स्प्रे (गणित): Difference between revisions
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== औपचारिक परिभाषाएँ == | == औपचारिक परिभाषाएँ == | ||
मान | मान लीजिए, ''M'' अवकलनीय मैनिफोल्ड है और (''TM'',π<sub>''TM''</sub>,''M'') टेंगेंट बंडल है। TM पर सदिश क्षेत्र H (अर्थात, [[डबल स्पर्शरेखा बंडल|डबल टेंगेंट बंडल]] ''TTM'' का खंड) M पर 'सेमिस्प्रे' है, यदि निम्नलिखित तीन समकक्ष स्थितियों में से कोई भी हो- | ||
* (π<sub>''TM''</sub>)<sub>*</sub>H<sub>ξ</sub> = ξ | * (π<sub>''TM''</sub>)<sub>*</sub>H<sub>ξ</sub> = ξ | ||
* ''JH''=''V'', जहाँ J ''TM'' पर टेंगेंट संरचना है और ''TM''\0 पर विहित सदिश क्षेत्र है। | * ''JH''=''V'', जहाँ J ''TM'' पर टेंगेंट संरचना है और ''TM''\0 पर विहित सदिश क्षेत्र है। | ||
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* H के अभिन्न वक्र ''t''→Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(ξ)∈''TM''\0 किसी भी λ>0 के लिए Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(λξ)=λΦ<sub>H</sub><sup>λt</sup>(ξ) को संतुष्ट करता है। | * H के अभिन्न वक्र ''t''→Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(ξ)∈''TM''\0 किसी भी λ>0 के लिए Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(λξ)=λΦ<sub>H</sub><sup>λt</sup>(ξ) को संतुष्ट करता है। | ||
मान | मान लीजिए <math>(x^i,\xi^i)</math>, <math>TM</math> पर स्थानीय निर्देशांक है, जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर समन्वय के आधार का उपयोग करके <math>M</math> पर स्थानीय निर्देशांक <math>(x^i</math>) से जुड़ा हुआ है। तब <math>H</math>, <math>M</math> पर सेमीस्प्र है यदि इसमें TM पर प्रत्येक संबद्ध समन्वय प्रणाली पर फॉर्म- | ||
:<math> H_\xi = \xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_{(x,\xi)} - 2G^i(x,\xi)\frac{\partial}{\partial \xi^i}\Big|_{(x,\xi)}.</math> | :<math> H_\xi = \xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_{(x,\xi)} - 2G^i(x,\xi)\frac{\partial}{\partial \xi^i}\Big|_{(x,\xi)}.</math> | ||
का स्थानीय प्रतिनिधित्व है। सेमीस्प्रे H (पूर्ण) स्प्रे है, यदि 'स्प्रे गुणांक' ''G<sup>i</sup>'' निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं- | का स्थानीय प्रतिनिधित्व है। सेमीस्प्रे H (पूर्ण) स्प्रे है, यदि 'स्प्रे गुणांक' ''G<sup>i</sup>'' निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं- | ||
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* <math>\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_{(x,\xi)}\in T^*_\xi TM</math> के साथ संगत रूप <math>\alpha\in\Omega^1(TM)</math> लैग्रैंगियन से जुड़ा हिल्बर्ट-रूप है। | * <math>\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_{(x,\xi)}\in T^*_\xi TM</math> के साथ संगत रूप <math>\alpha\in\Omega^1(TM)</math> लैग्रैंगियन से जुड़ा हिल्बर्ट-रूप है। | ||
* <math>g_{ij}(x,\xi) = \tfrac{\partial^2 L}{\partial \xi^i \partial \xi^j}(x,\xi)</math> के साथ द्विरेखीय रूप <math>g_\xi = g_{ij}(x,\xi)(dx^i\otimes dx^j)|_x</math>, <math>\xi \in T_xM </math> पर लैग्रैंगियन का वास्तविक टेंसर है| | * <math>g_{ij}(x,\xi) = \tfrac{\partial^2 L}{\partial \xi^i \partial \xi^j}(x,\xi)</math> के साथ द्विरेखीय रूप <math>g_\xi = g_{ij}(x,\xi)(dx^i\otimes dx^j)|_x</math>, <math>\xi \in T_xM </math> पर लैग्रैंगियन का वास्तविक टेंसर है| | ||
