जीवा (ज्यामिति)

This article is about the line segment defined on a curve. For other uses, see Chord (disambiguation).

वृत्त की जीवा सीधी रेखा का खंड होता है जिसके अंत बिंदु दोनों वृत्ताकार चाप पर स्थित होते हैं। यदि किसी जीवा को रेखा में दोनों दिशाओं में अनंत रूप से विस्तारित किया जाता है, तो वस्तु छेदक रेखा होती है। सामान्यतः, जीवा किसी भी वक्र पर दो बिंदुओं को जोड़ता है, उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त। जीवा जो वृत्त के केंद्र बिंदु से होकर गुजरती है, वृत्त का व्यास है।

'कॉर्ड' शब्द लैटिन के कॉर्डा से बना है जिसका अर्थ धनुष की डोरी होता है।

लाल खंड BX 'राग'
है (व्यास खंड एबी के रूप में)।

हलकों में

Main article: वृत्त § कॉर्ड

वृत्त की जीवाओं के गुणों में निम्नलिखित हैं:

1. जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं यदि उनकी लंबाई समान हो।
2. समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समान कोणों द्वारा अंतरित की जाती हैं।
3. जीवा जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है उसे व्यास कहा जाता है और उस विशिष्ट वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।
4. यदि जीवा AB और CD के लाइन एक्सटेंशन (सेकंट लाइन) बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनकी लंबाई AP·PB = CP·PD ( बिंदु प्रमेय की शक्ति) को संतुष्ट करती है।

शांकवों में

शंकु के समांतर तारों जीवाओं के समुच्चय के मध्य बिंदु संरेख होते हैं (शंकुओं के लिए मध्य बिंदु प्रमेय)।।

चित्र में दिखाए अनुसार कॉर्ड फ़ंक्शन को ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया गया है। कोण की जीवा उस केंद्रीय कोण द्वारा अलग किए गए इकाई वृत्त पर दो बिंदुओं के बीच की जीवा की लंबाई है। कोण θ को सकारात्मक अर्थ में लिया जाता है और इसे अंतराल में होना चाहिए 0 < θ ≤ π (रेडियन माप)। कॉर्ड फ़ंक्शन को आधुनिक साइन फ़ंक्शन से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें से बिंदु (1,0) हो सकता है, और दूसरा बिंदु (cos θ, sin θ), और फिर राग की लंबाई की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना:

$\operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

अंतिम चरण में त्रिकोणमितीय पहचान#डबल-एंगल, ट्रिपल-एंगल और हाफ-एंगल फॉर्मूला|हाफ-एंगल फॉर्मूला का उपयोग किया जाता है। जिस प्रकार आधुनिक त्रिकोणमिति को ज्या फलन पर बनाया गया है, प्राचीन त्रिकोणमिति को तार फलन पर बनाया गया था। हिप्पार्कस को कॉर्ड्स पर बारह-वॉल्यूम का काम लिखा गया है, जो अब खो गया है, इसलिए संभवतः, उनके बारे में बहुत कुछ पता था। नीचे दी गई तालिका में (जहाँ c जीवा की लंबाई है, और D वृत्त का व्यास है) सुप्रसिद्ध आधुनिक लोगों के अनुरूप कई पहचानों को पूरा करने के लिए राग फलन दिखाया जा सकता है:

Name	Sine-based	Chord-based
Pythagorean	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$	$\operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,$
Half-angle	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,$	$\operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,$
Apothem (a)	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
Angle (θ)	$c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta$

उलटा कार्य भी मौजूद है: -->

Stávek, Jiří (2017-03-10) [2017-02-26]. "On the hidden beauty of trigonometric functions". Applied Physics Research. 9 (2): 57–64. doi:10.5539/apr.v9n2p57. ISSN 1916-9639. ISSN 1916-9647. Archived from the original on 2017-07-31. Retrieved 2021-10-21 – via Canadian Center of Science and Education.

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बाहरी संबंध

• History of Trigonometry Outline
• Trigonometric functions Archived 2017-03-10 at the Wayback Machine, focusing on history
• Chord (of a circle) With interactive animation