बलोच क्षेत्र: Difference between revisions

[[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] के लिए, एक [[घनत्व ऑपरेटर|घनत्व संचालक]] पर विचार करता है। कोई द्वि-आयामी घनत्व संचालक {{mvar|ρ}} {{mvar|I}} और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]], [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] [[पॉल मैट्रिसेस|पॉल आव्यूह]] <math>\vec{\sigma}</math> अस्मिता का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है,

यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली सदिश की मूल विशेषता के रूप में, <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math> के अभिलक्षणिक मान {{mvar|ρ}} हैं। घनत्व संचालकों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math> का अनुसरण करता है।

शुद्ध अवस्था के लिए, एक के पास निम्न है

 

== u, v, w प्रतिनिधित्व ==

बलोच सदिश <math>\vec{a} = (u,v,w)</math> घनत्व संचालक के संदर्भ में निम्नलिखित आधार <math>\rho</math> पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है :<ref>{{cite journal|last1=Feynman|first1=Richard|last2=Vernon|first2=Frank|last3=Hellwarth|first3=Robert|s2cid=36493808|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|journal=Journal of Applied Physics|date=January 1957|volume=28|issue=1|pages=49–52|doi=10.1063/1.1722572|bibcode = 1957JAP....28...49F }}</ref>

यह आधार प्रायः [[ लेज़र |लेज़र]] सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है, जहां <math>w</math> जनसंख्या व्युत्क्रमण के रूप में जाना जाता है। <ref>{{cite book|last1=Milonni|first1=Peter W.|author-link1=Peter W. Milonni|last2=Eberly|first2=Joseph|title=लेजर|date=1988|publisher=Wiley|location=New York|isbn=978-0471627319|page=340}}</ref> इस आधार पर, संख्याएँ <math>u, v, w</math> तीन पाउली आव्यूह की अपेक्षाएं <math>X, Y, Z</math> हैं, एक को xy और z अक्षों के साथ तीन निर्देशांकों की सर्वसमिका की अनुमति देता है।

एक n-स्तर परिमाण यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन n-विमीय हिल्बर्ट अन्तराल h_''n'' द्वारा किया गया है परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H_''n'' की 1-आयामी अर्धरेखा का समुच्चय है।

'''प्रमेय.''' U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक आव्यूह का लाइ समूह होने दें। फिर 'H_''n''' का शुद्ध स्थिति स्थान सघन सह समुच्चय स्थल के साथ पहचाना जा सकता है

इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H_''n'' की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है। यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी स्थिति <math>|\psi\rangle</math> के लिए, का [[आइसोट्रॉपी समूह|समदैशिकता समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित <math>g</math> u (n) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए समरूपी है

रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> u (n) का जो <math>|\psi\rangle</math> छोड़ देता है। एक [[आइजन्वेक्टर|अभिलक्षणिक सदिश]] के रूप में अपरिवर्तनीय <math>|\psi\rangle</math> होना चाहिए। चूंकि संबंधित अभिलक्षणिक मान मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह समदैशिकता समूह का U(1) कारक देता है। समदैशिकता समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक आव्यूह द्वारा <math>|\psi\rangle</math> प्राचलीकरण किया गया है, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन सघन समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।

अब U(n) का (वास्तविक) [[आयाम]] n<sup>2 है। घातीय मानचित्र के बाद से यह देखना आसान है

स्व-संलग्न जटिल आव्यूह के स्थान से u (n) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n<sup>2 है।

'''परिणाम.''' 'H_''n''' के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयाम 2n - 2 है।

आइए इसे m क्यूबिट परिमाण क्यूबिट के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 है.

[[क्वांटम रजिस्टर|परिमाण क्यूबिट]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2^m+1 − 2 है।

== त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से शुद्ध दो-स्पाइनर स्थिति आलेखन करना ==

[[File:Riemann Spin2States.jpg|thumb|upright=1.3|<math>\mathbb{R}^3</math> बलोच क्षेत्र के मूल पर केंद्रित है। उस पर बिंदुओं की एक जोड़ी, <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> आधार के रूप में चुना गया है। गणितीय रूप से वे आयतीय हैं, हालांकि लेखाचित्रीय रूप से उनके बीच का कोण π है। <math>\mathbb{R}^3</math> में उन बिंदुओं के निर्देशांक (0,0,1) और (0,0,−1) हैं। एक स्वेच्छाचारी स्पाइनर <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> बलोच क्षेत्र पर दो आधार घूर्णक के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है, जिसमें गुणांक जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है; उन्हें α और β कहते हैं। उनका अनुपात <math>u = {\beta \over \alpha}</math> होने दें, जो एक सम्मिश्र संख्या <math>u_x + i u_y</math> भी है। समतल z = 0 पर विचार करें, गोले का विषुवतीय तल, जैसा कि यह था, एक जटिल तल है और बिंदु u को इस रूप में क्षेत्रक किया गया है <math>(u_x, u_y, 0)</math>. परियोजना बिन्दु u स्टैरियोग्राफिक रूप से बलोच क्षेत्र पर दक्षिण ध्रुव से दूर - जैसा कि - (0,0,-1) था। प्रक्षेपण गोले पर चिह्नित बिंदु <math>\left|\nearrow\right\rangle</math> पर है .]]शुद्ध अवस्था प्रदान की

 

