ओवररिंग: Difference between revisions
From Vigyanwiki
mNo edit summary |
No edit summary |
||
| (14 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
| Line 6: | Line 6: | ||
<em>इस लेख में, सभी वलय (गणित) क्रमविनिमेय वलय हैं, और वलय और ऊपरी वलय समान [[पहचान तत्व|समरूप तत्व]] साझा करते हैं।</em> | <em>इस लेख में, सभी वलय (गणित) क्रमविनिमेय वलय हैं, और वलय और ऊपरी वलय समान [[पहचान तत्व|समरूप तत्व]] साझा करते हैं।</em> | ||
माना की <math display="inline">Q(A)</math> एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">A</math> के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, वलय <math display="inline">B</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र<math display="inline">A</math> का एक ऊपरी वलय है। यदि <math display="inline">A</math> <math display="inline">B</math> का उपसमूह है और <math display="inline">B</math> अंशों के क्षेत्र <math display="inline">Q(A)</math> का एक उपसमूह है ;{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|167}}तब <math display="inline">A</math> और <math display="inline">B</math> का संबंध | माना की <math display="inline">Q(A)</math> एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">A</math> के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, वलय <math display="inline">B</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">A</math> का एक ऊपरी वलय है। यदि <math display="inline">A</math> <math display="inline">B</math> का उपसमूह है और <math display="inline">B</math> अंशों के क्षेत्र <math display="inline">Q(A)</math> का एक उपसमूह है ;{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|167}}तब <math display="inline">A</math> और <math display="inline">B</math> का संबंध <math display="inline">A \subseteq B \subseteq Q(A) </math> है<em>।</em>{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} | ||
== गुण == | == गुण == | ||
=== अंशो का वलय === | === अंशो का वलय === | ||
वलय <math display="inline">R_{A},S_{A},T_{A}</math> <em>गुणक समुच्चय</em> <math display="inline">A</math> द्वारा वलय <math display="inline">R,S,T</math> के <em>[[अंशों का कुल वलय]]</em> हैं.{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|46}} मान लीजिए <math display="inline">T</math> <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय है और <math display="inline">A</math> <math display="inline">R</math> में एक गुणक <em>समुच्चय</em> है। वलय <math display="inline">T_{A}</math> <math display="inline">R_{A}</math> का ऊपरी वलय है। यदि प्रत्येक गैर-इकाई तत्व <math display="inline">T_{A}</math>का एक शून्य भाजक है तो वलय <math display="inline">T_{A}</math> <math display="inline">R_{A}</math> के अंशों का कुल वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52-53}} यदि <math display="inline">R</math> पूर्ण रूप से <math display="inline">T</math> में बंद है तो वलय <math display="inline">R_{A}</math> <math display="inline">T_{A}</math> में [[अभिन्न तत्व]] है प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline">R_{A}</math> जो <math display="inline">T_{A}</math> में निहित है एक <math display="inline">S_{A}</math> वलय है , और <math display="inline">S</math> <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52-53}} | वलय <math display="inline">R_{A},S_{A},T_{A}</math> <em>गुणक समुच्चय</em> <math display="inline">A</math> द्वारा वलय <math display="inline">R,S,T</math> के <em>[[अंशों का कुल वलय]]</em> हैं.