ब्लो अप: Difference between revisions

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[[Image:Blowup.png|thumb|एफ़ाइन विमान का विस्फोट।]]गणित में, ब्लो अप या ब्लोअप एक प्रकार का ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी दिए गए स्थान के उप-स्थान को उस उप-स्थान से बाहर की ओर इशारा करते हुए सभी दिशाओं से बदल देता है। उदाहरण के लिए, एक विमान में एक बिंदु का [[विस्फोट]] बिंदु को उस बिंदु पर प्रक्षेपित [[स्पर्शरेखा स्थान]] से बदल देता है। रूपक एक विस्फोट का जिक्र करने के बजाय चित्र के हिस्से को बड़ा करने के लिए एक तस्वीर पर ज़ूम इन करने का है।
[[Image:Blowup.png|thumb|एफ़ाइन विमान का विस्फोट।]]गणित में '''ब्लो अप''' एक प्रकार का ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी दिए गए स्थान के उप-स्थान को उस उप-स्थान से बाहर की ओर इंगित करते हुए सभी दिशाओं से परिवर्तित कर देता है। उदाहरण के लिए किसी विमान में एक बिंदु का [[विस्फोट]] बिंदु को उस बिंदु पर प्रक्षेपित [[स्पर्शरेखा स्थान]] से परिवर्तित कर देता है। इस प्रकार किसी रूपक के विस्फोट का प्रदर्शन करने के अतिरिक्त चित्र के भाग को बड़ा करने के लिए तस्वीर पर ज़ूम इन करने का तरीका है।


ब्लोअप द्विवार्षिक ज्यामिति में सबसे मौलिक परिवर्तन हैं, क्योंकि प्रक्षेपी किस्मों के बीच प्रत्येक द्विवार्षिक रूपवाद एक विस्फोट है। कमजोर गुणनखंडन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक द्विभाजित मानचित्र को विशेष रूप से सरल ब्लोअप की संरचना के रूप में कारक बनाया जा सकता है। [[क्रेमोना समूह]], विमान के [[बायरेशनल मोर्फिज़्म]] का समूह, ब्लोअप द्वारा उत्पन्न होता है।
'''ब्लोअप''' द्विवार्षिक ज्यामिति में सबसे मौलिक परिवर्तन हैं, क्योंकि इसके प्रक्षेपी प्रकारों के बीच प्रत्येक द्विवार्षिक रूपवाद विस्फोट का रूप ले लेता हैं। इस प्रकार किसी कमजोर गुणनखंड वाली प्रमेय को प्रदर्शित करता है जो इस प्रकार हैं कि प्रत्येक द्विभाजित मानचित्र को विशेष रूप से सरल ब्लोअप की संरचना के रूप में कारक बनाया जाता है। इस प्रकार [[क्रेमोना समूह]] विमान के [[बायरेशनल मोर्फिज़्म]] का समूह ब्लोअप द्वारा उत्पन्न होता है।


द्विपक्षीय परिवर्तनों का वर्णन करने में उनके महत्व के अलावा, ब्लूपअप भी नई जगहों के निर्माण का एक महत्वपूर्ण तरीका है। उदाहरण के लिए, विलक्षणताओं के समाधान के लिए अधिकांश प्रक्रियाएँ विलक्षणताओं को तब तक उड़ाते हुए आगे बढ़ती हैं जब तक कि वे सहज न हो जाएँ। इसका एक परिणाम यह है कि ब्लोअप का उपयोग बायरेशनल मैप्स की विलक्षणताओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।
द्विपक्षीय परिवर्तनों का वर्णन करने में उनके महत्व के अतिरिक्त ब्लूप-अप भी नए स्थानों के निर्माण के लिए महत्वपूर्ण विधि है। इस प्रकार उदाहरण के लिए विलक्षणताओं के समाधान के लिए अधिकांश प्रक्रियाएँ विलक्षणताओं को तब तक ब्लो अप करके आगे बढ़ाती हैं जब तक कि वे सहज न हो जाएँ। इसका मुख्य परिणाम यह है कि ब्लोअप का उपयोग बायरेशनल मैप्स की विलक्षणताओं को हल करने के लिए किया जाता हैं।


