बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता

सैद्धांतिक भौतिकी में, बटालिन-विलकोविस्की (बीवी) औपचारिकता (इगोर बटालिन और ग्रिगोरी विलकोविस्की के नाम पर रखा गया है) को गुरुत्वाकर्षण और अतिगुरुत्वाकर्षण जैसे लैग्रैंगियन गेज सिद्धांतों के लिए घोस्ट संरचना का निर्धारण करने के लिए एक विधि के रूप में विकसित किया गया था, जिसका हैमिल्टनियन सूत्रीकरण बाधाओं से संबंधित नहीं हैं, अभिसंधि बीजगणित (अर्थात, अभिसंधि बीजगणित संरचना स्थिरांक की भूमिका अधिक सामान्य संरचना कार्यों द्वारा निभाई जाती है)। बीवी औपचारिकता, एक ऐसी क्रिया (भौतिकी) पर आधारित है, जिसमें दोनों क्षेत्र और "एंटीफिल्ड्स" सम्मलित हैं, को शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए मूल बीआरएसटी औपचारिकता के विशाल सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है, जो एक स्वेच्छ लैग्रेंजियन गेज सिद्धांत है। बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता के लिए अन्य नाम क्षेत्र-एंटीफिल्ड औपचारिकता, लाग्रैंगियन बीआरएसटी औपचारिकता, या बीवी-बीआरएसटी औपचारिकता हैं। इसे बटालिन-फ्राडकिन-विलकोविस्की (बीएफवी) औपचारिकता के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो हैमिल्टनियन समकक्ष है।

बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित

गणित में, बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित डिग्री -1 के दूसरे क्रम के नीलपोटेंट ऑपरेटर Δ के साथ, एक ग्रेडेड सुपरकम्यूटेटिव (इकाई 1 के साथ) बीजगणित है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, यह पहचानों को संतुष्ट करता है

• $|ab|=|a|+|b|$ (उत्पाद की डिग्री 0 है।)
• $|\Delta (a)|=|a|-1$ (Δ की डिग्री -1 है।)
• $(ab)c=a(bc)$ (उत्पाद साहचर्य है।)
• $ab=(-1)^{|a||b|}ba$ (उत्पाद (सुपर-) क्रमविनिमेय है।)
• $\Delta ^{2}=0$ (निलपोटेंसी (का क्रम 2 है।))
• $\Delta (abc)-\Delta (ab)c+\Delta (a)bc-(-1)^{|a|}a\Delta (bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta (ac)+(-1)^{|a|}a\Delta (b)c+(-1)^{|a|+|b|}ab\Delta (c)-\Delta (1)abc=0$ (Δ ऑपरेटर दूसरे क्रम का है।)

एक को अधिकांशतः सामान्यीकरण की भी आवश्यकता होती है:

• $\Delta (1)=0$ (सामान्यीकरण)

एंटीकोष्ठक

बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित एक गेरस्टेनहेबर बीजगणित बन जाता है, यदि कोई गेरस्टेनहैबर कोष्ठक को परिभाषित करता है।

$(a,b):=(-1)^{\left|a\right|}\Delta (ab)-(-1)^{\left|a\right|}\Delta (a)b-a\Delta (b)+a\Delta (1)b$

जेरस्टेनहैबर कोष्ठक के अन्य नाम बटिन कोष्ठक, एंटीकोष्ठक, या विचित्र पॉसॉन कोष्ठक हैं, एंटीकोष्ठक संतुष्ट करता है।

• $|(a,b)|=|a|+|b|-1$ (प्रतिकोष्ठक (,) की डिग्री -1 होती है।)
• $(a,b)=-(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)$ (विषम सममित)
• $(-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b))=0$ (जैकोबी पहचान)
• $(ab,c)=a(b,c)+(-1)^{|a||b|}b(a,c)$ (पॉसों की संपत्ति; लीबनिज नियम)

विषम लाप्लासियन

सामान्यीकृत ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है।

${\Delta }_{\rho }:=\Delta -\Delta (1)$

विशेष रूप से विषम पॉसों ज्यामिति के संदर्भ में इसे अधिकांशतः विषम लाप्लासियन कहा जाता है। यह एंटीकोष्ठक को "भिन्न" करता है।