* | * लैग्रेंजियन लेजेंड्रे स्थिति को संतुष्ट करता है यदि वास्तविक टेन्सर <math>\displaystyle g_\xi</math> प्रत्येक <math>\xi \in T_xM </math> पर गैर-पतित है, तो <math>\displaystyle g_{ij}(x,\xi)</math> के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को <math>\displaystyle g^{ij}(x,\xi)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है| | ||
* | * लैग्रेंजियन से सम्बंधित ऊर्जा <math>\displaystyle E(\xi) = \alpha_\xi(\xi) - L(\xi)</math> है। | ||
यदि लीजेंड्रे स्थिति संतुष्ट होती है, तो dα∈Ω<sup>2</sup>(TM) | यदि लीजेंड्रे स्थिति संतुष्ट होती है, तो dα∈Ω<sup>2</sup>(TM) [[सहानुभूतिपूर्ण रूप|सिम्प्लेटिक रूप]] है, और हैमिल्टनियन फ़ंक्शन E के अनुरूप TM पर अद्वितीय [[हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र]] H उपस्थित है जैसे कि | ||
:<math>\displaystyle dE = - \iota_H d\alpha</math> | :<math>\displaystyle dE = - \iota_H d\alpha</math> | ||
मान लीजिए ( | मान लीजिए (''X<sup>i</sup>'',''Y<sup>i</sup>'') TM पर सम्बंधित निर्देशांकों में हेमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H के घटक है। तब | ||
:<math> \iota_H d\alpha = Y^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} dx^j - X^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^j </math> | :<math> \iota_H d\alpha = Y^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} dx^j - X^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^j </math> | ||
और | और | ||
:<math> dE = \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial x^i \partial \xi^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big)dx^i + | :<math> dE = \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial x^i \partial \xi^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big)dx^i + | ||
\xi^j \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^i </math> | \xi^j \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^i </math> | ||
इसलिए हम देखते हैं कि हैमिल्टनियन | इसलिए हम देखते हैं कि हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H स्प्रे गुणांक वाले विन्यास स्थान M पर सेमीस्प्रे है- | ||
:<math>G^k(x,\xi) = \frac{g^{ki}}{2}\Big(\frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big). </math> | :<math>G^k(x,\xi) = \frac{g^{ki}}{2}\Big(\frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big). </math> | ||
अब | अब पूर्व परिवर्तनशील सूत्र को पुनः अंकित किया जा सकता है- | ||
:<math>\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s) | :<math>\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s) | ||
= \Big|_a^b \alpha_i X^i - \int_a^b g_{ik}(\ddot\gamma^k+2G^k)X^i dt, | = \Big|_a^b \alpha_i X^i - \int_a^b g_{ik}(\ddot\gamma^k+2G^k)X^i dt, | ||
</math> | </math> | ||
γ[''a'',''b'']→''M'' निश्चित अंत बिंदुओं के साथ समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है यदि इसकी स्पर्शरेखा वक्र γ':[''a'',''b'']→''TM'' हैमिल्टन सदिश क्षेत्र H के लिए अभिन्न वक्र है। इसलिए यांत्रिक प्रणालियों की गतिशीलता का वर्णन समाकलज क्रिया से उत्पन्न होने वाले सेमीस्प्रे द्वारा किया जाता है। | |||