शास्त्रीय रूप से, ब्लूपअप को बाहरी रूप से परिभाषित किया गया था, पहले निर्देशांक में एक स्पष्ट निर्माण का उपयोग करके [[ प्रक्षेपण स्थान ]] जैसे रिक्त स्थान पर ब्लूपअप को परिभाषित करके और फिर एम्बेडिंग के संदर्भ में अन्य रिक्त स्थान पर ब्लौअप को परिभाषित करना। यह कुछ शब्दावली में परिलक्षित होता है, जैसे कि शास्त्रीय शब्द ''मोनोइडल ट्रांसफॉर्मेशन''। समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति ब्लोइंग को एक बीजगणितीय विविधता पर एक आंतरिक संक्रिया के रूप में मानती है। इस दृष्टिकोण से, एक उप-वर्ग को [[कार्टियर भाजक]] में बदलने के लिए एक विस्फोट सार्वभौमिक ([[श्रेणी सिद्धांत]] के अर्थ में) तरीका है।
मौलिक रूप से, ब्लूप-अप को बाहरी रूप से परिभाषित किया गया था, पहले निर्देशांक में स्पष्ट निर्माण का उपयोग करके [[ प्रक्षेपण स्थान |प्रक्षेपण स्थान]] जैसे रिक्त स्थान पर ब्लूप-अप को परिभाषित करके और फिर इस प्रकार एम्बेडिंग के संदर्भ में अन्य रिक्त स्थान पर ब्लोअप को परिभाषित करने के लिए किया जाता हैं। यह कुछ शब्दावली के कारण इसमें परिलक्षित किया जाता हैं, जैसे कि मौलिक शब्द ''मोनोइडल स्थानांनतरण इसका मुख्य उदाहरण हैं''। इसके समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति ब्लोइंग को बीजगणितीय विविधता पर इसके लिए आंतरिक संक्रिया के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार इस दृष्टिकोण से किसी उप-वर्ग को [[कार्टियर भाजक]] में परिवर्तित करने के लिए विस्फोट सार्वभौमिक ([[श्रेणी सिद्धांत]] के अर्थ में) विधि के रूप में उपयोग किया जाता हैं।


एक ब्लौअप को ''मोनॉयडल ट्रांसफॉर्मेशन'', ''लोकली क्वाड्रैटिक ट्रांसफॉर्मेशन'', ''डिलेटेशन'', σ-''प्रोसेस'', या ''हॉफ मैप'' भी कहा जा सकता है।
किसी ब्लोअप को ''मोनॉयडल स्थानांनतरण'', ''लोकल क्वाड्रैटिक स्थानांनतरण'', ''सूचक'', σ-''प्रक्रिया'', या ''हॉफ मैप'' भी कहा जा सकता है।


== एक विमान में एक बिंदु का विस्फोट ==
== विमान में किसी बिंदु के कारण विस्फोट ==
विस्फोट का सबसे सरल मामला विमान में एक बिंदु का विस्फोट है। इस उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।
विस्फोट का सबसे सरल स्थिति विमान में ऐसे बिंदु का विस्फोट है। जिसके उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।


