बलोच क्षेत्र: Difference between revisions

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{{short description|Geometrical representation of the pure state space of a two-level quantum mechanical system}}

[[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]][[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] और[[ क्वांटम कम्प्यूटिंग | परिमाण ~~कम्प्यूटिंग~~]] में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी [[फेलिक्स बलोच]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=परमाणु प्रेरण|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7–8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B |doi-access=free}}; see Arecchi, F T, Courtens, E, Gilmore, R, & Thomas, H (1972). "Atomic coherent states in quantum optics", ''Phys Rev'' '''A6'''(6): 2211</ref>

[[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]][[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] और[[ क्वांटम कम्प्यूटिंग | परिमाण संगणना]] में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी [[फेलिक्स बलोच]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=परमाणु प्रेरण|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7–8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B |doi-access=free}}; see Arecchi, F T, Courtens, E, Gilmore, R, & Thomas, H (1972). "Atomic coherent states in quantum optics", ''Phys Rev'' '''A6'''(6): 2211</ref>

परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] ~~अंतरिक्ष~~ में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट ~~अंतरिक्ष~~ (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट ~~अंतरिक्ष~~ के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट ~~अंतरिक्ष~~ के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है।

परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट स्थल (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट स्थल के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है।

बलोच क्षेत्र एक इकाई [[एन-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)]]-अप और ~~स्पिन~~ (भौतिकी)-~~डाउन~~ अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc">

बलोच क्षेत्र एक इकाई n[[एन-क्षेत्र|-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)|चक्रण (भौतिकी)]]-ऊपर और चक्रण (भौतिकी)-नीचे अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc">

{{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |author-link1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}}

</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere | Quantiki}}</ref> बलोच ~~स्फीयर~~ को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है।

</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere | Quantiki}}</ref> बलोच वृत्त को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है।

ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (दृग्विद्या) के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार उपस्थित हैं और उन्हें जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref name="TML">

Line 32:

:<math>\mathbb{R}^3</math> इकाई क्षेत्र पर बिंदु निर्दिष्ट करें।

[[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] के लिए, एक [[घनत्व ऑपरेटर|घनत्व संचालक]] पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व संचालक {{mvar|ρ}} {{mvar|I}} और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]], [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] [[पॉल मैट्रिसेस]] <math>\vec{\sigma}</math> अस्मिता का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है,

[[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] के लिए, एक [[घनत्व ऑपरेटर|घनत्व संचालक]] पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व संचालक {{mvar|ρ}} {{mvar|I}} और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]], [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] [[पॉल मैट्रिसेस|पॉल आव्यूह]] <math>\vec{\sigma}</math> अस्मिता का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है,

:<math>\begin{align}

\rho &= \frac{1}{2}\left(I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) \\

Line 58:

जहाँ <math>\vec{a} \in \mathbb{R}^3</math> बलोच सदिश कहा जाता है।

~~'''~~यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस~~'''~~ बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, ~~पाउली मैट्रिसेस #~~ पाउली सदिश की मूल विशेषता के रूप में, ~~के आइगेनवेल्यूज़ {{mvar|ρ}} हैं~~ <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math>. घनत्व ~~ऑपरेटरों~~ को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी ~~का अनुसरण करता है~~ <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math>.

यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली सदिश की मूल विशेषता के रूप में, <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math> के अभिलक्षणिक मान {{mvar|ρ}} हैं। घनत्व संचालकों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math> का अनुसरण करता है।

शुद्ध ~~राज्यों~~ के लिए, एक के पास है

शुद्ध अवस्था के लिए, एक के पास निम्न है

:<math>\operatorname{tr}\left(\rho^2\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \left|\vec{a}\right|^2 \right) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \left|\vec{a}\right| = 1 ~,</math>

उपरोक्त के अनुरूप।<ref>The idempotent density matrix

Line 71:

acts on the state eigenvector <math>(\cos\theta/2, e^{i\phi} \sin\theta/2)</math> with eigenvalue 1, so like a [[Projection (linear algebra)| projection operator]] for it.</ref>

नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी परिमाण प्रणाली के सभी शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित राज्यों से मेल खाती है।

== यू, वी, ~~डब्ल्यू~~ प्रतिनिधित्व ==

नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी परिमाण प्रणाली के सभी शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित अवस्था से मेल खाती है।

बलोच सदिश <math>\vec{a} = (u,v,w)</math> घनत्व संचालक के संदर्भ में निम्नलिखित आधार ~~पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है~~ <math>\rho</math>:<ref>{{cite journal|last1=Feynman|first1=Richard|last2=Vernon|first2=Frank|last3=Hellwarth|first3=Robert|s2cid=36493808|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|journal=Journal of Applied Physics|date=January 1957|volume=28|issue=1|pages=49–52|doi=10.1063/1.1722572|bibcode = 1957JAP....28...49F }}</ref>

== u, v, w प्रतिनिधित्व ==

बलोच सदिश <math>\vec{a} = (u,v,w)</math> घनत्व संचालक के संदर्भ में निम्नलिखित आधार <math>\rho</math> पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है :<ref>{{cite journal|last1=Feynman|first1=Richard|last2=Vernon|first2=Frank|last3=Hellwarth|first3=Robert|s2cid=36493808|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|journal=Journal of Applied Physics|date=January 1957|volume=28|issue=1|pages=49–52|doi=10.1063/1.1722572|bibcode = 1957JAP....28...49F }}</ref>

:<math>u = \rho_{10} + \rho_{01} = 2 \operatorname{Re}(\rho_{01})</math>

:<math>v = i(\rho_{01} - \rho_{10}) = 2 \operatorname{Im}(\rho_{10})</math>

Line 84:

Line 85:

\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+w & u-iv \\ u+iv & 1-w \end{pmatrix}.

