फ्लक्स

File:General flux diagram.svg

सदिश क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ F इकाई वेक्टर सामान्य के साथ सतहों के माध्यम से n, से कोण n को F है θ. फ्लक्स इस बात का माप है कि किसी दिए गए सतह से कितना क्षेत्र गुजरता है। F लम्बवत (⊥) और समांतर घटकों में विघटित हो जाता है ( ‖ ) को n. केवल समानांतर घटक फ्लक्स में योगदान देता है क्योंकि यह एक बिंदु पर सतह से गुजरने वाले क्षेत्र की अधिकतम सीमा है, लंबवत घटक योगदान नहीं करता है।
शीर्ष: एक समतल सतह से होकर तीन क्षेत्र रेखाएँ, एक सतह से सामान्य, एक समानांतर, और एक मध्यवर्ती।
नीचे: एक घुमावदार सतह के माध्यम से फ़ील्ड लाइन, फ्लक्स की गणना करने के लिए इकाई सामान्य और सतह तत्व का सेटअप दिखाती है।

File:Surface integral - definition.svg

वेक्टर क्षेत्र के प्रवाह की गणना करने के लिए F (लाल तीर) एक सतह के माध्यम से S सतह को छोटे-छोटे टुकड़ों में बांटा गया है dS. प्रत्येक पैच के माध्यम से प्रवाह क्षेत्र के सामान्य (लंबवत) घटक के बराबर होता है, का डॉट उत्पाद F(x) इकाई सामान्य वेक्टर के साथ n(x) (नीला तीर) बिंदु पर x क्षेत्र से गुणा dS. कुल मिलाकर F • n, dS सतह पर प्रत्येक पैच के लिए सतह के माध्यम से प्रवाह है

फ्लक्स किसी भी प्रभाव का वर्णन करता है जो किसी सतह या पदार्थ के माध्यम से गुजरता है या यात्रा करता है (चाहे वह वास्तव में चलता है या नहीं)। फ्लक्स अनुप्रयुक्त गणित और वेक्टर कलन में एक अवधारणा है जिसमें भौतिकी के कई अनुप्रयोग हैं। परिवहन घटना के लिए, प्रवाह एक यूक्लिडियन वेक्टर मात्रा है, जो किसी पदार्थ या संपत्ति के प्रवाह की परिमाण और दिशा का वर्णन करता है। सदिश कलन में प्रवाह एक अदिश (भौतिकी) मात्रा है, जिसे एक सतह पर एक सदिश क्षेत्र के लंबवत घटक के सतही अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।

शब्दावली

फ्लक्स शब्द लैटिन से आया है: फ्लक्सस का अर्थ प्रवाह है, और प्रवाह का प्रवाह है। Fluxions की विधि के रूप में, इस शब्द को आइजैक न्यूटन द्वारा अंतर कलन में पेश किया गया था।

गर्मी हस्तांतरण घटना के विश्लेषण में गर्मी प्रवाह की अवधारणा जोसेफ फूरियर का एक महत्वपूर्ण योगदान था। उनका मौलिक ग्रंथ द एनालिटिकल थ्योरी ऑफ़ हीट, फ्लक्सन को एक केंद्रीय मात्रा के रूप में परिभाषित करता है और एक स्लैब में तापमान के अंतर के संदर्भ में फ्लक्स के अब जाने-माने भावों को प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ता है, और फिर आमतौर पर तापमान प्रवणता या तापमान के अंतर के संदर्भ में, अन्य ज्यामिति में। कोई तर्क दे सकता है, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के काम के आधार पर,कि परिवहन परिभाषा चुंबकीय प्रवाह से पहले है। मैक्सवेल का विशिष्ट उद्धरण है:

In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.

