >2</span><span style= color: blue; >5 | 0 ( 20 - 20 = 0; अब q=<span style= color: red; >1</span><span style= color: green; >2</span><span style="color:" blue;>5, r= 0; व्याख्या q×4+r = 500) | ||
== बहु-अंकीय भाजक का उदाहरण == | |||
[[Image:LongDivisionAnimated.gif|thumb|right|बहु-अंकीय लंबे विभाजन का चालित उदाहरण]]किसी भी अंक के भाजक का उपयोग किया जा सकता है। इस उदाहरण में, 1260257 को 37 से विभाजित किया जाना है। पहले समस्या को इस प्रकार स्थापित किया गया है: | |||
37)1260257 | 37)1260257 | ||
संख्या 1260257 के अंक तब तक लिए जाते हैं जब तक कि 37 से बड़ी या उसके बराबर संख्या नहीं आ जाती। तो 1 और 12 37 से छोटे हैं, | संख्या 1260257 के अंक तब तक लिए जाते हैं जब तक कि 37 से बड़ी या उसके बराबर संख्या नहीं आ जाती। तो 1 और 12 37 से छोटे हैं, परन्तु 126 बड़ा है। अगला, 126 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणज परिकलित किया जाता है। तो 3 × 37 = 111 < 126, परन्तु 4 × 37 > 126। गुणक 111 को 126 के नीचे लिखा जाता है और 3 को सबसे ऊपर लिखा जाता है जहां समाधान दिखाई देगा: | ||
3 | |||
37)1260257 | 37)1260257 | ||
111 | 111 | ||
ध्यान दें कि ये अंक किस स्थानीय मान वाले | ध्यान दें कि ये अंक किस स्थानीय मान वाले पंक्ति में लिखे गए हैं। भागफल में 3 उसी पंक्ति (दस-हजार स्थान) में जाता है, जो भाज्य 1260257 में 6 है, जो 111 के अंतिम अंक के समान पंक्ति है। | ||
111 को ऊपर की रेखा से घटाया जाता है, सभी अंकों को दाईं ओर अनदेखा करते हुए: | 111 को ऊपर की रेखा से घटाया जाता है, सभी अंकों को दाईं ओर अनदेखा करते हुए: | ||
3 | |||
37)1260257 | 37)1260257 | ||
< | <u>111</u> | ||
15 | 15 | ||
अब भाज्य के अगले छोटे स्थानीय मान से अंक को नीचे | अब भाज्य के अगले छोटे स्थानीय मान से अंक को नीचे अनुकरण किया जाता है और परिणाम 15 में जोड़ा जाता है: | ||
3 | |||
37)1260257 | 37)1260257 | ||
< | <u>111</u> | ||
150 | 150 | ||
प्रक्रिया दोहराती है: 150 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक घटाया जाता है। यह 148 = 4 × 37 है, इसलिए भागफल के अगले अंक के रूप में शीर्ष पर एक 4 जोड़ा जाता है। तब घटाव का परिणाम लाभांश से लिए गए दूसरे अंक से बढ़ाया जाता है: | प्रक्रिया दोहराती है: 150 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक घटाया जाता है। यह 148 = 4 × 37 है, इसलिए भागफल के अगले अंक के रूप में शीर्ष पर एक 4 जोड़ा जाता है। तब घटाव का परिणाम लाभांश से लिए गए दूसरे अंक से बढ़ाया जाता है: | ||
34 | |||
37)1260257 | 37)1260257 | ||
< | <u>111</u> | ||
150 | 150 | ||
< | <u>148</u> | ||
22 | 22 | ||