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| {{Short description|Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces}} | | {{Short description|Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces}} |
| {{For|the sequence space ℓ{{i sup|p}}|Sequence space#ℓp spaces}} | | {{For|the sequence space ℓ{{i sup|p}}|Sequence space#ℓp spaces}} |
| गणित में एलपी स्पेस [[ समारोह स्थान |समारोह का विशेष स्थान]] हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम [[हेनरी लेबेस्ग्यू]] के नाम पर रखा गया है [[निकोलस बोरबाकी|जबकि निकोलस बोरबाकी]] समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए। {{harv}}.
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| {{math}}एलपी रिक्त स्थान [[कार्यात्मक विश्लेषण]] और सदिश स्थान में रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं जो माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु द्वारा रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।
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| == अनुप्रयोग ==
| | गणित में एलपी रिक्त स्थान एक कार्यक्रम स्थान हैं जो परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के लिए पी-मानदंड के प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है उन्हें कभी-कभी हेनरी लेबेस्ग्यू डनफोर्ड एंड श्वार्ट्ज 1958 के नाम पर लेबेस्ग्यू रिक्त कहा जाता है जबकि बोरबाकी समूह बोरबाकी 1987 के अनुसार उन्हें पहली बार फ्रिगेस रिज्जु द्वारा 1910 में पेश किया गया था। |
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| | एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और करणीय सदिश रिक्त स्थान में बनच रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं तथा माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु रिक्त स्थान का उपयोग करते हैं। |
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| === सांख्यिकी === | | === एम्बेडिंग === |
| | सामान्य बोलचाल में अगर <math>1 \leq p < q \leq \infty,</math> है तो इसमें ऐसे <math>L^p(S, \mu)</math> कई कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व <math>L^q(S, \mu)</math> अधिक फैलाये जा सकते हैं तथा रेखा लेबेस्गु माप पर इसमें एक सतत कार्य <math>L^1</math> होता है जो अनंत की ओर तेजी से क्षय नहीं होता तथा यह दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है <math>L^\infty</math> को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति भी नहीं है इस तकनीकी के परिणाम निम्नलिखित है <ref name="VillaniEmbeddings2">{{Citation|title=Another note on the inclusion {{math|''L<sup>p</sup>''(''μ'') ⊂ ''L<sup>q</sup>''(''μ'')}}|last=Villani|first=Alfonso|year=1985|journal=Amer. Math. Monthly|volume=92|number=7|pages=485–487|doi=10.2307/2322503|mr=801221|jstor=2322503}}</ref> जैसे कि <math>0 < p < q \leq \infty.</math> तब |
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| आँकड़ों में [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] की माप और [[सांख्यिकीय फैलाव]] और [[मानक विचलन]] को किस संदर्भ में परिभाषित किया जाता है एलपी फलन और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को केंद्रीय प्रवृत्ति तथा संख्याओं की सारिणी को परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान के रूप में चित्रित किया जा सकता है।
| | # <math>L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)</math> अगर <math>S</math> परिमित के समूह नहीं होते हैं उदाहरण के लिए कोई परिमित माप। |
| | # <math>L^p(S, \mu) \subseteq L^q(S, \mu)</math> और <math>S</math> गैर-शून्य के समूह में सम्मिलित नहीं हैं लेकिन छोटे होते हैं। |
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| [[दंडित प्रतिगमन]] में एल 1 जुर्माना और एल 2 जुर्माना गाड़ी के अगले भाग में ज्यामिति को दंडित करने का संदर्भ देता है । | | माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित समूह पर गिनती माप के लिए अग्रसर नहीं हैं ये दोनों ही जगहों में व्याख्या करते हैं जिसकी पहचान एक चालक पर सीमित है <math>L^q</math> को <math>L^p</math> की जगहों में और <math>L^p</math> को <math>L^q</math> क्षण में यह [[बंद ग्राफ प्रमेय]] और गुणों का परिणाम है तथा <math>L^p</math> रिक्त स्थान और डोमेन <math>S</math> परिमित माप है जो इस प्रकार है- |
| | <math display="block">\ \|\mathbf{1}f^p\|_1 \leq \|\mathbf{1}\|_{q/(q-p)} \|f^p\|_{q/p}</math> |
| | तब |
| | <math display="block">\ \|f\|_p \leq \mu(S)^{1/p - 1/q} \|f\|_q .</math> |
| | उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाले निरंतर अर्थ में पहचान का [[ऑपरेटर मानदंड|मानदंड]] यह <math>I : L^q(S, \mu) \to L^p(S, \mu)</math> है जहाँ |
| | <math display="block">\|I\|_{q,p} = \mu(S)^{1/p - 1/q}</math> |
| | इसमें समानता ठीक उसी समय प्राप्त की जा सकती है <math>f = 1</math> <math>\mu</math> |
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| | === सघन उपस्थान === |
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| | इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं <math>1 \leq p < \infty.</math>एक माप स्थान पर बनें एक पूर्णांक जो सरल कार्य <math>f</math> पर <math>S</math> एक सामान्य रूप है जो इस प्रकार है |
| | <math display="block">f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}</math> |
| | जब <math>a_j</math> अदिश राशि है तो यह <math>A_j \in \Sigma</math> परिमित उपाय भी है और <math>{\mathbf 1}_{A_j}</math> समूह का सूचक कार्य है <math>A_j,</math>के लिए <math>j = 1, \dots, n.</math> एकीकरण के निर्माण से समाकलनीय सरल फलनों का सदिश स्थान सघन होता है <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math> |
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| === हिल्बर्ट रिक्त स्थान === | | अगर <math>S</math> बढ़ते अनुक्रम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है <math>(V_n)</math> खुले समूहों का परिमित माप है फिर स्थान <math>p</math>-अभिन्न निरंतर कार्य में सघन है तो यह <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math> सीमित निरंतर कार्यों का उपयोग कर सकता है क्योंकि यह खुले समूहों में गायब हो जाते हैं यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब <math>S = \Reals^d</math> और <math>\mu</math> लेबेस्ग उपाय इसमें सम्मिलित होता है तथा निरंतर और समर्थित कार्यों का स्थान सघन होता है जैसे <math>L^p(\Reals^d).</math> इसी तरह यह स्थान परिबद्ध अंतरालों के संकेतक कार्यों की रैखिक अवधि है जब <math>d = 1,</math>घिरे हुए आयतों का तथा <math>d = 2</math> परिबद्ध अंतरालों के उत्पादों के रूप में होता है। |
| {{See also|Square-integrable function}}
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| प्रमात्रा यांत्रिकी को लेकर [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस|प्रसंभाव्य गणना]] तक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं तथा इसमें <math>L^2</math> और <math>\ell^2</math> दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं वास्तव में हिल्बर्ट आधार विश्लेषण <math>E,</math>जबकि एक अधिकतम प्रसामान्य विश्लेषण <math>L^2</math> या कोई हिल्बर्ट स्पेस लोकप्रिय होता है।
| | इसमें सामान्य कार्यों के कई गुण <math>L^p(\Reals^d)</math> पहले निरंतर रूप से समर्थित कार्यों के लिए सिद्ध होते हैं फिर घनत्व द्वारा सभी कार्यों के लिए विस्तारित होते हैं उदाहरण के लिए यह इस तरह सिद्ध होता है कि अनुवाद निरंतर जारी है जो निम्नलिखित अर्थ में है |
| | <math display="block">\forall f \in L^p \left(\Reals^d\right) : \quad \left\|\tau_t f - f \right\|_p \to 0,\quad \text{as } \Reals^d \ni t \to 0,</math> |
| | तब |
| | <math display="block">(\tau_t f)(x) = f(x - t).</math> |
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| == {{math|''p''}}}-परिमित आयामों में मानदंड == | | == अनुप्रयोग == |
| [[Image:Vector-p-Norms qtl1.svg|thumb|right|[[ यूनिट सर्कल ]] के उदाहरण ([[superellipse]] भी देखें) में <math>\Reals^2</math> भिन्न पर आधारित है <math>p</math>-नॉर्म्स (मूल से यूनिट सर्कल तक प्रत्येक वेक्टर की लंबाई एक होती है, लंबाई की गणना इसी के लंबाई-सूत्र के साथ की जाती है <math>p</math>).]]एक वेक्टर की लंबाई <math>x = (x_1, x_2, \dots, x_n)</math> में <math>n</math>-आयामी [[वास्तविक संख्या]] वेक्टर अंतरिक्ष <math>\Reals^n</math> आमतौर पर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है:
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| <math display="block">\|x\|_2 = \left({x_1}^2 + {x_2}^2 + \dotsb + {x_n}^2\right)^{1/2}.</math>
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| दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी <math>x</math> और <math>y</math> लंबाई है <math>\|x - y\|_2</math> दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा का। कई स्थितियों में, किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है। इसका एक सादृश्य टैक्सी ड्राइवरों द्वारा एक ग्रिड स्ट्रीट योजना में सुझाया गया है, जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं, बल्कि [[टैक्सीकैब ज्यामिति]] के संदर्भ में मापना चाहिए, जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो ऑर्थोगोनल हैं या एक दूसरे के समानांतर। का वर्ग <math>p</math>-मानदंड इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित, भौतिकी और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के कई हिस्सों में इसके अनुप्रयोगों की बहुतायत है।
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| === परिभाषा ===
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| वास्तविक संख्या के लिए <math>p \geq 1,</math> <math>p</math>-मानक या<math>L^p</math>-मानक <math>x</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
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| <math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p\right)^{1/p}.</math>
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| निरपेक्ष मान बार तब गिराए जा सकते हैं जब <math>p</math> एक परिमेय संख्या है जिसका एक सम अंश इसके घटे हुए रूप में है, और <math>x</math> वास्तविक संख्याओं के समुच्चय या उसके किसी एक उपसमुच्चय से निकाला जाता है।
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| ऊपर से यूक्लिडियन मानदंड इस वर्ग में आता है और यह है <math>2</math>-मानदंड, और <math>1</math>-नॉर्म वह मानदंड है जो टैक्सीकैब ज्योमेट्री से मेल खाता है।
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| <math>L^\infty</math>-norm या Chebyshev दूरी (या एकसमान मानदंड) की सीमा है <math>L^p</math>-मानदंड के लिए <math>p \to \infty.</math> यह पता चला है कि यह सीमा निम्नलिखित परिभाषा के बराबर है:
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| <math display="block">\|x\|_\infty = \max \left\{|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|\right\}</math>
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| एल-इन्फिनिटी देखें|{{math|''L''}}-अनंतता।
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| सभी के लिए <math>p \geq 1,</math> <math>p</math>ऊपर परिभाषित मानदंड और अधिकतम मानदंड वास्तव में लंबाई फ़ंक्शन (या [[मानदंड (गणित)]]) के गुणों को संतुष्ट करते हैं, जो कि हैं:
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| *केवल शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य होती है,
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| *सदिश की लंबाई एक अदिश (यूलर के सजातीय कार्य प्रमेय) द्वारा गुणन के संबंध में सकारात्मक सजातीय है, और
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| *दो सदिशों के योग की लंबाई सदिशों की लंबाई के योग (त्रिकोण असमानता) से बड़ी नहीं है।
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| संक्षेप में, इसका मतलब यह है कि <math>\Reals^n</math> इसके साथ <math>p</math>-नॉर्म एक [[नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस]] है। इसके अलावा, यह पता चला है कि यह स्थान पूर्ण है, इस प्रकार यह एक बनच स्थान बना रहा है। यह बनच स्थान है <math>L^p</math>-अंतरिक्ष खत्म <math>\{1, 2, \ldots, n\}.</math>
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| ==== के बीच संबंध {{math|''p''}}-मानदंड ==
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| दो बिंदुओं के बीच की ग्रिड दूरी या सीधीरेखीय दूरी (कभी-कभी मैनहटन दूरी कहलाती है) उनके बीच के रेखाखंड की लंबाई से कम नहीं होती (यूक्लिडियन या कौवा मक्खियों की दूरी के रूप में)। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि किसी भी सदिश का यूक्लिडियन मानदंड उसके 1-मानदंड से घिरा है:
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| <math display="block">\|x\|_2 \leq \|x\|_1 .</math>
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| यह तथ्य सामान्यीकृत करता है <math>p</math>-मानदंडों कि में <math>p</math>-आदर्श <math>\|x\|_p</math> किसी दिए गए वेक्टर का <math>x</math> साथ नहीं बढ़ता <math>p</math>:
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| {{block indent | em = 1.5 | text = <math>\|x\|_{p+a} \leq \|x\|_p</math> for any vector <math>x</math> and real numbers <math>p \geq 1</math> and <math>a \geq 0.</math> (In fact this remains true for <math>0 < p < 1</math> and <math>a \geq 0</math> .)}}
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| विपरीत दिशा के लिए, निम्नलिखित संबंध के बीच <math>1</math>-मानदंड और <math>2</math>-नॉर्म जाना जाता है:
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| <math display="block">\|x\|_1 \leq \sqrt{n} \|x\|_2 ~.</math>