{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|46}} मान लीजिए <math display="inline">T</math> <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय है और <math display="inline">A</math> <math display="inline">R</math> में एक गुणक <em>समुच्चय</em> है। वलय <math display="inline">T_{A}</math> <math display="inline">R_{A}</math> का ऊपरी वलय है। यदि प्रत्येक गैर-इकाई तत्व <math display="inline">T_{A}</math>का एक शून्य भाजक है तो वलय <math display="inline">T_{A}</math> <math display="inline">R_{A}</math> के अंशों का कुल वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52-53}} यदि <math display="inline">R</math> पूर्ण रूप से <math display="inline">T</math> में बंद है तो वलय <math display="inline">R_{A}</math> <math display="inline">T_{A}</math> में [[अभिन्न तत्व|पूर्ण तत्व]] है प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline">R_{A}</math> जो <math display="inline">T_{A}</math> में निहित है एक <math display="inline">S_{A}</math> वलय है , और <math display="inline">S</math> <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52-53}} | ||
=== नोथेरियन कार्यक्षेत्र === | === नोथेरियन कार्यक्षेत्र === | ||
==== परिभाषाएं ==== | ==== परिभाषाएं ==== | ||
एक <em>[[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]]</em> 3 समतुल्य <em>[[परिमित]] स्थितियों</em> को संतुष्ट करता है i) | एक <em>[[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]]</em> 3 समतुल्य <em>[[परिमित]] स्थितियों</em> को संतुष्ट करता है i) गुणावली (वलय सिद्धांत) की प्रत्येक [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] परिमित है, ii) गुणावलीों के प्रत्येक गैर-रिक्त श्रेणी का अधिकतम होता है और iii) प्रत्येक गुणावली का एक परिमित आधार होता है।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|199}} | ||
एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक <em>डेडेकिंड कार्यक्षेत्र</em> होता है, अगर कार्यक्षेत्र का | एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक <em>डेडेकिंड कार्यक्षेत्र</em> होता है, अगर कार्यक्षेत्र का प्रत्येक गुणावली प्रमुख गुणावलीों का एक परिमित उत्पाद है ।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|270}} | ||
वलय का <em>प्रतिबंधित [[ आयाम ]]</em> उन सभी | वलय का <em>प्रतिबंधित [[ आयाम |आकार]] </em>उन सभी प्राथमिक गुणावली की श्रेणियों के बीच अधिकतम [[क्रुल आयाम|क्रुल आकार]] है जिसमें एक [[नियमित तत्व]] होता है.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}} | ||
एक वलय <math display="inline">R</math | एक वलय <math display="inline">R</math> स्थानीय रूप से [[ nilpotent |नगण्य]] है अगर हर वलय <math display="inline">R_{M}</math> [[अधिकतम आदर्श|अधिकतम गुणावली]] के साथ <math display="inline">M</math> [[ nilpotent |नगण्य]] तत्वों से मुक्त है या प्रत्येक गैर इकाई के साथ एक शून्य विभाजक है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}} | ||
एक <em> | एक सम्बंधित <em>वलय</em> एक <em>क्षेत्र</em> (गणित) पर एक बहुपद वलय की [[समरूपता|समरूप]] [[छवि (गणित)|छवि]] है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|58}} | ||
==== गुण ==== | ==== गुण ==== | ||
डेडेकाइंड वलय का हर ऊपरी वलय डेडेकाइंड वलय होता है।{{sfn|Cohen|1950}}{{sfn|Lane|Schilling|1939}} | डेडेकाइंड वलय का हर ऊपरी वलय डेडेकाइंड वलय होता है।{{sfn|Cohen|1950}}{{sfn|Lane|Schilling|1939}} | ||
वलय के [[प्रत्यक्ष योग]] का प्रत्येक ऊपरी वलय, जिसके गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं, एक नोथेरियन वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|53}} | |||
क्रुल | नोथेरियन कार्यक्षेत्र का प्रत्येक क्रुल 1-आकारीय ऊपरी वलय नोथेरियन वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|53}} | ||
ये | ये विवरण नोथेरियन वलय <math display="inline">R</math> और पूर्ण रूप से बंद <math display="inline">\bar{R}</math> के समतुल्य हैं।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|57}} | ||
* | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> एक नोथेरियन वलय है। | ||
* प्रत्येक अधिकतम | * प्रत्येक अधिकतम गुणावली <math display="inline">R</math> के <math display="inline">M</math> के लिए, प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline">R_{M}</math> एक नोथेरियन वलय है। | ||
