बलोच क्षेत्र: Difference between revisions
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[[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]] | [[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]][[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] और[[ क्वांटम कम्प्यूटिंग | परिमाण संगणना]] में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी [[फेलिक्स बलोच]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=परमाणु प्रेरण|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7–8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B |doi-access=free}}; see Arecchi, F T, Courtens, E, Gilmore, R, & Thomas, H (1972). "Atomic coherent states in quantum optics", ''Phys Rev'' '''A6'''(6): 2211</ref> | ||
परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट स्थल (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट स्थल के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है। | |||
बलोच क्षेत्र एक इकाई [[एन-क्षेत्र]] | बलोच क्षेत्र एक इकाई n[[एन-क्षेत्र|-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)|चक्रण (भौतिकी)]]-ऊपर और चक्रण (भौतिकी)-नीचे अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc"> | ||
{{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |author-link1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}} | {{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |author-link1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}} | ||
</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere | Quantiki}}</ref> बलोच | </ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere | Quantiki}}</ref> बलोच वृत्त को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है। | ||
ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र ( | ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (दृग्विद्या) के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार उपस्थित हैं और उन्हें जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref name="TML"> | ||
{{cite book |title=Théorie mathématique de la lumière II |url=https://archive.org/details/thoriemathma00poin |last1=Poincaré |first1=Henri |author-link1=Henri_Poincaré |year=1892 |publisher=G. Carré}} | {{cite book |title=Théorie mathématique de la lumière II |url=https://archive.org/details/thoriemathma00poin |last1=Poincaré |first1=Henri |author-link1=Henri_Poincaré |year=1892 |publisher=G. Carré}} | ||
</ref> | </ref> | ||
बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक [[मीट्रिक (गणित)]] फ़ुबिनी-अध्ययन | बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक [[मीट्रिक (गणित)|मापीय (गणित)]] फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय है। द्वि-आयामी स्थिति अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण <math>\mathbb{C}^2</math> बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें घूर्णक के प्रत्येक प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मानचित्रण होता है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एक अलौकिक आधार दिया गया है, | एक अलौकिक आधार दिया गया है, दो-स्तरीय क्वांटम प्रणाली के किसी भी शुद्ध अवस्था <math>|\psi\rangle</math> को आधार सदिशों <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> के अधिस्थापन के रूप में लिखा जा सकता है , जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि स्थिति को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार सदिश के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (परिमाण प्रणाली का चरण सीधे परिमाण यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो सके। हम <math>|0\rangle</math> का गुणांक वास्तविक और गैर-नकारात्मक ले सकते हैं। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को उत्पन्न करते हुए स्थिति को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है। | ||
हम | हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि प्रणाली की कुल संभावना एक होनी चाहिए: | ||
:<math>\langle\psi | \psi\rangle = 1</math>, या समकक्ष <math>\big\| |\psi\rangle \big\|^2 = 1</math>. | :<math>\langle\psi | \psi\rangle = 1</math>, या समकक्ष <math>\big\| |\psi\rangle \big\|^2 = 1</math>. | ||
इस बाधा को देखते हुए हम | इस बाधा को देखते हुए हम निम्नलिखित प्रतिनिधित्व का उपयोग करके <math>|\psi\rangle</math> लिख सकते हैं: | ||
