एमवी-बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें बाइनरी संक्रिया $\oplus$, एकल संक्रिया $\neg$, और नियतांक $0$ होते है, जो कुछ अभिगृहीत को संतुष्ट करता है। एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) हैं; अक्षर एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ के बहु-मान तर्क का उल्लेख करते हैं। एमवी-बीजगणितीय परिबद्ध क्रमविनिमेय बीसीके बीजगणित के वर्ग के साथ समतुल्य होता है।

परिभाषाएँ

एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें $\langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle$ सम्मिलित है

• अरिक्त समुच्चय (गणित) $A,$
• बाइनरी संक्रिया $\oplus$ पर $A,$
• एकल संक्रिया $\lnot$ पर $A,$ और
• नियतांक $0$ जो $A$ एक निश्चित अवयव (गणित) को दर्शाता है,

जो निम्नलिखित सर्वसमिकाओं (गणित) को संतुष्ट करता है:

• $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),$
• $x\oplus 0=x,$
• $x\oplus y=y\oplus x,$
• $\lnot \lnot x=x,$
• $x\oplus \lnot 0=\lnot 0,$ और
• $\lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.$

पहले तीन अभिगृहीत के आधार पर, $\langle A,\oplus ,0\rangle$ क्रमविनिमेय मोनोइड है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी- बीजगणित विभिन्न प्रकार के (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-बीजगणित की विविधता बीएल (तर्क) -बीजगणित की विविधता की एक उप-प्रजाति है और इसमें सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) सम्मिलित होते हैं।

एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक 1998) एक पूर्वरेखीय क्रमविनिमेय सीमित समाकल अवशेष लेटिस के रूप में $\langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle$ अतिरिक्त सर्वसमिकाओं $x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y$ को संतुष्ट करता है।

एमवी-बीजगणित के उदाहरण

एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण $A=[0,1]$ है, जिसमे संक्रिया $x\oplus y=\min(x+y,1)$ और $\lnot x=1-x$ के साथ सम्मिलित है। गणितीय फजी तर्क में, इस एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह लुकासिविक्ज़ तर्क के मानक वास्तविक मान शब्दार्थ का निर्माण करता है।

सामान्य एमवी-बीजगणित में केवल अवयव 0 है और संक्रिया को एकमात्र संभव $0\oplus 0=0$ और $\lnot 0=0$ तरीके से परिभाषित किया गया है।

दो-अवयव एमवी-बीजगणित वास्तव में दो-अवयव बूलियन बीजगणित $\{0,1\}$ है, जिसमे $\oplus$ बूलियन संयोजन के साथ समतुल्य है और $\lnot$ बूलियन निषेध के साथ नहीं है। वास्तव में अभिगृहीत जोड़ना $x\oplus x=x$ एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का अभिगृहीतीकरण होता है।

यदि इसके अतिरिक्त $x\oplus x\oplus x=x\oplus x$ अभिगृहीत जोड़ा गया है, तब अभिगृहीत MV₃ को परिभाषित करते हैं बीजगणित तीन-मान लुकासिविक्ज़ तर्क Ł₃ के संगत है। अन्य परिमित रैखिक रूप से क्रमित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के समष्टि और संक्रिया को समुच्चय $n$ 0 और 1 (दोनों सम्मिलित) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात् समुच्चय $\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},$ जो संक्रिया $\oplus$