</math>

यह आधार ~~अक्सर~~ [[ लेज़र ]] सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है, जहां <math>w</math> जनसंख्या व्युत्क्रमण के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book|last1=Milonni|first1=Peter W.|author-link1=Peter W. Milonni|last2=Eberly|first2=Joseph|title=लेजर|date=1988|publisher=Wiley|location=New York|isbn=978-0471627319|page=340}}</ref> इस आधार पर, संख्याएँ <math>u, v, w</math> तीन पाउली ~~मेट्रिसेस~~ की अपेक्षाएं ~~हैं~~ <math>X, Y, Z</math>, एक को xy और z अक्षों के साथ तीन निर्देशांकों की ~~पहचान करने~~ की अनुमति देता है।

यह आधार प्रायः [[ लेज़र |लेज़र]] सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है, जहां <math>w</math> जनसंख्या व्युत्क्रमण के रूप में जाना जाता है। <ref>{{cite book|last1=Milonni|first1=Peter W.|author-link1=Peter W. Milonni|last2=Eberly|first2=Joseph|title=लेजर|date=1988|publisher=Wiley|location=New York|isbn=978-0471627319|page=340}}</ref> इस आधार पर, संख्याएँ <math>u, v, w</math> तीन पाउली आव्यूह की अपेक्षाएं <math>X, Y, Z</math> हैं, एक को xy और z अक्षों के साथ तीन निर्देशांकों की सर्वसमिका की अनुमति देता है।

== शुद्ध अवस्थाएँ ==

एक एन-~~लेवल~~ परिमाण ~~मैकेनिकल~~ प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन एन-~~डायमेंशनल~~ हिल्बर्ट ~~स्पेस एच द्वारा किया गया है~~''n''. परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H ~~की 1-आयामी किरणों का समुच्चय है~~''n''.

एक n-स्तर परिमाण यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन n-विमीय हिल्बर्ट अन्तराल h''n'' द्वारा किया गया है परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H''n'' की 1-आयामी अर्धरेखा का समुच्चय है।

~~प्रमेय।~~ U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक ~~मैट्रिसेस~~ का ~~झूठा~~ समूह होने दें। फिर '~~एच' का शुद्ध स्थिति स्थान~~''n'' ~~कॉम्पैक्ट कोसेट स्पेस~~ के साथ पहचाना जा सकता है

'''प्रमेय.''' U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक आव्यूह का लाइ समूह होने दें। फिर 'H''n''' का शुद्ध स्थिति स्थान सघन सह समुच्चय स्थल के साथ पहचाना जा सकता है

:<math> \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1)). </math>

इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है।~~''n''.~~ यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी स्थिति ~~के लिए~~ <math>|\psi\rangle</math>, का [[आइसोट्रॉपी समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के ~~सेट~~ के रूप में परिभाषित <math>g</math> यू (एन) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए ~~आइसोमोर्फिक~~ है

इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H''n'' की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है। यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी स्थिति <math>|\psi\rangle</math> के लिए, का [[आइसोट्रॉपी समूह|समदैशिकता समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित <math>g</math> u (n) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए समरूपी है

:<math> \operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1). </math>

रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> यू (एन) का जो ~~छोड़ देता है~~ <math>|\psi\rangle</math> अपरिवर्तनीय ~~होना चाहिए~~ <math>|\psi\rangle</math> ~~एक [[आइजन्वेक्टर]] के रूप में।~~ चूंकि संबंधित ~~eigenvalue~~ मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह ~~आइसोट्रॉपी~~ समूह का U(1) कारक देता है। ~~आइसोट्रॉपी~~ समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक ~~मैट्रिसेस~~ द्वारा ~~पैरामीट्रिज किया गया है~~ <math>|\psi\rangle</math>, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन ~~कॉम्पैक्ट~~ समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।

रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> u (n) का जो <math>|\psi\rangle</math> छोड़ देता है। एक [[आइजन्वेक्टर|अभिलक्षणिक सदिश]] के रूप में अपरिवर्तनीय <math>|\psi\rangle</math> होना चाहिए। चूंकि संबंधित अभिलक्षणिक मान मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह समदैशिकता समूह का U(1) कारक देता है। समदैशिकता समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक आव्यूह द्वारा <math>|\psi\rangle</math> प्राचलीकरण किया गया है, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन सघन समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।

ऊपर ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एकात्मक समूह शुद्ध अवस्थाओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।

अब U(n) का (वास्तविक) [[आयाम]] n है2~~</उप>।~~ घातीय मानचित्र के बाद से यह देखना आसान है

अब U(n) का (वास्तविक) [[आयाम]] n2 है। घातीय मानचित्र के बाद से यह देखना आसान है

:<math> A \mapsto e^{i A} </math>

स्व-संलग्न जटिल ~~मैट्रिसेस~~ के स्थान से यू (एन) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n है2~~</उप>।~~

स्व-संलग्न जटिल आव्यूह के स्थान से u (n) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n2 है।

~~परिणाम।~~ 'एच' ~~के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयाम~~''n'' 2n - 2 है।

'''परिणाम.''' 'H''n''' के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयाम 2n - 2 है।

वास्तव में,

:<math> n^2 - \left((n - 1)^2 + 1\right) = 2n - 2. \quad </math>

आइए इसे m ~~qubit~~ परिमाण ~~रजिस्टर~~ के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 ~~हैमी.~~

आइए इसे m क्यूबिट परिमाण क्यूबिट के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 है।

~~'परिणाम'। m-qubit~~ [[क्वांटम रजिस्टर|परिमाण ~~रजिस्टर~~]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2 हैएम+1 − 2.

