स्टैक (गणित): Difference between revisions
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==== [[ढेर वक्र|स्टैकी कर्व्स]] ==== | ==== [[ढेर वक्र|स्टैकी कर्व्स]] ==== | ||
स्टैकी कर्व्स या ऑर्बिकर्व्स सामान्य बिंदुओं पर आवरण के मोनोड्रोमी समूह द्वारा कर्व्स के आकारिकी के स्टैक भागफल को लेकर निर्मित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी आकारिकी<math>\text{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^5 + y^5 + z^5)) \to \text{Proj}(\mathbb{C}[x,y])</math> जो सामान्य रूप से एटेल होता है <math>\mu_5</math> द्वारा | स्टैकी कर्व्स या ऑर्बिकर्व्स सामान्य बिंदुओं पर आवरण के मोनोड्रोमी समूह द्वारा कर्व्स के आकारिकी के स्टैक भागफल को लेकर निर्मित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी आकारिकी<math>\text{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^5 + y^5 + z^5)) \to \text{Proj}(\mathbb{C}[x,y])</math> जो सामान्य रूप से एटेल होता है <math>\mu_5</math> द्वारा प्रभाव क्षेत्र का स्टैक भागफल एक स्टैकी <math>\mathbb{P}^1</math> बिंदु के साथ जिसमें <math>\mathbb{Z}/5</math> एकता की पांचवें क्रम पर <math>x/y</math>-सारणी, ऐसा इसलिए है क्योंकि ये वे बिंदु हैं जहां आवरण शाखा करता है।{{citation needed|date=June 2017}} | ||
==== नॉन-एफ़िन स्टैक ==== | ==== नॉन-एफ़िन स्टैक ==== | ||
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बीजगणितीय स्टैक पर एक योजना के ऊपर अर्ध-संसक्त स्टैकों की श्रेणी के समान अर्ध-संसक्त स्टैकों की श्रेणी का निर्माण कर सकते हैं। | बीजगणितीय स्टैक पर एक योजना के ऊपर अर्ध-संसक्त स्टैकों की श्रेणी के समान अर्ध-संसक्त स्टैकों की श्रेणी का निर्माण कर सकते हैं। | ||
एक अर्ध-संसक्त शीफ सामान्यतौर पर वह होता है जो स्थानीय रूप से वृत्त के ऊपर एक मॉड्यूल के शीफ की तरह दिखता है। पहली समस्या यह तय करना है कि स्थानीय रूप से क्या मतलब है | एक अर्ध-संसक्त शीफ सामान्यतौर पर वह होता है जो स्थानीय रूप से वृत्त के ऊपर एक मॉड्यूल के शीफ की तरह दिखता है। पहली समस्या यह तय करना है कि स्थानीय रूप से क्या मतलब है, इसमें ग्रोथेंडिक सांस्थिति का विकल्प सम्मिलित है और इसके लिए कई संभावित विकल्प हैं, जिनमें से सभी में कुछ समस्याएं हैं और इनमें से कोई भी पूरी तरह से संतोषजनक नहीं है। ग्रोथेंडिक सांस्थिति पर्याप्त रूप से मजबूत होनी चाहिए ताकि स्टैक इस सांस्थिति में स्थानीय रूप से बंध योजनाएं स्थानीय रूप से ज़ारिस्की सांस्थिति में बंधी हैं इसलिए यह योजनाओं के लिए एक उचित विकल्प है जैसा कि सेरे ने खोजा, बीजगणितीय स्पेस और डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक स्थानीय रूप से ईटेल सांस्थिति इसलिए सामान्यतौर पर इनके लिए ईटेल सांस्थिति का उपयोग किया जाता है, जबकि बीजगणितीय स्टैक निर्विघ्ऩ सांस्थिति में स्थानीय रूप से परिशोधित होते हैं इसलिए इस स्थिति में निर्विघ्ऩ सांस्थिति का उपयोग किया जा सकता है। सामान्य बीजगणितीय स्टैक के लिए ईटेल सांस्थिति में पर्याप्त विवृत संग्रह नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए, यदि G सुचारू रूप से जुड़ा हुआ समूह है तो वर्गीकरण स्टैक BG का एकमात्र ईटेल आवरण BG की प्रतियों के संघ हैं, जो अर्ध-संसक्त शेव्स का सही सिद्धांत देने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। | ||