— James Clerk Maxwell

परिवहन परिभाषा के अनुसार, प्रवाह एक सदिश हो सकता है, या यह सदिश क्षेत्र / स्थिति का कार्य हो सकता है। बाद के मामले में प्रवाह आसानी से एक सतह पर एकीकृत किया जा सकता है। इसके विपरीत, विद्युत चुंबकत्व परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एक सतह पर अभिन्न अंग है; दूसरी परिभाषा प्रवाह को एकीकृत करने का कोई मतलब नहीं है क्योंकि एक सतह पर दो बार एकीकृत होगा। इस प्रकार, मैक्सवेल का उद्धरण केवल तभी समझ में आता है जब फ्लक्स का उपयोग परिवहन परिभाषा के अनुसार किया जा रहा हो (और इसके अलावा एकल वेक्टर के बजाय एक वेक्टर क्षेत्र है)। यह विडंबना है क्योंकि मैक्सवेल इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म की परिभाषा के अनुसार अब हम जिसे इलेक्ट्रिक फ्लक्स और मैग्नेटिक फ्लक्स कहते हैं, उसके प्रमुख डेवलपर्स में से एक थे। उद्धरण (और परिवहन परिभाषा) के अनुसार उनके नाम विद्युत प्रवाह के सतह अभिन्न और चुंबकीय प्रवाह के सतह अभिन्न होंगे, इस मामले में विद्युत प्रवाह को विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय प्रवाह को चुंबकीय क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाएगा। इसका तात्पर्य है कि मैक्सवेल ने इन क्षेत्रों की कल्पना किसी प्रकार के प्रवाह/फ्लक्स के रूप में की थी।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म परिभाषा के अनुसार प्रवाह को देखते हुए, संबंधित 'फ्लक्स घनत्व', यदि उस शब्द का उपयोग किया जाता है, तो एकीकृत सतह के साथ इसके व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। पथरी के मौलिक प्रमेय द्वारा, संबंधित 'फ्लक्स घनत्व' परिवहन परिभाषा के अनुसार एक प्रवाह है। एक 'वर्तमान' जैसे विद्युत प्रवाह-चार्ज प्रति समय, 'वर्तमान घनत्व' भी परिवहन परिभाषा के अनुसार एक प्रवाह होगा - प्रति क्षेत्र प्रति समय शुल्क। फ्लक्स की परस्पर विरोधी परिभाषाओं के कारण, और गैर-तकनीकी अंग्रेजी में फ्लक्स, प्रवाह और करंट की विनिमेयता के कारण, इस पैराग्राफ में उपयोग किए जाने वाले सभी शब्दों को कभी-कभी एक दूसरे के स्थान पर और अस्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है। इस लेख के बाकी हिस्सों में कंक्रीट फ्लक्स का उपयोग साहित्य में उनकी व्यापक स्वीकृति के अनुसार किया जाएगा, भले ही फ्लक्स की परिभाषा इस शब्द से मेल खाती हो।

प्रति इकाई क्षेत्र प्रवाह दर के रूप में फ्लक्स

परिवहन घटना (गर्मी हस्तांतरण, द्रव्यमान हस्तांतरण और द्रव गतिशीलता) में, प्रवाह को प्रति इकाई क्षेत्र में एक संपत्ति के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें आयामी विश्लेषण [मात्रा]·[समय] होता है।⁻¹·[क्षेत्र]^-1. क्षेत्र उस सतह का है जिसके माध्यम से या उसके आर-पार संपत्ति प्रवाहित हो रही है। उदाहरण के लिए, पानी की वह मात्रा जो किसी नदी के एक खंड से होकर बहती है, प्रत्येक सेकंड को उस क्रॉस सेक्शन के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, या सूर्य के प्रकाश की ऊर्जा की वह मात्रा जो प्रत्येक सेकंड जमीन के एक टुकड़े पर आती है, जिसे पैच के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, प्रवाह के प्रकार हैं।

सामान्य गणितीय परिभाषा (परिवहन)

जटिलता के बढ़ते क्रम में यहां 3 परिभाषाएं दी गई हैं। प्रत्येक निम्नलिखित का एक विशेष मामला है। सभी मामलों में लगातार प्रतीक जे, (या जे) प्रवाह के लिए उपयोग किया जाता है, भौतिक मात्रा के लिए क्यू प्रवाहित होता है, समय के लिए टी, और क्षेत्र के लिए ए। ये पहचानकर्ता मोटे अक्षरों में तब और केवल तभी लिखे जाएंगे जब वे सदिश हों।

सबसे पहले, एक (एकल) स्केलर के रूप में फ्लक्स:

$$j={\frac {I}{A}},$$

कहाँ

$$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.$$

इस मामले में जिस सतह पर फ्लक्स को मापा जा रहा है वह स्थिर है और उसका क्षेत्रफल A है। सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को हर जगह स्थिति और सतह के लंबवत के संबंध में स्थिर माना जाता है।

