बलोच क्षेत्र: Difference between revisions

Revision as of 02:13, 10 May 2023

बलोच क्षेत्र

परिमाण यांत्रिकी और परिमाण कम्प्यूटिंग में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है।^[1]

परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से हिल्बर्ट स्थल अथवा प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान जटिल प्रक्षेपण रेखा $\mathbb {CP} ^{1}$ है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे रीमैन क्षेत्र में मानचित्र किया जा सकता है।

बलोच क्षेत्र एक इकाई एन-क्षेत्र 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप एंटीपोडल बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को आमतौर पर मानक आधार सदिश के अनुरूप चुना जाता है $|0\rangle$ और $|1\rangle$ , क्रमशः, जो बदले में उदा। एक इलेक्ट्रॉन की स्पिन (भौतिकी)-अप और स्पिन (भौतिकी)-डाउन अवस्थाओं के लिए। हालाँकि यह चुनाव मनमाना है। गोले की सतह पर बिंदु सिस्टम की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था#सुपरपोजिशन के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु परिमाण अवस्था#मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।^[2]^[3] बलोच स्फीयर को एन-लेवल परिमाण सिस्टम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब विज़ुअलाइज़ेशन कम उपयोगी होता है।

ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (ऑप्टिक्स) | पोंकारे क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार मौजूद हैं और उन्हें जोन्स कैलकुलस#जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे,^[4] स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में।

बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक मीट्रिक (गणित) फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है। द्वि-आयामी स्थिति अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण $\mathbb {C} ^{2}$ बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें स्पिनरों के प्रत्येक प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मैपिंग होती है।

परिभाषा

एक अलौकिक आधार दिया गया है, कोई भी शुद्ध अवस्था $|\psi \rangle$ दो-स्तरीय परिमाण प्रणाली की संरचना को आधार सदिशों के अध्यारोपण के रूप में लिखा जा सकता है $|0\rangle$ और $|1\rangle$ , जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि स्थिति को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार सदिश के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (परिमाण प्रणाली का चरण सीधे परिमाण यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो। हम का गुणांक ले सकते हैं $|0\rangle$ वास्तविक और गैर-नकारात्मक होना। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को जन्म देते हुए स्थिति को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है।

हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि सिस्टम की कुल संभावना एक होनी चाहिए:

