अपचायक समूह: Difference between revisions
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== अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | == अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | ||
प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में एक जटिलता (लाई समूह) होती है, जो एक जटिल अपचायक बीजगणितीय समूह है। वस्तुतः, यह निर्माण समरूपता तक संहत संयोजित | प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में एक जटिलता (लाई समूह) होती है, जो एक जटिल अपचायक बीजगणितीय समूह है। वस्तुतः, यह निर्माण समरूपता तक संहत संयोजित लाई समूहों और जटिल अपचायक समूहों के बीच एक-से-एक संगति देता है। जटिलता G के साथ एक संहत लाई समूह k के लिए, k से जटिल अपचायक समूह G ('<nowiki/>'''C'''<nowiki/>') में सम्मिलित होना, G (''''C'''<nowiki/>') पर शास्त्रीय सांस्थिति के संबंध में एक समस्थेयता समतुल्यता है। उदाहरण के लिए, [[एकात्मक समूह]] U(n) से GL(n,'C') में समावेश एक [[होमोटॉपी तुल्यता|समस्थेयता तुल्यता]] है। | ||
एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में एक अपचायक समूह G के लिए, G के सभी परिमित-विमीय निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय निरूपण हैं, अर्थात, वे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग हैं।<ref>Milne (2017), Theorem 22.42.</ref> यह नाम अपचायक का स्रोत है। ध्यान दें, यद्यपि, पूर्ण न्यूनीकरण धनात्मक विशेषता (टोरी के अतिरिक्त ) में अपचायक समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक सजातीय समूह पद्धति G को रैखिक रूप से अपचायक' कहा जाता है यदि इसके परिमित-विमीय निरूपण पूर्ण रूप से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G का तत्समक घटक G<sup>o</sup> अपचायक है।<ref>Milne (2017), Corollary 22.43.</ref> विशेषता p>0 के k के लिए, यद्यपि, [[न्यायमूर्ति नगाटा|मासायोशी नागाटा]] ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G<sup>o</sup> गुणक प्रकार का है और G/G<sup>o</sup> के निकट p से क्रम अभाज्य है।<ref>Demazure & Gabriel (1970), Théorème IV.3.3.6.</ref> | एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में एक अपचायक समूह G के लिए, G के सभी परिमित-विमीय निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय निरूपण हैं, अर्थात, वे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग हैं।<ref>Milne (2017), Theorem 22.42.</ref> यह नाम अपचायक का स्रोत है। ध्यान दें, यद्यपि, पूर्ण न्यूनीकरण धनात्मक विशेषता (टोरी के अतिरिक्त ) में अपचायक समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक सजातीय समूह पद्धति G को रैखिक रूप से अपचायक' कहा जाता है यदि इसके परिमित-विमीय निरूपण पूर्ण रूप से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G का तत्समक घटक G<sup>o</sup> अपचायक है।<ref>Milne (2017), Corollary 22.43.</ref> विशेषता p>0 के k के लिए, यद्यपि, [[न्यायमूर्ति नगाटा|मासायोशी नागाटा]] ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G<sup>o</sup> गुणक प्रकार का है और G/G<sup>o</sup> के निकट p से क्रम अभाज्य है।<ref>Demazure & Gabriel (1970), Théorème IV.3.3.6.</ref> | ||