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| यह असमानता आयाम पर निर्भर करती है <math>n</math> अंतर्निहित सदिश स्थान का और कॉची-श्वार्ज़ असमानता से सीधे अनुसरण करता है।
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| सामान्य तौर पर, वैक्टर के लिए <math>\Complex^n</math> कहाँ <math>0 < r < p:</math>
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| <math display="block">\|x\|_p \leq \|x\|_r \leq n^{\frac{1}{r} - \frac{1}{p}} \|x\|_p ~.</math>
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| यह होल्डर की असमानता का परिणाम है।
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| === कब {{math|0 < ''p'' < 1}}===
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| [[Image:Astroid.svg|thumb|right|[[एस्ट्रॉयड]], यूनिट सर्कल इन <math>p = \tfrac{2}{3}</math> मीट्रिक]]में <math>\Reals^n</math> के लिए <math>n > 1,</math> सूत्र
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| <math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2| ^p + \cdots + |x_n|^p\right)^{1/p}</math>
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| के लिए एक बिल्कुल सजातीय कार्य को परिभाषित करता है <math>0 < p < 1;</math> हालाँकि, परिणामी फ़ंक्शन एक मानदंड को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि यह [[उप-विषमता]] नहीं है। दूसरी ओर सूत्र है
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| <math display="block">|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p</math>
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| पूर्ण एकरूपता खोने की कीमत पर उप-योगात्मक कार्य को परिभाषित करता है। यह एक [[एफ-स्पेस]] | एफ-नॉर्म को परिभाषित करता है, हालांकि, जो डिग्री का सजातीय है <math>p.</math>
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| इसलिए, समारोह
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| <math display="block">d_p(x, y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p</math>
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| एक [[मीट्रिक स्थान]] परिभाषित करता है। मीट्रिक स्थान <math>(\Reals^n, d_p)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\ell_n^p.</math>
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| हालांकि <math>p</math>-यूनिट बॉल <math>B_n^p</math> इस मीट्रिक में मूल के आसपास अवतल है, जिस पर टोपोलॉजी परिभाषित है <math>\Reals^n</math> मीट्रिक द्वारा <math>B_p</math> की सामान्य वेक्टर स्पेस टोपोलॉजी है <math>\Reals^n,</math> इस तरह <math>\ell_n^p</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल]] टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है। इस गुणात्मक कथन से परे, उत्तलता की कमी को मापने का एक मात्रात्मक तरीका <math>\ell_n^p</math> द्वारा निरूपित करना है <math>C_p(n)</math> सबसे छोटा स्थिरांक <math>C</math> जैसे कि अदिश गुणक <math>C \, B_n^p</math> की <math>p</math>-यूनिट बॉल में उत्तल हल होता है <math>B_n^p,</math> जो बराबर है <math>B_n^1.</math> तथ्य यह है कि निश्चित के लिए <math>p < 1</math> अपने पास
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| <math display="block">C_p(n) = n^{\tfrac{1}{p} - 1} \to \infty, \quad \text{as } n \to \infty</math>
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| दिखाता है कि अनंत-आयामी अनुक्रम स्थान <math>\ell^p</math> नीचे परिभाषित, अब स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है।{{citation needed|date=November 2015}}
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| === कब {{math|1=''p'' = 0}}===
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| वहां एक है <math>\ell_0</math> मानदंड और एक अन्य कार्य जिसे कहा जाता है <math>\ell_0</math> मानदंड (उद्धरण चिह्नों के साथ)।
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| गणितीय परिभाषा <math>\ell_0</math> मानदंड [[स्टीफन बानाच]] के रैखिक संचालन के सिद्धांत द्वारा स्थापित किया गया था। एफ-स्पेस ऑफ सीक्वेंस में एफ-स्पेस | एफ-नॉर्म द्वारा प्रदान की गई एक पूर्ण मीट्रिक टोपोलॉजी है
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| <math display="block">(x_n) \mapsto \sum_n 2^{-n} \frac{|x_n|}{1 +|x_n|},</math>
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| जिस पर मेट्रिक लीनियर स्पेस में स्टीफ़न रोलविक्ज़ द्वारा चर्चा की गई है।<ref name="RolewiczControl">{{Citation | title=Functional analysis and control theory: Linear systems | last=Rolewicz | first=Stefan | year=1987 | isbn=90-277-2186-6 | publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers | oclc=13064804 | edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk | series=Mathematics and its Applications (East European Series) | location=Dordrecht; Warsaw | volume=29 | pages=xvi+524| mr=920371| doi=10.1007/978-94-015-7758-8}}{{page needed|date=April 2016}}</ref> <math>\ell_0</math>वें>-सामान्य स्थान का अध्ययन कार्यात्मक विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में किया जाता है।
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| एक और समारोह कहा जाता था <math>\ell_0</math> [[डेविड डोनोहो]] द्वारा मानदंड - जिसका उद्धरण चिह्न चेतावनी देता है कि यह फ़ंक्शन एक उचित मानदंड नहीं है - वेक्टर की गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है <math>x.</math>{{Citation needed|date=September 2022}} कई लेखक उद्धरण चिह्नों को छोड़ कर [[शब्दावली का दुरुपयोग]] करते हैं। शून्य की घात शून्य की परिभाषा |<math>0^0 = 0,</math>का शून्य मानदंड <math>x</math> के बराबर है
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| <math display="block">|x_1|^0 + |x_2|^0 + \cdots + |x_n|^0 .</math>
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| [[File:Lp space animation.gif|alt=An animated gif of p-मानदंड 0.1 से 2 तक 0.05 के चरण के साथ। थंब| पी-मानदंड 0.1 से 2 का एक एनिमेटेड GIF 0.05 के चरण के साथ।]]यह एक आदर्श (गणित) नहीं है क्योंकि यह सजातीय कार्य नहीं है। उदाहरण के लिए, वेक्टर स्केलिंग <math>x</math> एक सकारात्मक स्थिरांक से मानदंड नहीं बदलता है। गणितीय मानदंड के रूप में इन दोषों के बावजूद, गैर-शून्य गणना मानदंड का [[वैज्ञानिक कंप्यूटिंग]], [[सूचना सिद्धांत]] और सांख्यिकी में उपयोग होता है - विशेष रूप से [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] और कम्प्यूटेशनल [[हार्मोनिक विश्लेषण]] में संपीड़ित संवेदन में। मानक नहीं होने के बावजूद, संबंधित मीट्रिक, जिसे [[हैमिंग दूरी]] के रूप में जाना जाता है, एक मान्य दूरी है, क्योंकि दूरी के लिए समरूपता की आवश्यकता नहीं होती है।
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| == {{math|''p''}}}- अनंत आयामों में मानदंड और {{math|''ℓ''{{i sup|''p''}}}} रिक्त स्थान ==
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| === अनुक्रम स्थान {{math|''ℓ''{{i sup|''p''}}}}===
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| {{Details|Sequence space}} <math>p</math>th>-norm को उन सदिशों तक बढ़ाया जा सकता है जिनमें अनंत संख्या में घटक ([[अनुक्रम]]) होते हैं, जो स्थान उत्पन्न करते हैं <math>\ell^p.</math>इसमें विशेष मामलों के रूप में शामिल हैं:
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| * <math>\ell^1,</math> अनुक्रमों का स्थान जिसकी श्रृंखला [[पूर्ण अभिसरण]] है,
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| * <math>\ell^2,</math> वर्ग-संकलन योग्य अनुक्रमों का स्थान, जो एक हिल्बर्ट स्थान है, और
| |
| * <math>\ell^\infty,</math> बंधे हुए अनुक्रमों का स्थान।
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| अनुक्रमों के स्थान में जोड़ और अदिश गुणन निर्देशांक द्वारा समन्वय लागू करके एक प्राकृतिक वेक्टर अंतरिक्ष संरचना होती है। स्पष्ट रूप से, वास्तविक (या सम्मिश्र संख्या) संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के लिए सदिश योग और अदिश क्रिया इस प्रकार दी गई है:
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| <math display="block">\begin{align}
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| & (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1},\ldots) \\
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| = {} & (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\ldots), \\[6pt]
| |
| & \lambda \cdot \left (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots \right) \\
| |
| = {} & (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\ldots).
| |
| \end{align}</math>
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| को परिभाषित करो <math>p</math>-आदर्श:
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| <math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots +|x_n|^p + |x_{n+1}|^p + \cdots\right)^{1/p}</math>
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| यहाँ, एक जटिलता उत्पन्न होती है, अर्थात् दाईं ओर [[श्रृंखला (गणित)]] हमेशा अभिसारी नहीं होती है, उदाहरण के लिए, केवल एक से बना अनुक्रम, <math>(1, 1, 1, \ldots),</math> एक अनंत होगा <math>p</math>-मानक के लिए <math>1 \leq p < \infty.</math> अंतरिक्ष <math>\ell^p</math> तब वास्तविक (या जटिल) संख्याओं के सभी अनंत अनुक्रमों के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि <math>p</math>-सामान्य परिमित है।
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| ऐसे चेक कर सकते हैं <math>p</math> बढ़ता है, सेट <math>\ell^p</math> बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम
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| <math display="block">\left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots\right)</math>
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| इसमें नहीं है <math>\ell^1,</math> लेकिन यह अंदर है <math>\ell^p</math> के लिए <math>p > 1,</math> श्रृंखला के रूप में
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| <math display="block">1^p + \frac{1}{2^p} + \cdots + \frac{1}{n^p} + \frac{1}{(n+1)^p} + \cdots,</math>
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| के लिए भिन्न होता है <math>p = 1</math> ([[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]]), लेकिन के लिए अभिसारी है <math>p > 1.</math>
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| एक भी परिभाषित करता है <math>\infty</math>-नॉर्म [[ अंतिम ]] का उपयोग करना:
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| <math display="block">\|x\|_\infty = \sup(|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|,|x_{n+1}|, \ldots)</math>
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| और संबंधित स्थान <math>\ell^\infty</math> सभी बंधे हुए अनुक्रमों में से। यह पता चला है कि<ref>{{Citation| last1=Maddox | first1=I. J. | title=Elements of Functional Analysis | publisher=CUP | location=Cambridge | edition=2nd | year=1988}}, page 16</ref>
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| <math display="block">\|x\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \|x\|_p</math>
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| यदि दाहिना भाग परिमित है, या बायाँ पक्ष अनंत है। इस प्रकार, हम विचार करेंगे <math>\ell^p</math> के लिए रिक्त स्थान <math>1 \leq p \leq \infty.</math>
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| <math>p</math>वें>-मानदंड इस प्रकार परिभाषित किया गया <math>\ell^p</math> वास्तव में एक आदर्श है, और <math>\ell^p</math> इस मानदंड के साथ एक बनच स्थान है। पूरी तरह से सामान्य <math>L^p</math> स्थान प्राप्त किया जाता है - जैसा कि नीचे देखा गया है - सदिशों पर विचार करके, न केवल परिमित या गणनीय-अपरिमित रूप से कई घटकों के साथ, बल्कि मनमाने ढंग से कई घटकों के साथ; दूसरे शब्दों में, कार्य (गणित)। एक योग के बजाय एक [[अभिन्न]] का उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जाता है <math>p</math>-आदर्श।
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| === सामान्य ℓ<sup>पी </सुप>-अंतरिक्ष ===
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| पूर्ववर्ती परिभाषा के पूर्ण सादृश्य में कोई स्थान को परिभाषित कर सकता है <math>\ell^p(I)</math> एक सामान्य [[सूचकांक सेट]] पर <math>I</math> (और <math>1 \leq p < \infty</math>) जैसा
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| <math display="block">\ell^p(I) = \left\{(x_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^I : \sum_{i \in I} |x_i|^p < +\infty\right\},</math>
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| जहां दाईं ओर अभिसरण का अर्थ है कि केवल गिने-चुने योग शून्येतर हैं ([[बिना शर्त अभिसरण]] भी देखें)।
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| आदर्श के साथ
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| <math display="block">\|x\|_p = \left(\sum_{i\in I} |x_i|^p\right)^{1/p}</math>
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| अंतरिक्ष <math>\ell^p(I)</math> बनच स्थान बन जाता है।
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| मामले में जहां <math>I</math> के साथ परिमित है <math> n</math> तत्व, यह निर्माण उपज देता है <math>\Reals^n</math> साथ <math>p</math>-मानदंड ऊपर परिभाषित।
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| अगर <math>I</math> गणनीय रूप से अनंत है, यह बिल्कुल अनुक्रम स्थान है <math>\ell^p</math> ऊपर परिभाषित।
