बलोच क्षेत्र

बलोच क्षेत्र

परिमाण यांत्रिकी और परिमाण संगणना में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है।

परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से हिल्बर्ट स्थल अथवा प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट स्थल (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट स्थल के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान जटिल प्रक्षेपण रेखा $\mathbb {CP} ^{1}$ है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे रीमैन क्षेत्र में मानचित्र किया जा सकता है।

बलोच क्षेत्र एक इकाई n-क्षेत्र 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप प्रतिव्यासांत बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को सामान्यतः मानक आधार सदिश $|0\rangle$ और $|1\rangle$ के अनुरूप चुना जाता है, क्रमशः, जो बदले में एक इलेक्ट्रॉन की चक्रण (भौतिकी)-ऊपर और चक्रण (भौतिकी)-नीचे अवस्थाओं के लिए उदा. हो सकता है। हालाँकि यह चुनाव स्वेच्छाचारी है। गोले की सतह पर बिंदु प्रणाली की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं। बलोच वृत्त को n-स्तर परिमाण प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब मानसिक चित्रण कम उपयोगी होता है।

ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (दृग्विद्या) के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार उपस्थित हैं और उन्हें जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे।

बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक मापीय (गणित) फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय है। द्वि-आयामी स्थिति अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण $\mathbb {C} ^{2}$ बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें घूर्णक के प्रत्येक प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मानचित्रण होता है।

परिभाषा

एक अलौकिक आधार दिया गया है, दो-स्तरीय क्वांटम प्रणाली के किसी भी शुद्ध अवस्था $|\psi \rangle$ को आधार सदिशों $|0\rangle$ और $|1\rangle$ के अधिस्थापन के रूप में लिखा जा सकता है , जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि स्थिति को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार सदिश के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (परिमाण प्रणाली का चरण सीधे परिमाण यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो सके। हम $|0\rangle$ का गुणांक वास्तविक और गैर-नकारात्मक ले सकते हैं। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को उत्पन्न करते हुए स्थिति को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है।

हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि प्रणाली की कुल संभावना एक होनी चाहिए:

$\langle \psi |\psi \rangle =1$, या समकक्ष ${\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1$.

इस बाधा को देखते हुए हम निम्नलिखित प्रतिनिधित्व का उपयोग करके $|\psi \rangle$ लिख सकते हैं:

$|\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle$, जहाँ $0\leq \theta \leq \pi$ और $0\leq \phi <2\pi$.

प्रतिनिधित्व हमेशा अनूठा होता है, क्योंकि, भले ही $\phi$ का मूल्य अद्वितीय नहीं है जब $|\psi \rangle$ स्तिथि में से एक (ब्रा-केट चिन्हांकन देखें) $|0\rangle$ या $|1\rangle$ है, $\theta$ और $\phi$ द्वारा दर्शाया गया बिंदु अद्वितीय है।

मापदण्ड $\theta \,$ और $\phi \,$, गोलाकार समन्वय प्रणाली में क्रमशः z-अक्ष के संबंध में समांतरता और x-अक्ष के संबंध में देशांतर के रूप में फिर से व्याख्या की गई, निम्नलिखित में एक बिंदु निर्दिष्ट करें

${\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)$

$\mathbb {R} ^{3}$ इकाई क्षेत्र पर बिंदु निर्दिष्ट करें।

मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के लिए, एक घनत्व संचालक पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व संचालक ρ I और हर्मिटियन आव्यूह, ट्रेस (रैखिक बीजगणित) पॉल आव्यूह ${\vec {\sigma }}$ अस्मिता का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है,

$\begin{array}{rl}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}& =\frac{1}{2}\left(I+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\frac{a_x}{2}(\begin{array}{cc}0& \end{array}\end{array}$