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G को एक क्षेत्र k पर एक विभाजित अपचायक समूह होने दें, और T को G में एक विभाजित अधिकतम टोरस होने दें; इसलिए T कुछ n के लिए (G<sub>''m''</sub>)<sup>n</sup> के लिए समरूपी है, जिसमें n को G का पद कहा जाता है। T का प्रत्येक निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-विमीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है।<ref>Milne (2017), Theorem 12.12.</ref> G के लिए भार का अर्थ है ''T'' के 1-विमीय निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता ''T''→ ''G''<sub>''m''</sub>। [[पूर्णांक]] 'Z<sup>n</sup>' की n प्रतियों के उत्पाद के लिए X(T) समरूपता के साथ निरूपण के टेंसर गुणनफल के अंतर्गत भार एक समूह X(T) बनाते हैं। | G को एक क्षेत्र k पर एक विभाजित अपचायक समूह होने दें, और T को G में एक विभाजित अधिकतम टोरस होने दें; इसलिए T कुछ n के लिए (G<sub>''m''</sub>)<sup>n</sup> के लिए समरूपी है, जिसमें n को G का पद कहा जाता है। T का प्रत्येक निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-विमीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है।<ref>Milne (2017), Theorem 12.12.</ref> G के लिए भार का अर्थ है ''T'' के 1-विमीय निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता ''T''→ ''G''<sub>''m''</sub>। [[पूर्णांक]] 'Z<sup>n</sup>' की n प्रतियों के उत्पाद के लिए X(T) समरूपता के साथ निरूपण के टेंसर गुणनफल के अंतर्गत भार एक समूह X(T) बनाते हैं। | ||
संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित <math>\mathfrak g</math> पर संयुग्मन द्वारा होता है। G के एक मूल का अर्थ है एक गैर-शून्य भार जो <math>\mathfrak g</math>पर ''T'' ⊂ G की क्रिया में होता है। प्रत्येक मूल के अनुरूप <math>\mathfrak g</math> की उप-समष्टि उपक्षेत्र 1-विमीय है, और T द्वारा निश्चित की गई <math>\mathfrak g</math> की उपसमष्टि यथार्थ T की | संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित <math>\mathfrak g</math> पर संयुग्मन द्वारा होता है। G के एक मूल का अर्थ है एक गैर-शून्य भार जो <math>\mathfrak g</math>पर ''T'' ⊂ G की क्रिया में होता है। प्रत्येक मूल के अनुरूप <math>\mathfrak g</math> की उप-समष्टि उपक्षेत्र 1-विमीय है, और T द्वारा निश्चित की गई <math>\mathfrak g</math> की उपसमष्टि यथार्थ T की लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> है।<ref name="M2111">Milne (2017), Theorem 21.11.</ref> इसलिए, G का लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> में मूलों के सम्मुचय Φ द्वारा अनुक्रमित 1-आयामी उप-स्थानों के साथ विघटित होता है: | ||
:<math>{\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | :<math>{\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | ||
उदाहरण के लिए, जब G समूह GL(n) है, तो इसका लाई बीजगणित <math>{\mathfrak gl}(n)</math>, k पर सभी n × n आव्यूहों की सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि G में विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह T है। फिर मूल-समष्टि अपघटन <math>{\mathfrak gl}(n)</math> को विकर्ण आव्यूह के प्रत्यक्ष योग और संवृत्त-विकर्ण पदों (i, j) द्वारा अनुक्रमित 1-विमीय उप-समष्टि के रूप में व्यक्त करता है। भार जालक X(T) ≅ 'Z <sup>n</sup>' के मानक आधार के लिए L<sub>1</sub>,..., L<sub>''n''</sub> लिखते हुए, 1 से n तक सभी i ≠ j के लिए मूल अवयव Li - Lj हैं। | उदाहरण के लिए, जब G समूह GL(n) है, तो इसका लाई बीजगणित <math>{\mathfrak gl}(n)</math>, k पर सभी n × n आव्यूहों की सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि G में विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह T है। फिर मूल-समष्टि अपघटन <math>{\mathfrak gl}(n)</math> को विकर्ण आव्यूह के प्रत्यक्ष योग और संवृत्त-विकर्ण पदों (i, j) द्वारा अनुक्रमित 1-विमीय उप-समष्टि के रूप में व्यक्त करता है। भार जालक X(T) ≅ 'Z <sup>n</sup>' के मानक आधार के लिए L<sub>1</sub>,..., L<sub>''n''</sub> लिखते हुए, 1 से n तक सभी i ≠ j के लिए मूल अवयव Li - Lj हैं। | ||