अर्थात्, ऐसा कि <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> एक आधार बनाते हैं और बलोच क्षेत्र पर बिल्कुल विपरीत प्रतिनिधित्व करते हैं, फिर मान लीजिये

यदि बलोच क्षेत्र <math>\mathbb{R}^3</math> को अंतर्निहित माना जाता है। मूल में इसके केंद्र के साथ और त्रिज्या एक के साथ, फिर तल z = 0 (जो बलोच क्षेत्र को एक बड़े वृत्त पर काटता है; गोले का भूमध्य रेखा, जैसा कि था) को [[अरगंड आरेख]] के रूप में माना जा सकता है। इस तल में क्षेत्रक बिंदु u - ताकि अंदर <math>\mathbb{R}^3</math> इसके निर्देशांक <math>(u_x, u_y, 0)</math> हैं।

u के माध्यम से और प्रतिनिधित्व करने वाले गोले पर बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> खींचें। (चलो (0,0,1) प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> और (0,0,−1) <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> प्रतिनिधित्व करते हैं .) यह रेखा गोले को इसके अलावा एक अन्य बिंदु पर काटती है <math>\left|\downarrow\right\rangle</math>। (एकमात्र अपवाद है जब <math>u = \infty</math>, यानी जब <math>\alpha = 0</math> और <math>\beta \ne 0</math>।) इस बिंदु को P कहते हैं। समतल z = 0 पर बिंदु u बलोच क्षेत्र पर बिंदु P का त्रिविमीय प्रक्षेपण है। मूल बिंदु पर पूंछ और पी पर टिप वाला सदिश स्पाइनर के अनुरूप 3-डी अंतरिक्ष में दिशा है <math>\left|\nearrow\right\rangle</math>. P के निर्देशांक हैं

गणितीय रूप से दो-स्पाइनर स्थिति के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस में मानचित्र किया जा सकता है, जिसे <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> निरूपित किया जा सकता है जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष <math>\mathbf{H}^2</math> (जिसका कि <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> एक प्रक्षेपण है) [[SO(3)]] का प्रतिनिधित्व स्थान है।<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe |location=New York |year=2007 |orig-year=2004 |publisher=Vintage Books (Random House, Inc.)|page=554 |isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>

पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का प्राचलिक करता है। 2-स्तरीय परिमाण प्रणाली (क्यूबिट) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व संचालक निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:

जहाँ <math>p_i</math> पहनावा के भीतर अलग-अलग स्तिथि की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग स्तिथि के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच वृत्त पर और अंदर सभी बिंदुओं के सम्मुच्चय को बलोच गोलक के रूप में जाना जाता है।

उच्च आयाम वाले स्तिथि के लिए इसे मिश्रित स्तिथि तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। सांस्थितिक विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है:

'''प्रमेय'''. मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण यांत्रिक प्रणाली पर घनत्व संचालक है जिसका अलग-अलग आइगेनमान  μ₁, ..., μ_''k'' गुणन के साथ n₁, ..., n_''k'' हैं।

 

फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक लाइ समूह के रूप में) है

विशेष रूप से a की कक्षा समरूपी है

बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट स्थिति का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन आव्यूह के समूह के लिए [[झूठ बीजगणित|लाइ बीजगणित]] <math>SU(2)</math> तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित <math>SO(3)</math> के लिए समरूपी है। <ref>D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf </ref>

=== बलोच आधार के बारे में क्रमावर्तन संचालक ===

बलोच आधार में कार्तीय अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र के क्रमावर्तन द्वारा दिया जाता है<ref>Nielsen and Chuang 2010, "Quantum Computation and Information," pg 174</ref>

=== एक सामान्य अक्ष के चारों ओर घूर्णन ===

अगर <math> \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) </math> तीन आयामों में एक वास्तविक इकाई सदिश है, इस अक्ष के बारे में बलोच क्षेत्र का क्रमावर्तन निम्न द्वारा दिया गया है:

ध्यान देने वाली एक रोचक बात यह है कि यह अभिव्यक्ति चतुष्कोणों और स्थानिक घुमाव के लिए विस्तारित यूलर सूत्र के पुन: वर्गीकरण के समान है।

एकात्मक संचालकों के एक वर्ग पर विचार करें <math>U</math> किसी अक्ष के परितः घूर्णन को निरूपित करता है। चूंकि क्रमावर्तन में स्वतंत्रता की एक घात होती है, संचालक अदिश <math>S</math> के क्षेत्र में इस प्रकार कार्य करता है कि:

इस समानता को सत्य मानने के लिए (यह मानते हुए कि <math>O\left(s^2\right)</math> नगण्य है), हमें चाहिए

इसका परिणाम स्वरुप के समाधान में होता है:

जहाँ <math>K</math> कोई हर्मिटियन परिवर्तन है, और इसे एकात्मक वर्ग का जनक कहा जाता है।

पाउली आव्यूह के बाद से <math>(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)</math> एकात्मक हर्मिटियन आव्यूह हैं और बलोच आधार <math>(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z})</math> के अनुरूप अभिलक्षणिक सदिश हैं, हम स्वाभाविक रूप से देख सकते हैं कि कैसे बलोच का घूर्णन एक स्वेच्छाचारी अक्ष <math>\hat{n}</math> के बारे में निम्नलिखित  द्वारा वर्णित है