ब्लौअप का एक घटना पत्राचार के रूप में एक सिंथेटिक विवरण है। याद रखें कि [[ ग्रासमानियन ]] जी (1,2) विमान में एक बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के सेट को पैरामीट्रिज करता है। [[ प्रक्षेपी विमान ]] पी का ब्लौअप<sup>2</sup> बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करेंगे, है
ब्लोअप की इस घटना को पत्राचार के रूप में सिंथेटिक विवरण के रूप में माना जाता हैं। इस प्रकार यहाँ पर याद रखें कि [[ ग्रासमानियन |ग्रासमानियन]] G (1,2) विमान में बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के समूहों को पैरामीट्रिज करता है। इस प्रकार[[ प्रक्षेपी विमान ]] P<sup>2</sup> का ब्लोअप बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करते हैं-
:<math>X = \{ (Q, \ell) \mid P,\,Q \in \ell\} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{G}(1,2).</math>
:<math>X = \{ (Q, \ell) \mid P,\,Q \in \ell\} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{G}(1,2).</math>
यहाँ Q एक अन्य बिंदु और को दर्शाता है <math>\ell</math> ग्रासमैनियन का एक तत्व है। X एक प्रक्षेपी किस्म है क्योंकि यह प्रक्षेपी किस्मों के उत्पाद की एक बंद उप-किस्म है। यह एक प्राकृतिक आकारिकी π से 'P' तक आता है<sup>2</sup> जो जोड़ी लेता है <math>(Q, \ell)</math> क्यू के लिए। यह आकृतिवाद सभी बिंदुओं के खुले उपसमुच्चय पर एक समरूपता है <math>(Q, \ell)</math> Q ≠ P के साथ क्योंकि रेखा <math>\ell</math> उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब क्यू = पी, हालांकि, रेखा <math>\ell</math> P से होकर जाने वाली कोई भी रेखा हो सकती है। ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है।<sup>1</उप>। इस प्रो<sup>1</sup> को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य बंडल #P पर सामान्य परिभाषा है। क्योंकि P एक बिंदु है, सामान्य स्थान स्पर्शरेखा स्थान के समान है, इसलिए [[असाधारण भाजक]] आइसोमोर्फिक है P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान।
यहाँ Q एक अन्य बिंदु और <math>\ell</math> को दर्शाता है जो ग्रासमैनियन का तत्व है। इस प्रकार X प्रक्षेपी प्रकार है क्योंकि यह प्रक्षेपी प्रकारों के उत्पाद की विवृत उप-प्रकार को प्रकट करता है। यह प्राकृतिक संरचना π से 'P<sup>2</sup>' तक आता है जो <math>(Q, \ell)</math> Q के लिए संयोजन के रूप में उपयोग किया जाता है। यह संरचना सभी बिंदुओं के संवृत्त उपसमुच्चय पर समरूपता को प्रकट करता है, इस प्रकार <math>(Q, \ell)</math> Q ≠ P के साथ रेखा <math>\ell</math> उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब Q = P होता हैं तब इस रेखा <math>\ell</math> P से होकर जाने वाली रेखा हो सकती है। इस प्रकार ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है। इस प्रकार P<sup>1</sup> को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और इस परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य समूह P पर सामान्य परिभाषा को प्रकट करता हैं। क्योंकि P ऐसा बिंदु है जिसमें सामान्य स्थानों की स्पर्शरेखा के लिए यह स्थान समान रहता हैं, इसलिए [[असाधारण भाजक]] P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान पर आइसोमोर्फिक रूप में होता है।