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परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/' | परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/P 'K' पर [[उचित योजना|उचित पद्धति]] है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए [[सामान्यीकृत ध्वज विविधता]] के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के ''K'' के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। ''GL''(''n'') के लिए, ये ध्वज प्रकार हैं, दिए गए विमाओं ''a''<sub>1</sub>,...,a<sub>''i''</sub> के रैखिक उप-स्थानों के प्राचलीकरण अनुक्रम विमा n: | ||
:<math>0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V | :<math>0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V</math> के एक निश्चित सदिश समष्टि V में समाहित है | ||
लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, | लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि ध्वज की प्रकार के रूप में होता है। बोरेल उपसमूह B के साथ किसी भी अपचायक समूह G के लिए, G/B को 'ध्वज प्रकार' या 'ध्वज कई गुना' कहा जाता है। | ||
== विभाजित अपचायक समूह का वर्गीकरण == | == विभाजित अपचायक समूह का वर्गीकरण == | ||
[[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]शेवाली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा | [[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]शेवाली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है।<ref>Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.</ref> विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, F<sub>4</sub>, G<sub>2</sub> के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं। | ||
G प्रकार के [[असाधारण समूह]] G<sub>2</sub> और ई<sub>6</sub> लियोनार्ड यूजीन डिक्सन | L द्वारा कम से कम सार समूह G (के) के रूप में पहले बनाया गया था। ई। डिक्सन। उदाहरण के लिए, समूह जी<sub>2</sub> k पर एक [[ऑक्टोनियन बीजगणित]] का [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] है। इसके विपरीत, टाइप एफ के शेवेलली समूह<sub>4</sub>, और<sub>7</sub>, और<sub>8</sub> धनात्मक विशेषताओं के क्षेत्र में पूर्ण रूप से नए थे। | G प्रकार के [[असाधारण समूह]] G<sub>2</sub> और ई<sub>6</sub> लियोनार्ड यूजीन डिक्सन | L द्वारा कम से कम सार समूह G (के) के रूप में पहले बनाया गया था। ई। डिक्सन। उदाहरण के लिए, समूह जी<sub>2</sub> k पर एक [[ऑक्टोनियन बीजगणित]] का [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] है। इसके विपरीत, टाइप एफ के शेवेलली समूह<sub>4</sub>, और<sub>7</sub>, और<sub>8</sub> धनात्मक विशेषताओं के क्षेत्र में पूर्ण रूप से नए थे। | ||
