ओवररिंग: Difference between revisions
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गणित में, [[ अभिन्न डोमेन |अविभाज्य कार्यक्षेत्र]] के ओवररिंग में अविभाज्य कार्यक्षेत्र होता है, और अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में ओवररिंग होता है। ओवररिंग्स विभिन्न प्रकार के रिंग्स और [[डोमेन (रिंग थ्योरी)|डोमेन(रिंग थ्योरी)]] की बेहतर समझ प्रदान करते हैं। | |||
गणित में, [[ अभिन्न डोमेन ]] के ओवररिंग में | |||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
<em>इस लेख में, सभी रिंग (गणित) क्रमविनिमेय रिंग हैं, और रिंग और ओवररिंग समान [[पहचान तत्व]] साझा करते हैं।</em> | <em>इस लेख में, सभी रिंग (गणित) क्रमविनिमेय रिंग हैं, और रिंग और ओवररिंग समान [[पहचान तत्व]] साझा करते हैं।</em> | ||
माना की <math display="inline">Q(A)</math> एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं <math display="inline">A</math>. अँगूठी <math display="inline">B</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र का एक ओवररिंग है <math display="inline">A</math> अगर <math display="inline">A</math> का उपसमूह है <math display="inline">B</math> और <math display="inline">B</math> अंशों के क्षेत्र का एक उपसमूह है <math display="inline">Q(A)</math>;{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|167}} संबंध है <math display="inline">A \subseteq B \subseteq Q(A) </math>.{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} | |||
== गुण == | == गुण == | ||
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एक <em>[[नोथेरियन रिंग]]</em> 3 समतुल्य <em>[[परिमित]] स्थितियों</em> को संतुष्ट करता है i) आदर्श (रिंग थ्योरी) की प्रत्येक [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] परिमित है, ii) आदर्शों के प्रत्येक गैर-रिक्त परिवार का अधिकतम होता है और न्यूनतम तत्व और iii) प्रत्येक आदर्श में हिल्बर्ट का आधार प्रमेय होता है।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|199}} | एक <em>[[नोथेरियन रिंग]]</em> 3 समतुल्य <em>[[परिमित]] स्थितियों</em> को संतुष्ट करता है i) आदर्श (रिंग थ्योरी) की प्रत्येक [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] परिमित है, ii) आदर्शों के प्रत्येक गैर-रिक्त परिवार का अधिकतम होता है और न्यूनतम तत्व और iii) प्रत्येक आदर्श में हिल्बर्ट का आधार प्रमेय होता है।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|199}} | ||
एक | एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक <em>Dedekind डोमेन</em> होता है, अगर डोमेन का हर आदर्श आदर्श आदर्शों का एक परिमित उत्पाद है।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|270}} | ||
रिंग का <em>प्रतिबंधित [[ आयाम ]]</em> उन सभी प्राइम आइडियल्स के रैंकों के बीच अधिकतम [[क्रुल आयाम]] है जिसमें एक [[नियमित तत्व]] होता है{{disambiguation needed|date=May 2023}}.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}} | रिंग का <em>प्रतिबंधित [[ आयाम ]]</em> उन सभी प्राइम आइडियल्स के रैंकों के बीच अधिकतम [[क्रुल आयाम]] है जिसमें एक [[नियमित तत्व]] होता है{{disambiguation needed|date=May 2023}}.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}} | ||
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* अँगूठी <math display="inline">\bar{R}</math> नोथेरियन है। | * अँगूठी <math display="inline">\bar{R}</math> नोथेरियन है। | ||
एक अभिन्न रूप से बंद स्थानीय रिंग <math display="inline">R</math> एक | एक अभिन्न रूप से बंद स्थानीय रिंग <math display="inline">R</math> एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र या अंगूठी है जिसका गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|58}} | ||
नोथेरियन | नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड रिंग है, अगर नोथेरियन रिंग का हर ओवररिंग इंटीग्रेटेड रूप से बंद है।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|198}} | ||
नोथेरियन | नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र का हर ओवररिंग अंशों का रिंग है यदि नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक मरोड़ वर्ग समूह के साथ डेडेकिंड रिंग है।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|200}} | ||
=== सुसंगत छल्ले === | === सुसंगत छल्ले === | ||
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एक <em>सुसंगत वलय</em> क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की आदर्श शब्दावली है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} नोथेरियन डोमेन और प्रुफ़र डोमेन सुसंगत हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}} | एक <em>सुसंगत वलय</em> क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की आदर्श शब्दावली है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} नोथेरियन डोमेन और प्रुफ़र डोमेन सुसंगत हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}} | ||
एक <em>जोड़ी</em> <math display="inline">(R,T)</math> रिंग थ्योरी के | एक <em>जोड़ी</em> <math display="inline">(R,T)</math> रिंग थ्योरी के अविभाज्य कार्यक्षेत्र ग्लोसरी को इंगित करता है <math display="inline">T</math> ऊपर <math display="inline">R</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|331}} | ||
अँगूठी <math display="inline">S</math> जोड़ी के लिए एक <em>मध्यवर्ती</em> डोमेन है <math display="inline">(R,T)</math> अगर <math display="inline">R</math> का उपडोमेन है <math display="inline">S</math> और <math display="inline">S</math> का उपडोमेन है <math display="inline">T</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|331}} | अँगूठी <math display="inline">S</math> जोड़ी के लिए एक <em>मध्यवर्ती</em> डोमेन है <math display="inline">(R,T)</math> अगर <math display="inline">R</math> का उपडोमेन है <math display="inline">S</math> और <math display="inline">S</math> का उपडोमेन है <math display="inline">T</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|331}} | ||
