प्रचारक: Difference between revisions

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{{about|[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में समय विकास|पौधों का प्रसार|पौधे का प्रसार}}
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{{Use American English|date=January 2019}}{{Quantum field theory}}
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[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वांटम फील्ड थ्योरी में, '''प्रोपेगेटर''' या '''प्रचारक''' एक ऐसा कार्य है जो किसी कण के लिए एक निश्चित अवधि में एक स्थान से दूसरे स्थान पर यात्रा करने या एक निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है। फेनमैन आरेखों में, जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में टकराव की दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं, आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित बिखरने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं। इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है और इसलिए प्रायः (कारण) ग्रीन के कार्यों को कहा जाता है इसे दीर्घवृत्त लाप्लासियन ग्रीन के कार्य से अलग करने के लिए "कारण" कहा जाता है।<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>
[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में '''प्रचारक''' एक ऐसा फलन है जो किसी कण के लिए निश्चित समय में एक समष्टि से दूसरी समष्टि पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>
== गैर-सापेक्षवादी प्रचारक ==
== गैर-सापेक्षवादी प्रचारक ==
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रोपेगेटर एक [[प्राथमिक कण]] के लिए एक स्थानिक बिंदु (x') से एक समय में (t') दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर बाद के समय (t) में यात्रा करने के लिए संभावना आयाम देता है।
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक [[प्राथमिक कण]] के लिए स्थानिक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।


[[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के साथ एक प्रणाली पर विचार करें {{mvar|H}} श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन का कार्य ([[मौलिक समाधान]]) एक कार्य है
[[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] {{mvar|H}} के साथ एक प्रणाली पर विचार करें जो श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन फलन ([[मौलिक समाधान|मूल समाधान]]) का एक फलन है:
: <math>G(x, t; x', t') = \frac{1}{i\hbar} \Theta(t - t') K(x, t; x', t')</math>
: <math>G(x, t; x', t') = \frac{1}{i\hbar} \Theta(t - t') K(x, t; x', t')</math>
संतुष्टि देने वाला
संतुष्टि करने वाला फलन
: <math>\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),</math>
: <math>\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),</math>
जहाँ {{math|''H<sub>x</sub>''}} के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन को दर्शाता है {{mvar|x}} निर्देशांक, {{math|''δ''(''x'')}} Dirac डेल्टा-फलन को दर्शाता है, {{math|Θ(''t'')}} [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] है और {{math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} बड़े कोष्ठकों में उपरोक्त श्रोडिंगर डिफरेंशियल संक्रियक का [[अभिन्न परिवर्तन]] है। इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी संदर्भित करने के लिए किया जाता है {{mvar|G}}, और कभी-कभी {{mvar|K}}. यह लेख संदर्भित करने के लिए शब्द का उपयोग करेगा {{mvar|K}} (डुहमेल का सिद्धांत देखें)।
जहां {{math|''H<sub>x</sub>''}} निर्देशांक के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन {{math|''δ''(''x'')}} और डायराक डेल्टा-फलन {{math|Θ(''t'')}} को दर्शाता है जो [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड चरण फलन]] {{math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} का कर्नेल है बड़े कोष्ठकों में श्रोडिंगर डिफरेंशियल संक्रियक के ऊपर [[अभिन्न परिवर्तन|समाकल परिवर्तन]] है इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी {{mvar|G}} और {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए किया जाता है यह आलेख इस शब्द का उपयोग {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए करेगा इसके लिए ड्यूहमेल के सिद्धांत को देखें।


इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है
इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है:
: <math>K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle,</math>
: <math>K(x, t; x', t') = \big\langle x \big| \hat{U}(t, t') \big| x' \big\rangle,</math>
जहाँ {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय पर राज्यों को लेने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक]] समय-विकास संचालक है {{mvar|t′}} समय पर राज्यों के लिए {{mvar|t}}. द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math>.
जहां {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय {{mvar|t′}} स्थिति को t समय पर ले जाने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक|एकात्मक]] समय-विकास संक्रियक <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math> द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें कि [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकल सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-यांत्रिकी प्रचारक भी पाया जा सकता है:
 