* | * वलय <math display="inline">R</math> प्रतिबंधित आकार 1 या उससे कम के साथ स्थानीय रूप से शून्य है। | ||
* | * वलय <math display="inline">\bar{R}</math> नोथेरियन है, और वलय <math display="inline">R</math> सीमित आकार 1 या उससे कम है। | ||
* | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline">\bar{R}</math> पूर्ण रूप से बंद है। | ||
निम्नलिखित विवरण सम्बंधित <em>वलय</em> <math display="inline">R</math> और पूर्ण रूप से बंद <math display="inline">\bar{R}</math> के समतुल्य हैं.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|58}} | |||
* | * वलय <math display="inline">R</math> स्थानीय रूप से शून्य है। | ||
* | * वलय <math display="inline">\bar{R}</math> एक परिमित है <math display="inline">\operatorname{R -}</math>[[मॉड्यूल (गणित)|प्रतिरूपण (गणित)]]। | ||
* | * वलय <math display="inline">\bar{R}</math> नोथेरियन है। | ||
एक | एक पूर्ण रूप से बंद स्थानीय वलय <math display="inline">R</math> एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र या वलय है जिसके सभी गैर-इकाई तत्व शून्य-भाजक हैं।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|58}} | ||
यदि नोथेरियन वलय का प्रत्येक ऊपरी वलय पूर्ण रूप से बंद है तो नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड वलय है।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|198}} | |||
यदि नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक आघूर्ण वर्ग समूह के साथ डेडेकिंड वलय है तो नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र का प्रत्येक ऊपरी वलय अंशों का वलय है ।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|200}} | |||
=== सुसंगत | === सुसंगत <em>वलय</em> === | ||
==== परिभाषाएं ==== | ==== परिभाषाएं ==== | ||
एक <em>सुसंगत वलय</em> क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की | एक <em>सुसंगत वलय</em> क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की गुणावली शब्दावली है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} नोथेरियन कार्यक्षेत्र और प्रुफ़र कार्यक्षेत्र सुव्यवस्थित हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}} | ||
एक <em>जोड़ी</em> <math display="inline">(R,T)</math> वलय सिद्धांत के अविभाज्य कार्यक्षेत्र | एक <em>जोड़ी</em> <math display="inline">(R,T)</math> वलय सिद्धांत के अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> के ऊपर <math display="inline">T</math> का विस्तार दर्शाता है।{{sfn|Papick|1979}}{{rp|331}} | ||
यदि <math display="inline">R</math> <math display="inline">S</math> का उपकार्यक्षेत्र है और <math display="inline">S</math> <math display="inline">T</math> का उपकार्यक्षेत्र है तो जोड़ी <math display="inline">(R,T)</math> के लिए वलय <math display="inline">S</math> एक <em>मध्यवर्ती</em> कार्यक्षेत्र है।{{sfn|Papick|1979}}{{rp|331}} | |||
==== गुण ==== | ==== गुण ==== | ||
प्रत्येक ऊपरी वलय सुसंगत होने पर एक नोथेरियन वलय का क्रुल | प्रत्येक ऊपरी वलय <em>सुसंगत</em> होने पर एक नोथेरियन वलय का क्रुल आकार 1 या उससे कम होता है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} | ||
अविभाज्य कार्यक्षेत्र | यदि प्रत्येक मध्यवर्ती अविभाज्य कार्यक्षेत्र पूर्ण रूप से <math display="inline">T</math> में बंद है तो अविभाज्य कार्यक्षेत्र जोड़ी <math display="inline">(R,T)</math> के लिए , <math display="inline">T</math> <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय है.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|332}}{{sfn|Davis|1973}}{{rp|175}} | ||
का | यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> सुसंगत है तो का पूर्ण रूप से बंद <math display="inline">R</math> एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र है ।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}} | ||
प्रुफ़र कार्यक्षेत्र और क्रुल 1-आकारी नोथेरियन कार्यक्षेत्र के ऊपरी वलय सुसंगत हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|138}} | |||