• ${\Delta }_{\rho }(a,b)=({\Delta }_{\rho }(a),b)-(-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta }_{\rho }(b))$ (${\Delta }_{\rho }$ ऑपरेटर अंतर करता (,)) है।

चौराहा ${\Delta }_{\rho }^{2}=(\Delta (1),\cdot )$ सामान्यीकृत की ${\Delta }_{\rho }$ ऑपरेटर विषम हैमिल्टनियन Δ(1) के साथ हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र है।

• ${\Delta }_{\rho }^{2}(ab)={\Delta }_{\rho }^{2}(a)b+a{\Delta }_{\rho }^{2}(b)$ (लीबनिज नियम)

जिसे मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है। सामान्यीकरण मानकर Δ(1)=0, विषम लाप्लासियन ${\Delta }_{\rho }$ केवल Δ संचालिका है, जिसमे ${\Delta }_{\rho }^{2}$ विलुप्त हो जाता है, और मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र है।

नेस्टेड कम्यूटेटर के संदर्भ में कॉम्पैक्ट फॉर्मूलेशन

यदि कोई बाएं गुणन संकारक का परिचय देता है $L_{a}$ जैसा

$L_{a}(b):=ab,$

और सुपरकम्यूटेटर [,] के रूप में,

$[S,T]:=ST-(-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS$

दो स्वेच्छ ऑपरेटरों एस और टी के लिए, फिर एंटीकोष्ठक की परिभाषा को संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है।

$(a,b):=(-1)^{\left|a\right|}[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1,$

और Δ के लिए दूसरे क्रम की स्थिति को संक्षेप में लिखा जा सकता है।

$[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1=0$ (Δ ऑपरेटर दूसरे क्रम का है।)

जहां यह समझा जाता है कि प्रासंगिक ऑपरेटर इकाई तत्व 1 पर कार्य करता है। दूसरे शब्दों में, $[\Delta ,L_{a}]$ प्रथम-क्रम (ऐफ़ीन) ऑपरेटर है, और $[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]$ शून्य-क्रम ऑपरेटर है।

मास्टर समीकरण

बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित के समान डिग्री तत्व एस (जिसे क्रिया (भौतिकी) कहा जाता है) के लिए मौलिक मास्टर समीकरण समीकरण है।

$(S,S)=0.$

बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित के सम अंश तत्व W के लिए क्वांटम मास्टर समीकरण समीकरण है।

$\Delta \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}W\right]=0,$

या समकक्ष,

${\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar {\Delta }_{\rho }(W)+\hbar ^{2}\Delta (1).$

सामान्यीकरण मानकर Δ(1) = 0, क्वांटम मास्टर समीकरण पढ़ता है।

${\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar \Delta (W).$

सामान्यीकृत बीवी बीजगणित

सामान्यीकृत बीवी बीजगणित की परिभाषा में, Δ के लिए दूसरे क्रम की धारणा को हटा दिया जाता है। इसके बाद डिग्री -1 के उच्च कोष्ठकों के अनंत पदानुक्रम को परिभाषित किया जा सकता है।

$\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n}):=\underbrace {[[\ldots [\Delta ,L_{a_{1}}],\ldots ],L_{a_{n}}]} _{n~{\rm {nested~commutators}}}1.$

कोष्ठक (वर्गीकृत) सममित हैं।

$\Phi ^{n}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (n)})=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ (सममित कोष्ठक)

जहाँ $\pi \in S_{n}$ क्रमचय है, और $(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}$ क्रमपरिवर्तन का कोज़ुल चिह्न है।

$a_{\pi (1)}\ldots a_{\pi (n)}=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}a_{1}\ldots a_{n}$.