[[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-मैकेनिकल प्रोपेगेटर भी पाया जा सकता है:
: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math>
: <math>K(x, t; x', t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q}, q, t) \, dt\right] D[q(t)],</math>
जहां पथ अभिन्न की सीमा शर्तें सम्मिलित हैं {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}}. यहाँ {{mvar|L}} सिस्टम के [[Lagrangian यांत्रिकी]] को दर्शाता है। सम्‍मिलित पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करना।
जहां पथ समाकल सीमा की स्थितियों मे {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}} सम्मिलित हैं यहाँ {{mvar|L}} प्रणाली के [[Lagrangian यांत्रिकी|लाग्रंगियन यांत्रिकी]] को दर्शाता है सम्‍मिलित किए गए पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करते हुए गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक प्रारंभिक तरंग फलन और समय अंतराल दिए जाने पर निकाय के तरंग फलन को खोजने देता है इस प्रकार नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:
 
गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्रोपेगेटर एक प्रारंभिक तरंग फलन और एक समय अंतराल दिए जाने पर सिस्टम के तरंग फलन को ढूंढने देता है। नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
: <math>\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'.</math>
: <math>\psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x', t') K(x, t; x', t') \, dx'.</math>
यदि {{math|''K''(''x'', ''t''; ''x''&prime;, ''t''&prime;)}} केवल अंतर पर निर्भर करता है {{math|''x'' − ''x′''}}, यह इनिशियल वेव फंक्शन और प्रोपगेटर का [[कनवल्शन]] है।
यदि {{math|''K''(''x'', ''t''; ''x''&prime;, ''t''&prime;)}} केवल अंतर {{math|''x'' − ''x′''}} पर निर्भर करता है तब यह प्रारंभिक तरंग फलन और प्रचारक का [[कनवल्शन|घूर्णन]] है।


=== मूल उदाहरण: मुक्त कण के प्रचारक और हार्मोनिक ऑसीलेटर ===
=== मूल उदाहरण: मुक्त कण का प्रचारक और आवर्ती दोलक ===
समय-अनुवादिक रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए, प्रचारक केवल समय के अंतर पर निर्भर करता है {{math|''t'' − ''t''′}}, इसलिए इसे फिर से लिखा जा सकता है
सामान्यतः अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए प्रचारक केवल {{math|''t'' − ''t''′}} समय के अंतर पर निर्भर करता है इसलिए इसे फिर से लिखा जा सकता है: <math display="block">K(x, t; x', t') = K(x, x'; t - t').</math>एक आयामी मुक्त कण को प्रचारक से प्राप्त किया जा सकता है उदाहरण के लिए पथ समाकल है:
<math display="block">K(x, t; x', t') = K(x, x'; t - t').</math>
वेव पैकेट#फ्री प्रोपगेटर|एक-आयामी फ्री पार्टिकल का प्रोपगैटर, जिसे पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन#फ्री पार्टिकल से प्राप्त किया जा सकता है, तब है
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इसी तरह, एक आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का प्रचारक [[मेहलर कर्नेल]] है,<ref>E. U. Condon, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations"], ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'' '''23''', (1937) 158–164.</ref><ref>[[Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}}. Section 44.</ref>  
इसी प्रकार आयामी क्वांटम आवर्ती दोलक का प्रचारक [[मेहलर कर्नेल]] है:<ref>E. U. Condon, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations"], ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'' '''23''', (1937) 158–164.</ref><ref>[[Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}}. Section 44.</ref>  
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वैन कॉर्ट्रीक के SU(1,1) लाइ-ग्रुप आइडेंटिटी [5] का उपयोग करने पर पिछले मुक्त-कण परिणाम से बाद वाले को प्राप्त किया जा सकता है।<ref>Kolsrud, M. (1956). Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems, ''Physical Review'' '''104'''(4), 1186.</ref><math display="block">\begin{align}
वैन कॉर्ट्रीक के SU(1,1) लाई समूह पहचान का उपयोग करने पर पिछले मुक्त-कण परिणाम से बाद वाले कण को प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Kolsrud, M. (1956). Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems, ''Physical Review'' '''104'''(4), 1186.</ref><math display="block">\begin{align}
&\exp \left( -\frac{it}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mathsf{p}^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 \mathsf{x}^2 \right) \right) \\
&\exp \left( -\frac{it}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mathsf{p}^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 \mathsf{x}^2 \right) \right) \\
&= \exp \left( -\frac{im\omega}{2\hbar} \mathsf{x}^2\tan\frac{\omega t}{2} \right) \exp \left( -\frac{i}{2m\omega \hbar}\mathsf{p}^2 \sin(\omega t) \right) \exp \left( -\frac{im\omega }{2\hbar} \mathsf{x}^2 \tan\frac{\omega t}{2} \right),
&= \exp \left( -\frac{im\omega}{2\hbar} \mathsf{x}^2\tan\frac{\omega t}{2} \right) \exp \left( -\frac{i}{2m\omega \hbar}\mathsf{p}^2 \sin(\omega t) \right) \exp \left( -\frac{im\omega }{2\hbar} \mathsf{x}^2 \tan\frac{\omega t}{2} \right),
\end{align}</math>
\end{align}</math>