ब्लूपअप पर निर्देशांक देने के लिए, हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। 'पी' दें<sup>2</sup> [[सजातीय निर्देशांक]] [एक्स<sub>0</sub>:एक्स<sub>1</sub>:एक्स<sub>2</sub>] जिसमें P बिंदु है [P<sub>0</sub>:पी<sub>1</sub>:पी<sub>2</sub>]। [[प्रक्षेपी द्वैत]] द्वारा, G(1,2) P के लिए तुल्याकारी है<sup>2</sup>, इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक दे सकते हैं [L<sub>0</sub>: एल<sub>1</sub>: एल<sub>2</sub>]। एक पंक्ति <math>\ell_0 = [L_0:L_1:L_2]</math> सभी का सेट है [एक्स<sub>0</sub>:एक्स<sub>1</sub>:एक्स<sub>2</sub>] ऐसा है कि X<sub>0</sub>L<sub>0</sub> + एक्स<sub>1</sub>L<sub>1</sub> + एक्स<sub>2</sub>L<sub>2</sub> = 0. इसलिए, विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है
ब्लूप-अप पर निर्देशांक देने के लिए हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। इस प्रकार 'P<sup>2</sup>' के मान के अनुसार [[सजातीय निर्देशांक]] [X<sub>0</sub>:X<sub>1</sub>:X<sub>2</sub>] होने पर P बिंदु [P<sub>0</sub>:P<sub>1</sub>:P<sub>2</sub>] है। इस प्रकार [[प्रक्षेपी द्वैत]] बिन्दु G(1,2) P<sup>2</sup> के लिए तुल्याकारी है, इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक [L<sub>0</sub>: L<sub>1</sub>: L<sub>2</sub>] दे सकते हैं। किसी पंक्ति <math>\ell_0 = [L_0:L_1:L_2]</math> के सभी समूहों का मान [X<sub>0</sub>:X<sub>1</sub>:X<sub>2</sub>] है जो इस प्रकार हैं कि X<sub>0</sub>L<sub>0</sub> + X<sub>1</sub>L<sub>1</sub> + X<sub>2</sub>L<sub>2</sub> = 0 के समान होता हैं। इस प्रकार इसे विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है
:<math>X = \{ ([X_0:X_1:X_2],[L_0:L_1:L_2]) \mid P_0L_0 + P_1L_1 + P_2L_2 = 0,\, X_0L_0 + X_1L_1 + X_2L_2 = 0 \} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2.</math>
:<math>X = \{ ([X_0:X_1:X_2],[L_0:L_1:L_2]) \mid P_0L_0 + P_1L_1 + P_2L_2 = 0,\, X_0L_0 + X_1L_1 + X_2L_2 = 0 \} \subseteq \mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2.</math>
ब्लौअप पी से दूर एक आइसोमोर्फिज्म है, और प्रोजेक्टिव प्लेन के बजाय एफाइन प्लेन में काम करके, हम ब्लौअप के लिए सरल समीकरण दे सकते हैं। प्रक्षेपी रूपांतरण के बाद, हम मान सकते हैं कि P = [0:0:1]। एफिन प्लेन एक्स पर निर्देशांक के लिए x और y लिखें<sub>2</sub>≠0। हालत पी ∈ <math>\ell</math> तात्पर्य यह है कि एल<sub>2</sub> = 0, इसलिए हम ग्रासमैनियन को P से बदल सकते हैं<sup>1</उप>। फिर ब्लोअप विविधता है
ब्लोअप P से दूर आइसोमोर्फिज्म को प्रकट करने में सहयोगी होता है, और प्रोजेक्टिव समतल के अतिरिक्त एफाइन समतल में कार्य करके, हम ब्लोअप के लिए सरल समीकरण दे सकते हैं। प्रक्षेपी रूपांतरण के बाद, हम मान सकते हैं कि P = [0:0:1]। एफिन समतल X पर निर्देशांक के लिए x और y लिखें<sub>2</sub>≠0। स्थिति P ∈ <math>\ell</math> तात्पर्य यह है कि L<sub>2</sub> = 0, इसलिए हम ग्रासमैनियन को P<sup>1 से परिवर्तित कर सकते हैं। इस कारण ब्लोअप विविधता कुछ इस प्रकार होता है-
:<math>\{ ((x,y),[z:w]) \mid xz + yw = 0 \} \subseteq \mathbf{A}^2 \times \mathbf{P}^1.</math>
:<math>\{ ((x,y),[z:w]) \mid xz + yw = 0 \} \subseteq \mathbf{A}^2 \times \mathbf{P}^1.</math>
संकेतों में से किसी एक को उलटने के लिए निर्देशांक बदलना अधिक सामान्य है। फिर ब्लूपअप को इस रूप में लिखा जा सकता है
इन संकेतों में से किसी एक को व्युत्क्रम करने के लिए उचित निर्देशांकों को परिवर्तित करना अधिक सामान्य है। इस कारण ब्लूप-अप को इस रूप में लिखा जा सकता है
:<math>\left \{ ((x,y),[z:w]) \mid \det\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix} = 0 \right \}.</math>
:<math>\left \{ ((x,y),[z:w]) \mid \det\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix} = 0 \right \}.</math>
यह समीकरण पिछले वाले की तुलना में सामान्यीकृत करना आसान है।
यह समीकरण पिछले वाले की तुलना में सामान्यीकृत करना सरल है।


अगर हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को आसानी से देखा जा सकता है, उदा। w = 1 सेट करके, और 3D स्पेस में मानक सैडल पॉइंट # सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।
यदि हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को सरली से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए w = 1 समूह और 3D समतल में मानक सैडल पॉइंट सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।


ब्लौअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके भी वर्णित किया जा सकता है। फिर से हम एफाइन प्लेन 'ए' पर काम करते हैं<sup>2</उप>। मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m है<sup>2</sup>, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणजावली है। बीजगणितीय रूप से, इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,
ब्लोअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इसे पुनः हम एफाइन समतल 'A<sup>2' पर कार्य करते हैं। इसके मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m<sup>2 के रूप में प्रकट होता हैं, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणक के रूप में प्रकट होता हैं। इस कारण बीजगणितीय रूप से इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,
:<math>X = \operatorname{Proj} \bigoplus_{r=0}^\infty \operatorname{Sym}^r_{k[x,y]} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.</math>
:<math>X = \operatorname{Proj} \bigoplus_{r=0}^\infty \operatorname{Sym}^r_{k[x,y]} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.</math>
इस उदाहरण में, इसका एक ठोस विवरण है
इस उदाहरण में, इसका ठोस विवरण है
:<math>X = \operatorname{Proj} k[x,y][z,w]/(xz - yw),</math>
:<math>X = \operatorname{Proj} k[x,y][z,w]/(xz - yw),</math>
जहां x और y की डिग्री 0 है और z और w की डिग्री 1 है।
जहां x और y की डिग्री 0 है और z और w की डिग्री 1 है।