\langle \psi |\psi \rangle =1

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 {{short description|Geometrical representation of the pure state space of a two-level quantum mechanical system}}
-[[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]]क्वांटम [[क्वांटम यांत्रिकी]] और [[ क्वांटम कम्प्यूटिंग ]] में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध राज्य स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी [[फेलिक्स बलोच]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=परमाणु प्रेरण|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7–8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B |doi-access=free}}; see Arecchi, F T, Courtens, E, Gilmore, R, & Thomas, H (1972). "Atomic coherent states in quantum optics", ''Phys Rev''  '''A6'''(6):  2211</ref>
+[[File:Bloch_sphere.svg|thumb|बलोच क्षेत्र]][[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] और[[ क्वांटम कम्प्यूटिंग | परिमाण कम्प्यूटिंग]] में, बलोच क्षेत्र एक दो-स्तरीय प्रणाली के शुद्ध अवस्था स्थान का एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। दो-स्तरीय परिमाण यांत्रिक तन्त्र (क्विबिट), जिसका नाम भौतिक विज्ञानी [[फेलिक्स बलोच]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=परमाणु प्रेरण|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7–8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B |doi-access=free}}; see Arecchi, F T, Courtens, E, Gilmore, R, & Thomas, H (1972). "Atomic coherent states in quantum optics", ''Phys Rev''  '''A6'''(6):  2211</ref>
-क्वांटम यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस]] अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक क्वांटम प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी राज्यों का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] है <math>\mathbb{CP}^1.</math> यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मैप किया जा सकता है।
+परिमाण यांत्रिकी गणितीय रूप से [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थल]] अथवा [[प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस|प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्थल]] अंतरिक्ष में तैयार की गई है। एक परिमाण प्रणाली की शुद्ध अवस्था संबंधित हिल्बर्ट अंतरिक्ष (और प्रक्षेपीय हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बिंदु) के एक आयामी उप-स्थान के अनुरूप होती है। द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए, ऐसे सभी दिक् का स्थान [[जटिल प्रक्षेपण रेखा]] <math>\mathbb{CP}^1</math> है यह बलोच क्षेत्र है, जिसे [[रीमैन क्षेत्र]] में मानचित्र किया जा सकता है।
-बलोच क्षेत्र एक इकाई [[एन-क्षेत्र]] | 2-गोला है, जिसमें पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल राज्य वैक्टर की एक जोड़ी के अनुरूप एंटीपोडल बिंदु होते हैं। बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को आमतौर पर मानक आधार वैक्टर के अनुरूप चुना जाता है <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math>, क्रमशः, जो बदले में उदा। एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)]]-अप और स्पिन (भौतिकी)-डाउन अवस्थाओं के लिए। हालाँकि यह चुनाव मनमाना है। गोले की सतह पर बिंदु सिस्टम की शुद्ध अवस्थाओं की क्वांटम अवस्था#सुपरपोजिशन के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु क्वांटम अवस्था#मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc">
+बलोच क्षेत्र एक इकाई [[एन-क्षेत्र]] 2-वृत्त है, जिसमें पारस्परिक रूप से आयतीय स्थिति सदिश की एक जोड़ी के अनुरूप एंटीपोडल '''बिंदु होते हैं।''' बलोच क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों को आमतौर पर मानक आधार सदिश के अनुरूप चुना जाता है <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math>, क्रमशः, जो बदले में उदा। एक इलेक्ट्रॉन की [[स्पिन (भौतिकी)]]-अप और स्पिन (भौतिकी)-डाउन अवस्थाओं के लिए। हालाँकि यह चुनाव मनमाना है। गोले की सतह पर बिंदु सिस्टम की शुद्ध अवस्थाओं की परिमाण अवस्था#सुपरपोजिशन के अनुरूप होते हैं, जबकि आंतरिक बिंदु परिमाण अवस्था#मिश्रित अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं।<ref name="nc">
 {{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |author-link1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}}