:<math> | :<math> | ||
|\psi\rangle = | |\psi\rangle = | ||
\cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, e^{i\phi} \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle = | \cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, e^{i\phi} \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle = | ||
\cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, (\cos\phi + i\sin\phi) \, \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle </math>, | \cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, (\cos\phi + i\sin\phi) \, \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle </math>, जहाँ <math> 0 \leq \theta \leq \pi</math> और <math>0 \leq \phi < 2 \pi</math>. | ||
प्रतिनिधित्व हमेशा अनूठा होता है, क्योंकि, भले ही | प्रतिनिधित्व हमेशा अनूठा होता है, क्योंकि, भले ही <math>\phi</math> का मूल्य अद्वितीय नहीं है जब <math>|\psi\rangle</math> स्तिथि में से एक ([[ब्रा-केट नोटेशन|ब्रा-केट चिन्हांकन]] देखें) <math>|0\rangle</math> या <math>|1\rangle</math> है, <math>\theta</math> और <math>\phi</math> द्वारा दर्शाया गया बिंदु अद्वितीय है। | ||
मापदण्ड <math>\theta\,</math> और <math>\phi\,</math>, गोलाकार समन्वय प्रणाली में क्रमशः z-अक्ष के संबंध में समांतरता और x-अक्ष के संबंध में देशांतर के रूप में फिर से व्याख्या की गई, निम्नलिखित में एक बिंदु निर्दिष्ट करें | |||
:<math>\vec{a} = (\sin\theta \cos\phi,\; \sin\theta \sin\phi,\; \cos\theta) = (u, v, w)</math> | :<math>\vec{a} = (\sin\theta \cos\phi,\; \sin\theta \sin\phi,\; \cos\theta) = (u, v, w)</math> | ||
:<math>\mathbb{R}^3</math> इकाई क्षेत्र पर बिंदु निर्दिष्ट करें। | |||
[[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] के लिए, एक [[घनत्व ऑपरेटर]] पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व | [[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] के लिए, एक [[घनत्व ऑपरेटर|घनत्व संचालक]] पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व संचालक {{mvar|ρ}} {{mvar|I}} और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]], [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] [[पॉल मैट्रिसेस|पॉल आव्यूह]] <math>\vec{\sigma}</math> अस्मिता का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है, | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\rho &= \frac{1}{2}\left(I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) \\ | \rho &= \frac{1}{2}\left(I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) \\ | ||
| Line 56: | Line 56: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
\end{align}</math>, | \end{align}</math>, | ||
जहाँ <math>\vec{a} \in \mathbb{R}^3</math> बलोच सदिश कहा जाता है। | |||
यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित | यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली सदिश की मूल विशेषता के रूप में, <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math> के अभिलक्षणिक मान {{mvar|ρ}} हैं। घनत्व संचालकों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math> का अनुसरण करता है। | ||
शुद्ध | शुद्ध अवस्था के लिए, एक के पास निम्न है | ||
:<math>\operatorname{tr}\left(\rho^2\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \left|\vec{a}\right|^2 \right) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \left|\vec{a}\right| = 1 ~,</math> | :<math>\operatorname{tr}\left(\rho^2\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \left|\vec{a}\right|^2 \right) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \left|\vec{a}\right| = 1 ~,</math> | ||
उपरोक्त के अनुरूप।<ref>The idempotent density matrix | उपरोक्त के अनुरूप।<ref>The idempotent density matrix | ||
| Line 71: | Line 71: | ||
acts on the state eigenvector <math>(\cos\theta/2, e^{i\phi} \sin\theta/2)</math> with eigenvalue 1, so like a [[Projection (linear algebra)| projection operator]] for it.</ref> | acts on the state eigenvector <math>(\cos\theta/2, e^{i\phi} \sin\theta/2)</math> with eigenvalue 1, so like a [[Projection (linear algebra)| projection operator]] for it.</ref> | ||
== | नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी परिमाण प्रणाली के सभी शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित अवस्था से मेल खाती है। | ||
बलोच | |||