बीजगणितीय स्टैक के लिए निर्विघ्ऩ सांस्थिति का उपयोग करने के बजाय ज्यादातर संशोधन का उपयोग किया जाता है जिसे [[ चिकना टोपोलॉजी | लिस-एट सांस्थिति]] जाता है (लिसे-एटाले के लिए संक्षिप्त: लिस फ्रेंच शब्द निर्विघ्ऩ के लिए है) जिसमें निर्विघ्ऩ सांस्थिति के समान विवृत संग्रह | बीजगणितीय स्टैक के लिए निर्विघ्ऩ सांस्थिति का उपयोग करने के बजाय ज्यादातर संशोधन का उपयोग किया जाता है जिसे [[ चिकना टोपोलॉजी | लिस-एट सांस्थिति]] जाता है (लिसे-एटाले के लिए संक्षिप्त: लिस फ्रेंच शब्द निर्विघ्ऩ के लिए है) जिसमें निर्विघ्ऩ सांस्थिति के समान विवृत संग्रह हैं लेकिन निर्विघ्ऩ नक्शों के बजाय ईटेल द्वारा विवृत आवरण दिए गए हैं। यह सामान्यतौर पर अर्ध-संसक्त स्टैकों के समकक्ष श्रेणी का नेतृत्व करता है, लेकिन इसका उपयोग करना आसान है उदाहरण के लिए बीजगणितीय स्पेस पर ईटेल सांस्थिति के साथ तुलना करना आसान है। लिस-एट सांस्थिति में एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या है, स्टैक के बीच आकारिकी सामान्य रूप से संबंधित टोपोई के बीच आकारिकी नहीं देती है। (समस्या यह है कि जब कोई एक टोपोई के ज्यामितीय आकारिकी के लिए आवश्यक रूप से आसन्न फंक्शंस f *, f * की एक जोड़ी का निर्माण कर सकता है, तो फ़ंक्टर f* सामान्य रूप से उचित नहीं है। यह समस्या प्रकाशित पत्रों और पुस्तकों में कुछ त्रुटियों के कारण कुख्यात है।<ref>See, for example, {{cite journal |ref=none |last1=Olsson |first1=Martin |year=2007 |title=Sheaves on Artin stacks |doi=10.1515/CRELLE.2007.012 |mr=2312554 |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=2007 |issue=603 |pages=55–112| s2cid=15445962}}</ref>) इसका मतलब यह है कि स्टैक्स के आकारिकी के अंतर्गत अर्ध-संसक्त शीफ के पुलबैक का निर्माण करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। | ||
उत्कृष्ट सांस्थिति का उपयोग करना भी संभव है। अधिकांश उचित "पर्याप्त रूप से बड़े" ग्रोथेंडिक सांस्थिति अर्ध-संसक्त स्टैकों की समतुल्य श्रेणियों का नेतृत्व करते हैं, लेकिन एक सांस्थिति जितनी बड़ी होती है उसे संभालना उतना ही कठिन होता है, इसलिए सामान्यतौर पर छोटे सांस्थिति का उपयोग करना पसंद करते हैं जब तक कि उनके पास पर्याप्त विवृत संग्रह | उत्कृष्ट सांस्थिति का उपयोग करना भी संभव है। अधिकांश उचित "पर्याप्त रूप से बड़े" ग्रोथेंडिक सांस्थिति अर्ध-संसक्त स्टैकों की समतुल्य श्रेणियों का नेतृत्व करते हैं, लेकिन एक सांस्थिति जितनी बड़ी होती है उसे संभालना उतना ही कठिन होता है, इसलिए सामान्यतौर पर छोटे सांस्थिति का उपयोग करना पसंद करते हैं जब तक कि उनके पास पर्याप्त विवृत संग्रह हों। उदाहरण के लिए, बड़े एफपीपीएफ सांस्थिति लिस-एट सांस्थिति के रूप में अनिवार्य रूप से अर्ध-संसक्त स्टैकों की एक ही श्रेणी की ओर ले जाती है, लेकिन इसमें एक सूक्ष्म समस्या है, इस सांस्थिति में अर्ध-संसक्त स्टैकों का OX मॉड्यूल में प्राकृतिक संपुटन उचित नहीं है। | ||
== अन्य प्रकार के स्टैक == | == अन्य प्रकार के स्टैक == | ||
अलग-अलग स्टैक और संस्थानिक स्टैक बीजगणितीय स्टैक के समान | अलग-अलग स्टैक और संस्थानिक स्टैक बीजगणितीय स्टैक के समान परिभाषित होते हैं, सिवाय इसके कि एफ़िन योजनाओं की अंतर्निहित श्रेणी को निर्विघ्ऩ मैनिफोल्ड्स या संस्थानिक स्पेस की श्रेणी से बदल दिया जाता है। | ||