=== | === प्रुफ़र कार्यक्षेत्र === | ||
==== गुण ==== | ==== गुण ==== | ||
एक वलय में <em>QR गुण</em> होता है | यदि प्रत्येक ऊपरी वलय गुणक समुच्चय के साथ एक स्थानीयकरण है तो एक वलय में <em>QR गुण</em> होता है ।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} QR कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र हैं।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} आघूर्ण [[पिकार्ड समूह]] वाला प्रुफ़र कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र है।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न गुणावली के वलय का तत्त्वरूप एक [[प्रमुख आदर्श|प्रमुख गुणावली]] द्वारा उत्पन्न तत्त्वरूप के समरूप होता है।{{sfn|Pendleton|1966}}{{rp|500}} | ||
अभिव्यक्ति, प्रुफ़र कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> इसके बराबर है:{{sfn|Bazzoni|Glaz|2006}}{{rp|56}} | |||
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> <math display="inline"> R</math> के स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है, और <math display="inline"> R</math> पूर्ण रूप से बंद है। | ||
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> <math display="inline"> R</math> के अंशों के वलय का प्रतिच्छेदन है, और <math display="inline"> R</math> पूर्ण रूप से बंद है। | ||
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> प्रमुख | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> प्रमुख गुणावली हैं जो <math display="inline"> R</math> के प्रमुख गुणावली के विस्तार हैं, और <math display="inline"> R</math> पूर्ण रूप से बंद है। | ||
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के किसी भी अभाज्य | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के किसी भी अभाज्य गुणावली के ऊपर अधिक से अधिक 1 मुख्य गुणावली <math display="inline"> R</math> होता है, और <math display="inline"> R</math> पूर्ण रूप से बंद है। | ||
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> पूर्ण रूप से बंद है। | ||
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> सुसंगत है। | * प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> सुसंगत है। | ||
अभिव्यक्ति, प्रुफ़र कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> इसके बराबर है:{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|167}} | |||
* | * <math display="inline">R</math> के <math display="">S</math> का प्रत्येक ऊपरी वलय <math>\operatorname{S-}</math>प्रतिरूपण की तरह समतल है। | ||
* प्रत्येक मूल्यांकन की वलय <math display="inline">R</math> अंशों का एक वलय है। | * प्रत्येक मूल्यांकन की वलय <math display="inline">R</math> अंशों का एक वलय है। | ||
===न्यूनतम | ===न्यूनतम ऊपरी वलय=== | ||
==== परिभाषाएं ==== | ==== परिभाषाएं ==== | ||
<em>न्यूनतम वलय समरूपता</em> <math display="inline">f</math> एक [[इंजेक्शन समारोह|अंतःक्षेपक]] [[विशेषण समारोह|गैर अनुमानित]] समरूपता है, और यदि समरूपता <math display="inline">f</math> समरूपता <math display="inline">g</math> और <math display="inline">h</math> की एक रचना है तो <math display="inline">g</math> या <math display="inline">h</math> एक समरूप है।{{sfn|Ferrand|Olivier|1970}}{{rp|461}} | |||
एक <em>उचित न्यूनतम वलय | एक <em>उचित न्यूनतम वलय विस्तार</em> <math display="inline">T</math> <math display="inline">R</math> उपवलय का होता है अगर वलय <math display="inline">R</math> में सम्मिलित <math display="inline">T</math> एक न्यूनतम वलय समरूपता है। इसका तात्पर्य वलय जोड़ी <math display="inline">(R,T)</math> के रूप में कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2006}}{{rp|186}} | ||
वलय <math display="inline">R</math> का एक <em>न्यूनतम ऊपरी वलय</em> <math display="inline">T</math> होता है अगर <math display="inline">T</math> <math display="inline">R</math> में युक्त एक उपवलय है और वलय जोड़ी <math display="inline">(R,T)</math> के रूप में कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | |||
