वर्ग आव्यूह

File:Arbitrary square matrix.gif

क्रम 4 का एक वर्ग मैट्रिक्स। प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ एक वर्ग मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण बनाएँ। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण में तत्व शामिल हैं a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

गणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या होती है। एक n-by-n मैट्रिक्स को ऑर्डर के वर्ग मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है $n$. एक ही क्रम के किन्हीं भी दो वर्ग आव्यूहों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।

स्क्वायर मैट्रिसेस का उपयोग अक्सर सरल रेखीय परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जैसे कि शियर मैपिंग या रोटेशन (गणित) । उदाहरण के लिए, अगर $R$ एक रोटेशन (रोटेशन मैट्रिक्स ) का प्रतिनिधित्व करने वाला एक वर्ग मैट्रिक्स है और $\mathbf {v}$ एक कॉलम वेक्टर है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति (वेक्टर) का वर्णन करता है, उत्पाद $R\mathbf {v}$ उस घुमाव के बाद उस बिंदु की स्थिति का वर्णन करने वाला एक अन्य स्तंभ सदिश उत्पन्न करता है। यदि $\mathbf {v}$ एक पंक्ति वेक्टर है, उसी परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$, कहां $R^{\mathsf {T}}$ का स्थानान्तरण है $R$.

मुख्य विकर्ण

Main article: Main diagonal

प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ (i = 1, …, n) वर्ग आव्यूह का मुख्य विकर्ण बनाता है। वे काल्पनिक रेखा पर स्थित हैं जो ऊपरी बाएँ कोने से मैट्रिक्स के निचले दाएं कोने तक चलती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण में तत्व शामिल हैं a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

एक वर्ग मैट्रिक्स के ऊपरी दाएं कोने से निचले बाएं कोने तक के विकर्ण को एंटीडायगोनल या काउंटरडायगोनल कहा जाता है।

विशेष प्रकार

Name	Example with n = 3
Diagonal matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Lower triangular matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Upper triangular matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

विकर्ण या त्रिकोणीय मैट्रिक्स

यदि मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, $A$ विकर्ण मैट्रिक्स कहा जाता है। यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर (या नीचे) सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, $A$ ऊपरी (या निचला) त्रिकोणीय मैट्रिक्स कहा जाता है।

पहचान मैट्रिक्स

पहचान मैट्रिक्स $I_{n}$ आकार का $n$ है $n\times n$ मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 के बराबर हैं और अन्य सभी तत्व 0 के बराबर हैं, उदा।

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

यह ऑर्डर का स्क्वायर मैट्रिक्स है $n$, और एक विशेष प्रकार का विकर्ण मैट्रिक्स भी। इसे पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है क्योंकि इसके साथ गुणा करने से मैट्रिक्स अपरिवर्तित रहता है:

AI_n = I_mA = A किसी भी एम-बाय-एन मैट्रिक्स के लिए $A$.

उलटा मैट्रिक्स और इसके व्युत्क्रम

एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ एक मैट्रिक्स मौजूद होने पर उलटा मैट्रिक्स या गैर-एकवचन कहा जाता है $B$ ऐसा है कि

$AB=BA=I_{n}.$

यदि $B$ मौजूद है, यह अद्वितीय है और इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहा जाता है $A$, लक्षित $A^{-1}$.

सममित या तिरछा-सममित मैट्रिक्स

एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ यह इसके स्थानान्तरण के बराबर है, अर्थात, $A^{\mathsf {T}}=A$, एक सममित मैट्रिक्स है। अगर इसके बजाय $A^{\mathsf {T}}=-A$, तब $A$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स कहा जाता है।

एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स के लिए $A$, अक्सर ट्रांज़ोज़ का उपयुक्त एनालॉग संयुग्मी स्थानान्तरण ़ होता है $A^{*}$, के जटिल संयुग्म के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है $A$. एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स $A$ संतुष्टि देने वाला $A^{*}=A$ हर्मिटियन मैट्रिक्स कहा जाता है। अगर इसके बजाय $A^{*}=-A$, तब $A$ तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सममित (या जटिल हर्मिटियन) मैट्रिसेस में एक ऑर्थोगोनल (या एकात्मक) खुद का आधार होता है; यानी, प्रत्येक वेक्टर ईजेनवेक्टरों के एक रैखिक संयोजन के रूप में अभिव्यक्त होता है। दोनों ही मामलों में, सभी eigenvalues ​​वास्तविक हैं।

निश्चित मैट्रिक्स

Positive definite	Indefinite
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q(x,y) = 1/4 x2 + y2	Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Points such that Q(x, y) = 1 (Ellipse).	File:Hyperbola2 SVG.svg Points such that Q(x, y) = 1 (Hyperbola).

एक सममित n×n-मैट्रिक्स कहा जाता है सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स |सकारात्मक-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चित), यदि सभी गैर-शून्य वैक्टर के लिए $x\in \mathbb {R} ^{n}$ द्वारा दिया गया संबद्ध द्विघात रूप

<उद्धृत करें=द्विघात रूप>Q('x') = 'x'^टीएक्स'</उद्धृत>

केवल सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः केवल नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक मान दोनों)। यदि द्विघात रूप केवल गैर-नकारात्मक (क्रमशः केवल गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित मैट्रिक्स को धनात्मक-अर्ध-परिमित (क्रमशः ऋणात्मक-अर्ध-अर्ध-परिमित) कहा जाता है; इसलिए मैट्रिक्स अनिश्चित रूप से अनिश्चित है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-परिमित है और न ही नकारात्मक-अर्द्ध-परिमित।

एक सममित मैट्रिक्स सकारात्मक-निश्चित है अगर और केवल अगर इसके सभी eigenvalues ​​​​सकारात्मक हैं। दाईं ओर की तालिका 2×2 आव्यूहों के लिए दो संभावनाएँ दिखाती है।

इनपुट के रूप में दो अलग-अलग वैक्टरों को अनुमति देने के बजाय ए से संबंधित द्विरेखीय रूप उत्पन्न होता है:

बी_A(एक्स, वाई) = एक्स^टीओए'।

ओर्थोगोनल मैट्रिक्स

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) # स्क्वायर मैट्रिसेस है जिसमें वास्तविक संख्या प्रविष्टियाँ होती हैं जिनके कॉलम और पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल इकाई वेक्टर (यानी, orthonormality वैक्टर) होती हैं। समतुल्य रूप से, एक मैट्रिक्स A ऑर्थोगोनल है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर है:

$A^{\textsf {T}}=A^{-1},$

जिसमें शामिल है

$A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$

जहां मैं पहचान मैट्रिक्स है।

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ए अनिवार्य रूप से उलटा मैट्रिक्स है (उलटा के साथ A⁻¹ = A^T), एकात्मक मैट्रिक्स (A⁻¹ = A*), और सामान्य मैट्रिक्स (A*A = AA*). किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक या तो +1 या -1 है। विशेष ऑर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n)$ के होते हैं n × n निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस।

ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का जटिल संख्या एनालॉग एक एकात्मक मैट्रिक्स है।

सामान्य मैट्रिक्स

एक वास्तविक या जटिल वर्ग मैट्रिक्स $A$ सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है अगर $A^{*}A=AA^{*}$. यदि एक वास्तविक वर्ग मैट्रिक्स सममित, तिरछा-सममित या ऑर्थोगोनल है, तो यह सामान्य है। यदि एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स हर्मिटियन, तिरछा-हर्मिटियन या एकात्मक है, तो यह सामान्य है। सामान्य मेट्रिसेस मुख्य रूप से रुचि के होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध मैट्रिसेस के प्रकार शामिल होते हैं और मेट्रिसेस का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय धारण करता है।

संचालन

ट्रेस

एक वर्ग मैट्रिक्स ए के एक मैट्रिक्स, tr (ए) का निशान इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग है। जबकि मैट्रिक्स गुणन कम्यूटेटिव नहीं है, दो मैट्रिक्स के उत्पाद का निशान कारकों के क्रम से स्वतंत्र है:

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$

यह मैट्रिक्स गुणा की परिभाषा से तत्काल है:

$\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).$

साथ ही, एक मैट्रिक्स का ट्रेस उसके स्थानान्तरण के बराबर होता है, अर्थात,

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).$

निर्धारक

Main article: Determinant

File:Determinant example.svg

एक रेखीय परिवर्तन पर $\mathbb {R} ^{2}$ संकेतित मैट्रिक्स द्वारा दिया गया। इस मैट्रिक्स का निर्धारक -1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र 1 है, लेकिन नक्शा अभिविन्यास (गणित) को उलट देता है, क्योंकि यह वैक्टर के वामावर्त अभिविन्यास को घड़ी की दिशा में बदल देता है।

निर्धारक $\det(A)$ या $|A|$ एक वर्ग मैट्रिक्स का $A$ मैट्रिक्स के कुछ गुणों को एन्कोडिंग करने वाली संख्या है। एक मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका निर्धारक अशून्य है। इसका निरपेक्ष मान क्षेत्रफल के बराबर है (में $\mathbb {R} ^{2}$) या वॉल्यूम (में $\mathbb {R} ^{3}$) इकाई वर्ग (या घन) की छवि का, जबकि इसका चिन्ह संबंधित रेखीय मानचित्र के अभिविन्यास से मेल खाता है: निर्धारक सकारात्मक है अगर और केवल अगर अभिविन्यास संरक्षित है।

2×2 आव्यूहों का निर्धारक किसके द्वारा दिया जाता है

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3×3 आव्यूहों के निर्धारक में 6 पद (सर्रस का नियम) शामिल हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लिबनिज़ सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है। वर्ग मैट्रिक्स के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है:

$\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$

किसी भी पंक्ति का गुणज दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ का गुणज दूसरे स्तंभ में जोड़ने से निर्धारक नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से निर्धारक को -1 से गुणा करके प्रभावित करता है। इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी मैट्रिक्स को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे मैट्रिक्स के लिए निर्धारक मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होता है; यह किसी भी मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। अंत में, लाप्लास विस्तार निर्धारक को मामूली (रैखिक बीजगणित) के संदर्भ में व्यक्त करता है, अर्थात, छोटे आव्यूहों के निर्धारक। इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक मामले को 1×1 मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में लेते हुए, जो इसकी अनूठी प्रविष्टि है, या 0×0 मैट्रिक्स का निर्धारक भी है, जो 1 है), जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समकक्ष देखा जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकों का विभाजन प्रणाली के प्रत्येक चर के मान के बराबर होता है।

ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर

Main article: Eigenvalues and eigenvectors

एक संख्या λ और एक गैर-शून्य वेक्टर $\mathbf {v}$ संतुष्टि देने वाला

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$

एक eigenvalue और एक eigenvector कहा जाता है $A$, क्रमश। संख्या λ एक n×n-मैट्रिक्स A का एक eigenvalue है अगर और केवल अगर A − λI_n व्युत्क्रमणीय नहीं है, जो तार्किक तुल्यता है

$\det(A-\lambda I)=0.$

बहुपद पी_A निर्धारक के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक अनिश्चित (चर) एक्स में det(XI_n − A) A का अभिलाक्षणिक बहुपद कहलाता है। यह एक बहुपद n की घात वाला एक मोनिक बहुपद है। इसलिए बहुपद समीकरण p_A(λ) = 0 अधिक से अधिक n अलग-अलग समाधान हैं, यानी मैट्रिक्स के eigenvalues। A की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने पर भी वे जटिल हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, p_A(A) = 0, अर्थात्, मैट्रिक्स को अपने स्वयं के विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम शून्य मैट्रिक्स उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

• कार्टन मैट्रिक्स

संदर्भ

• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

बाहरी कड़ियाँ

• File:Commons-logo.svg Media related to वर्ग आव्यूह at Wikimedia Commons