कोष्ठक होमोटॉपी लाई बीजगणित का गठन करते हैं, जिसे $L_{\infty }$ बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है, जो सामान्यीकृत जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है।

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n\!-\!k)!}}\sum _{\pi \in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n-k+1}\left(\Phi ^{k}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (k)}),a_{\pi (k+1)},\ldots ,a_{\pi (n)}\right)=0.$ (सामान्यीकृत जैकोबी पहचान)

पहले कुछ कोष्ठक हैं:

• $\Phi ^{0}:=\Delta (1)$ (शून्य-कोष्ठक)
• $\Phi ^{1}(a):=[\Delta ,L_{a}]1=\Delta (a)-\Delta (1)a=:{\Delta }_{\rho }(a)$ (एक-कोष्ठक)
• $\Phi ^{2}(a,b):=[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1=:(-1)^{\left|a\right|}(a,b)$ (दो कोष्ठक)
• $\Phi ^{3}(a,b,c):=[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1$ (तीन कोष्ठक)
• $\vdots$

विशेष रूप से, एक-कोष्ठक $\Phi ^{1}={\Delta }_{\rho }$ विषम लाप्लासियन है, और दो-कोष्ठक है $\Phi ^{2}$ चिह्न तक का प्रतिकोष्ठक है। पहली कुछ सामान्यीकृत जैकोबी पहचानें हैं:

• $\Phi ^{1}(\Phi ^{0})=0$ ($\Delta (1)$, $\Delta _{\rho }$बंद है।)
• $\Phi ^{2}(\Phi ^{0},a)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{1}(a)\right)$ ($\Delta (1)$ मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र के लिए हैमिल्टनियन है। ${\Delta }_{\rho }^{2}$)
• $\Phi ^{3}(\Phi ^{0},a,b)+\Phi ^{2}\left(\Phi ^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Phi ^{2}\left(a,\Phi ^{1}(b)\right)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{2}(a,b)\right)=0$ ( ${\Delta }_{\rho }$) ऑपरेटर अंतर करता है। (,) सामान्यीकृत)
• $\Phi ^{4}(\Phi ^{0},a,b,c)+{\rm {Jac}}(a,b,c)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{3}(a,b,c)\right)+\Phi ^{3}\left(\Phi ^{1}(a),b,c\right)+(-1)^{\left|a\right|}\Phi ^{3}\left(a,\Phi ^{1}(b),c\right)+(-1)^{\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi ^{3}\left(a,b,\Phi ^{1}(c)\right)=0$ (सामान्यीकृत जैकोबी पहचान)
• $\vdots$

जहां जैकबिएटर दो-कोष्ठक के लिए है $\Phi ^{2}$ परिभाषित किया जाता है

${\rm {Jac}}(a_{1},a_{2},a_{3}):={\frac {1}{2}}\sum _{\pi \in S_{3}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{2}\left(\Phi ^{2}(a_{\pi (1)},a_{\pi (2)}),a_{\pi (3)}\right).$

बी.वी. n-बीजगणित

Δ संचालिका 'n'वें क्रम' की परिभाषा के अनुसार है यदि और केवल यदि (n + 1)-कोष्ठक $\Phi ^{n+1}$ विलुप्त हो जाता है। उस स्थिति में, कोई बीवी n-बीजगणित की बात करता है। इस प्रकार बीवी 2-बीजगणित परिभाषा के अनुसार केवल बीवी बीजगणित है। जैकबिएटर ${\rm {Jac}}(a,b,c)=0$ बीवी बीजगणित के भीतर विलुप्त हो जाता है, जिसका अर्थ है कि यहां एंटीकोष्ठक जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है। बीवी 1-बीजगणित जो सामान्यीकरण Δ(1) = 0 को संतुष्ट करता है, अंतर वर्गीकृत बीजगणित बीजगणित के समान है। डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित (डीजीए) डिफरेंशियल Δ के साथ बीवी 1-बीजगणित में लुप्त एंटीकोष्ठक है।

मात्रा घनत्व के साथ विषम पोइसन कई गुना

मान लीजिए कि एक (n | n) सुपरमैनिफोल्ड दिया गया है, जिसमें एक विषम पोइसन द्वि-सदिश $\pi ^{ij}$ और एक बेरेज़िन आयतन घनत्व $\rho$ है, जिसे क्रमशः पी-संरचना और एस-संरचना के रूप में भी जाना जाता है। बता दें कि स्थानीय निर्देशांक को $x^{i}$ कहा जाता है। माना व्युत्पन्न $\partial _{i}f$ और