[[क्वांटम रजिस्टर|परिमाण क्यूबिट]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2m+1 − 2 है।

== ~~स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन ==~~ के माध्यम से शुद्ध दो-~~स्पिनर स्टेट्स प्लॉट~~ करना

== त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से शुद्ध दो-चक्रण स्थिति आलेखन करना ==

[[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|~~बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है~~ <math>\mathbb{R}^3</math>. उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे ~~ओर्थोगोनल~~ हैं, हालांकि ~~ग्राफिक~~ रूप से उनके बीच का कोण π है। ~~में~~ <math>\mathbb{R}^3</math> उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक स्वेच्छाचारी ~~स्पिनर~~ <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> बलोच क्षेत्र पर दो आधार घूर्णक के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है, जिसमें गुणांक जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है; उन्हें α और β कहते हैं। उनका अनुपात ~~होने दें~~ <math>u = {\beta \over \alpha}</math>, जो एक सम्मिश्र संख्या ~~भी है~~ <math>u_x + i u_y</math>. समतल z = 0 पर विचार करें, गोले का विषुवतीय तल, जैसा कि यह था, एक जटिल तल है और बिंदु u को इस रूप में ~~प्लॉट~~ किया गया है <math>(u_x, u_y, 0)</math>. ~~प्रोजेक्ट पॉइंट यू~~ स्टैरियोग्राफिक रूप से बलोच क्षेत्र पर दक्षिण ध्रुव से दूर - जैसा कि था - (0,0,-1)। प्रक्षेपण गोले पर चिह्नित बिंदु ~~पर है~~ <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>.]]शुद्ध अवस्था दी

[[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|<math>\mathbb{R}^3</math> बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है। उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे आयतीय हैं, हालांकि लेखाचित्रीय रूप से उनके बीच का कोण π है। <math>\mathbb{R}^3</math> में उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक स्वेच्छाचारी स्पाइनर <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> बलोच क्षेत्र पर दो आधार घूर्णक के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है, जिसमें गुणांक जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है; उन्हें α और β कहते हैं। उनका अनुपात <math>u = {\beta \over \alpha}</math> होने दें, जो एक सम्मिश्र संख्या <math>u_x + i u_y</math> भी है। समतल z = 0 पर विचार करें, गोले का विषुवतीय तल, जैसा कि यह था, एक जटिल तल है और बिंदु u को इस रूप में क्षेत्रक किया गया है <math>(u_x, u_y, 0)</math>. परियोजना बिन्दु u स्टैरियोग्राफिक रूप से बलोच क्षेत्र पर दक्षिण ध्रुव से दूर - जैसा कि - (0,0,-1) था। प्रक्षेपण गोले पर चिह्नित बिंदु <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> पर है .]]शुद्ध अवस्था प्रदान की

: <math> \alpha \left|\uparrow \right\rangle + \beta \left|\downarrow \right\rangle = \left|\nearrow \right\rangle </math>

जहाँ <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> जटिल संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जाता है ताकि

: <math> |\alpha|^2 + |\beta|^2 = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = 1</math>

और ऐसा है <math>\langle\downarrow | \uparrow\rangle = 0</math> और <math>\langle\downarrow | \downarrow\rangle = \langle\uparrow | \uparrow\rangle = 1</math>,

अर्थात्, ऐसा कि <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर ~~चलो~~

अर्थात्, ऐसा कि <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर मान लीजिये

:<math> u = {\beta \over \alpha} = {\alpha^* \beta \over \alpha^* \alpha} = {\alpha^* \beta \over |\alpha|^2} = u_x + i u_y</math>

उनका अनुपात हो।

यदि बलोच क्षेत्र ~~को अंतर्निहित माना जाता है~~ <math>\mathbb{R}^3</math> मूल में इसके केंद्र के साथ और त्रिज्या एक के साथ, फिर ~~विमान~~ z = 0 (जो बलोच क्षेत्र को एक बड़े वृत्त पर काटता है; गोले का भूमध्य रेखा, जैसा कि था) को [[अरगंड आरेख]] के रूप में माना जा सकता है। इस ~~विमान~~ में ~~प्लॉट पॉइंट यू~~ - ताकि अंदर <math>\mathbb{R}^3</math> इसके निर्देशांक ~~हैं~~ <math>(u_x, u_y, 0)</math>.

यदि बलोच क्षेत्र <math>\mathbb{R}^3</math> को अंतर्निहित माना जाता है। मूल में इसके केंद्र के साथ और त्रिज्या एक के साथ, फिर तल z = 0 (जो बलोच क्षेत्र को एक बड़े वृत्त पर काटता है; गोले का भूमध्य रेखा, जैसा कि था) को [[अरगंड आरेख]] के रूप में माना जा सकता है। इस तल में क्षेत्रक बिंदु u - ताकि अंदर <math>\mathbb{R}^3</math> इसके निर्देशांक <math>(u_x, u_y, 0)</math> हैं।

यू के माध्यम से और प्रतिनिधित्व करने वाले गोले पर बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा ~~खींचें~~ <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>. (चलो (0,0,1) प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और (0,0,−1) ~~प्रतिनिधित्व करते हैं~~ <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>.) यह रेखा गोले को इसके अलावा एक अन्य बिंदु पर काटती है <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>. (एकमात्र अपवाद है जब <math>u = \infty</math>, यानी कब <math>\alpha = 0</math> और <math>\beta \ne 0</math>.) इस बिंदु को P कहते हैं। समतल z = 0 पर बिंदु u बलोच क्षेत्र पर बिंदु P का त्रिविमीय प्रक्षेपण है। मूल बिंदु पर पूंछ और पी पर टिप वाला सदिश ~~स्पिनर~~ के अनुरूप 3-डी अंतरिक्ष में दिशा है <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>. P के निर्देशांक हैं

u के माध्यम से और प्रतिनिधित्व करने वाले गोले पर बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> खींचें। (चलो (0,0,1) प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और (0,0,−1) <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> प्रतिनिधित्व करते हैं .) यह रेखा गोले को इसके अलावा एक अन्य बिंदु पर काटती है <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>। (एकमात्र अपवाद है जब <math>u = \infty</math>, यानी जब <math>\alpha = 0</math> और <math>\beta \ne 0</math>।) इस बिंदु को P कहते हैं। समतल z = 0 पर बिंदु u बलोच क्षेत्र पर बिंदु P का त्रिविमीय प्रक्षेपण है। मूल बिंदु पर पूंछ और पी पर टिप वाला सदिश स्पाइनर के अनुरूप 3-डी अंतरिक्ष में दिशा है <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>. P के निर्देशांक हैं

:<math> P_x = {2 u_x \over 1 + u_x^2 + u_y^2} </math>

Line 128:

Line 130:

:<math> P_z = {1 - u_x^2 - u_y^2 \over 1 + u_x^2 + u_y^2} </math>.