संक्रियकों के लिए मान <math>\mathsf{x}</math> और <math>\mathsf{p}</math> हाइजेनबर्ग संबंध <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math> को संतुष्ट करने के लिए {{mvar|N}}-आयामी स्थिति प्रचारक को निम्न उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:<math display="block">K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).</math>


संक्रियकों के लिए मान्य <math>\mathsf{x}</math> और <math>\mathsf{p}</math> हाइजेनबर्ग संबंध को संतुष्ट करना <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math>.
{{see also|पथ समाकल सूत्रीकरण #  सरल आवर्त दोलक|ऊष्मा समीकरण#मूल समाधान}}


के लिए {{mvar|N}}-आयामी मामला, प्रचारक को केवल उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है
== सापेक्षवादी प्रचारक ==
<math display="block">K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).</math>
सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक [[लोरेंट्ज़-इनवेरिएंट|लारेन्ट्स मात्रक]] हैं वे एक कण को ​​दो स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए आयाम प्रदान करते हैं।


{{see also|पाथ इंटीग्रल फॉर्म्युलेशन # सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर|ऊष्मा समीकरण#मौलिक समाधान}}
=== अदिश प्रचारक ===
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक मुक्त या गैर-अंतःक्रियात्मक अदिश क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है यह [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] शून्य कणों का वर्णन करता है मुक्त अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं अब हम सबसे सामान्य का वर्णन करते हैं।


== सापेक्षवादी प्रचारक ==
=== स्थिति समष्टि ===
सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक [[लोरेंट्ज़-इनवेरिएंट]] हैं। वे एक कण को ​​दो स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए आयाम देते हैं।
क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्थिति समष्टि प्रचारक ग्रीन फलन हैं इसका अर्थ है कि वे फलन {{math|''G''(''x'', ''y'')}} को संतुष्ट करते हैं:<math display="block">\left(\square_x + m^2\right) G(x, y) = -\delta(x - y),</math>जहाँ
* {{mvar|x, y}} मिन्कोवस्की समष्टि-समय में दो बिंदु हैं।
* <math>\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2</math> निर्देशांक पर कार्य करने वाला d' अलंबर्टियन संक्रियक है।
* {{math|''δ''(''x'' − ''y'')}} डिराक डेल्टा फलन है।


=== स्केलर प्रचारक ===
सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणनाओं में विशिष्ट के रूप में उन इकाइयों का उपयोग करते हैं जहां {{mvar|c}} [[प्रकाश की गति]] और प्लैंक स्थिरांक {{mvar|ħ}} इकाई है हम 4-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। जिससे हम प्राप्त करने वाले प्रचारक के लिए समीकरण का [[फूरियर रूपांतरण]] कर सकते हैं:<math display="block">\left(-p^2 + m^2\right) G(p) = -1.</math>
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक मुक्त (या गैर-अंतःक्रियात्मक) स्केलर क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है। यह [[स्पिन (भौतिकी)]]-शून्य कणों का वर्णन करता है। मुक्त अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं। अब हम सबसे सामान्य का वर्णन करते हैं।