-</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere &#124; Quantiki}}</ref> बलोच स्फीयर को एन-लेवल क्वांटम सिस्टम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब विज़ुअलाइज़ेशन कम उपयोगी होता है।
+</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere|title = Bloch sphere &#124; Quantiki}}</ref> बलोच स्फीयर को एन-लेवल परिमाण सिस्टम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन तब विज़ुअलाइज़ेशन कम उपयोगी होता है।
-ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (ऑप्टिक्स) | पोंकारे क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार मौजूद हैं और उन्हें जोन्स कैलकुलस#जोन्स वैक्टर कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे,<ref name="TML">
+ऐतिहासिक कारणों से, प्रकाशिकी में बलोच क्षेत्र को पोंकारे क्षेत्र (ऑप्टिक्स) | पोंकारे क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है और विशेष रूप से विभिन्न प्रकार के ध्रुवीकरण (तरंगों) का प्रतिनिधित्व करता है। छह सामान्य ध्रुवीकरण प्रकार मौजूद हैं और उन्हें जोन्स कैलकुलस#जोन्स सदिश कहा जाता है। वास्तव में हेनरी पोंकारे 19वीं शताब्दी के अंत में इस तरह के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के उपयोग का सुझाव देने वाले पहले व्यक्ति थे,<ref name="TML">
 {{cite book |title=Théorie mathématique de la lumière II |url=https://archive.org/details/thoriemathma00poin |last1=Poincaré |first1=Henri |author-link1=Henri_Poincaré |year=1892 |publisher=G. Carré}}
 </ref> स्टोक्स मापदंडों के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में।
-बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक [[मीट्रिक (गणित)]] फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है। द्वि-आयामी राज्य अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण <math>\mathbb{C}^2</math> बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें स्पिनरों के प्रत्येक प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मैपिंग होती है।
+बलोच क्षेत्र पर प्राकृतिक [[मीट्रिक (गणित)]] फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है। द्वि-आयामी स्थिति अंतरिक्ष में इकाई 3-क्षेत्र से मानचित्रण <math>\mathbb{C}^2</math> बलोच क्षेत्र के लिए हॉप फ़िब्रेशन है, जिसमें स्पिनरों के प्रत्येक प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस के साथ बलोच क्षेत्र पर एक बिंदु पर मैपिंग होती है।
 == परिभाषा ==
-एक अलौकिक आधार दिया गया है, कोई भी शुद्ध अवस्था <math>|\psi\rangle</math> दो-स्तरीय क्वांटम प्रणाली की संरचना को आधार सदिशों के अध्यारोपण के रूप में लिखा जा सकता है <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math>, जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि राज्य को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार वैक्टर के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (क्वांटम प्रणाली का चरण सीधे क्वांटम यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो। हम का गुणांक ले सकते हैं <math>|0\rangle</math> वास्तविक और गैर-नकारात्मक होना। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को जन्म देते हुए राज्य को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है।
+एक अलौकिक आधार दिया गया है, कोई भी शुद्ध अवस्था <math>|\psi\rangle</math> दो-स्तरीय परिमाण प्रणाली की संरचना को आधार सदिशों के अध्यारोपण के रूप में लिखा जा सकता है <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math>, जहां दो आधार सदिशों में से प्रत्येक का गुणांक (या योगदान) एक सम्मिश्र संख्या है। इसका अर्थ है कि स्थिति को चार वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है। हालाँकि दो आधार सदिश के गुणांक के बीच केवल सापेक्ष चरण का कोई भौतिक अर्थ है (परिमाण प्रणाली का चरण सीधे परिमाण यांत्रिकी में माप नहीं है), ताकि इस विवरण में अतिरेक हो। हम का गुणांक ले सकते हैं <math>|0\rangle</math> वास्तविक और गैर-नकारात्मक होना। यह बलोच क्षेत्र के तीन आयामों को जन्म देते हुए स्थिति को केवल तीन वास्तविक संख्याओं द्वारा वर्णित करने की अनुमति देता है।
-हम क्वांटम यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि सिस्टम की कुल संभावना एक होनी चाहिए:
+हम परिमाण यांत्रिकी से यह भी जानते हैं कि सिस्टम की कुल संभावना एक होनी चाहिए:
 :<math>\langle\psi | \psi\rangle = 1</math>, या समकक्ष <math>\big\| |\psi\rangle \big\|^2 = 1</math>.
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 कहाँ <math>\vec{a} \in \mathbb{R}^3</math> बलोच वेक्टर कहा जाता है।
-यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित राज्य से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली मैट्रिसेस # पाउली वेक्टर की मूल विशेषता के रूप में, के आइगेनवेल्यूज़ {{mvar|ρ}} हैं <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math>. घनत्व ऑपरेटरों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी का अनुसरण करता है <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math>.
+यह सदिश क्षेत्र के भीतर उस बिंदु को इंगित करता है जो किसी दिए गए मिश्रित स्थिति से मेल खाता है। विशेष रूप से, पाउली मैट्रिसेस # पाउली वेक्टर की मूल विशेषता के रूप में, के आइगेनवेल्यूज़ {{mvar|ρ}} हैं <math>\frac{1}{2}\left(1 \pm |\vec{a}|\right)</math>. घनत्व ऑपरेटरों को सकारात्मक-अर्ध-परिमित होना चाहिए, इसलिए यह उसी का अनुसरण करता है <math>\left|\vec{a}\right| \le 1</math>.
 शुद्ध राज्यों के लिए, एक के पास है
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 acts on the state eigenvector <math>(\cos\theta/2, e^{i\phi} \sin\theta/2)</math> with eigenvalue 1, so like a [[Projection (linear algebra)| projection operator]] for it.</ref>
-नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी क्वांटम प्रणाली के सभी शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित राज्यों से मेल खाती है।
+नतीजतन, बलोच क्षेत्र की सतह द्वि-आयामी परिमाण प्रणाली के सभी शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि आंतरिक सभी मिश्रित राज्यों से मेल खाती है।
 == यू, वी, डब्ल्यू प्रतिनिधित्व ==
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 == शुद्ध अवस्थाएँ ==
-एक एन-लेवल क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन एन-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस एच द्वारा किया गया है<sub>''n''</sub>. परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H की 1-आयामी किरणों का समुच्चय है<sub>''n''</sub>.
+एक एन-लेवल परिमाण मैकेनिकल सिस्टम पर विचार करें। इस प्रणाली का वर्णन एन-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस एच द्वारा किया गया है<sub>''n''</sub>. परिभाषा के अनुसार शुद्ध अवस्था स्थान H की 1-आयामी किरणों का समुच्चय है<sub>''n''</sub>.
-प्रमेय। U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक मैट्रिसेस का झूठा समूह होने दें। फिर 'एच' का शुद्ध राज्य स्थान<sub>''n''</sub> कॉम्पैक्ट कोसेट स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है
+प्रमेय। U(N)|U(''n'') आकार ''n'' के एकात्मक मैट्रिसेस का झूठा समूह होने दें। फिर 'एच' का शुद्ध स्थिति स्थान<sub>''n''</sub> कॉम्पैक्ट कोसेट स्पेस के साथ पहचाना जा सकता है
 :<math> \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1)). </math>
-इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है।<sub>''n''</sub>. यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी राज्य के लिए <math>|\psi\rangle</math>, का [[आइसोट्रॉपी समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित <math>g</math> यू (एन) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए आइसोमोर्फिक है
+इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें कि H की अवस्थाओं के समुच्चय पर U(n) की एक प्राकृतिक रूपांतरण [[समूह क्रिया (गणित)]] है।<sub>''n''</sub>. यह क्रिया शुद्ध अवस्थाओं पर निरंतर और [[सकर्मक समूह क्रिया]] है। किसी भी स्थिति के लिए <math>|\psi\rangle</math>, का [[आइसोट्रॉपी समूह]] <math>|\psi\rangle</math>, (तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित <math>g</math> यू (एन) की ऐसी है कि <math>g |\psi\rangle = |\psi\rangle</math>) उत्पाद समूह के लिए आइसोमोर्फिक है
 :<math> \operatorname{U}(n - 1) \times \operatorname{U}(1). </math>
-रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> यू (एन) का जो छोड़ देता है <math>|\psi\rangle</math> अपरिवर्तनीय होना चाहिए <math>|\psi\rangle</math> एक [[आइजन्वेक्टर]] के रूप में। चूंकि संबंधित eigenvalue मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह आइसोट्रॉपी समूह का U(1) कारक देता है। आइसोट्रॉपी समूह के दूसरे भाग को ऑर्थोगोनल पूरक पर एकात्मक मैट्रिसेस द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है <math>|\psi\rangle</math>, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन कॉम्पैक्ट समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।
+रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार उचित ठहराया जा सकता है। कोई <math>g</math> यू (एन) का जो छोड़ देता है <math>|\psi\rangle</math> अपरिवर्तनीय होना चाहिए <math>|\psi\rangle</math> एक [[आइजन्वेक्टर]] के रूप में। चूंकि संबंधित eigenvalue मापांक 1 की एक सम्मिश्र संख्या होनी चाहिए, यह आइसोट्रॉपी समूह का U(1) कारक देता है। आइसोट्रॉपी समूह के दूसरे भाग को आयतीय पूरक पर एकात्मक मैट्रिसेस द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है <math>|\psi\rangle</math>, जो U(n − 1) के लिए तुल्याकारी है। इससे प्रमेय का अभिकथन कॉम्पैक्ट समूहों के सकर्मक समूह कार्यों के बारे में बुनियादी तथ्यों से होता है।
 ऊपर ध्यान देने योग्य महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि एकात्मक समूह शुद्ध अवस्थाओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।
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 स्व-संलग्न जटिल मैट्रिसेस के स्थान से यू (एन) तक एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है। स्व-संलग्न जटिल आव्यूहों के स्थान का वास्तविक आयाम n है<sup>2</उप>।
-परिणाम। 'एच' के शुद्ध राज्य स्थान का वास्तविक आयाम<sub>''n''</sub> 2n - 2 है।
+परिणाम। 'एच' के शुद्ध स्थिति स्थान का वास्तविक आयाम<sub>''n''</sub> 2n - 2 है।
 वास्तव में,
 :<math> n^2 - \left((n - 1)^2 + 1\right) = 2n - 2. \quad </math>
-आइए इसे m qubit क्वांटम रजिस्टर के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 है<sup>मी</sup>.
+आइए इसे m qubit परिमाण रजिस्टर के वास्तविक आयाम पर विचार करने के लिए लागू करें। संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का आयाम 2 है<sup>मी</sup>.
-'परिणाम'। m-qubit [[क्वांटम रजिस्टर]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2 है<sup>एम+1</sup> − 2.
+'परिणाम'। m-qubit [[क्वांटम रजिस्टर|परिमाण रजिस्टर]] के शुद्ध अवस्था स्थान का वास्तविक आयाम 2 है<sup>एम+1</sup> − 2.
 == स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन == के माध्यम से शुद्ध दो-स्पिनर स्टेट्स प्लॉट करना
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 :<math> P_z = {1 - u_x^2 - u_y^2 \over 1 + u_x^2 + u_y^2} </math>.
-गणितीय रूप से दो-स्पिनर राज्य के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस में मैप किया जा सकता है, जिसे निरूपित किया जा सकता है <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math>. जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष <math>\mathbf{H}^2</math> (जिसका कि <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> एक प्रक्षेपण है) [[SO(3)]] का प्रतिनिधित्व स्थान है।<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe |location=New York |year=2007 |orig-year=2004 |publisher=Vintage Books (Random House, Inc.)|page=554 |isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>
+गणितीय रूप से दो-स्पिनर स्थिति के लिए बलोच क्षेत्र को रीमैन क्षेत्र या एक जटिल 2-आयामी प्रक्षेपीय हिल्बर्ट स्पेस में मानचित्र किया जा सकता है, जिसे निरूपित किया जा सकता है <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math>. जटिल द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष <math>\mathbf{H}^2</math> (जिसका कि <math>\mathbb{P} \mathbf{H}^2</math> एक प्रक्षेपण है) [[SO(3)]] का प्रतिनिधित्व स्थान है।<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe |location=New York |year=2007 |orig-year=2004 |publisher=Vintage Books (Random House, Inc.)|page=554 |isbn=978-0-679-77631-4}}</ref>
 == घनत्व ऑपरेटर ==
-पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में क्वांटम यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स]] के संदर्भ में सामान्य क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का पैरामीट्रिज़ करता है। 2-स्तरीय क्वांटम सिस्टम (qubit) के मिश्रित-राज्य का वर्णन करने वाला घनत्व ऑपरेटर निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:
+पृथक प्रणालियों के लिए शुद्ध अवस्थाओं के संदर्भ में परिमाण यांत्रिकी के सूत्रीकरण पर्याप्त हैं; [[घनत्व मैट्रिक्स]] के संदर्भ में सामान्य परिमाण यांत्रिक प्रणालियों में वर्णित करने की आवश्यकता है। बलोच क्षेत्र न केवल शुद्ध अवस्थाओं बल्कि 2-स्तरीय प्रणालियों के लिए मिश्रित अवस्थाओं का पैरामीट्रिज़ करता है। 2-स्तरीय परिमाण सिस्टम (qubit) के मिश्रित-स्थिति का वर्णन करने वाला घनत्व ऑपरेटर निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बलोच क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से मेल खाता है:
 :<math> \left( \sum p_i x_i,  \sum p_i y_i,  \sum p_i z_i \right),</math>
 कहाँ <math>p_i</math> पहनावा के भीतर अलग-अलग राज्यों की संभावना है और <math>x_i, y_i, z_i</math> अलग-अलग राज्यों के निर्देशांक हैं (बलोच क्षेत्र की सतह पर)। बलोच स्फेयर पर और अंदर सभी बिंदुओं के सेट को बलोच बॉल के रूप में जाना जाता है।
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 उच्च आयाम वाले राज्यों के लिए इसे मिश्रित राज्यों तक विस्तारित करने में कठिनाई होती है। टोपोलॉजिकल विवरण इस तथ्य से जटिल है कि एकात्मक समूह घनत्व संचालकों पर सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है। इसके अलावा, कक्षाएँ अत्यंत विविध हैं, जैसा कि निम्नलिखित अवलोकन से पता चलता है:
-'प्रमेय'। मान लीजिए A एक n स्तर क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम पर घनत्व ऑपरेटर है जिसका अलग-अलग eigenvalues μ हैं<sub>1</sub>, ..., एम<sub>''k''</sub> गुणन के साथ एन<sub>1</sub>, ..., एन<sub>''k''</sub>. फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक झूठ समूह के रूप में) है
+'प्रमेय'। मान लीजिए A एक n स्तर परिमाण मैकेनिकल सिस्टम पर घनत्व ऑपरेटर है जिसका अलग-अलग eigenvalues μ हैं<sub>1</sub>, ..., एम<sub>''k''</sub> गुणन के साथ एन<sub>1</sub>, ..., एन<sub>''k''</sub>. फिर एकात्मक संकारकों का समूह V ऐसा कि V A V* = A समरूपी (एक झूठ समूह के रूप में) है
 :<math>\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).</math>
 विशेष रूप से ए की कक्षा आइसोमोर्फिक है
@@ Line 146: / Line 146: @@
 == परिक्रमण ==
-बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट राज्य का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन मैट्रिसेस के समूह के लिए [[झूठ बीजगणित]] <math>SU(2)</math> तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है <math>SO(3)</math>.<ref>D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf </ref>
+बलोच क्षेत्र के प्रतिनिधित्व का एक उपयोगी लाभ यह है कि बलोच क्षेत्र के घुमावों द्वारा क्वबिट स्थिति का विकास वर्णित है। ऐसा क्यों है, इसकी सबसे संक्षिप्त व्याख्या यह है कि एकात्मक और हर्मिटियन मैट्रिसेस के समूह के लिए [[झूठ बीजगणित]] <math>SU(2)</math> तीन आयामी घुमावों के समूह के लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है <math>SO(3)</math>.<ref>D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf </ref>
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 === बलोच रोटेशन जनरेटर === की व्युत्पत्ति
-बैलेंटाइन<ref>Ballentine 2014, "Quantum Mechanics - A Modern Development", Chapter 3</ref> अतिसूक्ष्म एकात्मक परिवर्तन के लिए एक सहज व्युत्पत्ति प्रस्तुत करता है। यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि बलोच क्षेत्रों के घूर्णन पाउली मेट्रिसेस के रैखिक संयोजनों के घातीय क्यों हैं। अतः इसका संक्षिप्त उपचार यहाँ दिया जा रहा है। क्वांटम मैकेनिकल संदर्भ में एक अधिक पूर्ण विवरण [[रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)]] पाया जा सकता है।
+बैलेंटाइन<ref>Ballentine 2014, "Quantum Mechanics - A Modern Development", Chapter 3</ref> अतिसूक्ष्म एकात्मक परिवर्तन के लिए एक सहज व्युत्पत्ति प्रस्तुत करता है। यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि बलोच क्षेत्रों के घूर्णन पाउली मेट्रिसेस के रैखिक संयोजनों के घातीय क्यों हैं। अतः इसका संक्षिप्त उपचार यहाँ दिया जा रहा है। परिमाण मैकेनिकल संदर्भ में एक अधिक पूर्ण विवरण [[रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)|रोटेशन ऑपरेटर (परिमाण यांत्रिकी)]] पाया जा सकता है।
 एकात्मक संचालकों के एक परिवार पर विचार करें <math>U</math> किसी अक्ष के परितः घूर्णन को निरूपित करना। चूंकि रोटेशन में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है, ऑपरेटर स्केलर्स के क्षेत्र में कार्य करता है <math>S</math> ऐसा है कि:

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