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| बेशुमार सेट के लिए <math>I</math> यह एक गैर-वियोज्य अंतरिक्ष बनच स्थान है जिसे स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष की [[प्रत्यक्ष सीमा]] के रूप में देखा जा सकता है <math>\ell^p</math>-अनुक्रम रिक्त स्थान।<ref>Rafael Dahmen, Gábor Lukács: ''Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms.'' in: ''Topology and its Applications'' Nr. 270, 2020. Example 2.14 </ref>
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| के लिए <math>p = 2,</math> <math>\|\,\cdot\,\|_2</math>-मानदंड भी एक विहित आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है <math>\langle \,\cdot,\,\cdot\rangle,</math> इसको कॉल किया गया{{visible anchor|Euclidean inner product}}, जिसका अर्थ है कि <math>\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle}</math> सभी वैक्टर के लिए धारण करता है <math>\mathbf{x}.</math> यह आंतरिक उत्पाद [[ध्रुवीकरण पहचान]] का उपयोग करके मानदंड के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
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| पर <math>\ell^2,</math> द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
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| <math display=block>\langle \left(x_i\right)_{i}, \left(y_n\right)_{i} \rangle_{\ell^2} ~=~ \sum_i x_i \overline{y_i}</math>
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| जबकि अंतरिक्ष के लिए <math>L^2(X, \mu)</math> एक माप (गणित) के साथ संबद्ध <math>(X, \Sigma, \mu),</math> जिसमें सभी [[स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन]] शामिल हैं, यह है
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| <math display=block>\langle f, g \rangle_{L^2} = \int_X f(x) \overline{g(x)}\, \mathrm dx.</math>
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| अब मामले पर विचार करें <math>p = \infty.</math> परिभाषित करना{{refn|group=note|The condition <math>\sup\operatorname{range} |x| < + \infty.</math> is not equivalent to <math>\sup\operatorname{range} |x|</math> being finite, unless <math>X \neq \varnothing.</math>}}
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| <math display="block">\ell^\infty(I)=\{x\in \mathbb K^I : \sup\operatorname{range}|x|<+\infty\},</math>
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| जहां सभी के लिए <math>x</math><ref>{{cite book|last1=Garling|first1=D. J. H.|title=Inequalities: A Journey into Linear Analysis|date=2007|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-87624-7|page=54}}</ref>{{refn|group=note|If <math>X = \varnothing</math> then <math>\sup\operatorname{range} |x| = - \infty.</math>}}
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| <math display="block">\|x\|_\infty\equiv\inf\{C \in \Reals_{\geq 0}:|x_i| \leq C\text{ for all } i \in I\} = \begin{cases}\sup\operatorname{range}|x|&\text{if } X\neq\varnothing,\\0&\text{if } X=\varnothing.\end{cases}</math>
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| सूचकांक सेट <math>I</math> इसे Σ-बीजगणित#सरल सेट-आधारित उदाहरण|असतत σ-बीजगणित और गिनती के उपाय देकर माप स्थान में बदला जा सकता है। फिर अंतरिक्ष <math>\ell^p(I)</math> अधिक सामान्य का सिर्फ एक विशेष मामला है <math>L^p</math>-स्पेस (नीचे परिभाषित)।
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| == एल<sup>p</sup> रिक्त स्थान और Lebesgue इंटीग्रल ==
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| एक <math>L^p</math> अंतरिक्ष को मापने योग्य कार्यों के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए <math>p</math>[[निरपेक्ष मूल्य]] की -थ शक्ति [[लेबेस्ग इंटीग्रेबल]] है, जहां ऐसे कार्यों की पहचान की जाती है जो लगभग हर जगह सहमत होते हैं। अधिक आम तौर पर, चलो <math>(S, \Sigma, \mu)</math> एक माप स्थान हो और <math>1 \leq p \leq \infty.</math><ref group="note">The definitions of <math>\|\cdot\|_p,</math> <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu),</math> and <math>L^p(S,\, \mu)</math> can be extended to all <math>0 < p \leq \infty</math> (rather than just <math>1 \leq p \leq \infty</math>), but it is only when <math>1 \leq p \leq \infty</math> that <math>\|\cdot\|_p</math> is guaranteed to be a norm (although <math>\|\cdot\|_p</math> is a [[quasi-seminorm]] for all <math>0 < p \leq \infty,</math>).</ref> कब <math>p</math> वास्तविक है (अर्थात, <math>p \neq \infty</math>), सेट पर विचार करें <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> सभी मापने योग्य कार्यों की <math>f</math> से <math>S</math> को <math>\Complex</math> या <math>\Reals</math> जिसका निरपेक्ष मान को बढ़ा दिया गया है <math>p</math>-वें शक्ति का एक परिमित अभिन्न, या समकक्ष है, वह
| | === आंकड़े === |
| <math display="block">\|f\|_p ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left(\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} < \infty.</math>
| | आँकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति और सांख्यिकीय फैलाव के उपाय जैसे कि माध्य , मध्यिका और मानक विचलन के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं तथा गणित और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान के रूप में चित्रित किया जा सकता है । |
| के लिए <math>p = \infty,</math> अंतरिक्ष <math>\mathcal{L}^\infty(S,\mu)</math> मापने योग्य कार्यों का स्थान है <math>f</math> लगभग हर जगह घिरा हुआ है, जिसका सेमिनोर्म <math>\|f\|_\infty</math> इन सीमाओं का (पूर्ण मान) [[सबसे कम]] है, जो कब <math>\mu(S) \neq 0</math> इसके पूर्ण मूल्य के आवश्यक उच्चतम के समान है:{{refn|group=note|If <math>\mu(S) = 0</math> then <math>\operatorname{esssup}|f| = -\infty.</math>}}
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| <math display="block">\|f\|_\infty ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \inf \{C \in \Reals_{\geq 0} : |f(s)| \leq C \text{ for almost every } s\} = \begin{cases}\operatorname{esssup}|f| & \text{if } 0 < \mu(S),\\ 0 & \text{if } 0 = \mu(S).\end{cases}</math> दो कार्य <math>f</math> और <math>g</math> पर परिभाषित <math>S</math> कहा जाता है {{em|equal [[almost everywhere]]}}, लिखा हुआ {{em|<math>f = g</math> a.e.}}, अगर सेट <math>\{s \in S : f(s) \neq g(s)\}</math> मापने योग्य है और इसका माप शून्य है। इसी प्रकार, उपरोक्त परिभाषा में,<math>|f(s)| \leq C</math> लगभग हर के लिए <math>s</math>इसका मतलब है कि (जरूरी) औसत दर्जे का सेट <math>\{s \in S : |f(s)| > C\}</math> माप शून्य है।
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| उदाहरण के लिए, यदि <math>f</math> एक मापने योग्य कार्य है जो इसके बराबर है <math>0</math> लगभग हर जगह<ref group="note" name="Non0Value0Example">For example, if a non-empty measurable set <math>N \neq \varnothing</math> of measure <math>\mu(N) = 0</math> exists then its [[indicator function]] <math>\mathbf{1}_N</math> satisfies <math>\|\mathbf{1}_N\|_p = 0</math> although <math>\mathbf{1}_N \neq 0.</math></ref> तब <math>\|f\|_p = 0</math> हरएक के लिए <math>p</math> और इस तरह <math>f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> सभी के लिए <math>p.</math> का सेमिनोर्म्ड स्थान <math>p</math>-थ पावर इंटीग्रेबल फंक्शन
| | दंडित प्रतिगमन में L1 दंड और L2 दंड का अर्थ या तो दंडित करना है किसी समाधान के पैरामीटर मानों के सदिश का मानदण्ड अर्थात् इसके निरपेक्ष मानों का योग या इसके मानदंड तथा इसकी यूक्लिडियन लंबाई तकनीकें जो एलएएसएसओ जैसी L1 दंड का उपयोग करती हैं व समाधान को भी प्रोत्साहित करती हैं जहां कई पैरामीटर शून्य हैं तकनीकें जो L2 दंड का उपयोग करती हैं जैसे रिज प्रतिगमन उन समाधानों को प्रोत्साहित करती हैं जहां अधिकांश पैरामीटर मान छोटे होते हैं तथा लोचदार शुद्ध नियमितीकरण एक दंड अवधि का उपयोग करते हैं जो कि संयोजन है तथा मानदंड और पैरामीटर सदिश का मानदंड है। |
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| कार्यों का प्रत्येक सेट <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> जब जोड़ और अदिश गुणन को बिंदुवार परिभाषित किया जाता है, तो एक सदिश समष्टि बनाता है।<ref group="note">Explicitly, the vector space operations are defined by:
| | === हॉसडॉर्फ-यंग असमानता === |
| <math display="block">\begin{align}
| | लिप्यंतरण वास्तविक रेखा के लिए रूपांतरित होता है जो आवधिक कार्यों के लिए लिप्यन्तरण नक्शे को क्रमशः यह रिज-थोरिन इंटरपोलेशन प्रमेय का परिणाम कहा जाता है तथा नियमित युवा असमानता के साथ बनाया गया है । |
| (f+g)(x) &= f(x)+g(x), \\
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| (s f)(x) &= s f(x)
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| \end{align}</math>
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| for all <math>f, g \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> and all scalars <math>s.</math> These operations make <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> into a vector space because if <math>s</math> is any scalar and <math>f, g \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> then both <math>s f</math> and <math>f + g</math> also belong to <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu).</math></ref> वह दो का योग है <math>p</math>-थ पावर इंटीग्रेबल फंक्शन <math>f</math> और <math>g</math> फिर से है <math>p</math>-सम्पूर्ण शक्ति इससे प्रवाहित होती है <math display=inline>\|f + g\|_p^p \leq 2^{p-1} \left(\|f\|_p^p + \|g\|_p^p\right),</math><ref group="proof" name="UpperBoundForNormOfSum">When <math>1 \leq p < \infty,</math> the inequality <math>\|f + g\|_p^p \leq 2^{p-1} \left(\|f\|_p^p + \|g\|_p^p\right)</math> can be deduced from the fact that the function <math>F : [0, \infty) \to \Reals</math> defined by <math>F(t) = t^p</math> is [[Convex function|convex]], which by definition means that <math>F(t x + (1 - t) y) \leq t F(x) + (1 - t) F(y)</math> for all <math>0 \leq t \leq 1</math> and all <math>x, y</math> in the domain of <math>F.</math> Substituting <math>|f|, |g|,</math> and <math>\tfrac{1}{2}</math> in for <math>x, y,</math> and <math>t</math> gives <math>\left(\tfrac{1}{2}|f| + \tfrac{1}{2}|g|\right)^p \leq \tfrac{1}{2} |f|^p + \tfrac{1}{2} |g|^p,</math> which proves that <math>(|f| + |g|)^p \leq 2^{p-1} (|f|^p + |g|^p).</math> The triangle inequality <math>|f + g| \leq |f| + |g|</math> now implies <math>|f + g|^p \leq 2^{p-1} (|f|^p + |g|^p).</math> The desired inequality follows by integrating both sides. <math>\blacksquare</math></ref> हालांकि यह भी मिन्कोव्स्की असमानता|मिन्कोव्स्की की असमानता का परिणाम है
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| <math display="block">\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p</math> जो यह स्थापित करता है <math>\|\cdot\|_p</math> के लिए त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है <math>1 \leq p \leq \infty</math> (त्रिभुज असमानता धारण नहीं करती है <math>0 < p < 1</math>).
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| वह <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है, जिसके कारण है <math>\|\cdot\|_p</math> [[पूर्ण समरूपता]], जिसका अर्थ है <math>\|s f\|_p = |s| \|f\|_p</math> प्रत्येक अदिश के लिए <math>s</math> और हर समारोह <math>f.</math> पूर्ण एकरूपता, त्रिभुज असमानता और गैर-नकारात्मकता एक [[सेमिनोर्म]] के परिभाषित गुण हैं।
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| इस प्रकार <math>\|\cdot\|_p</math> एक सेमिनॉर्म और सेट है <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> का <math>p</math>-थ पावर इंटीग्रेबल फंक्शन फंक्शन के साथ मिलकर काम करता है <math>\|\cdot\|_p</math> एक [[सेमीनॉर्मड वेक्टर स्पेस]] को परिभाषित करता है। सामान्य तौर पर, सेमिनॉर्म <math>\|\cdot\|_p</math> एक सामान्य (गणित) नहीं है क्योंकि मापने योग्य कार्य मौजूद हो सकते हैं <math>f</math> जो संतुष्ट करता है <math>\|f\|_p = 0</math> लेकिन नहीं हैं {{em|identically}} के बराबर <math>0</math><ref group=note name=Non0Value0Example />(<math>\|\cdot\|_p</math> एक आदर्श है अगर और केवल अगर ऐसा नहीं है <math>f</math> मौजूद)।
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| के शून्य सेट <math>p</math>-सेमिनोर्म्स
| | इसके विपरीत लिप्यन्तरण रूपांतरण में नक्शा नहीं होता है। |
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| {{anchor|kernel}}
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| अगर <math>f</math> मापने योग्य और बराबर है <math>0</math> ए.ई. तब <math>\|f\|_p = 0</math> सभी सकारात्मक के लिए <math>p \leq \infty.</math>
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| वहीं दूसरी ओर अगर <math>f</math> एक मापने योग्य कार्य है जिसके लिए कुछ मौजूद है <math>0 < p \leq \infty</math> ऐसा है कि <math>\|f\|_p = 0</math> तब <math>f = 0</math> लगभग हर जगह। कब <math>p</math> परिमित है तो यह इस प्रकार से है <math>p = 1</math> मामला और सूत्र <math>\|f\|_p^p = \||f|^p\|_1,</math> जो स्वयं से अनुसरण करता है <math>\|f\|_p^r = \|f^r\|_{p/r},</math> जो कभी भी धारण करता है <math>f \geq 0</math> मापने योग्य है, <math>r > 0</math> वास्तविक है, और <math>0 < p \leq \infty</math> (कहाँ <math>\infty / r \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \infty</math> कब <math>p = \infty</math>).