वास्तविक या जटिल संख्याओं के ऊपर, ब्लूपअप का संबंधित योग के रूप में एक सांस्थितिकीय विवरण होता है <math>\mathbf{P}^2\#\mathbf{P}^2</math>. मान लें कि पी 'ए' में मूल है<sup>2</sup> ⊆ पी<sup>2</sup>, और अनंत पर रेखा के लिए L लिखें। 'ए'<sup>2</sup> \ {0} में उलटा मैप टी है जो (x, y) को (x/(|x|) भेजता है<sup>2</sup> + |y|<sup>2</sup>), y/(|x|<sup>2</sup> + |y|<sup>2</sup>))। टी इकाई क्षेत्र एस के संबंध में सर्कल उलटा है: यह एस को ठीक करता है, मूल के माध्यम से प्रत्येक पंक्ति को संरक्षित करता है, और बाहर के साथ गोले के अंदर का आदान-प्रदान करता है। टी एक सतत मानचित्र 'पी' तक फैला हुआ है<sup>2</sup> \ {0} → ए<sup>2</sup> मूल बिंदु पर अनंत पर रेखा भेजकर। यह विस्तार, जिसे हम टी भी कहते हैं, का उपयोग ब्लौअप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। चलो सी यूनिट बॉल के पूरक को दर्शाता है। ब्लौअप एक्स एस के साथ सी की दो प्रतियों को संलग्न करके प्राप्त किया गया कई गुना है। एक्स मानचित्र π से 'पी' के साथ आता है<sup>2</sup> जो सी की पहली प्रति पर पहचान है और सी की दूसरी प्रति पर टी है। यह नक्शा पी से दूर एक आइसोमोर्फिज्म है, और पी पर फाइबर सी की दूसरी प्रति में अनंतता पर रेखा है। इस रेखा में प्रत्येक बिंदु उत्पत्ति के माध्यम से एक अद्वितीय रेखा से मेल खाता है, इसलिए π से अधिक फाइबर उत्पत्ति के माध्यम से संभावित सामान्य दिशाओं से मेल खाता है।
वास्तविक या जटिल संख्याओं के ऊपर, ब्लूप-अप का संबंधित योग के रूप में एक सांस्थितिकीय विवरण <math>\mathbf{P}^2\#\mathbf{P}^2</math> होता है। इस प्रकार मान लें कि P 'A'<sup>2</sup> ⊆ P<sup>2</sup> में मूल है, और अनंत पर रेखा के लिए L को उपयोग करते हैं। इस प्रकार 'A'<sup>2</sup>\{0} में व्युत्क्रम मैप T को प्रकट करता हैं जो (x, y) को (x/(|x|)<sup>2</sup> + |y|<sup>2</sup>), y/(|x|<sup>2</sup> + |y|<sup>2</sup>)) के रूप में प्रकट करता है। इस प्रकार T इकाई क्षेत्र S के संबंध में वृत्त उलटा होता है: यह S को सही करता है, इस मूल के माध्यम से प्रत्येक पंक्ति को संरक्षित करता है, और बाहर के साथ गोले के अंदर का आदान-प्रदान करता है। यहाँ पर T सतत मानचित्र 'P'<sup>2</sup> \ {0} → A<sup>2</sup> तक फैला हुआ है, इस मूल बिंदु पर अनंत पर रेखा भेजकर इसे प्राप्त करते हैं। यह विस्तार मुख्य रूप से जिसे हम T भी कहते हैं, इसका उपयोग ब्लोअप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार C यूनिट बॉल के पूरक को दर्शाता है। ब्लोअप X S के साथ C की दो प्रतियों को संलग्न करके प्राप्त किया गया कई गुना है। X मानचित्र π से 'P'<sup>2</sup> के साथ आता है जो C की पहली प्रति पर पहचान है और C की दूसरी प्रति पर T है। यह प्रारूप P से दूर आइसोमोर्फिज्म के रूप में प्रयोग किया जाता हैं, और P पर फाइबर C की दूसरी प्रति में अनंतता पर रेखा द्वारा निरूपित करता हैं। इस रेखा में प्रत्येक बिंदु उत्पत्ति के माध्यम से अद्वितीय रेखा से मेल खाता है, इसलिए π से अधिक फाइबर उत्पत्ति के माध्यम से संभावित सामान्य दिशाओं से मेल खाता है।