अधिक सामान्यतः, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है।<ref>Milne (2017), Theorems 23.25 and 23.55.</ref> एक क्षेत्र k पर एक अर्द्धसरल समूह G को 'सिम्पली संयोजित' कहा जाता है, यदि अर्द्धसरल समूह से G तक प्रत्येक सेंट्रल आइसोजिनी एक | अधिक सामान्यतः, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है।<ref>Milne (2017), Theorems 23.25 and 23.55.</ref> एक क्षेत्र k पर एक अर्द्धसरल समूह G को 'सिम्पली संयोजित' कहा जाता है, यदि अर्द्धसरल समूह से G तक प्रत्येक सेंट्रल आइसोजिनी एक समरूपता है। (जटिल संख्याओं पर G अर्धसरल के लिए, इस अर्थ में [[बस जुड़ा हुआ है|बस संयोजित है]] G ('सी') के बराबर है जो शास्त्रीय सांस्थिति में बस संयोजित है।) चेवेली का वर्गीकरण देता है कि, किसी भी क्षेत्र के ऊपर, एक अद्वितीय बस संयोजित विभाजन है एक दिए गए डायनकिन आरेख के साथ अर्धसरल समूह जी, संयोजित आरेखों के अनुरूप सरल समूहों के साथ। दूसरे चरम पर, एक अर्धसरल समूह 'संलग्न प्रकार' का होता है यदि इसका केंद्र नगण्य होता है। दिए गए डायनकिन आरेख के साथ k पर विभाजित अर्धसरल समूह वस्तुतः समूह G/A हैं, जहाँ G सरल रूप से संयोजित समूह है और A, G के केंद्र की एक k-उपसमूह पद्धति है। | ||
उदाहरण के लिए, क्लासिकल डायनकिन आरेखों के संगत क्षेत्र k पर सरलता से संयोजित विभाजित सरल समूह इस प्रकार हैं: | उदाहरण के लिए, क्लासिकल डायनकिन आरेखों के संगत क्षेत्र k पर सरलता से संयोजित विभाजित सरल समूह इस प्रकार हैं: | ||
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उदाहरण के लिए, [[प्रक्षेपी रैखिक समूह]] ''पीGL''(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में संयोजित है, परन्तु इसके वास्तविक बिंदुओं के समूह ''पीGL''(2,आर) में दो संयोजित घटक हैं। ''पीGL''(2,आर) (कभी-कभी ''पीSL''(2,आर) कहा जाता है) का तत्समक घटक एक वास्तविक अपचायक समूह है जिसे बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है। इसी प्रकार, ''SL''(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में बस संयोजित है, परन्तु झूठ समूह ''SL''(2,R) में पूर्णांक Z के लिए मूलभूत समूह समरूपी है, और इसलिए ''SL' '(2, आर) में नॉनट्रिविअल [[ अंतरिक्ष को कवर करना |समष्टि को कवर करना]] हैं। परिभाषा के अनुसार, ''SL''(2,R) के सभी परिमित आवरण (जैसे कि [[मेटाप्लेक्टिक समूह]]) वास्तविक अपचायक समूह हैं। दूसरी ओर, ''SL''(2,R) का [[सार्वभौमिक आवरण]] एक वास्तविक अपचायक समूह नहीं है, भले ही इसका लाई बीजगणित अपचायक लाई बीजगणित है, जो कि अर्द्धसरल लाई बीजगणित और एक एबेलियन लाई का उत्पाद है। बीजगणित।'' | उदाहरण के लिए, [[प्रक्षेपी रैखिक समूह]] ''पीGL''(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में संयोजित है, परन्तु इसके वास्तविक बिंदुओं के समूह ''पीGL''(2,आर) में दो संयोजित घटक हैं। ''पीGL''(2,आर) (कभी-कभी ''पीSL''(2,आर) कहा जाता है) का तत्समक घटक एक वास्तविक अपचायक समूह है जिसे बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है। इसी प्रकार, ''SL''(2) किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समूह के रूप में बस संयोजित है, परन्तु झूठ समूह ''SL''(2,R) में पूर्णांक Z के लिए मूलभूत समूह समरूपी है, और इसलिए ''SL' '(2, आर) में नॉनट्रिविअल [[ अंतरिक्ष को कवर करना |समष्टि को कवर करना]] हैं। परिभाषा के अनुसार, ''SL''(2,R) के सभी परिमित आवरण (जैसे कि [[मेटाप्लेक्टिक समूह]]) वास्तविक अपचायक समूह हैं। दूसरी ओर, ''SL''(2,R) का [[सार्वभौमिक आवरण]] एक वास्तविक अपचायक समूह नहीं है, भले ही इसका लाई बीजगणित अपचायक लाई बीजगणित है, जो कि अर्द्धसरल लाई बीजगणित और एक एबेलियन लाई का उत्पाद है। बीजगणित।'' | ||