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| इस प्रकार यदि <math>p \leq \infty</math> सकारात्मक है और <math>f</math> कोई मापने योग्य कार्य है, फिर <math>\|f\|_p = 0</math> अगर और केवल अगर <math>f = 0</math> [[लगभग हर जगह]]। चूंकि दाहिने हाथ की ओर (<math>f = 0</math> a.e.) का उल्लेख नहीं है <math>p,</math> यह सब इस प्रकार है <math>\|\cdot\|_p</math> एक ही शून्य सेट है (यह निर्भर नहीं करता है <math>p</math>). तो इस सामान्य सेट को निरूपित करें
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| <math display="block">\mathcal{N} \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \{f : f = 0 \ \mu\text{-almost everywhere} \} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\} \qquad \forall \ p.</math>
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| यह समुच्चय की सदिश उपसमष्टि है <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> प्रत्येक सकारात्मक के लिए <math>p \leq \infty.</math> भागफल वेक्टर स्थान
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| हर सेमिनॉर्म की तरह, सेमिनॉर्म <math>\|\cdot\|_p</math> के विहित [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] पर एक मानदंड (गणित) (शीघ्र ही परिभाषित) को प्रेरित करता है <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> इसके वेक्टर सबस्पेस द्वारा
| | हिल्बर्ट रिक्त स्थान |
| <math display="inline">\mathcal{N} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\}.</math>
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| इस नॉर्म्ड कोशेंट स्पेस को कहा जाता है {{em|Lebesgue space}} और यह इस लेख का विषय है। हम भागफल सदिश समष्टि को परिभाषित करके प्रारंभ करते हैं।
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| कोई दिया <math>f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu),</math> [[ सह समुच्चय ]] <math>f + \mathcal{N} \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \{f + h : h \in \mathcal{N}\}</math> सभी मापने योग्य कार्यों के होते हैं <math>g</math> कि बराबर हैं <math>f</math> लगभग हर जगह।
| | वर्ग-समाकलनीय समीकरण कार्यक्रम का समाकलन। |
| सभी सहसमुच्चयों का समुच्चय, जिसे विशिष्ट रूप से निरूपित किया जाता है
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| <math display="block">\mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N} ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~~ \{f + \mathcal{N} : f \in \mathcal{L}^p(S, \mu)\},</math> | |
| सदिश समष्टि बनाता है जब सदिश योग और अदिश गुणन द्वारा परिभाषित किया जाता है <math>(f + \mathcal{N}) + (g + \mathcal{N}) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; (f + g) + \mathcal{N}</math> और <math>s (f + \mathcal{N}) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; (s f) + \mathcal{N}.</math> यह विशेष भागफल सदिश स्थान द्वारा निरूपित किया जाएगा <math>L^p(S,\, \mu) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N}.</math>
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| दो कोसेट बराबर हैं <math>f + \mathcal{N} = g + \mathcal{N}</math> अगर और केवल अगर <math>g \in f + \mathcal{N}</math> (या समकक्ष, <math>f - g \in \mathcal{N}</math>), जो होता है अगर और केवल अगर <math>f = g</math> लगभग हर जगह; अगर ऐसा है तो <math>f</math> और <math>g</math> भागफल स्थान में पहचाने जाते हैं। <math>p</math>वें>- भागफल सदिश स्थान पर मानदंड
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| कोई दिया <math>f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu),</math> सेमिनोर्म का मूल्य <math>\|\cdot\|_p</math> कोसेट पर <math>f + \mathcal{N} = \{f + h : h \in \mathcal{N}\}</math> स्थिर और बराबर है <math>\|f\|_p;</math> द्वारा इस अद्वितीय मूल्य को निरूपित करें <math>\|f + \mathcal{N}\|_p,</math> ताकि:
| | प्रमात्रा यांत्रिकी से लेकर भारी गणना तक हिल्बर्ट रिक्त कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं रिक्त स्थान दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं वास्तव में हिल्बर्ट आधार चुनकर एक अधिकतम प्रसामान्य उप समूह कोई हिल्बर्ट रिक्त कोई सममित रूप से समरूप का एक हिल्बर्ट स्थान है। |
| <math display=block>\|f + \mathcal{N}\|_p \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \|f\|_p.</math> यह असाइनमेंट <math>f + \mathcal{N} \mapsto \|f + \mathcal{N}\|_p</math> एक मानचित्र को परिभाषित करता है, जिसे इसके द्वारा भी दर्शाया जाएगा <math>\|\cdot\|_p,</math> भागफल स्थान पर (रैखिक बीजगणित)
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| <math display="block">L^p(S, \mu) ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~~ \mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N} ~=~ \{f + \mathcal{N} : f \in \mathcal{L}^p(S, \mu)\}.</math>
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| यह नक्शा एक नॉर्म (गणित) पर है <math>L^p(S, \mu)</math> इसको कॉल किया गया {{em|{{visible anchor|p-norm|text=<math>p</math>-norm}}}}.
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| मूल्य <math>\|f + \mathcal{N}\|_p</math> एक कोसेट का <math>f + \mathcal{N}</math> विशेष कार्य से स्वतंत्र है <math>f</math> जिसे कोसेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुना गया था, जिसका अर्थ है कि यदि <math>\mathcal{C} \in L^p(S, \mu)</math> कोई सहसमुच्चय है <math>\|\mathcal{C}\|_p = \|f\|_p</math> हरएक के लिए <math>f \in \mathcal{C}</math> (तब से <math>\mathcal{C} = f + \mathcal{N}</math> हरएक के लिए <math>f \in \mathcal{C}</math>).
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| लेबेस्ग्यू <math>L^p</math> अंतरिक्ष
| | == परिमित आयामों में पी ''- मानदंड'' == |
| | इकाई वृत्तों के उदाहरण भिन्न पर आधारित है जैसे नॉर्म्स मूल इकाई वृत्त रूपांतरण में प्रत्येक सदिश की लंबाई एक होती है क्योंकि लम्बाई की गणना इसी सूत्र के साथ की जाती है |
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| नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस <math>\left(L^p(S, \mu), \|\cdot\|_p\right)</math> कहा जाता है {{em|<math>L^p</math> space}} या {{em|Lebesgue space}} का <math>p</math>-थ पावर इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस और यह हर किसी के लिए एक बैनच स्पेस है <math>1 \leq p \leq \infty</math> (जिसका अर्थ है कि यह एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] है, एक परिणाम जिसे कभी-कभी रिज-फिशर प्रमेय कहा जाता है)।
| | एक सदिश की लंबाई में-आयामी वास्तविक सदिश अंतरिक्ष आमतौर पर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है जो |
| जब अंतर्निहित स्थान को मापता है <math>S</math> तब समझा जाता है <math>L^p(S, \mu)</math> अक्सर संक्षिप्त किया जाता है <math>L^p(\mu),</math> या यहाँ तक कि बस <math>L^p.</math> लेखक के आधार पर, सबस्क्रिप्ट नोटेशन <math>L_p</math> या तो निरूपित कर सकता है <math>L^p(S, \mu)</math> या <math>L^{1/p}(S, \mu).</math> यदि सेमिनॉर्म <math>\|\cdot\|_p</math> पर <math>\mathcal{L}^p(S,\, \mu)</math> एक मानक होता है (जो होता है अगर और केवल अगर <math>\mathcal{N} = \{0\}</math>) फिर मानदंड स्थान <math>\left(\mathcal{L}^p(S,\, \mu), \|\cdot\|_p\right)</math> रैखिक मानचित्र [[isometrically isomorphic]] to the normaled quotient space होगा <math>\left(L^p(S, \mu), \|\cdot\|_p\right)</math> कैनोनिकल मानचित्र के माध्यम से <math>g \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) \mapsto \{g\}</math> (तब से <math>g + \mathcal{N} = \{g\}</math>); दूसरे शब्दों में, वे, एक रेखीय समरूपता [[तक]], समान मानक स्थान होंगे और इसलिए वे दोनों कहे जा सकते हैं<math>L^p</math> अंतरिक्ष ।
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| उपरोक्त परिभाषाएँ Bochner रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत हैं।
| | दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी और लंबाई है दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा कई स्थितियों में किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है एक ग्रिड स्ट्रीट योजना में टैक्सी चालकों द्वारा इसका एक उपाय सुझाया गया है जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं बल्कि सीधी रेखा की दूरी को संदर्भ में मापना चाहिए जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो समकोण हैं या एक दूसरे के समानांतर वर्ग का मानदंड हैं जो इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित , भौतिकी ,और कंप्यूटर विज्ञान के कई हिस्सों में अनुप्रयोगों की सहायता करते हैं। |
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| सामान्य तौर पर, इस प्रक्रिया को उलटा नहीं किया जा सकता है: के प्रत्येक सहसमुच्चय के एक विहित प्रतिनिधि को परिभाषित करने का कोई सुसंगत तरीका नहीं है <math>\mathcal{N}</math> में <math>L^p.</math> के लिए <math>L^\infty,</math> हालांकि, ऐसी वसूली को सक्षम करने वाला एक भारोत्तोलन सिद्धांत है।
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| === विशेष मामले ===
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| के समान <math>\ell^p</math> रिक्त स्थान, <math>L^2</math> के बीच एकमात्र हिल्बर्ट स्थान है <math>L^p</math> रिक्त स्थान। जटिल मामले में, आंतरिक उत्पाद चालू <math>L^2</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
| | इकाई वृत्त प्रवेशिका |
| <math display="block">\langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x)</math>
| |
| अतिरिक्त आंतरिक उत्पाद संरचना एक समृद्ध सिद्धांत की अनुमति देती है, उदाहरण के लिए, फूरियर श्रृंखला और क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोगों के साथ। में कार्य करता है <math>L^2</math> कभी-कभी स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन, क्वाड्रेटिक रूप से इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस या स्क्वायर-संक्षिप्त फ़ंक्शन कहा जाता है, लेकिन कभी-कभी ये शब्द ऐसे फ़ंक्शन के लिए आरक्षित होते हैं जो किसी अन्य अर्थ में स्क्वायर-इंटीग्रेबल होते हैं, जैसे [[रीमैन इंटीग्रल]] के अर्थ में {{harv|Titchmarsh|1976}}.