'सीपी' के लिए<sup>2</sup> इस प्रक्रिया को एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड का उत्पादन करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, सी की दो प्रतियों को विपरीत अभिविन्यास दिया जाना चाहिए। प्रतीकों में, एक्स है <math>\mathbf{CP}^2\#\overline{\mathbf{CP}^2}</math>, कहाँ <math>\overline{\mathbf{CP}^2}</math> सीपी है<sup>2</sup> मानक अभिविन्यास के विपरीत।
'CP<sup>2</sup>' के लिए इस प्रक्रिया को ओरिएंटेड मैनिफोल्ड का उत्पादन करने के लिए उपयोग करना चाहिए। ऐसा करने के लिए C की दो प्रतियों को विपरीत अभिविन्यास दिया जाना चाहिए। इन प्रतीकों में X का उपयोग किया जाता है, इस प्रकार <math>\mathbf{CP}^2\#\overline{\mathbf{CP}^2}</math>, जहाँ <math>\overline{\mathbf{CP}^2}</math> CP<sup>2</sup> है उसे मानक अभिविन्यास के विपरीत माना जाता हैं।


== जटिल स्थान में बिंदुओं को उड़ाना ==
== जटिल स्थानों पर ब्लो का कारण ==


जेड को एन-डायमेंशनल [[ जटिल संख्या ]] स्पेस में मूल होने दें, 'सी'<sup>एन</sup>. अर्थात्, Z वह बिंदु है जहाँ n निर्देशांक कार्य करता है <math>x_1, \ldots, x_n</math> साथ ही लुप्त हो जाना। चलो पी<sup>n - 1</sup> हो (n - 1)-सजातीय निर्देशांक के साथ आयामी जटिल प्रक्षेपी स्थान <math>y_1, \ldots, y_n</math>. होने देना <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math> C का उपसमुच्चय हो<sup>n</sup> × 'पी'<sup>n - 1</sup> जो एक साथ समीकरणों को संतुष्ट करता है <math>x_i y_j = x_j y_i </math> मैं, जे = 1, ..., एन के लिए। प्रक्षेपण
Z को n-डायमेंशनल [[ जटिल संख्या ]] समतल में मूल होने दें, इस प्रकार 'C'<sup>n</sup> अर्थात्, Z वह बिंदु है जहाँ n निर्देशांक कार्य करता है, जो <math>x_1, \ldots, x_n</math> के साथ ही लुप्त हो जाते हैं। इस प्रकार P<sup>n - 1</sup> होने पर (n - 1)-सजातीय निर्देशांक के साथ आयामी जटिल प्रक्षेपी स्थान <math>y_1, \ldots, y_n</math> के रूप में प्रकट होते हैं। इस प्रकार इसी क्रम में <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math> C<sup>n</sup> × 'P'<sup>n - 1</sup> का उपसमुच्चय हैं जो किसी समीकरण को संतुष्ट करता है <math>x_i y_j = x_j y_i </math> i, J = 1, ..., n के लिए उपयोग किया जाता हैं। इसका प्रक्षेपण इस प्रकार हैं।


:<math>\pi : \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1} \to \mathbf{C}^n</math>
:<math>\pi : \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1} \to \mathbf{C}^n</math>
स्वाभाविक रूप से एक [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] मैप को प्रेरित करता है
स्वाभाविक रूप से [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] मैप को प्रेरित करता है


:<math>\pi : \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{C}^n.</math>
:<math>\pi : \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{C}^n.</math>
यह नक्शा π (या, अक्सर, अंतरिक्ष <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math>) को C का ब्लो-अप (विभिन्न वर्तनी वाला ब्लो अप या ब्लोअप) कहा जाता है<sup>एन</sup>.
यह प्रारूप π (या, अधिकांशतः, समतल <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math>) को C<sup>n</sup> का ब्लो-अप (विभिन्न आयाम वाले ब्लो अप या ब्लोअप) कहा जाता है।


'असाधारण विभाजक' E को π के तहत ब्लो-अप लोकस Z की व्युत्क्रम छवि के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे देखना आसान है
'असाधारण विभाजक' E को π के अनुसार ब्लो-अप लोकस Z की व्युत्क्रम छवि के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे देखना सरल है