एक संयोजित वास्तविक अपचायक समूह G के लिए, [[अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह|अधिकतम संहत उपसमूह]] ''के'' द्वारा G का भागफल कई गुना ''जी''/''के'' गैर-संहत का एक [[सममित स्थान|सममित]] समष्टि है प्रकार। वस्तुतः, गैर-संहत प्रकार का प्रत्येक सममित समष्टि इस प्रकार से उत्पन्न होता है। ये गैर-धनात्मक [[अनुभागीय वक्रता]] के साथ | एक संयोजित वास्तविक अपचायक समूह G के लिए, [[अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह|अधिकतम संहत उपसमूह]] ''के'' द्वारा G का भागफल कई गुना ''जी''/''के'' गैर-संहत का एक [[सममित स्थान|सममित]] समष्टि है प्रकार। वस्तुतः, गैर-संहत प्रकार का प्रत्येक सममित समष्टि इस प्रकार से उत्पन्न होता है। ये गैर-धनात्मक [[अनुभागीय वक्रता]] के साथ कई गुना्स के रीमैनियन ज्यामिति में केंद्रीय उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, ''SL''(2,R)/''SO''(2) [[ अतिशयोक्तिपूर्ण विमान |अतिशयोक्तिपूर्ण विमान]] है, और ''SL''(2,C)/''SU''(2) हाइपरबोलिक 3 है -समष्टि। | ||
अपचायक समूह ''G'' के लिए एक क्षेत्र ''k'' पर जो [[असतत मूल्यांकन]] के संबंध में पूर्ण है (जैसे p-adic नंबर Q<sub>''p''</sub>), इमारत (गणित) ''G'' का ''एक्स'' सममित समष्टि की भूमिका निभाता है। अर्थात, ''X'' ''G''(''k'') की क्रिया के साथ एक साधारण परिसर है, और ''G''(''k'') 'पर [[CAT(0)]] मीट्रिक को संरक्षित करता है। 'X', गैर-धनात्मक वक्रता वाले मीट्रिक का nालॉग। सजातीय बिल्डिंग का विमा G का ''के''-पद है। उदाहरण के लिए, ''SL'' (2, क्यू<sub>''p''</sub>) एक [[पेड़ (ग्राफ सिद्धांत)|पेड़ (आरेख सिद्धांत)]] है। | अपचायक समूह ''G'' के लिए एक क्षेत्र ''k'' पर जो [[असतत मूल्यांकन]] के संबंध में पूर्ण है (जैसे p-adic नंबर Q<sub>''p''</sub>), इमारत (गणित) ''G'' का ''एक्स'' सममित समष्टि की भूमिका निभाता है। अर्थात, ''X'' ''G''(''k'') की क्रिया के साथ एक साधारण परिसर है, और ''G''(''k'') 'पर [[CAT(0)]] मीट्रिक को संरक्षित करता है। 'X', गैर-धनात्मक वक्रता वाले मीट्रिक का nालॉग। सजातीय बिल्डिंग का विमा G का ''के''-पद है। उदाहरण के लिए, ''SL'' (2, क्यू<sub>''p''</sub>) एक [[पेड़ (ग्राफ सिद्धांत)|पेड़ (आरेख सिद्धांत)]] है। | ||
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== अपचायक समूहों का निरूपण == | == अपचायक समूहों का निरूपण == | ||
एक क्षेत्र k पर एक विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G (बीजगणितीय समूह के रूप में) के अलघुकरणीय निरूपण को प्रमुख भार द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, जिसे भार जालक X(T) ≅ 'Z' के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है।<sup>n</sup> 'आर' में एक उत्तल शंकु (एक [[वेइल कक्ष]]) के साथ<sup>n</sup>। विशेष रूप से, यह पैरामीट्रिजेशन k की विशेषता से स्वतंत्र है। अधिक विस्तार से, एक विभाजित अधिकतम टोरस और एक बोरेल उपसमूह, टी ⊂ बी ⊂ G को ठीक करें। फिर बी एक समृणीकृत संयोजित एकांगी उपसमूह यू के साथ टी का सेमीडायरेक्ट उत्पाद है। G ओवर के निरूपण वी में 'उच्चतम भार सदिश' परिभाषित करें k एक गैर-शून्य सदिश v होना चाहिए जैसे कि B स्वयं में v द्वारा फैलाई गई रेखा को मैप करता है। फिर बी उस रेखा पर अपने भागफल समूह टी के माध्यम से भार जालक एक्स (टी) के कुछ अवयव λ द्वारा कार्य करता है। शेवाली ने दिखाया कि G के प्रत्येक इर्रिडिएबल निरूपण में स्केलर तक एक अद्वितीय उच्चतम भार सदिश होता है; संबंधित उच्चतम भार λ प्रमुख है; और प्रत्येक प्रमुख भार λ, समरूपता तक G के एक अद्वितीय इरेड्यूसबल निरूपण L(λ) का उच्चतम भार है।<ref>Milne (2017), Theorem 22.2.</ref> | एक क्षेत्र k पर एक विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G (बीजगणितीय समूह के रूप में) के अलघुकरणीय निरूपण को प्रमुख भार द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, जिसे भार जालक X(T) ≅ 'Z' के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है।