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| यदि हम जटिल-मूल्यवान कार्यों का उपयोग करते हैं, तो space <math>L^\infty</math> बिंदुवार गुणन और संयुग्मन के साथ एक क्रम[[विनिमेय]] C*-बीजगणित है। कई माप स्थानों के लिए, सभी सिग्मा-परिमित वाले सहित, यह वास्तव में एक कम्यूटेटिव [[वॉन न्यूमैन बीजगणित]] है। का एक तत्व <math>L^\infty</math> किसी पर एक बाध्य ऑपरेटर को परिभाषित करता है <math>L^p</math> [[गुणा ऑपरेटर]] द्वारा अंतरिक्ष।
| | यह सजातीय कार्य को परिभाषित करता जबकि यह उप कार्य को परिभाषित नहीं करता है क्योंकि यह उप-योगात्मक नहीं है दूसरी ओर यह सूत्र है |
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| के लिए <math>1 \leq p \leq \infty</math> <math>\ell^p</math> रिक्त स्थान का एक विशेष मामला है <math>L^p</math> रिक्त स्थान, जब <math>S = \mathbf{N})</math> [[प्राकृतिक संख्या]]ओं से मिलकर बनता है और <math>\mu</math> मतगणना चालू है <math>\mathbf{N}.</math>अधिक आम तौर पर, अगर कोई किसी सेट पर विचार करता है <math>S</math> गिनती के उपाय के साथ, परिणामी <math>L^p</math> अंतरिक्ष को दर्शाया गया है <math>\ell^p(S).</math> उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष <math>\ell^p(\mathbf{Z})</math>पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित सभी अनुक्रमों का स्थान है, और परिभाषित करते समय <math>p</math>-ऐसी जगह पर मानदंड, सभी पूर्णांकों पर योग करता है। अंतरिक्ष <math>\ell^p(n),</math> कहाँ <math>n</math> के साथ सेट है <math>n</math> तत्व, है <math>\Reals^n</math> के साथ <math>p</math>-मानदंड जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। किसी भी हिल्बर्ट स्पेस की तरह, हर स्पेस <math>L^2</math> एक उपयुक्त के लिए रैखिक रूप से आइसोमेट्रिक है <math>\ell^2(I),</math> जहां सेट की प्रमुखता <math>I</math> इस विशेष के लिए मनमाने ढंग से हिल्बर्टियन आधार की प्रमुखता है <math>L^2.</math>
| | पूर्ण एकरूपता खोने की कीमत पर यह उप-योगात्मक कार्य को परिभाषित करता है यह एक एफ-मानदंड को परिभाषित करता है क्योंकि डिग्री सजातीय है |
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| | इसलिए समारोह एक प्रवेशिका परिभाषित करता है जो प्रवेशिका स्थान द्वारा निरूपित किया जाता है |
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| == एल के गुण<sup>पी </सुप> रिक्त स्थान ==
| | जबकि यह इकाई प्रवेशिका में मूल के आसपास अवतल है जिसे संस्थानिक परिभाषित करता है प्रवेशिका द्वारा सामान्य सदिश रिक्त संस्थानिक है इस तरह स्थानीय रूप से उत्तल संस्थानिक सदिश रिक्त है जो इस गुणात्मक कथन से परे उत्तलता की कमी को मापने का एक मात्रात्मक तरीका निरूपित करता है सबसे छोटा स्थिरांक जैसे कि अदिश गुणक की-इकाई वृत्त में उत्तल हल होता है जो बराबर है तथ्य यह है कि निश्चित करने के लिए अपने पास |
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| असतत मामले में, यदि मौजूद है <math>q < \infty</math> ऐसा है कि <math>f \in L^\infty(S, \mu) \cap L^q(S, \mu),</math> तब
| | अनंत-आयामी अनुक्रम स्थान नीचे परिभाषित तथा स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है। <sup>[ ''उद्धरण वांछित'' ]</sup> |
| <math display="block">\|f\|_\infty = \lim_{p \to \infty}\|f\|_p.</math>
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| होल्डर की असमानता
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| कल्पना करना <math>p, q, r \in [1, \infty]</math> संतुष्ट करना <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = \tfrac{1}{r}</math> (कहाँ <math>\tfrac{1}{\infty} := 0</math>). अगर <math>f \in L^p(S, \mu)</math> और <math>g \in L^q(S, \mu)</math> तब <math>f g \in L^r(S, \mu)</math> और{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=1–4}}
| | === जब ''पी'' = 0 === |
| <math display=block>\|f g\|_r ~\leq~ \|f\|_p \, \|g\|_q.</math>
| | यह एक मानदंड है जिसे आदर्श या अन्य कार्य भी कहा जाता है |
| यह असमानता, जिसे होल्डर की असमानता कहा जाता है, एक मायने में इष्टतम है{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=1–4}} अगर के बाद से <math>r = 1</math> (इसलिए <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math>) और <math>f</math> एक मापने योग्य कार्य है जैसे कि | |
| <math display=block>\sup_{\|g\|_q \leq 1} \, \int_S |f g| \, \mathrm{d} \mu ~<~ \infty</math> जहां सुप्रीमम को बंद यूनिट बॉल पर ले जाया जाता है <math>L^q(S, \mu),</math> तब <math>f \in L^p(S, \mu)</math> और
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| <math display=block>\|f\|_p ~=~ \sup_{\|g\|_q \leq 1} \, \int_S f g \, \mathrm{d} \mu.</math>
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| [[मिन्कोव्स्की असमानता]]
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| Minkowski असमानता, जो बताता है कि <math>\|\cdot\|_p</math> त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है, सामान्यीकृत किया जा सकता है:
| | जो गणितीय मानदंड बनच के ''रैखिक संचालन के सिद्धांत'' द्वारा स्थापित किया गया था यहॉं अनुक्रमों के स्थान में एफ-मानदंड द्वारा प्रदान की गई एक पूर्ण प्रवेशिका संस्थानिक है ''जिस पर प्रवेशिका रिक्त'' में स्टीफन रोलविक्ज़ द्वारा चर्चा की गई है सामान्य स्थान का कार्यात्मक विश्लेषण संभाव्यता सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में अध्ययन किया जाता है इसे एक और समारोह कहा जाता था डेविड डोनोहो द्वारा मानक जिसका उद्धरण चिह्न चेतावनी देता है कि यह कार्यक्रम एक उचित मानदंड नहीं है किन्तु यह सदिश की गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है<sup>[ ''उद्धरण वांछित'' ]</sup> कई लेखक उद्धरण चिह्नों को छोड़ कर शब्दावली का दुरुपयोग करते हैं जो परिभाषित शून्य आदर्श के बराबर है। |
| यदि मापने योग्य कार्य <math>F : S_1 \times S_2 \to \Reals</math> तो सभी के लिए गैर-नकारात्मक है <math>1 \leq p \leq q \leq \infty,</math>{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|p=4}}
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| <math display=block>\left\|\left\|F(\,\cdot, s_2)\right\|_{L^p(S_1, \mu_1)}\right\|_{L^q(S_2, \mu_2)}
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| ~\leq~ \left\|\left\|F(s_1, \cdot)\right\|_{L^q(S_2, \mu_2)}\right\|_{L^p(S_1, \mu_1)} \ .</math>
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| === परमाणु अपघटन ===
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| अगर <math>1 \leq p < \infty</math> फिर हर गैर-नकारात्मक <math>f \in L^p(\mu)</math> एक है {{em|atomic decomposition}},{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=7–8}} का अर्थ है कि एक अनुक्रम मौजूद है <math>(r_n)_{n \in \Z}</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का और गैर-ऋणात्मक कार्यों का एक क्रम <math>(f_n)_{n \in \Z},</math> बुलाया {{em|the atoms}}, जिसका समर्थन करता है <math>\left(\operatorname{supp} f_n\right)_{n \in \Z}</math> माप के असंयुक्त सेट हैं <math>\mu\left(\operatorname{supp} f_n\right) \leq 2^{n+1},</math> ऐसा है कि
| | यह एक आदर्श नहीं है क्योंकि यह सजातीय नहीं है उदाहरण के लिए रियेक्टर स्केलिंग आदि। |
| <math display=block>f ~=~ \sum_{n \in \Z} r_n \, f_n \, ,</math>
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| और प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>n \in \Z,</math>
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| <math display=block>\|f_n\|_\infty ~\leq~ 2^{-\tfrac{n}{p}} \, ,</math> और
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| <math display=block>\tfrac{1}{2} \|f\|_p^p ~\leq~ \sum_{n \in \Z} r_n^p ~\leq~ 2 \|f\|^p_p \, ,</math>
| |
| और जहाँ इसके अलावा, कार्यों का क्रम <math>(r_n f_n)_{n \in \Z}</math> पर ही निर्भर करता है <math>f</math> (यह स्वतंत्र है <math>p</math>).{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=7–8}}
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| ये असमानताएं इसकी गारंटी देती हैं <math>\|f_n\|_p^p \leq 2</math> सभी पूर्णांकों के लिए <math>n</math> जबकि का समर्थन करता है <math>(f_n)_{n \in \Z}</math> जोड़ो में असंयुक्त होने का तात्पर्य है{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=7–8}}
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| <math display=block>\|f\|_p^p ~=~ \sum_{n \in \Z} r_n^p \, \|f_n\|^p_p \, .</math>
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| प्रत्येक पूर्णांक के लिए पहले परिभाषित करके एक परमाणु अपघटन स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है <math>n \in \Z,</math>{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=7–8}}
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| <math display=block>t_n = \inf \{t \in \Reals : \mu(f > t) < 2^n\}</math>
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| (यह infinum द्वारा प्राप्त किया जाता है <math>t_n;</math> वह है, <math>\mu(f > t_n) < 2^n</math> रखता है) और फिर दे रहा है
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| <math display=block>r_n ~=~ 2^{n/p} \, t_n ~ \text{ and } \quad f_n ~=~ \frac{f}{r_n} \, \mathbf{1}_{(t_{n+1} < f \leq t_n)}</math>
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| कहाँ <math>\mu(f > t) = \mu(\{s : f(s) > t\})</math> सेट के माप को दर्शाता है <math>(f > t) := \{s \in S : f(s) > t\}</math> और <math>\mathbf{1}_{(t_{n+1} < f \leq t_n)}</math> सेट के [[सूचक समारोह]] को दर्शाता है <math>(t_{n+1} < f \leq t_n) := \{s \in S : t_{n+1} < f(s) \leq t_n\}.</math> क्रम <math>(t_n)_{n \in \Z}</math> घट रहा है और में मिल रहा है <math>0</math> जैसा <math>n \to \infty.</math>{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=7–8}} नतीजतन, अगर <math>t_n = 0</math> तब <math>t_{n+1} = 0</math> और <math>(t_{n+1} < f \leq t_n) = \varnothing</math> ताकि <math>f_n = \frac{1}{r_n} \, f \,\mathbf{1}_{(t_{n+1} < f \leq t_n)}</math> के समान है <math>0</math> (विशेष रूप से, विभाजन <math>\tfrac{1}{r_n}</math> द्वारा <math>r_n = 0</math> कोई समस्या नहीं पैदा करता है)।
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| [[पूरक संचयी वितरण समारोह]] <math>t \in \Reals \mapsto \mu(|f| > t)</math> का <math>|f| = f</math> जिसका उपयोग परिभाषित करने के लिए किया गया था <math>t_n</math> कमजोर की परिभाषा में भी दिखाई देता है <math>L^p</math>-नॉर्म (नीचे दिया गया है) और इसे व्यक्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है <math>p</math>-आदर्श <math>\|\cdot\|_p</math> (के लिए <math>1 \leq p < \infty</math>) का <math>f \in L^p(S, \mu)</math> अभिन्न के रूप में{{sfn|Bahouri|Chemin|Danchin|2011|pp=7–8}}
| | एक सकारात्मक स्थिरांक से मानक नहीं बदलता है गणितीय मानदंड के रूप में इन दोषों के बाद भी गैर-शून्य गणना मानक का वैज्ञानिक गणितीय सूचना सिद्धांत और सांख्यिकी में उपयोग होता है विशेष रूप से चिन्हित क्षमता और अभिकलन हार्मोनिक विश्लेषण में संपीड़ित संवेदन में मानदंड न होने के बाद संबद्ध प्रवेशिका जिसे वजन तथा दूरी के रूप में जाना जाता है यह एक मान्य दूरी है क्योंकि दूरियों के लिए एकरूपता की आवश्यकता नहीं होती है। |
| <math display=block>\|f\|_p^p ~=~ p \, \int_0^\infty t^{p-1} \mu(|f| > t) \, \mathrm{d} t \, ,</math>
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| जहां एकीकरण सामान्य लेबेसेग माप के संबंध में है <math>(0, \infty).</math>
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| === दोहरी रिक्त स्थान ===
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| निरंतर दोहरी (सभी निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं का बनच स्थान)। <math>L^p(\mu)</math> के लिए <math>1 < p < \infty</math> के साथ एक प्राकृतिक समरूपता है <math>L^q(\mu),</math> कहाँ <math>q</math> इस प्रकार कि <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> (अर्थात। <math>q = \tfrac{p}{p-1}</math>). यह समरूपता सहयोगी है <math>g \in L^q(\mu)</math> कार्यात्मक के साथ <math>\kappa_p(g) \in L^p(\mu)^*</math> द्वारा परिभाषित
| | जहां दाईं ओर अभिसरण का अर्थ है कि केवल गिने-चुने योग शून्य नहीं हैं |
| <math display="block">f \mapsto \kappa_p(g)(f) = \int f g \, \mathrm{d}\mu</math> हरएक के लिए <math>f \in L^p(\mu).</math>
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| यह तथ्य कि <math>\kappa_p(g)</math> धारक की असमानता से अच्छी तरह से परिभाषित और निरंतर अनुसरण करता है। <math>\kappa_p : L^q(\mu) \to L^p(\mu)^*</math> एक रेखीय मानचित्रण है जो होल्डर की असमानता द्वारा एक [[आइसोमेट्री]] है # होल्डर की असमानता की चरम समानता। यह दिखाना भी संभव है (उदाहरण के लिए रेडॉन-निकोडीम प्रमेय के साथ, देखें<ref>{{Citation|last1=Rudin | first1=Walter | author1-link=Walter Rudin | title=Real and Complex Analysis | publisher=Tata McGraw-Hill | location=New Delhi | edition=2nd | year=1980 | isbn = 9780070542341}}, Theorem 6.16</ref>) कि कोई <math>G \in L^p(\mu)^*</math> इस तरह व्यक्त किया जा सकता है: यानी, वह <math>\kappa_p</math> चालू है। तब से <math>\kappa_p</math> ऑन और आइसोमेट्रिक है, यह बनच स्पेस का एक [[समाकृतिकता]] है। इस (सममितीय) समरूपता को ध्यान में रखते हुए, सामान्य रूप से बस यही कहना है <math>L^q(\mu)</math> की [[निरंतर दोहरी जगह]] है <math>L^p(\mu).</math>