$f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}:=(-1)^{\left|x^{i}\right|(|f|+1)}\partial _{i}f$

फ़ंक्शन f डब्लूआरटी के सही व्युत्पन्न और दाएँ डेरिवेटिव को निरूपित करें, $x^{i}$, क्रमश विषम प्वासों द्वि-सदिश $\pi ^{ij}$ अधिक त्रुटिहीन रूप से संतुष्ट करता है।

• $\left|\pi ^{ij}\right|=\left|x^{i}\right|+\left|x^{j}\right|-1$ (विषम पोइसन संरचना की डिग्री -1 है।)
• $\pi ^{ji}=-(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)}\pi ^{ij}$ (विषम सममित)
• $(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi ^{i\ell }\partial _{\ell }\pi ^{jk}+{\rm {cyclic}}(i,j,k)=0$ (जैकोबी पहचान)

निर्देशांक के परिवर्तन के अनुसार $x^{i}\to x^{\prime i}$ विषम पोइसन द्वि-सदिश $\pi ^{ij}$ और बेरेज़िन आयतन घनत्व $\rho$ के रूप में रूपांतरित करें

• $\pi ^{\prime k\ell }=x^{\prime k}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}x^{\prime \ell }$
• $\rho ^{\prime }=\rho /{\rm {sdet}}(\partial _{i}x^{\prime j})$

जहां सदेट सुपरडेटरमिनेंट को दर्शाता है, जिसे बेरेज़िनियन भी कहा जाता है। तब 'विषम प्वासों कोष्ठक' के रूप में परिभाषित किया गया है।

$(f,g):=f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}g.$

एक हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र $X_{f}$ हैमिल्टनियन एफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

$X_{f}[g]:=(f,g).$

सदिश क्षेत्र का (सुपर-) विचलन $X=X^{i}\partial _{i}$ परिभाषित किया जाता है।

${\rm {div}}_{\rho }X:={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho }}\partial _{i}(\rho X^{i})$

याद रखें कि लिउविले के प्रमेय के कारण हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र भी पॉइसन ज्यामिति में विचलन मुक्त हैं। विषम प्वासों ज्यामिति में संगत कथन सही नहीं है। विचित्र लाप्लासियन ${\Delta }_{\rho }$ लिउविल के प्रमेय की विफलता को मापता है। चिह्न कारक तक, इसे संबंधित हैमिल्टन सदिश क्षेत्र के आधे विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है,

${\Delta }_{\rho }(f):={\frac {(-1)^{\left|f\right|}}{2}}{\rm {div}}_{\rho }X_{f}={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho }}\partial _{i}\rho \pi ^{ij}\partial _{j}f.$

विषम पोइसन संरचना $\pi ^{ij}$ और बेरेज़िन आयतन घनत्व $\rho$ मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र होने पर संगत कहा जाता है ${\Delta }_{\rho }^{2}$ विलुप्त हो जाता है। उस स्थिति में विषम लाप्लासियन ${\Delta }_{\rho }$ सामान्यीकरण के साथ बीवी Δ ऑपरेटर है Δ(1)=0 संबंधित बीवी बीजगणित कार्यों का बीजगणित है।

विषम सहानुघोस्टि बहुगुण

यदि विषम प्वासों द्वि-सदिश $\pi ^{ij}$ व्युत्क्रमणीय है, किसी के पास विषम सहानुघोस्टिपूर्ण ज्यामिति मैनिफोल्ड है। उस स्थिति में, विषम डार्बौक्स प्रमेय उपलब्ध है। यही है, वहां स्थानीय डार्बौक्स निर्देशांक उपलब्ध हैं, अर्थात निर्देशांक $q^{1},\ldots ,q^{n}$, और क्षण $p_{1},\ldots ,p_{n}$, डिग्री का

$\left|q^{i}\right|+\left|p_{i}\right|=1,$

जैसे कि विषम पोइसन कोष्ठक डार्बौक्स फॉर्म पर है,

$(q^{i},p_{j})=\delta _{j}^{i}.$

सैद्धांतिक भौतिकी में, निर्देशांक $q^{i}$ और क्षण $p_{j}$ क्षेत्र्स और एंटीफ़िल्ड्स कहलाते हैं, $\phi ^{i}$ और $\phi _{j}^{*}$, क्रमश सामान्यतः निरूपित होते हैं।