दूसरा, एक सतह के साथ परिभाषित एक अदिश क्षेत्र के रूप में प्रवाह, यानी सतह पर बिंदुओं का एक कार्य:

$$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$

$$I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).$$

पहले की तरह, सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को हर जगह लंबवत माना जाता है। हालाँकि प्रवाह को स्थिर नहीं होना चाहिए। क्यू अब 'पी', सतह पर एक बिंदु, और ए, एक क्षेत्र का एक कार्य है। सतह के माध्यम से कुल प्रवाह को मापने के बजाय, क्यू सतह के साथ पी पर केंद्रित क्षेत्र ए के साथ डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है।

अंत में, वेक्टर क्षेत्र के रूप में प्रवाह:

$$\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$

$$\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).$$

इस मामले में, कोई निश्चित सतह नहीं है जिसे हम माप रहे हैं। क्यू एक बिंदु, एक क्षेत्र और एक दिशा का एक कार्य है (एक इकाई वेक्टर द्वारा दिया गया $\mathbf {\hat {n}}$), और उस यूनिट वेक्टर के लंबवत क्षेत्र ए की डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है। I को यूनिट वेक्टर चुनने के लिए परिभाषित किया गया है जो बिंदु के चारों ओर प्रवाह को अधिकतम करता है, क्योंकि वास्तविक प्रवाह उस डिस्क पर अधिकतम होता है जो इसके लंबवत है। यूनिट वेक्टर इस प्रकार विशिष्ट रूप से फ़ंक्शन को अधिकतम करता है जब यह प्रवाह की सही दिशा में इंगित करता है। (सख्ती से बोलना, यह अंकन का दुरुपयोग है क्योंकि आर्ग max सीधे सदिशों की तुलना नहीं कर सकता; हम वेक्टर को इसके बजाय सबसे बड़े मानदंड के साथ लेते हैं।)

गुण

ये प्रत्यक्ष परिभाषाएँ, विशेष रूप से अंतिम, बल्कि बोझिल हैं। उदाहरण के लिए, आर्ग{{nnbsp}अधिकतम निर्माण अनुभवजन्य माप के दृष्टिकोण से कृत्रिम है, जब एक वात दिग्दर्शक या इसी तरह के एक बिंदु पर प्रवाह की दिशा को आसानी से कम कर सकते हैं। सदिश प्रवाह को सीधे परिभाषित करने के बजाय, इसके बारे में कुछ गुणों को बताना अक्सर अधिक सहज होता है। इसके अलावा, इन गुणों से फ्लक्स को वैसे भी विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

यदि फ्लक्स j क्षेत्र से सामान्य क्षेत्र से θ कोण पर गुजरता है $\mathbf {\hat {n}}$, फिर डॉट उत्पाद

$$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .$$

अर्थात्, सतह से गुजरने वाले फ्लक्स का घटक (अर्थात इसके लिए सामान्य) j है क्योंकि  θ, जबकि क्षेत्र के स्पर्शरेखा से गुजरने वाले फ्लक्स का घटक j है{{nnbsp}पाप  θ, लेकिन स्पर्शरेखा दिशा में क्षेत्र के माध्यम से वास्तव में कोई प्रवाह नहीं है। क्षेत्र के सामान्य प्रवाह का एकमात्र घटक कोसाइन घटक है।

सदिश फ्लक्स के लिए, सतह (गणित) S पर 'j' का सतह समाकल, सतह के माध्यम से समय की प्रति इकाई उचित प्रवाह देता है:

$${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,$$

जहाँ A (और इसका अतिसूक्ष्म) सदिश क्षेत्र है – संयोजन $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$ क्षेत्र ए के परिमाण के माध्यम से जिसके माध्यम से संपत्ति गुजरती है और एक इकाई वेक्टर $\mathbf {\hat {n}}$ इलाके में सामान्य.. समीकरणों के दूसरे सेट के विपरीत, यहाँ सतह समतल होने की आवश्यकता नहीं है।

अंत में, हम समय अवधि टी पर फिर से एकीकृत कर सकते हैं₁ टी के लिए₂, उस समय में सतह के माध्यम से बहने वाली संपत्ति की कुल राशि प्राप्त करना (टी₂- टी₁):

$$q={\int <!--\; \int \; -->}_{t_1}^{t_2}$$