गणितीय रूप से दो-~~स्पिनर~~ स्थिति के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस में मानचित्र किया जा सकता है, जिसे ~~निरूपित किया जा सकता है~~ <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math>. जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट ~~अंतरिक्ष~~ <math>\mathbf{H}^2</math> (जिसका कि <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> एक प्रक्षेपण है) [[SO(3)]] का प्रतिनिधित्व स्थान है।<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe |location=New York |year=2007 |orig-year=2004 |publisher=Vintage Books (Random House, Inc.)|page=554 |isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>

गणितीय रूप से दो-स्पाइनर स्थिति के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस में मानचित्र किया जा सकता है, जिसे <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> निरूपित किया जा सकता है जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट स्थल <math>\mathbf{H}^2</math> (जिसका कि <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> एक प्रक्षेपण है) [[SO(3)]] का प्रतिनिधित्व स्थान है।<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe |location=New York |year=2007 |orig-year=2004 |publisher=Vintage Books (Random House, Inc.)|page=554 |isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>

== घनत्व संचालक ==

पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का ~~पैरामीट्रिज़~~ करता है। 2-स्तरीय परिमाण प्रणाली (~~qubit~~) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व संचालक निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:

पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का प्राचलिक करता है। 2-स्तरीय परिमाण प्रणाली (क्यूबिट) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व संचालक निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:

:<math> \left( \sum p_i x_i, \sum p_i y_i, \sum p_i z_i \right),</math>

जहाँ <math>p_i</math> ~~पहनावा~~ के भीतर अलग-अलग ~~राज्यों~~ की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग ~~राज्यों~~ के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच ~~स्फेयर~~ पर और अंदर सभी बिंदुओं के ~~सेट~~ को बलोच ~~बॉल~~ के रूप में जाना जाता है।

जहाँ <math>p_i</math> समुच्चय के भीतर अलग-अलग स्तिथि की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग स्तिथि के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच वृत्त पर और अंदर सभी बिंदुओं के सम्मुच्चय को बलोच गोलक के रूप में जाना जाता है।

उच्च आयाम वाले स्तिथि के लिए इसे मिश्रित स्तिथि तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। सांस्थितिक विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है:

~~उच्च आयाम वाले राज्यों~~ के लिए इसे मिश्रित राज्यों तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। टोपोलॉजिकल विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, ~~कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं~~, ~~जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है:~~

'''प्रमेय'''. मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण यांत्रिक प्रणाली पर घनत्व संचालक है जिसका अलग-अलग आइगेनमान μ1, ..., μ''k'' गुणन के साथ n1, ..., n''k'' हैं।

'प्रमेय'। मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण मैकेनिकल प्रणाली पर घनत्व संचालक है जिसका अलग-अलग eigenvalues μ हैं1, ..., एम''k'' गुणन के साथ एन1, ..., एन''k''. फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक ~~झूठ~~ समूह के रूप में) है

फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक लाइ समूह के रूप में) है

:<math>\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).</math>

विशेष रूप से ए की कक्षा ~~आइसोमोर्फिक~~ है

विशेष रूप से a की कक्षा समरूपी है

:<math>\operatorname{U}(n)/\left(\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k)\right).</math>

बलोच गेंद के निर्माण को 2 से बड़े आयामों के लिए सामान्यीकृत करना संभव है, लेकिन ऐसे बलोच शरीर की ज्यामिति गेंद की तुलना में अधिक जटिल होती है।<ref>{{cite journal|last=Appleby |first=D.M. |title=मनमाना रैंक के सममित सूचनात्मक रूप से पूर्ण माप|arxiv=quant-ph/0611260 |journal=[[Optics and Spectroscopy]] |year=2007 |volume=103 |issue=3 |pages=416–428 |doi=10.1134/S0030400X07090111|bibcode=2007OptSp.103..416A |s2cid=17469680 }}</ref>

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== परिक्रमण ==

बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट स्थिति का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन ~~मैट्रिसेस~~ के समूह के लिए [[झूठ बीजगणित]] <math>SU(2)</math> तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित ~~के लिए आइसोमोर्फिक है~~ <math>SO(3)</math>.<ref>D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf </ref>

बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट स्थिति का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन आव्यूह के समूह के लिए [[झूठ बीजगणित|लाइ बीजगणित]] <math>SU(2)</math> तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित <math>SO(3)</math> के लिए समरूपी है। <ref>D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf </ref>

=== बलोच आधार के बारे में ~~रोटेशन~~ संचालक ===

=== बलोच आधार के बारे में क्रमावर्तन संचालक ===

बलोच आधार में कार्तीय ~~कुल्हाड़ियों~~ के बारे में बलोच क्षेत्र के ~~रोटेशन~~ द्वारा दिया जाता है<ref>Nielsen and Chuang 2010, "Quantum Computation and Information," pg 174</ref>

बलोच आधार में कार्तीय अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र के क्रमावर्तन द्वारा दिया जाता है<ref>Nielsen and Chuang 2010, "Quantum Computation and Information," pg 174</ref>

:<math>\begin{align}

R_x(\theta) &= e^{(-i \theta X/2)} = \cos(\theta /2)I - i\sin(\theta/2)X =

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=== एक सामान्य अक्ष के चारों ओर ~~घूमना~~ ===

=== एक सामान्य अक्ष के चारों ओर घूर्णन ===

अगर <math> \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) </math> तीन आयामों में एक वास्तविक इकाई सदिश है, इस अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र का ~~रोटेशन~~ निम्न द्वारा दिया गया है:

अगर <math> \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) </math> तीन आयामों में एक वास्तविक इकाई सदिश है, इस अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र का क्रमावर्तन निम्न द्वारा दिया गया है:

:<math> R_{\hat{n}}(\theta) = \exp\left(-i\theta\hat{n} \cdot \frac{1}{2}\vec{\sigma}\right) </math>