$\Delta _{\pi }:=(-1)^{\left|q^{i}\right|}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}$

अर्ध-घनत्व के सदिश स्थान पर कार्य करता है, और डार्बौक्स पड़ोस के एटलस पर विश्व स्तर पर अच्छे प्रकार से परिभाषित ऑपरेटर है। खुदावेरडियन का $\Delta _{\pi }$ ऑपरेटर केवल पी-संरचना पर निर्भर करता है। यह स्पष्ट रूप से शून्य है $\Delta _{\pi }^{2}=0$, और डिग्री −1. फिर भी, यह तकनीकी रूप से बीवी Δ संचालिका नहीं है क्योंकि अर्द्धघनत्व के सदिश स्थान में कोई गुणन नहीं है। (दो अर्ध-घनत्वों का गुणनफल अर्ध-घनत्व के अतिरिक्त घनत्व है।) निश्चित घनत्व दिया गया है $\rho$, निलपोटेंट बीवी Δ ऑपरेटर का निर्माण कर सकता है।

$\Delta (f):={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\Delta _{\pi }({\sqrt {\rho }}f),$

जिसका संबंधित बीवी बीजगणित कार्यों का बीजगणित है, या समकक्ष, स्केलर (भौतिकी) है। विषम सहानुघोस्टिपूर्ण संरचना $\pi ^{ij}$ और घनत्व $\rho$ संगत हैं यदि और केवल यदि Δ(1) विषम स्थिरांक है।

उदाहरण

• मल्टी-सदिश क्षेत्र्स के लिए स्काउटन-निजेनहुइस कोष्ठक एंटीकोष्ठक का उदाहरण है।
• यदि एल लाइ सुपरबीजगणित है, और Π सुपर स्पेस के सम और विषम भागों का आदान-प्रदान करने वाला ऑपरेटर है, तो Π (एल) (एल का बाहरी बीजगणित) का सममित बीजगणित बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित है, जिसमें Δ दिया गया है, लाई बीजगणित सह-समरूपता की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सामान्य अंतर होते है।

यह भी देखें

• बीआरएसटी परिमाणीकरण
• गेरस्टेनहैबर बीजगणित
• सुपरमैनीफोल्ड
• प्रवाह का विश्लेषण
• ज़हर कई गुना

संदर्भ

शैक्षणिक

• कॉस्टेलो, के. (2011)। पुनर्सामान्यीकरण और प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत। ISBN 978-0-8218-5288-0 (परेशान करने वाले क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और कठोर पहलुओं की व्याख्या करता है, जैसे कि चेर्न-सीमन्स सिद्धांत को परिमाणित करना | चेर्न-सिमंस सिद्धांत और यांग-मिल्स सिद्धांत | बीवी-औपचारिकता का उपयोग करते हुए यांग-मिल्स सिद्धांत)

संदर्भ

• Batalin, I. A. & Vilkovisky, G. A. (1981). "Gauge Algebra and Quantization". Phys. Lett. B. 102 (1): 27–31. Bibcode:1981PhLB..102...27B. doi:10.1016/0370-2693(81)90205-7.
• Batalin, I. A.; Vilkovisky, G. A. (1983). "Quantization of Gauge Theories with Linearly Dependent Generators". Physical Review D. 28 (10): 2567–2582. Bibcode:1983PhRvD..28.2567B. doi:10.1103/PhysRevD.28.2567. Erratum-ibid. 30 (1984) 508 doi:10.1103/PhysRevD.30.508.
• Getzler, E. (1994). "Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories". Communications in Mathematical Physics. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th/9212043. Bibcode:1994CMaPh.159..265G. doi:10.1007/BF02102639. S2CID 14823949.
• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Local BRST cohomology in gauge theories", Physics Reports, 338 (5): 439–569, arXiv:hep-th/0002245, Bibcode:2000PhR...338..439B, doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1, ISSN 0370-1573, MR 1792979, S2CID 119420167
• Weinberg, Steven (2005). The Quantum Theory of Fields Vol. II. New York: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-67054-3.