<sup>n</sup> 'आर' में एक उत्तल शंकु (एक [[वेइल कक्ष]]) के साथ<sup>n</sup>। विशेष रूप से, यह पैरामीट्रिजेशन k की विशेषता से स्वतंत्र है। अधिक विस्तार से, एक विभाजित अधिकतम टोरस और एक बोरेल उपसमूह, टी ⊂ बी ⊂ G को ठीक करें। फिर बी एक समृणीकृत संयोजित एकांगी उपसमूह यू के साथ टी का सेमीडायरेक्ट उत्पाद है। G ओवर के निरूपण वी में 'उच्चतम भार सदिश' परिभाषित करें k एक गैर-शून्य सदिश v होना चाहिए जैसे कि B स्वयं में v द्वारा फैलाई गई रेखा को मैप करता है। फिर बी उस रेखा पर अपने भागफल समूह टी के माध्यम से भार जालक एक्स (टी) के कुछ अवयव λ द्वारा कार्य करता है। शेवाली ने दिखाया कि G के प्रत्येक इर्रिडिएबल निरूपण में स्केलर तक एक अद्वितीय उच्चतम भार सदिश होता है; संबंधित उच्चतम भार λ प्रमुख है; और प्रत्येक प्रमुख भार λ, समरूपता तक G के एक अद्वितीय इरेड्यूसबल निरूपण L(λ) का उच्चतम भार है।<ref>Milne (2017), Theorem 22.2.</ref> | ||
दिए गए उच्चतम भार के साथ अलघुकरणीय निरूपण का वर्णन करने की समस्या बनी हुई है। विशेषता शून्य के k के लिए, अनिवार्य रूप से पूर्ण उत्तर हैं। एक प्रमुख भार λ के लिए, 'शूर मॉड्यूल' को परिभाषित करें ∇(λ) जी-इक्विवेरिएंट [[उलटा शीफ|व्युत्क्रम शीफ]] के वर्गों के के-सदिश समष्टि के रूप में फ्लैग | दिए गए उच्चतम भार के साथ अलघुकरणीय निरूपण का वर्णन करने की समस्या बनी हुई है। विशेषता शून्य के k के लिए, अनिवार्य रूप से पूर्ण उत्तर हैं। एक प्रमुख भार λ के लिए, 'शूर मॉड्यूल' को परिभाषित करें ∇(λ) जी-इक्विवेरिएंट [[उलटा शीफ|व्युत्क्रम शीफ]] के वर्गों के के-सदिश समष्टि के रूप में फ्लैग कई गुना जी/बी पर λ से संयोजित है; यह G का एक निरूपण है। विशेषता शून्य के k के लिए, बोरेल-वील प्रमेय का कहना है कि अलघुकरणीय निरूपण L(λ) शूर मॉड्यूल ∇(λ) के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसके अतिरिक्त , वेइल चरित्र सूत्र इस निरूपण के [[चरित्र सिद्धांत]] (और विशेष रूप से विमा) देता है। | ||
धनात्मक विशेषता के क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, स्थिति कहीं अधिक सूक्ष्म है, क्योंकि G का निरूपण सामान्यतः अखंडनीय्स का प्रत्यक्ष योग नहीं है। एक प्रमुख भार λ के लिए, अखंडनीय निरूपण L (λ) शूर मॉड्यूल ∇ (λ) का अद्वितीय सरल सबमॉड्यूल (सोकल (गणित)) है, परन्तु यह शूर मॉड्यूल के बराबर नहीं होना चाहिए। शूर मॉड्यूल का विमा और चरित्र [[जॉर्ज केम्फ]] द्वारा [[वेइल वर्ण सूत्र]] (विशेषता शून्य के रूप में) द्वारा दिया गया है।<ref>Jantzen (2003), Proposition II.4.5 and Corollary II.5.11.</ref> अलघुकरणीय अभ्यावेदन L(λ) के विमा और लक्षण सामान्य रूप से अज्ञात हैं, यद्यपि इन निरूपणों का विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत का एक बड़ा निकाय विकसित किया गया है। एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि L (λ) के विमा और चरित्र को तब जाना जाता है जब [[हेनिंग हाहर एंडरसन]], [[जेन्स कार्स्टन जैंटजेन]], और वोल्फगैंग सॉर्जेल द्वारा G के [[कॉक्सेटर संख्या|कॉक्सम्मुचयर संख्या]] की तुलना में के की विशेषता पी बहुत बड़ी है ([[जॉर्ज लुसिग]] के अनुमान को साबित करना) उस मामले में)। पी लार्ज के लिए उनका वर्ण सूत्र कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों पर आधारित है, जो मिश्रित रूप से जटिल हैं।<ref>Jantzen (2003), section II.8.22.