ध्यान देने वाली एक ~~दिलचस्प~~ बात यह है कि यह अभिव्यक्ति चतुष्कोणों और स्थानिक घुमाव के लिए विस्तारित यूलर सूत्र के पुन: ~~लेबलिंग~~ के समान है।

ध्यान देने वाली एक रोचक बात यह है कि यह अभिव्यक्ति चतुष्कोणों और स्थानिक घुमाव के लिए विस्तारित यूलर सूत्र के पुन: वर्गीकरण के समान है।

:<math> \mathbf{q} =

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</math>

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बलोच क्षेत्र: Difference between revisions

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 {{short description|Geometrical representation of the pure state space of a two-level quantum mechanical system}}
-[[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]][[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] और[[ क्वांटम कम्प्यूटिंग | परिमाण कम्प्यूटिंग]] में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी [[फेलिक्स बलोच]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=परमाणु प्रेरण|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7–8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B |doi-access=free}}; see Arecchi, F T, Courtens, E, Gilmore, R, & Thomas, H (1972). "Atomic coherent states in quantum optics", ''Phys Rev''  '''A6'''(6):  2211</ref>
+[[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]][[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] और[[ क्वांटम कम्प्यूटिंग | परिमाण संगणना]] में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी [[फेलिक्स बलोच]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=परमाणु प्रेरण|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7–8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B |doi-access=free}}; see Arecchi, F T, Courtens, E, Gilmore, R, & Thomas, H (1972). "Atomic coherent states in quantum optics", ''Phys Rev''  '''A6'''(6):  2211</ref>
-परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है।
+परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट स्थल (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट स्थल के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है।
-बलोच क्षेत्र एक इकाई [[एन-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)]]-अप और स्पिन (भौतिकी)-डाउन अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc">
+बलोच क्षेत्र एक इकाई n[[एन-क्षेत्र|-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)|चक्रण (भौतिकी)]]-ऊपर और चक्रण (भौतिकी)-नीचे अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc">
 {{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |author-link1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}}
-</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere &#124; Quantiki}}</ref> बलोच स्फीयर को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है।
+</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere &#124; Quantiki}}</ref> बलोच वृत्त को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है।
 ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (दृग्विद्या) के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार उपस्थित हैं और उन्हें जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref name="TML">
@@ Line 32: / Line 32: @@
 :<math>\mathbb{R}^3</math> इकाई क्षेत्र पर बिंदु निर्दिष्ट करें।
-[[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] के लिए, एक [[घनत्व ऑपरेटर|घनत्व संचालक]] पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व संचालक {{mvar|ρ}} {{mvar|I}} और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]], [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] [[पॉल मैट्रिसेस]] <math>\vec{\sigma}</math> अस्मिता का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है,
+[[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] के लिए, एक [[घनत्व ऑपरेटर|घनत्व संचालक]] पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व संचालक {{mvar|ρ}} {{mvar|I}} और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]], [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] [[पॉल मैट्रिसेस|पॉल आव्यूह]] <math>\vec{\sigma}</math> अस्मिता का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है,
 :<math>\begin{align}
    \rho &= \frac{1}{2}\left(I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) \\
@@ Line 58: / Line 58: @@
 जहाँ <math>\vec{a} \in \mathbb{R}^3</math> बलोच सदिश कहा जाता है।
-'''यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस''' बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली मैट्रिसेस # पाउली सदिश की मूल विशेषता के रूप में, के आइगेनवेल्यूज़ {{mvar|ρ}} हैं <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math>. घनत्व ऑपरेटरों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी का अनुसरण करता है <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math>.
+यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली सदिश की मूल विशेषता के रूप में, <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math> के अभिलक्षणिक मान {{mvar|ρ}} हैं। घनत्व संचालकों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math> का अनुसरण करता है।
-शुद्ध राज्यों के लिए, एक के पास है
+शुद्ध अवस्था के लिए, एक के पास निम्न है
 :<math>\operatorname{tr}\left(\rho^2\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \left|\vec{a}\right|^2 \right) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \left|\vec{a}\right| = 1  ~,</math>
 उपरोक्त के अनुरूप।<ref>The idempotent density matrix
@@ Line 71: / Line 71: @@
 acts on the state eigenvector <math>(\cos\theta/2, e^{i\phi} \sin\theta/2)</math> with eigenvalue 1, so like a [[Projection (linear algebra)| projection operator]] for it.</ref>
-नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी परिमाण प्रणाली के सभी शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित राज्यों से मेल खाती है।
-== यू, वी, डब्ल्यू प्रतिनिधित्व ==
+नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी परिमाण प्रणाली के सभी शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित अवस्था से मेल खाती है।
-बलोच सदिश <math>\vec{a} = (u,v,w)</math> घनत्व संचालक के संदर्भ में निम्नलिखित आधार पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है <math>\rho</math>:<ref>{{cite journal|last1=Feynman|first1=Richard|last2=Vernon|first2=Frank|last3=Hellwarth|first3=Robert|s2cid=36493808|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|journal=Journal of Applied Physics|date=January 1957|volume=28|issue=1|pages=49–52|doi=10.1063/1.1722572|bibcode = 1957JAP....28...49F }}</ref>