गुणावली <math display="inline">I</math> का <em>कप्लैन्स्की गुणावली रूपांतरण</em> (<em>हेज़ रूपांतरण</em>, <em>S-रूपांतरण</em>) अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> के संबंध में अंश क्षेत्र का एक उपसमुच्चय <math display="inline">Q(R)</math> है इस उपसमुच्चय में <math display="inline">x</math> तत्व होते हैं ऐसा है कि प्रत्येक तत्व <math display="inline">y</math> के लिए गुणावली <math display="inline">I</math> का एक सकारात्मक पूर्णांक <math display="inline">n</math> है उत्पाद <math display="inline">x \cdot y^{n}</math>के साथ अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> में निहित है।{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | |||
==== गुण ==== | ==== गुण ==== | ||
कार्यक्षेत्र के न्यूनतम वलय | कार्यक्षेत्र के न्यूनतम वलय <em>विस्तार</em> से उत्पन्न कोई भी कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> का ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> है अगर <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2006}}{{rp|186}} | ||
अंशों का क्षेत्र <math display="inline">R</math> में न्यूनतम ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> का <math display="inline">T</math> सम्मिलित है अगर <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | |||
एक | मान लें एक पूर्ण रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र <math display="inline">R</math> का न्यूनतम ऊपरी वलय सम्मिलित है, तो न्यूनतम ऊपरी वलय एक अधिकतम गुणावली <math display="inline">R</math> के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र का एक प्रकार है; बेज़ाउट कार्यक्षेत्र की पारिभाषिक विशेषता प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न गुणावली एक प्रमुख गुणावली है। बेज़ाउट कार्यक्षेत्र एक प्रुफ़र कार्यक्षेत्र के सभी ऊपरी वलय गुणों को साझा करेगा।{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|168}} | |||
पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}} | पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी ऊपरी वलय अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}} | ||
डायाडिक परिमेय एक [[पूर्णांक]] अंश और 2 भाजक | डायाडिक परिमेय एक [[पूर्णांक]] अंश और 2 भाजक के घातांक वाला एक अंश है। | ||
डायाडिक परिमेय वलय दो | डायाडिक परिमेय वलय दो के घातांक और पूर्णांक वलय के एक ऊपरी वलय द्वारा पूर्णांकों का स्थानीयकरण है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
| Line 167: | Line 167: | ||
== संबंधित श्रेणियां == | == संबंधित श्रेणियां == | ||
श्रेणी:रिंग सिद्धांत | श्रेणी:रिंग सिद्धांत | ||
श्रेणी: | |||
श्रेणी:गुणावली (वलय सिद्धांत) | |||
श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं | श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं | ||
श्रेणी:क्रमविनिमेय बीजगणित | श्रेणी:क्रमविनिमेय बीजगणित | ||
[[Category:All articles with links needing disambiguation]] | |||
[[Category: | [[Category:Articles with invalid date parameter in template]] | ||
[[Category:Articles with links needing disambiguation from May 2023]] | |||
[[Category:Created On 18/05/2023]] | [[Category:Created On 18/05/2023]] | ||
[[Category:Lua-based templates]] | |||
[[Category:Machine Translated Page]] | |||
[[Category:Multi-column templates]] | |||
[[Category:Pages using div col with small parameter]] | |||
[[Category:Pages with script errors]] | |||
[[Category:Templates Translated in Hindi]] | |||
[[Category:Templates Vigyan Ready]] | |||
[[Category:Templates that add a tracking category]] | |||
[[Category:Templates using TemplateData]] | |||
[[Category:Templates using under-protected Lua modules]] | |||
[[Category:Wikipedia fully protected templates|Div col]] | |||
Latest revision as of 15:23, 6 June 2023
यह लेख गणितीय अवधारणा के बारे में है। उच्चारण के लिए, रिंग (विशेषक) देखें