:<math>E = Z \times \mathbf{P}^{n - 1} \subseteq \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1}</math>
:<math>E = Z \times \mathbf{P}^{n - 1} \subseteq \mathbf{C}^n \times \mathbf{P}^{n - 1}</math>
प्रोजेक्टिव स्पेस की एक प्रति है। यह एक प्रभावी वि[[भाजक (बीजीय ज्यामिति)]] है। E से दूर, π के बीच एक तुल्याकारिता है <math>\tilde{\mathbf{C}^n} \setminus E</math> और सी<sup>एन </सुप> \ जेड; यह बीच का एक द्विभाजित नक्शा है <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math> और सी<sup>एन</sup>.
प्रोजेक्टिव समतल की मुख्य प्रति इस प्रकार है। यह प्रभावी वि[[भाजक (बीजीय ज्यामिति)]] है। इसे E से दूर करके π के बीच तुल्याकारिता <math>\tilde{\mathbf{C}^n} \setminus E</math> और C<sup>n के रूप में प्रकट करते हैं। इस प्रकार Z को इस बीच का एक द्विभाजित प्रारूप <math>\tilde{\mathbf{C}^n}</math> और C<sup>n मान लेते हैं।


यदि इसके बजाय हम होलोमोर्फिक प्रक्षेपण पर विचार करें
यदि इसके अतिरिक्त हम होलोमोर्फिक प्रक्षेपण को प्रकट करते हैं-


:<math>q\colon \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{P}^{n-1}</math>
:<math>q\colon \tilde{\mathbf{C}^n} \to \mathbf{P}^{n-1}</math>
हम का [[टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल]] प्राप्त करते हैं <math>\mathbf{P}^{n-1}</math> और हम असाधारण भाजक की पहचान कर सकते हैं <math> \lbrace Z\rbrace\times\mathbf{P}^{n-1}</math> इसके शून्य खंड के साथ, अर्थात् <math>\mathbf{0}\colon \mathbf{P}^{n-1}\to\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n-1}}</math> जो प्रत्येक बिंदु को असाइन करता है <math>p</math> शून्य तत्व <math>\mathbf{0}_p</math> फाइबर ओवर में <math>p</math>.
हम का [[टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल|टॉटोलॉजिकल लाइन समूह]] <math>\mathbf{P}^{n-1}</math> प्राप्त करते हैं और इसी प्रकार हम असाधारण भाजक <math> \lbrace Z\rbrace\times\mathbf{P}^{n-1}</math> की पहचान कर सकते हैं। इसके शून्य खंड के साथ अर्थात् <math>\mathbf{0}\colon \mathbf{P}^{n-1}\to\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n-1}}</math> जो प्रत्येक बिंदु को <math>p</math> शून्य तत्व <math>\mathbf{0}_p</math> फाइबर ओवर में <math>p</math> के रूप में उपयोग करता है।


== जटिल मैनिफोल्ड्स में सबमनिफोल्ड्स को उड़ाना ==
== जटिल मैनिफोल्ड्स में सबमनिफोल्ड्स को ब्लो करना ==
अधिक आम तौर पर, कोई भी कोडिमेंशन-के [[जटिल कई गुना]] 'सी' का जेड उड़ा सकता है<sup>एन</sup>. मान लीजिए कि Z समीकरणों का स्थान है <math>x_1 = \cdots = x_k = 0</math>, और जाने <math>y_1, \ldots, y_k</math> पी पर सजातीय निर्देशांक हो<sup>के - 1</सुपा>. फिर धमाका <math>\tilde{\mathbf{C}}^n</math> समीकरणों का स्थान है <math>x_i y_j = x_j y_i</math> सभी i और j के लिए, अंतरिक्ष 'C' में<sup>n</sup> × 'पी'<sup>के - 1</सुपा>.
अधिक सामान्यतः में कोई भी कोडिमेंशन-K [[जटिल कई गुना|जटिल अवस्था में कई गुना]] होने पर 'C<sup>n</sup>' का मान Z के रूप में ब्लो कर सकता है। इस प्रकार मान लीजिए कि Z समीकरणों का स्थान <math>x_1 = \cdots = x_k = 0</math> है, और जाने <math>y_1, \ldots, y_k</math> यह बिंदु P पर सजातीय निर्देशांक K - 1 प्रकट करता हैं। इस प्रकार <math>\tilde{\mathbf{C}}^n</math> समीकरणों का स्थान <math>x_i y_j = x_j y_i</math> है, जो सभी i और j के लिए, समतल 'C'<sup>n × 'P'<sup>K - 1 के रूप में प्रकट होता हैं।