== u, v, w प्रतिनिधित्व == | |||
बलोच सदिश <math>\vec{a} = (u,v,w)</math> घनत्व संचालक के संदर्भ में निम्नलिखित आधार <math>\rho</math> पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है :<ref>{{cite journal|last1=Feynman|first1=Richard|last2=Vernon|first2=Frank|last3=Hellwarth|first3=Robert|s2cid=36493808|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|journal=Journal of Applied Physics|date=January 1957|volume=28|issue=1|pages=49–52|doi=10.1063/1.1722572|bibcode = 1957JAP....28...49F }}</ref> | |||
:<math>u = \rho_{10} + \rho_{01} = 2 \operatorname{Re}(\rho_{01})</math> | :<math>u = \rho_{10} + \rho_{01} = 2 \operatorname{Re}(\rho_{01})</math> | ||
:<math>v = i(\rho_{01} - \rho_{10}) = 2 \operatorname{Im}(\rho_{10})</math> | :<math>v = i(\rho_{01} - \rho_{10}) = 2 \operatorname{Im}(\rho_{10})</math> | ||
:<math>w = \rho_{00} - \rho_{11}</math> | :<math>w = \rho_{00} - \rho_{11}</math> | ||
जहाँ | |||
:<math>\rho = | :<math>\rho = | ||
| Line 84: | Line 85: | ||
\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+w & u-iv \\ u+iv & 1-w \end{pmatrix}. | \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+w & u-iv \\ u+iv & 1-w \end{pmatrix}. | ||
</math> | </math> | ||
यह आधार | यह आधार प्रायः [[ लेज़र |लेज़र]] सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है, जहां <math>w</math> जनसंख्या व्युत्क्रमण के रूप में जाना जाता है। <ref>{{cite book|last1=Milonni|first1=Peter W.|author-link1=Peter W. Milonni|last2=Eberly|first2=Joseph|title=लेजर|date=1988|publisher=Wiley|location=New York|isbn=978-0471627319|page=340}}</ref> इस आधार पर, संख्याएँ <math>u, v, w</math> तीन पाउली आव्यूह की अपेक्षाएं <math>X, Y, Z</math> हैं, एक को xy और z अक्षों के साथ तीन निर्देशांकों की सर्वसमिका की अनुमति देता है। | ||
== शुद्ध अवस्थाएँ == | == शुद्ध अवस्थाएँ == | ||
एक | एक n-स्तर परिमाण यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन n-विमीय हिल्बर्ट अन्तराल h<sub>''n''</sub> द्वारा किया गया है परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H<sub>''n''</sub> की 1-आयामी अर्धरेखा का समुच्चय है। | ||
'''प्रमेय.''' U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक आव्यूह का लाइ समूह होने दें। फिर 'H<sub>''n''</sub>' का शुद्ध स्थिति स्थान सघन सह समुच्चय स्थल के साथ पहचाना जा सकता है | |||
:<math> \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1)). </math> | :<math> \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1)). </math> | ||
इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है। | इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H<sub>''n''</sub> की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है। यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी स्थिति <math>|\psi\rangle</math> के लिए, का [[आइसोट्रॉपी समूह|समदैशिकता समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित <math>g</math> u (n) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए समरूपी है | ||
:<math> \operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1). </math> | :<math> \operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1). </math> | ||
रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> | रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> u (n) का जो <math>|\psi\rangle</math> छोड़ देता है। एक [[आइजन्वेक्टर|अभिलक्षणिक सदिश]] के रूप में अपरिवर्तनीय <math>|\psi\rangle</math> होना चाहिए। चूंकि संबंधित अभिलक्षणिक मान मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह समदैशिकता समूह का U(1) कारक देता है। समदैशिकता समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक आव्यूह द्वारा <math>|\psi\rangle</math> प्राचलीकरण किया गया है, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन सघन समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है। | ||
ऊपर ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एकात्मक समूह शुद्ध अवस्थाओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। | ऊपर ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एकात्मक समूह शुद्ध अवस्थाओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। | ||
अब U(n) का (वास्तविक) [[आयाम]] n | अब U(n) का (वास्तविक) [[आयाम]] n<sup>2 है। घातीय मानचित्र के बाद से यह देखना आसान है | ||