=== स्थिति स्थान ===
क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्थिति अंतरिक्ष प्रचारक ग्रीन के कार्य हैं। इसका अर्थ है कि वे फलन {{math|''G''(''x'', ''y'')}} संतोषजनक हैं:<math display="block">\left(\square_x + m^2\right) G(x, y) = -\delta(x - y),</math>जहाँ
* {{mvar|x, y}} मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय में दो बिंदु हैं,
* <math>\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2</math> पर अभिनय करने वाला डी'अलेम्बर्टियन संक्रियक है {{mvar|x}} निर्देशांक,
* {{math|''δ''(''x'' − ''y'')}} Dirac डेल्टा फलन है।


(सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणनाओं में विशिष्ट के रूप में, हम उन इकाइयों का उपयोग करते हैं जहां {{mvar|c}} [[प्रकाश की गति]] और प्लैंक की घटी हुई स्थिरांक {{mvar|ħ}} एकता पर सेट होती है।)
इस समीकरण को [[वितरण (गणित)]] के अर्थ में व्युत्क्रमित किया जा सकता है यह देखते हुए कि समीकरण {{math|1=''xf''(''x'') = 1}} का समाधान है जिसके लिए सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय देखें: <math display="block">f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),</math>{{mvar|ε}} के साथ शून्य की सीमा प्रयुक्त करना नीचे कार्य सिद्धांत आवश्यकताओं से उत्पन्न होने वाले चिन्ह के सही विकल्प पर चर्चा करना हैं।
 
जिसका हल है:
हम 4-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। हम प्राप्त करने वाले प्रचारक के लिए समीकरण का [[फूरियर रूपांतरण]] कर सकते हैं:<math display="block">\left(-p^2 + m^2\right) G(p) = -1.</math>इस समीकरण को [[वितरण (गणित)]] के अर्थ में उलटा किया जा सकता है, यह देखते हुए कि समीकरण {{math|1=''xf''(''x'') = 1}} का समाधान है (सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय देखें)<math display="block">f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),</math>{{mvar|ε}} के साथ शून्य की सीमा प्रयुक्त करना। नीचे, हम करणीय आवश्यकताओं से उत्पन्न होने वाले चिन्ह के सही विकल्प पर चर्चा करते हैं।
समाधान है
{{Equation box 1
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जहाँ<math display="block">p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})</math>[[4-वेक्टर]] आंतरिक उत्पाद है।
जहाँ<math display="block">p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})</math>[[4-वेक्टर|4-सदिश]] आंतरिक उत्पाद है उपरोक्त अभिव्यक्ति में एकीकरण समुच्चय को कैसे विकृत किया जाए, इसके लिए अलग-अलग विकल्प प्रचारक के लिए विभिन्न रूपों को जन्म देते हैं समोच्च का चुनाव सामान्यतः <math>p_0</math>समाकल के संदर्भ में किया जाता है जिसमे तब समाकलित दो ध्रुव होते हैं: <math display="block">p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},</math>




उपरोक्त अभिव्यक्ति में एकीकरण समोच्च को कैसे विकृत किया जाए, इसके लिए अलग-अलग विकल्प प्रचारक के लिए विभिन्न रूपों को जन्म देते हैं। समोच्च का चुनाव सामान्य तौर पर <math>p_0</math> अभिन्न के संदर्भ में किया जाता है।
इसलिए इनसे बचने के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग प्रचारकों के पास होते हैं।


इंटीग्रैंड में तब दो ध्रुव होते हैं<math display="block">p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},</math>इसलिए इनसे बचने के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग प्रचारकों के पास जाते हैं।
== कारणात्मक प्रचारक ==