</ref> किसी भी प्राइम पी के लिए, साइमन रिचे और [[जिओर्डी विलियमसन]] ने पी-कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संदर्भ में एक अपचायक समूह के इरेड्यूसबल वर्णों का अनुमान लगाया, जो कि और भी जटिल हैं, परन्तु कम से कम संगणनीय हैं।<ref>Riche & Williamson (2018), section 1.8.</ref> | धनात्मक विशेषता के क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, स्थिति कहीं अधिक सूक्ष्म है, क्योंकि G का निरूपण सामान्यतः अखंडनीय्स का प्रत्यक्ष योग नहीं है। एक प्रमुख भार λ के लिए, अखंडनीय निरूपण L (λ) शूर मॉड्यूल ∇ (λ) का अद्वितीय सरल सबमॉड्यूल (सोकल (गणित)) है, परन्तु यह शूर मॉड्यूल के बराबर नहीं होना चाहिए। शूर मॉड्यूल का विमा और चरित्र [[जॉर्ज केम्फ]] द्वारा [[वेइल वर्ण सूत्र]] (विशेषता शून्य के रूप में) द्वारा दिया गया है।<ref>Jantzen (2003), Proposition II.4.5 and Corollary II.5.11.</ref> अलघुकरणीय अभ्यावेदन L(λ) के विमा और लक्षण सामान्य रूप से अज्ञात हैं, यद्यपि इन निरूपणों का विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत का एक बड़ा निकाय विकसित किया गया है। एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि L (λ) के विमा और चरित्र को तब जाना जाता है जब [[हेनिंग हाहर एंडरसन]], [[जेन्स कार्स्टन जैंटजेन]], और वोल्फगैंग सॉर्जेल द्वारा G के [[कॉक्सेटर संख्या|कॉक्सम्मुचयर संख्या]] की तुलना में के की विशेषता पी बहुत बड़ी है ([[जॉर्ज लुसिग]] के अनुमान को साबित करना) उस मामले में)। पी लार्ज के लिए उनका वर्ण सूत्र कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों पर आधारित है, जो मिश्रित रूप से जटिल हैं।<ref>Jantzen (2003), section II.8.22.</ref> किसी भी प्राइम पी के लिए, साइमन रिचे और [[जिओर्डी विलियमसन]] ने पी-कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संदर्भ में एक अपचायक समूह के इरेड्यूसबल वर्णों का अनुमान लगाया, जो कि और भी जटिल हैं, परन्तु कम से कम संगणनीय हैं।<ref>Riche & Williamson (2018), section 1.8.</ref> | ||
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परिणामस्वरूप, k पर अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या में अनिवार्य रूप से k पर सभी द्विघात रूपों को वर्गीकृत करने की समस्या या k पर सभी केंद्रीय सरल बीजगणित सम्मिलित हैं। बीजगणितीय रूप से संवृत्त k के लिए ये समस्याएँ आसान हैं, और उन्हें कुछ अन्य क्षेत्रों जैसे संख्या क्षेत्रों के लिए समझा जाता है, परन्तु स्वेच्छ क्षेत्रों के लिए कई खुले प्रश्न हैं। | परिणामस्वरूप, k पर अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या में अनिवार्य रूप से k पर सभी द्विघात रूपों को वर्गीकृत करने की समस्या या k पर सभी केंद्रीय सरल बीजगणित सम्मिलित हैं। बीजगणितीय रूप से संवृत्त k के लिए ये समस्याएँ आसान हैं, और उन्हें कुछ अन्य क्षेत्रों जैसे संख्या क्षेत्रों के लिए समझा जाता है, परन्तु स्वेच्छ क्षेत्रों के लिए कई खुले प्रश्न हैं। | ||
किसी क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह को ' | किसी क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह को ' समानुवर्ती' कहा जाता है, यदि इसमें k-पद 0 से अधिक होता है (अर्थात, यदि इसमें एक नॉनट्रिविअल विभाजित टोरस होता है), और अन्यथा 'अनिसोट्रोपिक'। क्षेत्र k पर अर्धसरल समूह G के लिए, निम्न स्थितियाँ समतुल्य हैं: | ||
* जी | * जी समानुवर्ती है (अर्थात, G में गुणक समूह G की एक प्रति है<sub>''m''</sub> ओवर के); | ||