:<math> A \mapsto e^{i A} </math> | :<math> A \mapsto e^{i A} </math> | ||
स्व-संलग्न जटिल | स्व-संलग्न जटिल आव्यूह के स्थान से u (n) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n<sup>2 है। | ||
'''परिणाम.''' 'H<sub>''n''</sub>' के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयाम 2n - 2 है। | |||
वास्तव में, | वास्तव में, | ||
:<math> n^2 - \left((n - 1)^2 + 1\right) = 2n - 2. \quad </math> | :<math> n^2 - \left((n - 1)^2 + 1\right) = 2n - 2. \quad </math> | ||
आइए इसे m | आइए इसे m क्यूबिट परिमाण क्यूबिट के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 है। | ||
[[क्वांटम रजिस्टर|परिमाण क्यूबिट]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2<sup>m+1</sup> − 2 है। | |||
== | == त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से शुद्ध दो-चक्रण स्थिति आलेखन करना == | ||
[[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3| | [[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|<math>\mathbb{R}^3</math> बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है। उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे आयतीय हैं, हालांकि लेखाचित्रीय रूप से उनके बीच का कोण π है। <math>\mathbb{R}^3</math> में उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक स्वेच्छाचारी स्पाइनर <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> बलोच क्षेत्र पर दो आधार घूर्णक के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है, जिसमें गुणांक जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है; उन्हें α और β कहते हैं। उनका अनुपात <math>u = {\beta \over \alpha}</math> होने दें, जो एक सम्मिश्र संख्या <math>u_x + i u_y</math> भी है। समतल z = 0 पर विचार करें, गोले का विषुवतीय तल, जैसा कि यह था, एक जटिल तल है और बिंदु u को इस रूप में क्षेत्रक किया गया है <math>(u_x, u_y, 0)</math>. परियोजना बिन्दु u स्टैरियोग्राफिक रूप से बलोच क्षेत्र पर दक्षिण ध्रुव से दूर - जैसा कि - (0,0,-1) था। प्रक्षेपण गोले पर चिह्नित बिंदु <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> पर है .]]शुद्ध अवस्था प्रदान की | ||
: <math> \alpha \left|\uparrow \right\rangle + \beta \left|\downarrow \right\rangle = \left|\nearrow \right\rangle </math> | : <math> \alpha \left|\uparrow \right\rangle + \beta \left|\downarrow \right\rangle = \left|\nearrow \right\rangle </math> | ||
जहाँ <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> जटिल संख्याएँ हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जाता है ताकि | |||
: <math> |\alpha|^2 + |\beta|^2 = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = 1</math> | : <math> |\alpha|^2 + |\beta|^2 = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = 1</math> | ||
और ऐसा है <math>\langle\downarrow | \uparrow\rangle = 0</math> और <math>\langle\downarrow | \downarrow\rangle = \langle\uparrow | \uparrow\rangle = 1</math>, | और ऐसा है <math>\langle\downarrow | \uparrow\rangle = 0</math> और <math>\langle\downarrow | \downarrow\rangle = \langle\uparrow | \uparrow\rangle = 1</math>, | ||
अर्थात्, ऐसा कि <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर | |||
अर्थात्, ऐसा कि <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर मान लीजिये | |||
:<math> u = {\beta \over \alpha} = {\alpha^* \beta \over \alpha^* \alpha} = {\alpha^* \beta \over |\alpha|^2} = u_x + i u_y</math> | :<math> u = {\beta \over \alpha} = {\alpha^* \beta \over \alpha^* \alpha} = {\alpha^* \beta \over |\alpha|^2} = u_x + i u_y</math> | ||
उनका अनुपात हो। | उनका अनुपात हो। | ||
यदि बलोच क्षेत्र | यदि बलोच क्षेत्र <math>\mathbb{R}^3</math> को अंतर्निहित माना जाता है। मूल में इसके केंद्र के साथ और त्रिज्या एक के साथ, फिर तल z = 0 (जो बलोच क्षेत्र को एक बड़े वृत्त पर काटता है; गोले का भूमध्य रेखा, जैसा कि था) को [[अरगंड आरेख]] के रूप में माना जा सकता है। इस तल में क्षेत्रक बिंदु u - ताकि अंदर <math>\mathbb{R}^3</math> इसके निर्देशांक <math>(u_x, u_y, 0)</math> हैं। | ||
u के माध्यम से और प्रतिनिधित्व करने वाले गोले पर बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> खींचें। (चलो (0,0,1) प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और (0,0,−1) <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> प्रतिनिधित्व करते हैं .) यह रेखा गोले को इसके अलावा एक अन्य बिंदु पर काटती है <mat | |||