डीन ट्विस्ट

File:Dehn twist.png

लाल वक्र c के बारे में एक सिलेंडर पर लगाया गया एक सकारात्मक स्ट्रेच ट्विस्ट हरे रंग की वक्र को संशोधित करता है जैसा कि दर्शाया गया है।

ज्यामितीय सांस्थिति में, गणित की एक शाखा, एक स्ट्रेच ट्विस्ट एक सतह के एक निश्चित प्रकार का होमियोमोर्फिज्म होता है।

परिभाषा

File:General Dehn twist on a surface.png

एक n-गॉन द्वारा दर्शाई गई एक जटिल सतह पर सामान्य स्ट्रेच ट्विस्ट दर्शाये जाते हैं।

मान लीजिए कि c एक बंद उन्मुख सतह S में एक साधारण बंद वक्र है। माना A, c का एक ट्यूबलर प्रतिवैस है।और तब A एक चक्र के कार्तीय उत्पाद और एक इकाई अंतराल के लिए एक वलय होमियोमॉर्फिक होता है:

$c\subset A\cong S^{1}\times I.$

A निर्देशांक (s, t) में s के रूप की एक सम्मिश्र संख्या $e^{i\theta }$ के सापेक्ष $\theta \in [0,2\pi ],$ तथा t ∈ [0, 1] होती.है

मान लीजिए f, S से स्वयं का मानचित्र है जो A के बाहय और A के अंदर की पहचान होती है

$f(s,t)=\left(se^{i2\pi t},t\right).$

वक्र c के बारे में f एक 'स्ट्रेच ट्विस्ट' होता है।

डीहन ट्विस्ट को एक गैर-उन्मुख सतह S पर भी परिभाषित किया जा सकता है, परंतु कोई S पर 2-तरफा सरल बंद वक्र c से प्रारंभ होता हैं।

उदाहरण

File:Dehn twist for the torus.png

टोरस पर एक स्ट्रेच ट्विस्ट का एक उदाहरण, बंद वक्र a के सापेक्ष, नीले रंग में, जहां a मूल बहुभुज का एक किनारा है जो टोरस का प्रतिनिधित्व करता है।

File:Dehn twist induced isomorphism.png

टोरस के जनरेटरों में से एक के सापेक्ष डेहन मोड़ के स्व-होमोमोर्फिज्म द्वारा प्रेरित टोरस के मौलिक समूह पर ऑटोमोर्फिज्म दर्शाया जाता हैं।

किनारों को a और b के सापेक्ष मौलिक बहुभुज द्वारा दर्शाए जाता हैं,औरटोरस्र्स पर विचार किया जाता है

$\mathbb {T} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.$

मान लीजिए एक बंद वक्र किनारे के सापेक्ष वाली रेखा a है जिसे $\gamma _{a}$. कहा जाता है

आकृति में ग्लूइंग होमोमोर्फिज्म की पसंद को देखते हुए, वक्र का एक ट्यूबलर पड़ोस $\gamma _{a}$ एक डोनट के चारों ओर जुड़े बैंड की तरह दिखता हैं। यह पड़ोस के वलय के लिए होमोमोर्फिक को कहते हैं

$a(0;0,1)=\{z\in \mathbb {C} :0<|z|<1\}$

जटिल विमान में ऐसा होता हैं।

टोरस को घुमाते हुए मानचित्र तक विस्तारित करके $\left(e^{i\theta },t\right)\mapsto \left(e^{i\left(\theta +2\pi t\right)},t\right)$ एनलस के होमोमोर्फिज्म के माध्यम से एनलस के पड़ोस में एक खुले सिलेंडर के लिए $\gamma _{a}$, a. होता हैं।

$T_{a}:\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}$

यह स्वयं होमोमोर्फिज्म b के सापेक्ष बंद वक्र पर कार्य करता है। ट्यूबलर पड़ोस में यह a के वक्र के सापेक्ष एक बार b का वक्र लेता है।

सांस्थितिक समष्टि के मध्य एक होमोमोर्फिज्म उनके मौलिक समूहों के मध्य एक प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। इसलिए कि c के पास एक ऑटोमोर्फिज्म है

${T_{a}}_{\ast }:\pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right)\to \pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right):[x]\mapsto \left[T_{a}(x)\right]$

जहां [x] टोरस में बंद वक्र x के समरूप वर्ग हैं। सूचना ${T_{a}}_{\ast }([a])=[a]$ और ${T_{a}}_{\ast }([b])=[b*a]$, जहाँ $b*a$ क्या पथ b के चारों ओर यात्रा करता है पुनः a चारों ओर यात्रा करता है।

मानचित्रण वर्ग समूह

File:Lickorish Twist Theorem.svg

ट्विस्ट प्रमेय से 3g − 1 वक्र, यहाँ g = 3 के प्रति दर्शाया गया है।

यह मैक्स डेहन का एक प्रमेय है कि इस रूप के मानचित्र किसी भी बंद, उन्मुख जीनस के उन्मुखीकरण-संरक्षित -$g$ सतह वाले होमोमोर्फिज्म के आइसोटोपी वर्गों के मानचित्रण वर्ग समूह को उत्पन्न करते हैं । डब्ल्यू बी आर. लिकोरिश ने उपरांत में एक सरल प्रमाण के सापेक्ष इस परिणाम को पुनः से खोजा और इसके द्वारा यह दर्शाया कि स्ट्रेच साथ-साथ ट्विस्ट $3g-1$ होता है और स्पष्ट वक्र मानचित्रण वर्ग समूह उत्पन्न करते हैं इसे पनिंग नाम लिकोरिश ट्विस्ट प्रमेय कहा जाता है; इस संख्या को उपरांत में स्टीफन पी. हम्फ्रीज़ ने सुधार करके $2g+1$, के लिए $g>1$, जो उन्होंने दर्शाया वह न्यूनतम संख्या थी।

लिकोरिश ने गैर-उन्मुख सतहों के लिए एक समान परिणाम भी प्राप्त किया जाता हैं, जिसके प्रति न केवल डेहन ट्विस्ट की आवश्यकता होती है, बल्कि Y-होमियोमोर्फिज्म भी होता हैं।

यह भी देखें

• लालटेन संबंध

संदर्भ

• Andrew J. Casson, Steven A Bleiler, Automorphisms of Surfaces After Nielsen and Thurston, Cambridge University Press, 1988. ISBN 0-521-34985-0.
• Stephen P. Humphries, "Generators for the mapping class group," in: Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), pp. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer, Berlin, 1979. MR0547453
• W. B. R. Lickorish, "A representation of orientable combinatorial 3-manifolds." Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540. MR0151948
• W. B. R. Lickorish, "A finite set of generators for the homotopy group of a 2-manifold", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. MR0171269