सामान्यतौर पर कोई भी ''n''-शेफ या ''n''-1 स्टैक की धारणा को परिभाषित कर सकता है, जो सामान्य तौर पर ''n''-1 श्रेणियों में मान लेने वाला एक प्रकार का शीफ है। ऐसा करने के कई असमान तरीके हैं, 1-शेव और 2-शेव स्टैक के समान हैं, उन्हें [[उच्च ढेर|उच्च स्टैक]] कहा जाता है। | सामान्यतौर पर कोई भी ''n''-शेफ या ''n''-1 स्टैक की धारणा को परिभाषित कर सकता है, जो सामान्य तौर पर ''n''-1 श्रेणियों में मान लेने वाला एक प्रकार का शीफ है। ऐसा करने के कई असमान तरीके हैं, 1-शेव और 2-शेव स्टैक के समान हैं, उन्हें [[उच्च ढेर|उच्च स्टैक]] कहा जाता है। | ||
एक | एक समान और समान विस्तार गैर-असतत वस्तुओं पर स्टैक सिद्धांत को विकसित करना है (यानी बीजगणितीय सांस्थिति में एक स्थान वास्तव में [[स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी)|वर्णक्रम (सांस्थिति)]] है)। परिणामी स्टैक वाली वस्तुओं को [[व्युत्पन्न ढेर|व्युत्पन्न स्टैक]] (या वर्णक्रमीय स्टैक) कहा जाता है। [[जैकब लुरी]] की निर्माणाधीन पुस्तक 'वर्णक्रम संबंधी बीजगणितीय ज्यामिति' एक सामान्यीकरण का अध्ययन करती है जिसे वह वर्णक्रम संबंधी डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक कहते है, परिभाषा के अनुसार यह एक चक्राकार ∞-टोपोस है जो ईटेल-स्थानीय रूप से E <sub>∞</sub>-वक्र का ईटेल वर्णक्रम है, यह धारणा कम से कम विशेषता शून्य में एक [[व्युत्पन्न योजना]] की सदस्यता लेती है।) | ||
== संग्रह -सैद्धांतिक समस्याएं == | == संग्रह -सैद्धांतिक समस्याएं == | ||
स्टैक के सिद्धांत की सामान्य नींव के साथ कुछ साधारण संग्रह | स्टैक के सिद्धांत की सामान्य नींव के साथ कुछ साधारण संग्रह सैद्धांतिक समस्याएं हैं क्योंकि स्टैक को ज्यादातर संग्रह की श्रेणी के लिए गुणक के रूप में परिभाषित किया जाता हैं। इस समस्या को सुलझाने के कई तरीके हैं: | ||
* कोई भी ग्रोथेंडिक यूनिवर्स के साथ काम कर सकता है: एक स्टैक तब कुछ निश्चित ग्रोथेंडिक यूनिवर्स की कक्षाओं के बीच एक फंक्टर होता है इसलिए ये कक्षाएं और स्टैक एक बड़े ग्रोथेंडिक यूनिवर्स में संग्रहित होते हैं। इस दृष्टिकोण का दोष यह है कि किसी को पर्याप्त ग्रोथेंडिक यूनिवर्स के अस्तित्व को मान लेना चाहिए, जो अनिवार्य रूप से एक [[बड़ा कार्डिनल]] स्वयंसिद्ध है। | * कोई भी ग्रोथेंडिक यूनिवर्स के साथ काम कर सकता है: एक स्टैक तब कुछ निश्चित ग्रोथेंडिक यूनिवर्स की कक्षाओं के बीच एक फंक्टर होता है इसलिए ये कक्षाएं और स्टैक एक बड़े ग्रोथेंडिक यूनिवर्स में संग्रहित होते हैं। इस दृष्टिकोण का दोष यह है कि किसी को पर्याप्त ग्रोथेंडिक यूनिवर्स के अस्तित्व को मान लेना चाहिए, जो अनिवार्य रूप से एक [[बड़ा कार्डिनल]] स्वयंसिद्ध है। | ||
Revision as of 01:47, 26 May 2023
गणित में स्टैक या 2-शेफ सामान्यतौर पर एक शीफ (गणित) है जो संग्रह के बजाय श्रेणियों में मान लेता है। स्टैक्स का उपयोग वंश सिद्धांत के कुछ मुख्य निर्माणों को औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है और जब उत्कृष्ट मोडुली स्पेस स्थित नहीं होते हैं तो उत्कृष्ट मोडुली स्टैक का निर्माण किया जाता है।