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| के लिए <math>1 < p < \infty,</math> अंतरिक्ष <math>L^p(\mu)</math> [[प्रतिवर्त स्थान]] है। होने देना <math>\kappa_p</math> ऊपर के रूप में रहो और चलो <math>\kappa_q : L^p(\mu) \to L^q(\mu)^*</math> संगत रेखीय सममिति हो। से मानचित्र पर विचार करें <math>L^p(\mu)</math> को <math>L^p(\mu)^{**},</math> रचना करके प्राप्त किया <math>\kappa_q</math> दोहरे स्थान के साथ # के व्युत्क्रम के एक निरंतर रेखीय मानचित्र (या आसन्न) का स्थानांतरण <math>\kappa_p:</math>
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| <math display="block">j_p : L^p(\mu) \mathrel{\overset{\kappa_q}{\longrightarrow}} L^q(\mu)^* \mathrel{\overset{\left(\kappa_p^{-1}\right)^*}{\longrightarrow}} L^p(\mu)^{**}</math>
| | जो अंतरिक्ष बनच स्थान बन जाता है कई स्थानों के साथ परिमित तत्व हैं यह निर्माण उपज त करता है अगर यह गणनीय रूप सकाअतो यह बिल्कुल अनुक्रम स्थान है इसमें समूह के लिए यह एक गैर- वियोज्य बनच स्थान है जिसे स्थानीय रूप से उत्तल प्रत्यक्ष सीमा के रूप में देखा जा सकता है-अनुक्रम रिक्त स्थान |
| यह नक्शा रिफ्लेक्सिव स्पेस#परिभाषाओं के साथ मेल खाता है <math>J</math> का <math>L^p(\mu)</math> इसकी बोली में। इसके अलावा, नक्शा <math>j_p</math> दो पर आइसोमेट्री की संरचना के रूप में चालू है, और यह रिफ्लेक्सिविटी साबित करता है। | |
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| यदि माप <math>\mu</math> पर <math>S</math> [[सिग्मा-परिमित]] है, फिर का दोहरा <math>L^1(\mu)</math> isometrically isomorphic है <math>L^\infty(\mu)</math> (अधिक सटीक, नक्शा <math>\kappa_1</math> तदनुसार <math>p = 1</math> से एक आइसोमेट्री है <math>L^\infty(\mu)</math> पर <math>L^1(\mu)^*.</math>
| | इसके लिए मानदंड भी एक सतत आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है इसमें यूक्लिडियन में ''आंतरिक उत्पाद'' है जिसका अर्थ है किसी भी वैज्ञानिक रॉशि को सदिश धारण करता है यह आंतरिक उत्पाद ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग करके आदर्श के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। |
| का द्वैत <math>L^\infty(\mu)</math> सूक्ष्मतर है। घटक <math>L^\infty(\mu)^*</math> परिबद्ध रूप से हस्ताक्षरित परिमित योगात्मक उपायों से पहचाना जा सकता है <math>S</math> के संबंध में [[बिल्कुल निरंतर]] हैं <math>\mu.</math> अधिक जानकारी के लिए [[ बा अंतरिक्ष ]] देखें। यदि हम पसंद के स्वयंसिद्ध मान लें, तो यह स्थान इससे बहुत बड़ा है <math>L^1(\mu)</math> कुछ तुच्छ मामलों को छोड़कर। हालांकि, [[सहारों शेलाह]] ने साबित किया कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी के अपेक्षाकृत सुसंगत विस्तार हैं (ZF + आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध + वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक उपसमुच्चय में बायर संपत्ति है) जिसमें दोहरी का <math>\ell^\infty</math> है <math>\ell^1.</math><ref>{{Citation|title=Handbook of Analysis and its Foundations|last=Schechter |first=Eric|year=1997| publisher=Academic Press Inc.|location=London}} See Sections 14.77 and 27.44–47</ref>
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| === एम्बेडिंग ===
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| बोलचाल में, अगर <math>1 \leq p < q \leq \infty,</math> तब <math>L^p(S, \mu)</math> ऐसे कार्य शामिल हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं, जबकि के तत्व <math>L^q(S, \mu)</math> अधिक फैलाया जा सकता है। अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें <math>(0, \infty).</math> में एक सतत कार्य <math>L^1</math> के पास फट सकता है <math>0</math> लेकिन अनंत की ओर पर्याप्त तेजी से क्षय होना चाहिए। दूसरी ओर, निरंतर कार्य करता है <math>L^\infty</math> बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है, लेकिन विस्फोट की अनुमति नहीं है। सटीक तकनीकी परिणाम निम्नलिखित है।<ref name="VillaniEmbeddings">{{Citation|title=Another note on the inclusion {{math|''L<sup>p</sup>''(''μ'') ⊂ ''L<sup>q</sup>''(''μ'')}}|last=Villani|first=Alfonso|year=1985|journal=Amer. Math. Monthly|volume=92|number=7|pages=485–487|doi=10.2307/2322503|mr=801221|jstor=2322503}}</ref> लगता है कि <math>0 < p < q \leq \infty.</math> तब:
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| #<math>L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)</math> अगर और केवल अगर <math>S</math> परिमित के सेट नहीं होते हैं लेकिन मनमाने ढंग से बड़े माप (उदाहरण के लिए कोई परिमित माप)।
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| #<math>L^p(S, \mu) \subseteq L^q(S, \mu)</math> अगर और केवल अगर <math>S</math> गैर-शून्य के सेट शामिल नहीं हैं लेकिन मनमाने ढंग से छोटे उपाय (गिनती के उपाय, उदाहरण के लिए)।
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| Lebesgue माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है, जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित सेट पर गिनती माप के लिए हैं। दोनों ही मामलों में एम्बेडिंग निरंतर है, जिसमें पहचान ऑपरेटर एक सीमित रैखिक मानचित्र है <math>L^q</math> को <math>L^p</math> पहले मामले में, और <math>L^p</math> को <math>L^q</math> क्षण में।
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| (यह [[बंद ग्राफ प्रमेय]] और गुणों का परिणाम है <math>L^p</math> रिक्त स्थान।)
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| दरअसल, अगर डोमेन <math>S</math> परिमित माप है, होल्डर की असमानता का उपयोग करके निम्नलिखित स्पष्ट गणना की जा सकती है
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| <math display="block">\ \|\mathbf{1}f^p\|_1 \leq \|\mathbf{1}\|_{q/(q-p)} \|f^p\|_{q/p}</math>
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| के लिए अग्रणी | |
| <math display="block">\ \|f\|_p \leq \mu(S)^{1/p - 1/q} \|f\|_q .</math>
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| उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाला निरंतर इष्टतम है, इस अर्थ में कि पहचान का [[ऑपरेटर मानदंड]] <math>I : L^q(S, \mu) \to L^p(S, \mu)</math> ठीक है
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| <math display="block">\|I\|_{q,p} = \mu(S)^{1/p - 1/q}</math>
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| समानता का मामला ठीक उसी समय प्राप्त किया जा रहा है <math>f = 1</math> <math>\mu</math>-लगभग हर जगह।
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| === सघन उपस्थान ===
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| इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं <math>1 \leq p < \infty.</math>
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| होने देना <math>(S, \Sigma, \mu)</math> एक माप स्थान बनें। एक पूर्णांक सरल कार्य <math>f</math> पर <math>S</math> एक रूप है
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| <math display="block">f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}</math>
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| कहाँ <math>a_j</math> अदिश हैं, <math>A_j \in \Sigma</math> परिमित उपाय है और <math>{\mathbf 1}_{A_j}</math> सेट का सूचक कार्य है <math>A_j,</math> के लिए <math>j = 1, \dots, n.</math> Lebesgue एकीकरण के निर्माण से, समाकलनीय सरल फलनों का सदिश स्थान सघन होता है <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math>
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| अधिक कहा जा सकता है जब <math>S</math> एक [[सामान्य स्थान]] सामयिक स्थान है और <math>\Sigma</math> यह बोरेल बीजगणित है | बोरेल {{sigma}}–बीजगणित, यानी सबसे छोटा {{sigma}}–के सबसेट का बीजगणित <math>S</math> खुले सेट युक्त।
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| कल्पना करना <math>V \subseteq S</math> के साथ एक खुला सेट है <math>\mu(V) < \infty.</math> यह साबित किया जा सकता है कि हर बोरेल सेट के लिए <math>A \in \Sigma</math> में निहित <math>V,</math> और प्रत्येक के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> एक बंद सेट मौजूद है <math>F</math> और एक खुला सेट <math>U</math> ऐसा है कि
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| <math display="block">F \subseteq A \subseteq U \subseteq V \quad \text{and} \quad \mu(U) - \mu(F) = \mu(U \setminus F) < \varepsilon</math>
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| यह इस प्रकार है कि एक निरंतर उरीसोहन की लेम्मा#औपचारिक बयान मौजूद है <math>0 \leq \varphi \leq 1</math> पर <math>S</math> वह है <math>1</math> पर <math>F</math> और <math>0</math> पर <math>S \setminus U,</math> साथ
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| <math display="block">\int_S |\mathbf{1}_A - \varphi| \, \mathrm{d}\mu < \varepsilon \, .</math>
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| अगर <math>S</math> बढ़ते अनुक्रम द्वारा कवर किया जा सकता है <math>(V_n)</math> खुले सेटों का परिमित माप है, फिर का स्थान <math>p</math>-अभिन्न निरंतर कार्य सघन है <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math> अधिक सटीक रूप से, कोई भी सीमित निरंतर कार्यों का उपयोग कर सकता है जो खुले सेटों में से एक के बाहर गायब हो जाते हैं <math>V_n.</math> यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब <math>S = \Reals^d</math> और जब <math>\mu</math> लेबेस्ग उपाय है। निरंतर और कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों का स्थान सघन है <math>L^p(\Reals^d).</math> इसी तरह, इंटीग्रेबल स्टेप फ़ंक्शंस का स्थान सघन है <math>L^p(\Reals^d);</math> यह स्थान परिबद्ध अंतरालों के संकेतक कार्यों की रैखिक अवधि है जब <math>d = 1,</math> घिरे हुए आयतों का जब <math>d = 2</math> और आमतौर पर परिबद्ध अंतरालों के उत्पादों की।
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| में सामान्य कार्यों के कई गुण <math>L^p(\Reals^d)</math> पहले निरंतर और कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों (कभी-कभी चरण कार्यों के लिए) के लिए सिद्ध होते हैं, फिर घनत्व द्वारा सभी कार्यों के लिए विस्तारित होते हैं। उदाहरण के लिए, यह इस तरह सिद्ध होता है कि अनुवाद निरंतर जारी है <math>L^p(\Reals^d),</math> निम्नलिखित अर्थ में:
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| <math display="block">\forall f \in L^p \left(\Reals^d\right) : \quad \left\|\tau_t f - f \right\|_p \to 0,\quad \text{as } \Reals^d \ni t \to 0,</math>
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| कहाँ
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| <math display="block">(\tau_t f)(x) = f(x - t).</math>
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| | जबकि अंतरिक्ष के लिए एक माप स्थान के साथ जुड़ा हुआ है जिसमें सभी वर्ग-पूर्ण कार्यक्रम सम्मिलित हैं। |
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| === बंद उप-स्थान === | | === बंद उप-स्थान === |
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| अगर <math>\mu</math> मापने योग्य स्थान पर एक संभाव्यता माप है <math>(S, \Sigma),</math> <math>0 < p < \infty</math> कोई सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और <math>V \subseteq L^\infty(\mu)</math> एक सदिश उपसमष्टि है, तब <math>V</math> की बंद उपसमष्टि है <math>L^p(\mu)</math> अगर और केवल अगर <math>V</math> परिमित-आयामी है{{sfn|Rudin|1991|pp=117–119}} (ध्यान दें कि <math>V</math> से स्वतंत्र चुना गया था <math>p</math>). | | अगर <math>\mu</math> मापने योग्य स्थान पर एक संभाव्यता माप है तो यह <math>(S, \Sigma),</math> <math>0 < p < \infty</math> कोई सकारात्मक वास्तविक संख्या है और <math>V \subseteq L^\infty(\mu)</math> एक सदिश उप समष्टि है तब <math>V</math> बंद उप समष्टि है <math>L^p(\mu)</math> अगर <math>V</math> परिमित-आयामी है{{sfn|Rudin|1991|pp=117–119}} तो इस प्रमेय में जो [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] के कारण हैं {{sfn|Rudin|1991|pp=117–119}} यह महत्वपूर्ण है जैसे सदिश स्थान <math>V</math> का उपसमुच्चय <math>L^\infty</math> हो तो अनंत-विमीय बंद सदिश उप समष्टि का निर्माण संभव है <math>L^1\left(S^1, \tfrac{1}{2\pi}\lambda\right)</math>कहाँ <math>\lambda</math> इकाई वृत्त की माप है <math>S^1</math> और <math>\tfrac{1}{2\pi} \lambda</math> संभाव्यता माप है जो इसे इसके द्रव्यमान से विभाजित करने का परिणाम है जैसे <math>\lambda(S^1) = 2 \pi.</math>{{sfn|Rudin|1991|pp=117–119}} |