+== u, v, w प्रतिनिधित्व ==
+बलोच सदिश <math>\vec{a} = (u,v,w)</math> घनत्व संचालक के संदर्भ में निम्नलिखित आधार <math>\rho</math> पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है :<ref>{{cite journal|last1=Feynman|first1=Richard|last2=Vernon|first2=Frank|last3=Hellwarth|first3=Robert|s2cid=36493808|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|journal=Journal of Applied Physics|date=January 1957|volume=28|issue=1|pages=49–52|doi=10.1063/1.1722572|bibcode = 1957JAP....28...49F }}</ref>
 :<math>u = \rho_{10} + \rho_{01} = 2 \operatorname{Re}(\rho_{01})</math>
 :<math>v = i(\rho_{01} - \rho_{10}) = 2 \operatorname{Im}(\rho_{10})</math>
@@ Line 84: / Line 85: @@
    \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+w & u-iv \\ u+iv & 1-w \end{pmatrix}.
 </math>
-यह आधार अक्सर [[ लेज़र ]] सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है, जहां <math>w</math> जनसंख्या व्युत्क्रमण के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book|last1=Milonni|first1=Peter W.|author-link1=Peter W. Milonni|last2=Eberly|first2=Joseph|title=लेजर|date=1988|publisher=Wiley|location=New York|isbn=978-0471627319|page=340}}</ref> इस आधार पर, संख्याएँ <math>u, v, w</math> तीन पाउली मेट्रिसेस की अपेक्षाएं हैं <math>X, Y, Z</math>, एक को xy और z अक्षों के साथ तीन निर्देशांकों की पहचान करने की अनुमति देता है।
+यह आधार प्रायः [[ लेज़र |लेज़र]] सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है, जहां <math>w</math> जनसंख्या व्युत्क्रमण के रूप में जाना जाता है। <ref>{{cite book|last1=Milonni|first1=Peter W.|author-link1=Peter W. Milonni|last2=Eberly|first2=Joseph|title=लेजर|date=1988|publisher=Wiley|location=New York|isbn=978-0471627319|page=340}}</ref> इस आधार पर, संख्याएँ <math>u, v, w</math> तीन पाउली आव्यूह की अपेक्षाएं <math>X, Y, Z</math> हैं, एक को xy और z अक्षों के साथ तीन निर्देशांकों की सर्वसमिका की अनुमति देता है।
 == शुद्ध अवस्थाएँ ==
-एक एन-लेवल परिमाण मैकेनिकल प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन एन-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस एच द्वारा किया गया है<sub>''n''</sub>. परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H की 1-आयामी किरणों का समुच्चय है<sub>''n''</sub>.
+एक n-स्तर परिमाण यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन n-विमीय हिल्बर्ट अन्तराल h<sub>''n''</sub> द्वारा किया गया है परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H<sub>''n''</sub> की 1-आयामी अर्धरेखा का समुच्चय है।
-प्रमेय। U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक मैट्रिसेस का झूठा समूह होने दें। फिर 'एच' का शुद्ध स्थिति स्थान<sub>''n''</sub> कॉम्पैक्ट कोसेट स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है
+'''प्रमेय.''' U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक आव्यूह का लाइ समूह होने दें। फिर 'H<sub>''n''</sub>' का शुद्ध स्थिति स्थान सघन सह समुच्चय स्थल के साथ पहचाना जा सकता है
 :<math> \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1)). </math>
-इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है।<sub>''n''</sub>. यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी स्थिति के लिए <math>|\psi\rangle</math>, का [[आइसोट्रॉपी समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित <math>g</math> यू (एन) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए आइसोमोर्फिक है
+इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H<sub>''n''</sub> की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है। यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी स्थिति <math>|\psi\rangle</math> के लिए, का [[आइसोट्रॉपी समूह|समदैशिकता समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित <math>g</math> u (n) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए समरूपी है
 :<math> \operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1). </math>
-रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> यू (एन) का जो छोड़ देता है <math>|\psi\rangle</math> अपरिवर्तनीय होना चाहिए <math>|\psi\rangle</math> एक [[आइजन्वेक्टर]] के रूप में। चूंकि संबंधित eigenvalue मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह आइसोट्रॉपी समूह का U(1) कारक देता है। आइसोट्रॉपी समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक मैट्रिसेस द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है <math>|\psi\rangle</math>, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन कॉम्पैक्ट समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।
+रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> u (n) का जो <math>|\psi\rangle</math> छोड़ देता है। एक [[आइजन्वेक्टर|अभिलक्षणिक सदिश]] के रूप में अपरिवर्तनीय <math>|\psi\rangle</math> होना चाहिए। चूंकि संबंधित अभिलक्षणिक मान मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह समदैशिकता समूह का U(1) कारक देता है। समदैशिकता समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक आव्यूह द्वारा <math>|\psi\rangle</math> प्राचलीकरण किया गया है, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन सघन समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।
 ऊपर ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एकात्मक समूह शुद्ध अवस्थाओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।
-अब U(n) का (वास्तविक) [[आयाम]] n है<sup>2</उप>। घातीय मानचित्र के बाद से यह देखना आसान है
+अब U(n) का (वास्तविक) [[आयाम]] n<sup>2 है। घातीय मानचित्र के बाद से यह देखना आसान है
 :<math> A \mapsto e^{i A} </math>
-स्व-संलग्न जटिल मैट्रिसेस के स्थान से यू (एन) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n है<sup>2</उप>।
+स्व-संलग्न जटिल आव्यूह के स्थान से u (n) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n<sup>2 है।
-परिणाम। 'एच' के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयाम<sub>''n''</sub> 2n - 2 है।
+'''परिणाम.''' 'H<sub>''n''</sub>' के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयाम 2n - 2 है।
 वास्तव में,
 :<math> n^2 - \left((n - 1)^2 + 1\right) = 2n - 2. \quad </math>
-आइए इसे m qubit परिमाण रजिस्टर के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 है<sup>मी</sup>.