वंश सिद्धांत का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संयोज्य ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे संस्थानिक स्पेस पर सदिश बंडल) को संस्थानिक आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है, ज्यादातर सामान्य संग्रह-अप में प्रतिबंधों को पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) से बदल दिया जाता है तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा फ्रेम बनाती है। स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक तंतुमय श्रेणी है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए आवरण की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा ग्रोथेंडिक सांस्थिति है, इस प्रकार स्टैक को औपचारिक रूप से अन्य आधार श्रेणी पर एक तंतु श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार ग्रोथेंडिक सांस्थिति होती है जहां तंतु श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक सांस्थिति के संबंध में ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है।
सिंहावलोकन
बीजगणितीय स्टैक्स (जिसे आर्टिन स्टैक्स भी कहा जाता है) डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स की अंतर्निहित संरचना है, जो योजना (गणित) और बीजगणितीय स्पेस को सामान्यीकृत करते हैं और मोडुली स्पेस का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इसमें समावेशन हैं:
योजनाएं ⊆ बीजगणितीय स्पेस ⊆ डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक ⊆ बीजगणितीय स्टैक (आर्टिन स्टैक) ⊆ स्टैक।
एडिडिन (2003) और फैंटेची (2001) स्टैक का संक्षिप्त परिचयात्मक विवरण देते हैं, गोमेज़ (2001), ओल्सन (2007) और विस्टोली (2005) अधिक विस्तृत परिचय देते हैं और लॉमोन एंड & मोरेट-बेली (2000) अधिक उन्नत सिद्धांत का वर्णन करते है।
प्रेरणा और इतिहास
La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certaines structures (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher.
Grothendieck's letter to Serre, 1959 Nov 5.
स्टैक की अवधारणा का मूल ग्रोथेंडिक (1959)में प्रभावी अन्वय डेटा की परिभाषा में है। 1959 में सेरे को लिखे एक पत्र में ग्रोथेंडिक ने देखा कि अच्छे मॉडुलि स्पेस के निर्माण में एक मूलभूत बाधा ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व है। स्टैक के लिए एक प्रमुख प्रेरणा यह है कि अगर ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण किसी समस्या के लिए मॉडुलि स्पेस स्थित नहीं है, तब भी मोडुली स्टैक का निर्माण संभव हो सकता है।
स्टैक परिभाषित किए जाने से पहले ममफोर्ड (1965) ने गोलाकार वक्रों के मोडुली स्टैक के पिकार्ड समूह का अध्ययन किया। स्टैक को सबसे पहले जिराउड (1966, 1971)द्वारा परिभाषित किया गया था और स्टैक शब्द डेलिग्ने एंड & ममफोर्ड (1969) द्वारा मूल फ्रांसीसी शब्द "चैंप" के लिए "फ़ील्ड" के रूप में प्रस्तुत किया गया था। इस लेख में उन्होंने डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक भी प्रस्तुत किए जिसे उन्होंने बीजगणितीय स्टैक कहा हालांकि बीजगणितीय स्टैक शब्द अब सामान्यतौर पर आर्टिन (1974) द्वारा प्रस्तुत किए गए सामान्य आर्टिन स्टैक को संदर्भित करता है।
समूह फलन द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय भागफल के लिए एक योजना होना और वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना ज्यादातर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्थिरिकारी हैं, तो योजनाओं के बीच श्रेणीबद्ध भागफल उपस्थित नहीं होगा लेकिन यह स्टैक के रूप में स्थित रहेगा।