==== कारण प्रचारक ====
===मंदित प्रचारक ===
 
===मंदबुद्धि प्रचारक ===
[[Image:CausalRetardedPropagatorPath.svg]]
[[Image:CausalRetardedPropagatorPath.svg]]


दोनों ध्रुवों पर दक्षिणावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण मंद प्रवर्तक देता है। यह शून्य है यदि x-y अंतरिक्ष जैसा है या यदि {{math|''x'' ⁰< ''y'' ⁰}} (अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} के भविष्य के लिए है)।
दोनों ध्रुवों पर दक्षिणावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण मंद प्रवर्तक देता है यह शून्य होता है यदि x-y समष्टि जैसा है या यदि {{math|''x'' ⁰< ''y'' ⁰}} अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} आगे के मान के लिए है तब समोच्च का यह चुनाव निम्न सीमा की गणना के बराबर है: <math display="block">G_\text{ret}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(x-y)}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(x-y)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}</math>यहाँ<math display="block">\Theta (x) := \begin{cases}
 
समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है,<math display="block">G_\text{ret}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(x-y)}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(x-y)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}</math>यहाँ<math display="block">\Theta (x) := \begin{cases}
1 & x \ge 0 \\
1 & x \ge 0 \\
0 & x < 0
0 & x < 0
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
हीविसाइड स्टेप फंक्शन है और
हीविसाइड चरण फलन है:
<math display="block">\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}</math>
<math display="block">\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}</math>
से [[उचित समय]] है {{mvar|x}} को {{mvar|y}} और <math>J_1</math> प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है। इजहार <math>y \prec x</math> साधन {{mvar|y}} [[कारण संरचना]] {{mvar|x}} जो, मिन्कोवस्की अंतरिक्ष-समय के लिए, का अर्थ है
जहाँ {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और <math>J_1</math> प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है व्यंजक <math>y \prec x</math> का अर्थ है {{mvar|y}} यथोचित रूप से {{mvar|x}} से पहले आता है जो मिंकोस्की स्पेसटाइम के लिए है:
:<math>y^0 < x^0</math> और <math>\tau_{xy}^2 \geq 0 ~.</math>
:<math>y^0 < x^0</math> और <math>\tau_{xy}^2 \geq 0 ~.</math>
यह अभिव्यक्ति फ्री स्केलर फील्ड संक्रियक के [[कम्यूटेटर]] के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य से संबंधित हो सकती है,
यह अभिव्यक्ति मुक्त अदिश क्षेत्र संक्रियक के [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] के वैक्यूम आपेक्षिक मान से संबंधित हो सकता है,
<math display="block">G_\text{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)</math>जहाँ<math display="block">\left[\Phi(x), \Phi(y) \right] := \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)</math>
<math display="block">G_\text{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)</math>जहाँ<math display="block">\left[\Phi(x), \Phi(y) \right] := \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)</math>
कम्यूटेटर है।
दिक्परिवर्तक है।


===उन्नत प्रचारक ===
===उन्नत प्रचारक ===
[[Image:CausalAdvancedPropagatorPath.svg]]
[[Image:CausalAdvancedPropagatorPath.svg]]


दोनों ध्रुवों के नीचे एंटी-क्लॉकवाइज जाने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रोपेगेटर देता है। यह शून्य है यदि {{mvar|x-y}} स्पेसलाइक है या यदि {{math|''x'' ⁰> ''y'' ⁰}} (अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} के अतीत में है।
दोनों ध्रुवों के नीचे वामावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रचारक देता है यह शून्य है यदि {{mvar|x-y}} समष्टि या {{math|''x'' ⁰> ''y'' ⁰}} है अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} के अतीत में है तब समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है:<ref>{{cite book |last1=Scharf |first1=Günter |title=परिमित क्वांटम विद्युतगतिकी, कारणात्मक दृष्टिकोण|date=13 November 2012 |publisher=Springer |isbn=978-3-642-63345-4 |pages=89}}</ref><math display="block">
 
समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है<ref>{{cite book |last1=Scharf |first1=Günter |title=परिमित क्वांटम विद्युतगतिकी, कारणात्मक दृष्टिकोण|date=13 November 2012 |publisher=Springer |isbn=978-3-642-63345-4 |pages=89}}</ref><math display="block">
G_\text{adv}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(y-x)}{2\pi}\delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(y-x)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}
G_\text{adv}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(y-x)}{2\pi}\delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(y-x)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}
</math>यह अभिव्यक्ति मुक्त स्केलर क्षेत्र के कम्यूटेटर के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है। इस मामले में,<math display="block">G_\text{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)~.</math>
</math>यह अभिव्यक्ति मुक्त अदिश क्षेत्र के [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] के वैक्यूम आपेक्षित मान के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है:<math display="block">G_\text{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)~.</math>


==== फेनमैन प्रचारक ====
==== फेनमैन प्रचारक ====
[[Image:FeynmanPropagatorPath.svg]]
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1948 में [[रिचर्ड फेनमैन]] द्वारा पेश किए गए फेनमैन प्रचारक, बाएं ध्रुव के नीचे और दाएं ध्रुव के ऊपर जाने वाला एक समोच्च देता है।<ref>{{Citation |last=Feynman |first=R. P. |title=Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics |url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812567635_0002 |work=Feynman's Thesis — A New Approach to Quantum Theory |year=2005 |pages=71–109 |publisher=WORLD SCIENTIFIC |language=en |doi=10.1142/9789812567635_0002 |bibcode=2005ftna.book...71F |isbn=978-981-256-366-8 |access-date=2022-08-17}}</ref>
1948 में [[रिचर्ड फेनमैन]] द्वारा प्रस्तुत किए गए फेनमैन प्रचारक, बाएं ध्रुव के नीचे और दाएं ध्रुव के ऊपर जाने वाला एक समोच्च देता है।<ref>{{Citation |last=Feynman |first=R. P. |title=Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics |url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812567635_0002 |work=Feynman's Thesis — A New Approach to Quantum Theory |year=2005 |pages=71–109 |publisher=WORLD SCIENTIFIC |language=en |doi=10.1142/9789812567635_0002 |bibcode=2005ftna.book...71F |isbn=978-981-256-366-8 |access-date=2022-08-17}}</ref> जो समोच्च के चुनाव सीमा की गणना के बराबर है:<ref>{{cite book |last=Huang |first=Kerson |title=Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals |publisher=John Wiley & Sons |year=1998 |isbn=0-471-14120-8 |location=New York |page=30 |author-link=Kerson Huang}}</ref><math display="block">G_F(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\varepsilon} = \begin{cases}
 
समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है<ref>{{cite book |last=Huang |first=Kerson |title=Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals |publisher=John Wiley & Sons |year=1998 |isbn=0-471-14120-8 |location=New York |page=30 |author-link=Kerson Huang}}</ref>  
<math display="block">G_F(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\varepsilon} = \begin{cases}
-\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & s < 0.
-\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & s \geq 0 \\ -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & s < 0.
\end{cases} </math>
\end{cases} </math>यहाँ
यहाँ
<math display="block">s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2,</math>
<math display="block">s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2,</math>
जहां x और y Minkowski स्पेसटाइम में दो बिंदु हैं, और घातांक में डॉट एक चार-वेक्टर आंतरिक उत्पाद है। {{math|''H''<sub>1</sub><sup>(1)</sup>}} एक हैंकेल फलन है और K1 एक संशोधित बेसेल फलन है।
जहां x और y मिंकोवस्की स्पेसटाइम में दो बिंदु हैं और घातांक में बिन्दु चार-सदिश आंतरिक उत्पाद {{math|''H''<sub>1</sub><sup>(1)</sup>}} एक हैंकेल फलन है और K1 एक संशोधित बेसेल फलन है।