+आइए इसे m क्यूबिट परिमाण क्यूबिट के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 है।
-'परिणाम'। m-qubit [[क्वांटम रजिस्टर|परिमाण रजिस्टर]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2 है<sup>एम+1</sup> − 2.
+[[क्वांटम रजिस्टर|परिमाण क्यूबिट]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2<sup>m+1</sup> − 2 है।
-== स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन == के माध्यम से शुद्ध दो-स्पिनर स्टेट्स प्लॉट करना
+== त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से शुद्ध दो-चक्रण स्थिति आलेखन करना ==
-[[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है <math>\mathbb{R}^3</math>. उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे ओर्थोगोनल हैं, हालांकि ग्राफिक रूप से उनके बीच का कोण π है। में <math>\mathbb{R}^3</math> उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक स्वेच्छाचारी स्पिनर <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> बलोच क्षेत्र पर दो आधार घूर्णक के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है, जिसमें गुणांक जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है; उन्हें α और β कहते हैं। उनका अनुपात होने दें <math>u = {\beta \over \alpha}</math>, जो एक सम्मिश्र संख्या भी है <math>u_x + i u_y</math>. समतल z = 0 पर विचार करें, गोले का विषुवतीय तल, जैसा कि यह था, एक जटिल तल है और बिंदु u को इस रूप में प्लॉट किया गया है <math>(u_x, u_y, 0)</math>. प्रोजेक्ट पॉइंट यू स्टैरियोग्राफिक रूप से बलोच क्षेत्र पर दक्षिण ध्रुव से दूर - जैसा कि था - (0,0,-1)। प्रक्षेपण गोले पर चिह्नित बिंदु पर है <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>.]]शुद्ध अवस्था दी
+[[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|<math>\mathbb{R}^3</math> बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है। उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे आयतीय हैं, हालांकि लेखाचित्रीय रूप से उनके बीच का कोण π है। <math>\mathbb{R}^3</math> में उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक स्वेच्छाचारी स्पाइनर <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> बलोच क्षेत्र पर दो आधार घूर्णक के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है, जिसमें गुणांक जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है; उन्हें α और β कहते हैं। उनका अनुपात <math>u = {\beta \over \alpha}</math> होने दें, जो एक सम्मिश्र संख्या <math>u_x + i u_y</math> भी है। समतल z = 0 पर विचार करें, गोले का विषुवतीय तल, जैसा कि यह था, एक जटिल तल है और बिंदु u को इस रूप में क्षेत्रक किया गया है <math>(u_x, u_y, 0)</math>. परियोजना बिन्दु u स्टैरियोग्राफिक रूप से बलोच क्षेत्र पर दक्षिण ध्रुव से दूर - जैसा कि  - (0,0,-1) था। प्रक्षेपण गोले पर चिह्नित बिंदु <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> पर है .]]शुद्ध अवस्था प्रदान की
 : <math> \alpha \left|\uparrow \right\rangle + \beta \left|\downarrow \right\rangle = \left|\nearrow \right\rangle </math>
 जहाँ <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> जटिल संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जाता है ताकि
 : <math> |\alpha|^2 + |\beta|^2 = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = 1</math>
 और ऐसा है <math>\langle\downarrow | \uparrow\rangle = 0</math> और <math>\langle\downarrow | \downarrow\rangle = \langle\uparrow | \uparrow\rangle = 1</math>,
-अर्थात्, ऐसा कि <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर चलो
+अर्थात्, ऐसा कि <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर मान लीजिये
 :<math> u = {\beta \over \alpha} = {\alpha^* \beta \over \alpha^* \alpha} = {\alpha^* \beta \over |\alpha|^2} = u_x + i u_y</math>
 उनका अनुपात हो।
-यदि बलोच क्षेत्र को अंतर्निहित माना जाता है <math>\mathbb{R}^3</math> मूल में इसके केंद्र के साथ और त्रिज्या एक के साथ, फिर विमान z = 0 (जो बलोच क्षेत्र को एक बड़े वृत्त पर काटता है; गोले का भूमध्य रेखा, जैसा कि था) को [[अरगंड आरेख]] के रूप में माना जा सकता है। इस विमान में प्लॉट पॉइंट यू - ताकि अंदर <math>\mathbb{R}^3</math> इसके निर्देशांक हैं <math>(u_x, u_y, 0)</math>.
+यदि बलोच क्षेत्र <math>\mathbb{R}^3</math> को अंतर्निहित माना जाता है। मूल में इसके केंद्र के साथ और त्रिज्या एक के साथ, फिर तल z = 0 (जो बलोच क्षेत्र को एक बड़े वृत्त पर काटता है; गोले का भूमध्य रेखा, जैसा कि था) को [[अरगंड आरेख]] के रूप में माना जा सकता है। इस तल में क्षेत्रक बिंदु u - ताकि अंदर <math>\mathbb{R}^3</math> इसके निर्देशांक <math>(u_x, u_y, 0)</math> हैं।
-यू के माध्यम से और प्रतिनिधित्व करने वाले गोले पर बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>. (चलो (0,0,1) प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और (0,0,−1) प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>.) यह रेखा गोले को इसके अलावा एक अन्य बिंदु पर काटती है <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>. (एकमात्र अपवाद है जब <math>u = \infty</math>, यानी कब <math>\alpha = 0</math> और <math>\beta \ne 0</math>.) इस बिंदु को P कहते हैं। समतल z = 0 पर बिंदु u बलोच क्षेत्र पर बिंदु P का त्रिविमीय प्रक्षेपण है। मूल बिंदु पर पूंछ और पी पर टिप वाला सदिश स्पिनर के अनुरूप 3-डी अंतरिक्ष में दिशा है <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>. P के निर्देशांक हैं
+u के माध्यम से और प्रतिनिधित्व करने वाले गोले पर बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> खींचें। (चलो (0,0,1) प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और (0,0,−1) <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> प्रतिनिधित्व करते हैं .) यह रेखा गोले को इसके अलावा एक अन्य बिंदु पर काटती है <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>। (एकमात्र अपवाद है जब <math>u = \infty</math>, यानी जब <math>\alpha = 0</math> और <math>\beta \ne 0</math>।) इस बिंदु को P कहते हैं। समतल z = 0 पर बिंदु u बलोच क्षेत्र पर बिंदु P का त्रिविमीय प्रक्षेपण है। मूल बिंदु पर पूंछ और पी पर टिप वाला सदिश स्पाइनर के अनुरूप 3-डी अंतरिक्ष में दिशा है <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>. P के निर्देशांक हैं
 :<math> P_x = {2 u_x \over 1 + u_x^2 + u_y^2} </math>
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 :<math> P_z = {1 - u_x^2 - u_y^2 \over 1 + u_x^2 + u_y^2} </math>.