| इस प्रमेय में, जो [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] के कारण है,{{sfn|Rudin|1991|pp=117–119}} यह महत्वपूर्ण है कि सदिश स्थान <math>V</math> का उपसमुच्चय हो <math>L^\infty</math> क्योंकि अनंत-विमीय बंद सदिश उपसमष्टि का निर्माण संभव है <math>L^1\left(S^1, \tfrac{1}{2\pi}\lambda\right)</math> (यह भी का एक सबसेट है <math>L^4</math>), कहाँ <math>\lambda</math> यूनिट सर्कल पर Lebesgue माप है <math>S^1</math> और <math>\tfrac{1}{2\pi} \lambda</math> संभाव्यता माप है जो इसे इसके द्रव्यमान से विभाजित करने का परिणाम है <math>\lambda(S^1) = 2 \pi.</math>{{sfn|Rudin|1991|pp=117–119}} | |
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| =={{math|''L<sup>p</sup>'' (0 < ''p'' < 1)}}== | | =={{math|''L<sup>p</sup>'' (0 < ''p'' < 1)}}== |
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| होने देना <math>(S, \Sigma, \mu)</math> एक माप स्थान बनें। अगर <math>0 < p < 1,</math> तब <math>L^p(\mu)</math> ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: यह उन औसत दर्जे के कार्यों का भागफल वेक्टर स्थान है <math>f</math> ऐसा है कि
| | वेक्टर के पास उत्तल पड़ोस की मूलभूत प्रणाली नहीं हैविशेष रूप से, यह सच है यदि माप स्थान |
| | |
| | S में परिमित धनात्मक माप के असंयुक्त मापने योग्य समूहों का एक अनंत परिवार होता है। |
| | |
| | जो गैर-खाली उत्तल खुला समूह स्थान है (रुडिन 1991) एक विशेष परिणाम के रूप में कोई गैर-शून्य निरंतर रैखिक कार्य नहीं हैं सतत दोहरा स्थान शून्य स्थान है प्राकृतिक संख्याओं पर गिनती माप के स्थान में अनुक्रम स्थान का निर्माण इस प्रकार है |
| | |
| | इसमें परिबद्ध रेखीय फलन |
| | ℓ |
| | <nowiki> </nowiki> |
| | अर्थात् वे जो क्रम में दिए गए हैं |
| | ℓ |
| | ∞ |
| | . जबकि |
| | ℓ में गैर-तुच्छ उत्तल खुले समूह होते हैं यह टोपोलॉजी के लिए आधार देने के लिए उनमें से पर्याप्त होने में विफल रहता है जैसे |
| <math display="block">N_p(f) = \int_S |f|^p\, d\mu < \infty.</math> | | <math display="block">N_p(f) = \int_S |f|^p\, d\mu < \infty.</math> |
| पहले की तरह, हम पेश कर सकते हैं <math>p</math>-आदर्श <math>\|f\|_p = N_p(f)^{1/p},</math> लेकिन <math>\|\cdot\|_p</math> इस मामले में त्रिभुज असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, और केवल अर्ध-मानक को परिभाषित करता है। असमानता <math>(a + b)^p \leq a^p + b^p,</math> के लिए मान्य <math>a, b \geq 0,</math> इसका आशय है {{harv|Rudin|1991|loc=§1.47}}
| |
| <math display="block">N_p(f + g) \leq N_p(f) + N_p(g)</math>
| |
| और इसलिए समारोह
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| <math display="block">d_p(f ,g) = N_p(f - g) = \|f - g\|_p^p</math>
| |
| पर एक मीट्रिक है <math>L^p(\mu).</math> परिणामी मीट्रिक स्थान पूर्ण मीट्रिक स्थान है;{{sfn|Rudin|1991|p=37}} सत्यापन परिचित मामले के समान है जब <math>p \geq 1.</math>
| |
| गेंदें
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| <math display=block>B_r = \{f \in L^p : N_p(f) < r\}</math>
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| इस टोपोलॉजी के मूल में एक स्थानीय आधार बनाते हैं, जैसे <math>r > 0</math> सकारात्मक वास्तविकताओं की सीमा होती है।{{sfn|Rudin|1991|p=37}} ये गेंदें संतुष्ट करती हैं <math>B_r = r^{1/p} B_1</math> सभी वास्तविक के लिए <math>r > 0,</math> जो विशेष रूप से दर्शाता है <math>B_1</math> उत्पत्ति का एक घिरा हुआ सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) पड़ोस है;{{sfn|Rudin|1991|p=37}} दूसरे शब्दों में, यह स्थान स्थानीय रूप से बँधा हुआ है, वैसे ही हर आदर्श स्थान के बावजूद <math>\|\cdot\|_p</math> आदर्श नहीं होना।
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| इस सेटिंग में <math>L^p</math> विपरीत मिन्कोव्स्की असमानता को संतुष्ट करता है, जो कि के लिए है <math>u, v \in L^p</math>
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| <math display="block">\Big\||u| + |v|\Big\|_p \geq \|u\|_p + \|v\|_p</math>
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| इस परिणाम का उपयोग क्लार्कसन की असमानताओं को साबित करने के लिए किया जा सकता है, जो बदले में रिक्त स्थान के समान उत्तल स्थान को स्थापित करने के लिए उपयोग किया जाता है। <math>L^p</math> के लिए <math>1 < p < \infty</math> {{harv|Adams|Fournier|2003}}.
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| अंतरिक्ष <math>L^p</math> के लिए <math>0 < p < 1</math> एक एफ-स्पेस है: यह एक पूर्ण ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट मीट्रिक को स्वीकार करता है जिसके संबंध में वेक्टर स्पेस ऑपरेशंस निरंतर हैं। यह एक एफ-स्पेस का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है, जो कि अधिकांश उचित माप स्थानों के लिए, स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस नहीं है: <math>\ell^p</math> या <math>L^p([0, 1]),</math> प्रत्येक खुला उत्तल सेट युक्त <math>0</math> समारोह के लिए असीमित है <math>p</math>-अर्ध-आदर्श; इसलिए <math>0</math> वेक्टर के पास उत्तल पड़ोस की मूलभूत प्रणाली नहीं है। विशेष रूप से, यह सच है यदि माप स्थान <math>S</math> परिमित सकारात्मक माप के मापने योग्य सेटों का एक अनंत परिवार शामिल है।
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| केवल गैर-खाली उत्तल खुला सेट <math>L^p([0, 1])</math> संपूर्ण स्थान है {{harv|Rudin|1991|loc=§1.47}}. एक विशेष परिणाम के रूप में, कोई गैर-शून्य निरंतर रैखिक कार्य नहीं हैं <math>L^p([0, 1]);</math> सतत द्वैत स्थान शून्य स्थान है। प्राकृतिक संख्याओं पर गिनती माप के मामले में (अनुक्रम स्थान का निर्माण <math>L^p(\mu) = \ell^p</math>), पर परिबद्ध रेखीय कार्य <math>\ell^p</math> ठीक वही हैं जो बंधे हुए हैं <math>\ell^1,</math> अर्थात् वे जो क्रम में दिए गए हैं <math>\ell^\infty.</math> यद्यपि <math>\ell^p</math> गैर-तुच्छ उत्तल खुले सेट होते हैं, यह टोपोलॉजी के लिए आधार देने के लिए उनमें से पर्याप्त होने में विफल रहता है।
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| विश्लेषण करने के प्रयोजनों के लिए कोई रैखिक कार्य नहीं होने की स्थिति अत्यधिक अवांछनीय है। Lebesgue माप के मामले में <math>\Reals^n,</math> साथ काम करने के बजाय <math>L^p</math> के लिए <math>0 < p < 1,</math> [[हार्डी स्पेस]] के साथ काम करना आम बात है {{math|''H{{i sup|p}}''}} जब भी संभव हो, क्योंकि इसमें काफी कुछ रैखिक कार्य हैं: बिंदुओं को एक दूसरे से अलग करने के लिए पर्याप्त। हालांकि, हन-बनच प्रमेय अभी भी विफल रहता है {{math|''H{{i sup|p}}''}} के लिए <math>p < 1</math> {{harv|Duren|1970|loc=§7.5}}.
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| ==={{math|''L''<sup>0</sup>}}, मापने योग्य कार्यों का स्थान ===
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| मापने योग्य कार्यों का वेक्टर स्थान (तुल्यता वर्ग)। <math>(S, \Sigma, \mu)</math> निरूपित किया जाता है <math>L^0(S, \Sigma, \mu)</math> {{harv|Kalton|Peck|Roberts|1984}}. परिभाषा के अनुसार, इसमें सभी शामिल हैं <math>L^p,</math> और [[माप में अभिसरण]] की टोपोलॉजी से सुसज्जित है। कब <math>\mu</math> एक संभाव्यता उपाय है (यानी, <math>\mu(S) = 1</math>), अभिसरण के इस तरीके को [[संभाव्यता में अभिसरण]] कहा जाता है।
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| वर्णन आसान है जब <math>\mu</math> परिमित है। अगर <math>\mu</math> पर एक परिमित उपाय है <math>(S, \Sigma),</math> <math>0</math> समारोह पड़ोस के निम्नलिखित मौलिक प्रणाली को मापने में अभिसरण के लिए स्वीकार करता है
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| <math display="block">V_\varepsilon = \Bigl\{f : \mu \bigl(\{x : |f(x)| > \varepsilon\} \bigr) < \varepsilon \Bigr\}, \qquad \varepsilon > 0.</math>
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| टोपोलॉजी को किसी भी मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया जा सकता है <math>d</math> फार्म का
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| <math display="block">d(f, g) = \int_S \varphi \bigl(|f(x) - g(x)|\bigr)\, \mathrm{d}\mu(x)</math>
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| कहाँ <math>\varphi</math> निरंतर अवतल और गैर-घटते हुए घिरा हुआ है <math>[0, \infty),</math> साथ <math>\varphi(0) = 0</math> और <math>\varphi(t) > 0</math> कब <math>t > 0</math> (उदाहरण के लिए, <math>\varphi(t) = \min(t, 1).</math> इस तरह के एक मीट्रिक को पॉल लेवी (गणितज्ञ) कहा जाता है|लेवी-मीट्रिक के लिए <math>L^0.</math> इस मीट्रिक के तहत अंतरिक्ष <math>L^0</math> पूरा हो गया है (यह फिर से एक एफ-स्पेस है)। अंतरिक्ष <math>L^0</math> सामान्य रूप से स्थानीय रूप से बाध्य नहीं है, और स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है।
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| अनंत Lebesgue उपाय के लिए <math>\lambda</math> पर <math>\Reals^n,</math> पड़ोस की मूलभूत प्रणाली की परिभाषा को निम्नानुसार संशोधित किया जा सकता है
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| <math display="block">W_\varepsilon = \left\{f : \lambda \left(\left\{x : |f(x)| > \varepsilon \text{ and } |x| < \tfrac{1}{\varepsilon}\right\}\right) < \varepsilon\right\}</math>
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| परिणामी स्थान <math>L^0(\Reals^n, \lambda)</math> टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के साथ मेल खाता है <math>L^0(\Reals^n, g(x) \, \mathrm{d}\lambda(x)),</math> किसी सकारात्मक के लिए <math>\lambda</math>-पूर्ण घनत्व <math>g.</math>
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| == सामान्यीकरण और विस्तार == | | == सामान्यीकरण और विस्तार == |
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| === कमजोर {{math|''L<sup>p</sup>''}}=== | | === समान्यीकरण=== |
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| होने देना <math>(S, \Sigma, \mu)</math> एक माप स्थान बनें, और <math>f</math> वास्तविक या जटिल मूल्यों के साथ एक औसत दर्जे का कार्य <math>S.</math> का संचयी वितरण समारोह <math>f</math> के लिए परिभाषित किया गया है <math>t \geq 0</math> द्वारा
| | समान्यीकरण <math>(S, \Sigma, \mu)</math> एक माप स्थान है और <math>f</math> वास्तविक या जटिल मूल्यों के साथ एक औसत दर्जे का कार्य <math>S.</math> का संचयी वितरण समारोह <math>f</math> के लिए परिभाषित किया गया है जैसे <math>t \geq 0</math> द्वारा इसे दर्शाया गया है जहाँ |
| <math display="block">\lambda_f(t) = \mu\{x \in S : |f(x)| > t\}.</math> | | <math display="block">\lambda_f(t) = \mu\{x \in S : |f(x)| > t\}.</math> |
| अगर <math>f</math> में है <math>L^p(S, \mu)</math> कुछ के लिए <math>p</math> साथ <math>1 \leq p < \infty,</math> फिर मार्कोव की असमानता से,
| |
| <math display="block">\lambda_f(t) \leq \frac{\|f\|_p^p}{t^p}</math>
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| एक समारोह <math>f</math> अंतरिक्ष में कमजोर कहा जाता है <math>L^p(S, \mu)</math>, या <math>L^{p,w}(S, \mu),</math> यदि कोई स्थिरांक है <math>C > 0</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>T > 0,</math>
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| <math display="block">\lambda_f(t) \leq \frac{C^p}{t^p}</math>
| |
| सबसे अच्छा स्थिरांक <math>C</math> इस असमानता के लिए है <math>L^{p,w}</math>-मानक <math>f,</math> और द्वारा दर्शाया गया है
| |
| <math display="block">\|f\|_{p,w} = \sup_{t > 0} ~ t \lambda_f^{1/p}(t).</math> | | <math display="block">\|f\|_{p,w} = \sup_{t > 0} ~ t \lambda_f^{1/p}(t).</math> |
| कमज़ोर <math>L^p</math> लोरेंत्ज़ रिक्त स्थान के साथ मेल खाता है <math>L^{p,\infty},</math> इसलिए इस संकेतन का उपयोग उन्हें निरूपित करने के लिए भी किया जाता है। <math>L^{p,w}</math>वें>-मानदंड सही मानदंड नहीं है, क्योंकि त्रिकोण असमानता धारण करने में विफल रहती है। फिर भी, के लिए <math>f</math> में <math>L^p(S, \mu),</math>
| |
| <math display="block">\|f\|_{p,w} \leq \|f\|_p</math>
| |
| खास तरीके से <math>L^p(S, \mu) \subset L^{p,w}(S, \mu).</math> वास्तव में, एक है
| |
| <math display="block">\|f\|^p_{L^p} = \int |f(x)|^p d\mu(x) \geq \int_{\{|f(x)| > t \}} t^p + \int_{\{|f(x)| \leq t \}} |f|^p \geq t^p \mu(\{|f| > t \}),</math>
| |
| और सत्ता में वृद्धि <math>1/p</math> और सुप्रीमम को अंदर ले जाना <math>t</math> किसी के पास
| |
| <math display="block">\|f\|_{L^p} \geq \sup_{t > 0} t \; \mu(\{|f| > t \})^{1/p} = \|f\|_{L^{p,w}}.</math>
| |
| सम्मेलन के तहत कि दो कार्य समान हैं यदि वे समान हैं <math>\mu</math> लगभग हर जगह, फिर रिक्त स्थान <math>L^{p,w}</math> पूर्ण हैं {{harv|Grafakos|2004}}.