यह अभिव्यक्ति सीधे क्षेत्र सिद्धांत से मुक्त स्केलर क्षेत्र के समय-आदेशित उत्पाद के निर्वात अपेक्षा मूल्य के रूप में प्राप्त की जा सकती है, अर्थात, उत्पाद हमेशा ऐसा लिया जाता है कि स्पेसटाइम बिंदुओं का समय क्रम समान होता है:<math display="block">
यह अभिव्यक्ति प्रत्यक्ष क्षेत्र सिद्धांत से मुक्त अदिश क्षेत्र के समय-आदेशित उत्पाद के निर्वात अपेक्षित मान के रूप में प्राप्त की जा सकती है अर्थात, उत्पाद सदियाव ऐसा लिया जाता है जिसके कारण स्पेसटाइम बिंदुओं का समय क्रम समान होता है:<math display="block">
\begin{align}
\begin{align}
G_F(x-y) & = -i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang \\[4pt]
G_F(x-y) & = -i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang \\[4pt]
Line 129: Line 110:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


 
यह अभिव्यक्ति [[लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय]] है जब तक कि क्षेत्र संक्रियक एक दूसरे के साथ तब तक चलते हैं जब बिंदु x और y को स्पेसलाइक अंतराल द्वारा अलग किया जाता है और सामान्य व्युत्पत्ति लोरेंत्ज़ सहसंयोजक सामान्यीकरण के साथ क्षेत्रों के बीच एकल-कण संवेग स्थिति का एक समुच्चय सम्मिलित करना है और फिर यह दिखाने के लिए कि Θ फलन समय आदेश प्रदान करने के लिए ऊर्जा अक्ष के साथ एक समोच्च समाकल द्वारा प्राप्त किया जा सकता है यदि ध्रुव को वास्तविक रेखा से दूर ले जाने के लिए समाकलन ऊपर जैसा है तो अत्यल्प काल्पनिक भाग प्रचारक को क्वांटम सिद्धांत के पथ समाकल सूत्रीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।
यह अभिव्यक्ति [[लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय]] है, जब तक कि फ़ील्ड संक्रियक एक दूसरे के साथ तब तक चलते हैं जब बिंदु x और y को स्पेसलाइक अंतराल द्वारा अलग किया जाता है।
 
सामान्य व्युत्पत्ति लोरेंत्ज़ सहसंयोजक सामान्यीकरण के साथ क्षेत्रों के बीच एकल-कण संवेग राज्यों का एक पूरा सेट सम्मिलित करना है, और फिर यह दिखाने के लिए कि Θ कार्य कारण समय आदेश प्रदान करने के लिए ऊर्जा अक्ष के साथ एक समोच्च अभिन्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, यदि ध्रुव को वास्तविक रेखा से दूर ले जाने के लिए समाकलन ऊपर जैसा है (इसलिए अत्यल्प काल्पनिक भाग)।
 
प्रचारक को क्वांटम सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।


=== गति अंतरिक्ष प्रचारक ===
=== गति अंतरिक्ष प्रचारक ===
पोजीशन स्पेस प्रोपेगेटर्स के फूरियर रूपांतरण को [[ गति स्थान |गति स्थान]] में प्रोपेगेटर्स के रूप में सोचा जा सकता है। ये स्थान स्थान प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप लेते हैं।
स्थिति समष्टि प्रचारक के फूरियर रूपांतरण को [[ गति स्थान |गति समष्टि]] में प्रचारक के रूप में सोचा जा सकता है। ये समष्टि प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप मे होते हैं और वे प्रायः एक {{mvar|ε}} स्पष्ट शब्द के साथ लिखे जाते हैं हालांकि इसको संक्षिप्त रूप में समझा जाता है जिसके विषय में समाकल समोच्च उपयुक्त है (ऊपर देखें)। यह {{mvar|ε}} शब्द सीमा शर्तों और करणीयता (नीचे देखें) को सम्मिलित करने के लिए सम्मिलित किया गया है।


वे प्रायः एक स्पष्ट के साथ लिखे जाते हैं {{mvar|ε}} शब्द हालांकि यह एक अनुस्मारक के रूप में समझा जाता है जिसके बारे में एकीकरण समोच्च उपयुक्त है (ऊपर दे