आम तौर पर अभी भी, कोई भी इस निर्माण को स्थानीय रूप से लागू करके किसी भी जटिल कई गुना एक्स के किसी भी सबमनीफोल्ड को उड़ा सकता है। प्रभाव, पहले की तरह, असाधारण विभाजक E के साथ ब्लो-अप लोकस Z को बदलने के लिए है। दूसरे शब्दों में, ब्लो-अप मैप
सामान्यतः कोई भी इस निर्माण को स्थानीय रूप से लागू करके किसी भी जटिल कई गुना X के किसी भी सबमनीफोल्ड को ब्लो कर सकता है। इस प्रभाव के कारण पहले की तरह असाधारण विभाजक E के साथ ब्लो-अप लोकस Z को परिवर्तित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, ब्लो-अप मैप को इस समीकरण के अनुसार प्रकट करते हैं।


:<math>\pi : \tilde X \to X</math>
:<math>\pi : \tilde X \to X</math>
एक बायरेशनल मैपिंग है, जो ई से दूर, एक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है, और ई पर, फाइबर 'पी' के साथ स्थानीय रूप से तुच्छ [[ कंपन ]]<sup>के - 1</सुपा>. दरअसल, प्रतिबंध <math>\pi|_E : E \to Z</math> स्वाभाविक रूप से X में Z के [[सामान्य बंडल]] के प्रक्षेपण के रूप में देखा जाता है।
किसी बायरेशनल मैपिंग को इस प्रकार प्रकट करते हैं कि जो E से दूर होने पर आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करती है, और E पर, फाइबर 'P' के साथ स्थानीय रूप से [[ कंपन ]]<sup>K - 1 को मुख्यतः प्रतिबंध <math>\pi|_E : E \to Z</math> स्वाभाविक रूप से X में Z के [[सामान्य बंडल|सामान्य समूह]] के प्रक्षेपण के रूप में देखा जाता है।


चूँकि E एक चिकना भाजक है, इसका सामान्य बंडल एक रेखा बंडल है। यह दर्शाना कठिन नहीं है कि E स्वयं को ऋणात्मक रूप से प्रतिच्छेद करता है। इसका मतलब है कि इसके सामान्य बंडल में कोई होलोमोर्फिक सेक्शन नहीं है; E अपने [[समरूपता (गणित)]] वर्ग का एकमात्र सहज जटिल प्रतिनिधि है <math>\tilde X</math>. (मान लें कि ई को उसी वर्ग में एक और जटिल सबमेनिफोल्ड से परेशान किया जा सकता है। फिर दो सबमेनिफोल्ड सकारात्मक रूप से छेड़छाड़ करेंगे - जैसा कि जटिल सबमनिफोल्ड हमेशा करते हैं - ई के नकारात्मक आत्म-प्रतिच्छेदन का विरोध करते हैं।) यही कारण है कि विभाजक को असाधारण कहा जाता है।
चूँकि E एक समतल भाजक है, इसका सामान्य समूह रेखा समूह के समान है। यह दर्शाना कठिन नहीं है कि E स्वयं को ऋणात्मक रूप से प्रतिच्छेद करता है। इसका अर्थ है कि इसके सामान्य समूह में कोई होलोमोर्फिक सेक्शन E नहीं है, इस प्रकार अपने [[समरूपता (गणित)]] वर्ग का एकमात्र सहज जटिल प्रतिनिधि <math>\tilde X</math> करता है, ( इस प्रकार मान लें कि E को उसी वर्ग में एक और जटिल सबमेनिफोल्ड से विचलित किया जा सकता है। फिर दो सबमेनिफोल्ड सकारात्मक रूप से विचलित करते हैं- जैसा कि जटिल सबमनिफोल्ड सदैव करते हैं - E के ऋणात्मक आत्म-प्रतिच्छेदन का विरोध करते हैं।) यही कारण है कि विभाजक को असाधारण कहा जाता है।


वी को ज़ेड के अलावा एक्स के कुछ सबमनीफोल्ड होने दें। यदि वी ज़ेड से अलग हो जाता है, तो यह ज़ेड के साथ उड़ने से अनिवार्य रूप से अप्रभावित होता है। हालांकि, अगर यह जेड को छेड़छाड़ करता है, तो विस्फोट में वी के दो अलग-अलग अनुरूप होते हैं <math>\tilde X</math>. एक उचित (या सख्त) परिवर्तन है, जो कि बंद है <math>\pi^{-1}(V \setminus Z)</math>; इसका सामान्य बंडल अंदर है <math>\tilde X</math> विशिष्ट रूप से X में V से भिन्न है। दूसरा 'कुल परिवर्तन' है, जिसमें कुछ या सभी E शामिल हैं; यह अनिवार्य रूप से [[सह-समरूपता]] में V का पुलबैक है।
V को Z के