उसी तरह वक्र, सदिश बंडल या अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के मॉडुलि स्पेस ज्यादातर योजनाओं के बजाय स्टैक के रूप में परिभाषित किए जाते हैं। मॉडुलि स्पेस निर्माण ज्यादातर प्रश्न में वस्तुओं का मानकीकरण करने के लिए पहले एक बड़े स्थान का निर्माण करके आगे बढ़ते हैं और उसके बाद ऑटोमोर्फिज्म वाली वस्तुओं के लिएसमूह क्रिया द्वारा उद्धरण देते है।
परिभाषाएँ
निराकार स्टैक
श्रेणी के फ़ंक्टर वाली श्रेणी को के ऊपर एक तंतुयुक्त श्रेणी कहा जाता है यदि किसी आकारिकी के लिए में और कोई वस्तु का प्रतिबिंब के साथ एक पुलबैक है द्वारा इसका मतलब प्रतिबिंब के साथ एक आकृतिवाद है जैसे कि कोई आकारिकी प्रतिबिंब के साथ के रूप में गिना जा सकता है एक अद्वितीय आकारिकी द्वारा में फ़ंक्टर को से मानचित्र करता है। तत्व का पुलबैक के साथ कहा जाता है और विहित समरूपता तक अद्वितीय है।
श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी C पर ' प्रीस्टैक ' कहा जाता है यदि इसे c पर तंतु किया जाता है और c के किसी वस्तु u के लिए प्रतिबिंब u के साथ c की वस्तु x, y ओवर श्रेणी c/u से फ़ंक्टर संग्रहित करने के लिए F:V→U से (F*x,F*y) एक शीफ है। यह स्टैकों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स से अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं, कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय स्टैक के गुणों के रूप में आवश्यकता होती है।
श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी c के ऊपर एक 'स्टैक' कहा जाता है यदि यह c पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक वंश मूल डेटा प्रभावी है। एक 'वंश तिथि' में सामान्य तौर पर वर्ग V द्वारा C की वस्तु V का आवरण i होता है पर तंतु में तत्व xi और xj के प्रतिबंधों के बीच आकारिकी fji से Vij = Vi × VVj अनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करता है वंश तिथि को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि तत्व xi अनिवार्य रूप से प्रतिबिंब V के साथ तत्व x के पुलबैक हैं।
स्टैक को 'ग्रुपॉइड्स में 'स्टैक' या (2,1)-शेफ' कहा जाता है अगर ग्रुपोइड्स में भी तंतु होता है, जिसका अर्थ है कि इसके तंतु (c की वस्तुओं का उल्टा प्रतिबिंब) ग्रुपोइड्स हैं। कुछ लेखक "स्टैक" शब्द का उपयोग ग्रुपोइड्स में स्टैक की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए करते हैं।
बीजगणितीय स्टैक
बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक एफपीपीएफ(fppf) स्थान पर ग्रुपोइड्स X में एक स्टैक है, जैसे कि X का विकर्ण नक्शा प्रतिनिधित्व करने योग्य है और X के लिए एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक निर्विघ्ऩ प्रक्षेपण स्थित है।
आकारिकी Y स्टैक का एक X प्रतिनिधित्व योग्य' है यदि प्रत्येक आकारिकी S के लिए X से (स्टैक से जुड़े) X तक तंतु उत्पाद y ×XS एक बीजगणितीय स्थान (से जुड़े स्टैक) के लिए समरूप (आइसोमोर्फिक) है। स्टैक के 'तंतु उत्पाद' को सामान्य सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग करके परिभाषित किया गया है और उस आवश्यकता को बदलते हुए जो आरेखों को 2-यात्रा के लिए परिवर्तित करती है, अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय स्टैक का आकारिकी भी देखें।
विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित है: विकर्ण आकारिकी