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प्रत्येक ओवररिंग सुसंगत होने पर एक नोथेरियन रिंग का क्रुल आयाम 1 या उससे कम होता है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} | प्रत्येक ओवररिंग सुसंगत होने पर एक नोथेरियन रिंग का क्रुल आयाम 1 या उससे कम होता है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} | ||
अविभाज्य कार्यक्षेत्र जोड़ी के लिए <math display="inline">(R,T)</math>, <math display="inline">T</math> का ओवररिंग है <math display="inline">R</math> यदि प्रत्येक मध्यवर्ती अविभाज्य कार्यक्षेत्र अभिन्न रूप से बंद है <math display="inline">T</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|332}}{{sfn|Davis|1973}}{{rp|175}} | |||
का अभिन्न समापन <math display="inline">R</math> एक Prüfer डोमेन है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ओवररिंग <math display="inline">R</math> सुसंगत है।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}} | का अभिन्न समापन <math display="inline">R</math> एक Prüfer डोमेन है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ओवररिंग <math display="inline">R</math> सुसंगत है।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}} | ||
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एक <em>न्यूनतम ओवररिंग</em> <math display="inline">T</math> अंगूठी का <math display="inline">R</math> होता है अगर <math display="inline">T</math> रोकना <math display="inline">R</math> एक सबरिंग और रिंग जोड़ी के रूप में <math display="inline">(R,T)</math> कोई उचित मध्यवर्ती रिंग नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | एक <em>न्यूनतम ओवररिंग</em> <math display="inline">T</math> अंगूठी का <math display="inline">R</math> होता है अगर <math display="inline">T</math> रोकना <math display="inline">R</math> एक सबरिंग और रिंग जोड़ी के रूप में <math display="inline">(R,T)</math> कोई उचित मध्यवर्ती रिंग नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | ||
आदर्श का <em>कप्लैन्स्की आदर्श रूपांतरण</em> (<em>हेज़ रूपांतरण</em>, <em>S-रूपांतरण</em>) <math display="inline">I</math> | आदर्श का <em>कप्लैन्स्की आदर्श रूपांतरण</em> (<em>हेज़ रूपांतरण</em>, <em>S-रूपांतरण</em>) <math display="inline">I</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र के संबंध में <math display="inline">R</math> अंश क्षेत्र का एक सबसेट है <math display="inline">Q(R)</math>. इस उपसमुच्चय में तत्व होते हैं <math display="inline">x</math> ऐसा है कि प्रत्येक तत्व के लिए <math display="inline">y</math> आदर्श का <math display="inline">I</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है <math display="inline">n</math> उत्पाद के साथ <math display="inline">x \cdot y^{n}</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र में निहित <math display="inline">R</math>.{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | ||
==== गुण ==== | ==== गुण ==== | ||
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के अंशों का क्षेत्र <math display="inline">R</math> न्यूनतम ओवररिंग शामिल है <math display="inline">T</math> का <math display="inline">R</math> कब <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | के अंशों का क्षेत्र <math display="inline">R</math> न्यूनतम ओवररिंग शामिल है <math display="inline">T</math> का <math display="inline">R</math> कब <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | ||
एक अभिन्न रूप से बंद | एक अभिन्न रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र मान लें <math display="inline">R</math> एक फ़ील्ड नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र का न्यूनतम ओवररिंग है <math display="inline">R</math> मौजूद है, यह न्यूनतम ओवररिंग एक अधिकतम आदर्श के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है <math display="inline">R</math>.{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}} | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
बेज़ाउट डोमेन | बेज़ाउट | बेज़ाउट डोमेन | बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र डोमेन का एक प्रकार है; बेज़ाउट डोमेन की पारिभाषिक संपत्ति प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श एक प्रमुख आदर्श है। बेज़ाउट डोमेन एक Prüfer डोमेन के सभी ओवररिंग गुणों को साझा करेगा।{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|168}} | ||
पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}} | पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}} | ||
Revision as of 20:33, 23 May 2023
यह लेख गणितीय अवधारणा के बारे में है। उच्चारण के लिए, रिंग (विशेषक) देखें
| Algebraic structure → Ring theory Ring theory |
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Rings
Related structures
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Commutative rings
p-adic number theory and decimals
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गणित में, अविभाज्य कार्यक्षेत्र के ओवररिंग में अविभाज्य कार्यक्षेत्र होता है, और अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में ओवररिंग होता है। ओवररिंग्स विभिन्न प्रकार के रिंग्स और डोमेन(रिंग थ्योरी) की बेहतर समझ प्रदान करते हैं।
परिभाषा
इस लेख में, सभी रिंग (गणित) क्रमविनिमेय रिंग हैं, और रिंग और ओवररिंग समान पहचान तत्व साझा करते हैं।
माना की एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं . अँगूठी अविभाज्य कार्यक्षेत्र का एक ओवररिंग है अगर का उपसमूह है और अंशों के क्षेत्र का एक उपसमूह है ;[1]: 167 संबंध है .[2]: 373
गुण
अंशों की अंगूठी
छल्ले