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| किसी के लिए <math>0 < r < p</math> इजहार
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| <math display="block">\|| f |\|_{L^{p,\infty}} = \sup_{0<\mu(E)<\infty} \mu(E)^{-1/r + 1/p} \left(\int_E |f|^r\, d\mu\right)^{1/r}</math>
| |
| की तुलना में है <math>L^{p,w}</math>-आदर्श। मामले में आगे <math>p > 1,</math> यह अभिव्यक्ति एक मानदंड को परिभाषित करती है <math>r = 1.</math> इसलिए के लिए <math>p > 1</math> कमज़ोर <math>L^p</math> रिक्त स्थान बनच स्थान हैं {{harv|Grafakos|2004}}.
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| एक प्रमुख परिणाम जो उपयोग करता है <math>L^{p,w}</math>-स्पेस [[मार्सिंक्यूविज़ इंटरपोलेशन]] है, जिसमें हार्मोनिक विश्लेषण और एकवचन इंटीग्रल के अध्ययन के लिए व्यापक अनुप्रयोग हैं।
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| === भारित {{math|''L<sup>p</sup>''}} रिक्त स्थान === | | === भारित {{math|''L<sup>p</sup>''}} रिक्त स्थान === |
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| पहले की तरह, माप स्थान पर विचार करें <math>(S, \Sigma, \mu).</math> होने देना <math>w : S \to [a, \infty), a > 0</math> एक मापने योग्य कार्य हो। <math>w</math>वें> भारित <math>L^p</math> अंतरिक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है <math>L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu),</math> कहाँ <math>w \, \mathrm{d} \mu</math> मतलब पैमाना <math>\nu</math> द्वारा परिभाषित | | पहले की तरह माप स्थान <math>(S, \Sigma, \mu).</math> है तथा <math>w : S \to [a, \infty), a > 0</math> एक मापने योग्य कार्य हो जो <math>w</math>वें भारित <math>L^p</math> अंतरिक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है <math>L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu),</math> तथा <math>w \, \mathrm{d} \mu</math> पैमाना <math>\nu</math> |
| <math display="block">\nu(A) \equiv \int_A w(x) \, \mathrm{d} \mu (x), \qquad A \in \Sigma,</math>
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| या, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय के संदर्भ में | रैडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न, <math>w = \tfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} \mu}</math> के लिए सामान्य (गणित)। <math>L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)</math> स्पष्ट रूप से है
| |
| <math display="block">\|u\|_{L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)} \equiv \left(\int_S w(x) |u(x)|^p \, \mathrm{d} \mu(x)\right)^{1/p}</math>
| |
| जैसा <math>L^p</math>-स्पेस, वेटेड स्पेस में कुछ खास नहीं है, क्योंकि <math>L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)</math> के बराबर है <math>L^p(S, \mathrm{d} \nu).</math> लेकिन वे हार्मोनिक विश्लेषण में कई परिणामों के लिए प्राकृतिक रूपरेखा हैं {{harv|Grafakos|2004}}<!--Please check this reference. Appears in Grafakos "Modern Fourier analysis", Chapter 9.-->; वे उदाहरण के लिए [[मुकेनहोउट वजन]]: फॉर में दिखाई देते हैं <math>1 < p < \infty,</math> शास्त्रीय हिल्बर्ट परिवर्तन पर परिभाषित किया गया है <math>L^p(\mathbf{T}, \lambda)</math> कहाँ <math>\mathbf{T}</math> यूनिट सर्कल को दर्शाता है और <math>\lambda</math> लेबेस्ग उपाय; (नॉनलाइनियर) हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमल ऑपरेटर बाउंडेड है <math>L^p(\Reals^n, \lambda).</math> मकेनहाउप्ट प्रमेय वजन का वर्णन करता है <math>w</math> ऐसा है कि हिल्बर्ट परिवर्तन पर बँधा रहता है <math>L^p(\mathbf{T}, w \, \mathrm{d} \lambda)</math> और अधिकतम ऑपरेटर चालू <math>L^p(\Reals^n, w \, \mathrm{d} \lambda).</math>
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| | <math>\nu</math> द्वारा परिभाषित<math display="block">\nu(A) \equiv \int_A w(x) \, \mathrm{d} \mu (x), \qquad A \in \Sigma,</math> |
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| ==={{math|''L<sup>p</sup>''}} कई गुना पर रिक्त स्थान === | | ==={{math|''L<sup>p</sup>''}} कई गुना पर रिक्त स्थान === |
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| कोई रिक्त स्थान भी परिभाषित कर सकता है <math>L^p(M)</math> कई गुना पर, आंतरिक कहा जाता है <math>L^p</math> मैनिफोल्ड पर डेंसिटी का उपयोग करते हुए मैनिफोल्ड के रिक्त स्थान।
| | Lp कई रिक्त स्थान परिभाषित कर सकता है <math>L^p(M)</math> पर कई गुना आंतरिक माना जाता है <math>L^p</math> पर घनत्व का उपयोग करते हुए रिक्त स्थान निम्न हैं। |
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| === वेक्टर-मूल्यवान {{math|''L<sup>p</sup>''}} रिक्त स्थान === | | === सदिश-मूल्यवान {{math|''L<sup>p</sup>''}} रिक्त स्थान === |
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| एक माप स्थान दिया गया <math>(\Omega, \Sigma, \mu)</math> और स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थान <math>E</math> (यहां [[पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] माना जाता है), इसके रिक्त स्थान को परिभाषित करना संभव है <math>p</math>-पूर्ण करने योग्य <math>E</math>-मूल्यवान कार्यों पर <math>\Omega</math> कई तरह से। एक तरीका यह है कि Bochner इंटीग्रल और [[पेटीस अभिन्न]] फ़ंक्शंस के स्पेस को परिभाषित किया जाए, और फिर उन्हें स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस [[वेक्टर टोपोलॉजी]] के साथ संपन्न किया जाए। TVS-टोपोलॉजी जो (प्रत्येक अपने तरीके से) सामान्य का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है <math>L^p</math> टोपोलॉजी। दूसरे तरीके में टोपोलॉजिकल टेन्सर उत्पाद शामिल हैं <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu)</math> साथ <math>E.</math> वेक्टर अंतरिक्ष का तत्व <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes E</math> सरल टेन्सर के परिमित योग हैं <math>f_1 \otimes e_1 + \cdots + f_n \otimes e_n,</math> जहां प्रत्येक साधारण टेन्सर <math>f \times e</math> समारोह से पहचाना जा सकता है <math>\Omega \to E</math> जो भेजता है <math>x \mapsto e f(x).</math> यह [[टेंसर उत्पाद]] <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes E</math> इसके बाद स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी के साथ संपन्न होता है जो इसे एक टोपोलॉजिकल टेन्सर उत्पाद में बदल देता है, जिनमें से सबसे आम [[प्रक्षेपी टेन्सर उत्पाद]] हैं, जिन्हें इसके द्वारा निरूपित किया जाता है <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\pi E,</math> और इंजेक्शन टेन्सर उत्पाद, द्वारा निरूपित <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\varepsilon E.</math> सामान्य तौर पर, इनमें से कोई भी स्थान पूर्ण नहीं होता है, इसलिए उनका पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान निर्मित होता है, जिसे क्रमशः निरूपित किया जाता है <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \widehat{\otimes}_\pi E</math> और <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \widehat{\otimes}_\varepsilon E</math> (यह स्केलर-मूल्यवान [[सरल कार्य]]ों की जगह के समान है <math>\Omega,</math> जब किसी के द्वारा अर्धवृत्ताकार <math>\|\cdot\|_p,</math> पूर्ण नहीं है इसलिए एक पूर्णता का निर्माण किया जाता है, जिसके द्वारा उद्धृत किए जाने के बाद <math>\ker \|\cdot\|_p,</math> बनच स्थान के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है <math>L^p(\Omega, \mu)</math>). अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि कब <math>E</math> एक परमाणु स्थान है (एक अवधारणा जिसे उन्होंने पेश किया), फिर ये दो निर्माण क्रमशः, कैनोनिक रूप से टीवीएस-आइसोमॉर्फिक हैं, जिसमें बोचनर और पेटीस अभिन्न कार्यों के स्थान पहले उल्लेखित हैं; संक्षेप में, वे अप्रभेद्य हैं। | | इसमें एक माप स्थान दिया गया <math>(\Omega, \Sigma, \mu)</math> जो स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थान <math>E</math> इसके रिक्त स्थान को परिभाषित करता है यहाँ <math>p</math>-पूर्ण करने योग्य <math>E</math>-मूल्यवान कार्यों पर <math>\Omega</math> कई तरह से परिभाषित किया गया है जो इस प्रकार है <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\pi E,</math> तथा यह टेन्सर उत्पाद द्वारा निरूपित <math>L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\varepsilon E.</math> किया गया है। |
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| == यह भी देखें == | | == यह भी देखें == |
| {{Div col|colwidth=30em}}
| | |
| * {{annotated link|Bochner space}} | | * |
| * {{annotated link|Orlicz space}} | | |
| * {{annotated link|Hardy space}} | | * गणितीय अवधारणा। |
| * {{annotated link|Riesz–Thorin theorem}} | | * सांस्थितिक रिक्त। |
| * {{annotated link|Hölder mean}} | | * जटिल विश्लेषण के भीतर अवधारणा। |
| * {{annotated link|Hölder space}} | | * रीज़्ज़-थोरिन प्रमेय - ऑपरेटर प्रक्षेप पर प्रमेय। |
| * {{annotated link|Root mean square}} | | * होल्डर माध्य - दी गई संख्याओं के अंकगणितीय माध्य का N-वाँ मूल घात n तक बढ़ाया जाता है। |
| * {{annotated link|Least absolute deviations}} | | * होल्डर स्थान - एक जटिल-मूल्यवान कार्यक्रम की निरंतरता का प्रकार। |
| * {{annotated link|Locally integrable function}} <math>\left( L^1_{\text{loc}}\right)</math> | | * मूल माध्य वर्ग - माध्य वर्ग का वर्गमूल। |
| * {{annotated link|Pontryagin duality#Haar measure|<math> L^p(G)</math> spaces over a locally compact group <math>G</math>}} | | * कम से कम निरपेक्ष विचलन - सांख्यिकीय इष्टतमता मानदंड। |
| * {{annotated link|Least-squares spectral analysis}} | | * स्थानीय रूप से अभिन्न कार्य । |
| * {{annotated link|List of Banach spaces}} | | * |
| * {{annotated link|Minkowski distance}} | | * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण - आवधिकता संगणना विधि। |
| * {{annotated link|L-infinity}} | | * बनच स्थानों की सूची। |
| * {{annotated link|Lp sum|''L<sup>p</sup>'' sum}} | | * मिन्कोस्की दूरी - सदिशों या बिन्दुओं के बीच की दूरी को निर्देशांक अंतरों की घातों के योग के मूल के रूप में परिकलित किया जाता है। |
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| | * ''एल <sup>पी</sup>'' राशि। |
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