== जियोडेसिक स्प्रे {{anchor|Geodesic}}== | == जियोडेसिक स्प्रे {{anchor|Geodesic}}== | ||
Revision as of 09:20, 26 April 2023
अवकल ज्यामिति में, स्प्रे स्पर्शरेखा बंडल TM पर सदिश क्षेत्र H होता है, जो बेस मैनिफोल्ड M पर सामान्य अवकल समीकरण की द्विरेखीय द्वितीय कोटि प्रणाली को एनकोड करता है। सामान्यतः स्प्रे को सजातीय होने की आवश्यकता होती है क्योंकि इसके अभिन्न वक्र t→ΦHt(ξ)∈TM सकारात्मक पुनर्मूल्यांकन में नियम ΦHt(λξ)=ΦHλt(ξ) का पालन करते है। यदि यह आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो H को सेमीस्प्रे कहा जाता है।
रिमेंनियन और फिन्सलर ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से जियोडेसिक स्प्रे उत्पन्न होते हैं, जिनके अभिन्न वक्र स्थानीय लंबाई को कम करने वाले स्पर्शरेखा वक्र होते हैं।
सेमिस्प्रे स्वाभाविक रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी में क्रिया के चरम वक्र के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन सभी उदाहरणों को सामान्यीकृत करते हुए, M पर कोई भी (संभवतः अरेखीय) कनेक्शन सेमीस्प्रे H को प्रेरित करता है, और इसके विपरीत, सेमीस्प्रे H, M पर टॉरशन-फ्री अरेखीय कनेक्शन उत्पन्न करता है। यदि मूल कनेक्शन टॉरशन-फ्री है, तो यह H द्वारा प्रेरित कनेक्शन के समान है और सजातीय टॉरशन-फ्री कनेक्शन स्प्रे के अनुरूप हैं।[1]
औपचारिक परिभाषाएँ
मान लीजिए, M अवकलनीय मैनिफोल्ड है और (TM,πTM,M) टेंगेंट बंडल है। TM पर सदिश क्षेत्र H (अर्थात, डबल टेंगेंट बंडल TTM का खंड) M पर 'सेमिस्प्रे' है, यदि निम्नलिखित तीन समकक्ष स्थितियों में से कोई भी हो-
- (πTM)*Hξ = ξ
- JH=V, जहाँ J TM पर टेंगेंट संरचना है और TM\0 पर विहित सदिश क्षेत्र है।
- j∘H=H, जहाँ j:TTM→TTM कैनोनिकल फ्लिप है और H को मैपिंग TM→TTM के रूप में देखा जाता है।
M पर सेमीस्प्रे H '(पूर्ण) स्प्रे' है, यदि निम्न में से कोई भी समतुल्य स्थिति प्रस्तावित होती है-
- Hλξ = λ*(λHξ), जहाँ λ*:TTM→TTM सकारात्मक स्केलर λ>0 द्वारा गुणन λ:TM→TM का पुश-फॉरवर्ड है।
- विहित सदिश क्षेत्र V के साथ H का लाई-व्युत्पन्न [V,H]=H को संतुष्ट करता है।
- H के अभिन्न वक्र t→ΦHt(ξ)∈TM\0 किसी भी λ>0 के लिए ΦHt(λξ)=λΦHλt(ξ) को संतुष्ट करता है।
मान लीजिए , पर स्थानीय निर्देशांक है, जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर समन्वय के आधार का उपयोग करके पर स्थानीय निर्देशांक ) से जुड़ा हुआ है। तब , पर सेमीस्प्र है यदि इसमें TM पर प्रत्येक संबद्ध समन्वय प्रणाली पर फॉर्म-
का स्थानीय प्रतिनिधित्व है। सेमीस्प्रे H (पूर्ण) स्प्रे है, यदि 'स्प्रे गुणांक' Gi निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं-
लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में सेमीस्प्रे
लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में भौतिक प्रणाली को कुछ विन्यास स्थान के स्पर्शरेखा बंडल पर लैग्रैजियन फ़ंक्शन L:TM→R द्वारा प्रस्तुत किया गया है। गतिशील नियम हैमिल्टनियन सिद्धांत से प्राप्त किया जाता है, जो बताता है कि सिस्टम की स्थिति का समय विकास γ:[a,b]→M समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है
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TM पर संबंधित निर्देशांक में समाकलज क्रिया की प्रथम भिन्नता को इस रूप में अध्यन्न किया जाता है-