*G में k के ऊपर एक परवलयिक उपसमूह है जो G के बराबर नहीं है; | *G में k के ऊपर एक परवलयिक उपसमूह है जो G के बराबर नहीं है; | ||
*जी में योगात्मक समूह G की एक प्रति है<sub>''a''</sub> कश्मीर से अधिक | *जी में योगात्मक समूह G की एक प्रति है<sub>''a''</sub> कश्मीर से अधिक | ||
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== डाइनकिन डायग्राम पर गैलोज क्रिया == | == डाइनकिन डायग्राम पर गैलोज क्रिया == | ||
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अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की मांग में, जिन्हें विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, एक कदम [[स्तन सूचकांक]] है, जो अनिसोट्रोपिक समूहों के मामले में समस्या को कम करता है। यह कमी बीजगणित में कई मूलभूत प्रमेयों का सामान्यीकरण करती है। उदाहरण के लिए, विट के अपघटन प्रमेय का कहना है कि एक क्षेत्र पर एक गैर-अपघटित द्विघात रूप को इसके अनिसोट्रोपिक आधार के साथ मिलकर इसके विट इंडेक्स द्वारा | अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की मांग में, जिन्हें विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, एक कदम [[स्तन सूचकांक]] है, जो अनिसोट्रोपिक समूहों के मामले में समस्या को कम करता है। यह कमी बीजगणित में कई मूलभूत प्रमेयों का सामान्यीकरण करती है। उदाहरण के लिए, विट के अपघटन प्रमेय का कहना है कि एक क्षेत्र पर एक गैर-अपघटित द्विघात रूप को इसके अनिसोट्रोपिक आधार के साथ मिलकर इसके विट इंडेक्स द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है। इसी प्रकार, आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय विभाजन बीजगणित के मामले में एक क्षेत्र पर केंद्रीय सरल बीजगणित के वर्गीकरण को कम करता है। इन परिणामों को सामान्य करते हुए, टिट्स ने दिखाया कि क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह समरूपता तक इसके टिट्स इंडेक्स द्वारा इसके अनिसोट्रोपिक आधार, एक संबद्ध अनिसोट्रोपिक अर्द्धसरल k-समूह के साथ निर्धारित किया जाता है। | ||
एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए, [[पूर्ण गैलोज़ समूह]] Gal(k<sub>''s''</sub>/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करता है, अर्थात, एक वियोज्य क्लोजर k पर G का डायनकिन आरेख<sub>s</sub> (जो एक बीजगणितीय संवृत्त होने पर G का डायकिन आरेख भी है <math>{\overline k}</math>)। G के ब्रेस्ट इंडेक्स में G का मूल डेटम होता है<sub>''k''<sub>''s''</sub></sub>, इसके डायनकिन डायग्राम पर गैलोज़ एक्शन, और डाइकिन डायग्राम के शीर्षों का एक गैलोज़-निश्चर उपसमुच्चय। परंपरागत रूप से, दिए गए उपसमुच्चय में गैलोज़ कक्षाओं के चक्कर लगाकर टिट्स इंडेक्स तैयार किया जाता है। | एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए, [[पूर्ण गैलोज़ समूह]] Gal(k<sub>''s''</sub>/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करता है, अर्थात, एक वियोज्य क्लोजर k पर G का डायनकिन आरेख<sub>s</sub> (जो एक बीजगणितीय संवृत्त होने पर G का डायकिन आरेख भी है <math>{\overline k}</math>)। G के ब्रेस्ट इंडेक्स में G का मूल डेटम होता है<sub>''k''<sub>''s''</sub></sub>, इसके डायनकिन डायग्राम पर गैलोज़ एक्शन, और डाइकिन डायग्राम के शीर्षों का एक गैलोज़-निश्चर उपसमुच्चय। परंपरागत रूप से, दिए गए उपसमुच्चय में गैलोज़ कक्षाओं के चक्कर लगाकर टिट्स इंडेक्स तैयार किया जाता है। | ||
Revision as of 20:48, 6 May 2023
| बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत' समूह सिद्धांत |
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