-गणितीय रूप से दो-स्पिनर स्थिति के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस में मानचित्र किया जा सकता है, जिसे निरूपित किया जा सकता है <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math>. जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष <math>\mathbf{H}^2</math> (जिसका कि <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> एक प्रक्षेपण है) [[SO(3)]] का प्रतिनिधित्व स्थान है।<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe |location=New York |year=2007 |orig-year=2004 |publisher=Vintage Books (Random House, Inc.)|page=554 |isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>
+गणितीय रूप से दो-स्पाइनर स्थिति के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस में मानचित्र किया जा सकता है, जिसे <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> निरूपित किया जा सकता है जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट स्थल <math>\mathbf{H}^2</math> (जिसका कि <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> एक प्रक्षेपण है) [[SO(3)]] का प्रतिनिधित्व स्थान है।<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe |location=New York |year=2007 |orig-year=2004 |publisher=Vintage Books (Random House, Inc.)|page=554 |isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>
 == घनत्व संचालक ==
-पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का पैरामीट्रिज़ करता है। 2-स्तरीय परिमाण प्रणाली (qubit) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व संचालक निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:
+पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का प्राचलिक करता है। 2-स्तरीय परिमाण प्रणाली (क्यूबिट) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व संचालक निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:
 :<math> \left( \sum p_i x_i,  \sum p_i y_i,  \sum p_i z_i \right),</math>
-जहाँ <math>p_i</math> पहनावा के भीतर अलग-अलग राज्यों की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग राज्यों के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच स्फेयर पर और अंदर सभी बिंदुओं के सेट को बलोच बॉल के रूप में जाना जाता है।
+जहाँ <math>p_i</math> समुच्चय के भीतर अलग-अलग स्तिथि की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग स्तिथि के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच वृत्त पर और अंदर सभी बिंदुओं के सम्मुच्चय को बलोच गोलक के रूप में जाना जाता है।
+उच्च आयाम वाले स्तिथि के लिए इसे मिश्रित स्तिथि तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। सांस्थितिक विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है:
-उच्च आयाम वाले राज्यों के लिए इसे मिश्रित राज्यों तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। टोपोलॉजिकल विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है:
+'''प्रमेय'''. मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण यांत्रिक प्रणाली पर घनत्व संचालक है जिसका अलग-अलग आइगेनमान  μ<sub>1</sub>, ..., μ<sub>''k''</sub> गुणन के साथ n<sub>1</sub>, ..., n<sub>''k''</sub> हैं।
-'प्रमेय'। मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण मैकेनिकल प्रणाली पर घनत्व संचालक है जिसका अलग-अलग eigenvalues μ हैं<sub>1</sub>, ..., एम<sub>''k''</sub> गुणन के साथ एन<sub>1</sub>, ..., एन<sub>''k''</sub>. फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक झूठ समूह के रूप में) है
+फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक लाइ समूह के रूप में) है
 :<math>\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).</math>
-विशेष रूप से ए की कक्षा आइसोमोर्फिक है
+विशेष रूप से a की कक्षा समरूपी है
 :<math>\operatorname{U}(n)/\left(\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k)\right).</math>
 बलोच गेंद के निर्माण को 2 से बड़े आयामों के लिए सामान्यीकृत करना संभव है, लेकिन ऐसे बलोच शरीर की ज्यामिति गेंद की तुलना में अधिक जटिल होती है।<ref>{{cite journal|last=Appleby |first=D.M. |title=मनमाना रैंक के सममित सूचनात्मक रूप से पूर्ण माप|arxiv=quant-ph/0611260 |journal=[[Optics and Spectroscopy]] |year=2007 |volume=103 |issue=3 |pages=416&ndash;428 |doi=10.1134/S0030400X07090111|bibcode=2007OptSp.103..416A |s2cid=17469680 }}</ref>
@@ Line 146: / Line 150: @@
 == परिक्रमण ==
-बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट स्थिति का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन मैट्रिसेस के समूह के लिए [[झूठ बीजगणित]] <math>SU(2)</math> तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है <math>SO(3)</math>.<ref>D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf </ref>
+बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट स्थिति का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन आव्यूह के समूह के लिए [[झूठ बीजगणित|लाइ बीजगणित]] <math>SU(2)</math> तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित <math>SO(3)</math> के लिए समरूपी है। <ref>D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf </ref>
-=== बलोच आधार के बारे में रोटेशन संचालक ===
+=== बलोच आधार के बारे में क्रमावर्तन संचालक ===
-बलोच आधार में कार्तीय कुल्हाड़ियों के बारे में बलोच क्षेत्र के रोटेशन द्वारा दिया जाता है<ref>Nielsen and Chuang 2010, "Quantum Computation and Information," pg 174</ref>
+बलोच आधार में कार्तीय अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र के क्रमावर्तन द्वारा दिया जाता है<ref>Nielsen and Chuang 2010, "Quantum Computation and Information," pg 174</ref>
 :<math>\begin{align}
    R_x(\theta) &= e^{(-i \theta X/2)} = \cos(\theta /2)I - i\sin(\theta/2)X =
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-=== एक सामान्य अक्ष के चारों ओर घूमना ===
+=== एक सामान्य अक्ष के चारों ओर घूर्णन ===
-अगर <math> \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) </math> तीन आयामों में एक वास्तविक इकाई सदिश है, इस अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र का रोटेशन निम्न द्वारा दिया गया है:
+अगर <math> \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) </math> तीन आयामों में एक वास्तविक इकाई सदिश है, इस अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र का क्रमावर्तन निम्न द्वारा दिया गया है:
 :<math> R_{\hat{n}}(\theta) = \exp\left(-i\theta\hat{n} \cdot \frac{1}{2}\vec{\sigma}\right) </math>
-ध्यान देने वाली एक दिलचस्प बात यह है कि यह अभिव्यक्ति चतुष्कोणों और स्थानिक घुमाव के लिए विस्तारित यूलर सूत्र के पुन: लेबलिंग के समान है।
+ध्यान देने वाली एक रोचक बात यह है कि यह अभिव्यक्ति चतुष्कोणों और स्थानिक घुमाव के लिए विस्तारित यूलर सूत्र के पुन: वर्गीकरण के समान है।
 :<math> \mathbf{q} =
@@ Line 181: / Line 185: @@
 </math>