वास्तविक समन्वय स्थान: Difference between revisions

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[[File:Cartesian-coordinate-system v2.svg|thumb|right|[[कार्तीय निर्देशांक]] वास्तविक संख्याओं के युग्मों के साथ [[यूक्लिडियन विमान]] के बिंदुओं की पहचान करते हैं।]]गणित में, [[आयाम]] {{mvar|n}} का वास्तविक समन्वय स्थान, {{math|'''R'''<sup>{{mvar|n}}</sup>}} ({{IPAc-en|ɑr|ˈ|ɛ|n|}} {{respell|ar|EN|'}}) या {{nowrap|<math>\R^n</math>,}} द्वारा निरूपित किया जाता है, [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के {{mvar|n}}-टुपल्स  का समुच्चय, जो कि  {{mvar|n}} वास्तविक संख्याओं के सभी अनुक्रमों का समुच्चय है। विशेष स्थितियों को वास्तविक रेखा R<sup>1</sup> और वास्तविक समन्वय तल R<sup>2</sup> कहा जाता है। घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह  वास्तविक सदिश स्थान है, और इसके तत्वों को समन्वय सदिश कहा जाता है।
[[File:Cartesian-coordinate-system v2.svg|thumb|right|[[कार्तीय निर्देशांक]] वास्तविक संख्याओं के युग्मों के साथ [[यूक्लिडियन विमान]] के बिंदुओं की पहचान करते हैं।]]गणित में, [[आयाम]] {{mvar|n}} का वास्तविक समन्वय स्थान, {{math|'''R'''<sup>{{mvar|n}}</sup>}} या {{nowrap|<math>\R^n</math>,}} द्वारा निरूपित किया जाता है, [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के {{mvar|n}}-टुपल्स  का समुच्चय, जो कि  {{mvar|n}} वास्तविक संख्याओं के सभी अनुक्रमों का समुच्चय है। विशेष स्थितियों को वास्तविक रेखा R<sup>1</sup> और वास्तविक समन्वय तल R<sup>2</sup> कहा जाता है। घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह  वास्तविक सदिश स्थान है, और इसके तत्वों को समन्वय सदिश कहा जाता है।


वास्तविक सदिश स्थान के तत्वों के किसी भी आधार पर निर्देशांक सदिश स्थान के समान आयाम के [[वास्तविक वेक्टर स्थान|वास्तविक समन्वय स्थान]] का निर्माण करते हैं। इसी प्रकार, आयाम {{mvar|n}} के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन]] स्थान के बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक आयाम {{mvar|n}} के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं।
वास्तविक सदिश स्थान के तत्वों के किसी भी आधार पर निर्देशांक सदिश स्थान के समान आयाम के [[वास्तविक वेक्टर स्थान|वास्तविक समन्वय स्थान]] का निर्माण करते हैं। इसी प्रकार, आयाम {{mvar|n}} के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन]] स्थान के बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक आयाम {{mvar|n}} के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं।


सदिशों, बिंदुओं और निर्देशांक सदिशों के मध्य ये पत्राचार निर्देशांक स्थान और निर्देशांक सदिश के नामों की व्याख्या करते हैं। यह वास्तविक निर्देशांक रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए ज्यामितीय नियमों और विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है, और इसके विपरीत, ज्यामिति में पथरी की विधियों का उपयोग करने के लिए होता है। ज्यामिति का यह दृष्टिकोण 17वें दशक में रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदुओं को ज्ञात करने और उनके साथ कंप्यूटिंग करने की अनुमति देता है।
सदिशों, बिंदुओं और निर्देशांक के मध्य पत्राचार निर्देशांक स्थान और सदिश के नामों की व्याख्या करते हैं। यह वास्तविक निर्देशांक रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए ज्यामितीय नियमों और विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है, और इसके विपरीत, ज्यामिति में पथरी की विधियों का उपयोग करने के लिए होता है। ज्यामिति का यह दृष्टिकोण 17वें दशक में रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदुओं को ज्ञात करने और उनके साथ कंप्यूटिंग करने की अनुमति देता है।


== परिभाषा और संरचना ==
== परिभाषा और संरचना ==
किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] {{mvar|n}} के लिए, समुच्चय {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में वास्तविक संख्याओं ({{math|'''R'''}}) के सभी {{mvar|n}}-[[tuple|टुपल्स]] होते हैं। इसे {{mvar|n}}-आयामी वास्तविक स्थान या वास्तविक {{mvar|n}}-स्थान कहा जाता है।
किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] {{mvar|n}} के लिए, समुच्चय {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में वास्तविक संख्याओं ({{math|'''R'''}}) के सभी {{mvar|n}}-[[tuple|टुपल्स]] होते हैं। इसे {{mvar|n}}-आयामी वास्तविक स्थान या {{mvar|n}}-स्थान कहा जाता है।


{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का तत्व इस प्रकार {{mvar|n}}-ट्यूपल है, और इस प्रकार लिखा जाता है:
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का तत्व इस प्रकार {{mvar|n}}-ट्यूपल है, जो इस प्रकार लिखा जाता है:
<math display="block">(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>
<math display="block">(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>
जहां प्रत्येक {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} वास्तविक संख्या है। इसलिए, बहुभिन्नरूपी कलन में, विभिन्न वास्तविक चरों के फलन का प्रांत और वास्तविक सदिश मान वाले फलन का कोडोमेन कुछ {{mvar|n}} के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के उपसमुच्चय होते हैं।
जहां प्रत्येक {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} वास्तविक संख्या है। इसलिए, बहुभिन्नरूपी कलन में, विभिन्न वास्तविक चरों के फलन का प्रांत और वास्तविक सदिश मान वाले फलन का कोडोमेन {{mvar|n}} के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के उपसमुच्चय होते हैं।


वास्तविक {{mvar|n}}-स्थान में और भी विभिन्न गुण हैं, जो विशेष रूप से इस प्रकार हैं:
वास्तविक {{mvar|n}}-स्थान में और भी विभिन्न गुण हैं, जो विशेष रूप से इस प्रकार हैं:
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* [[डॉट उत्पाद]] के साथ (घटकों के शब्द उत्पाद द्वारा शब्द का योग), यह [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] है। प्रत्येक {{mvar|n}}-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान इसके लिए समरूप है।
* [[डॉट उत्पाद]] के साथ (घटकों के शब्द उत्पाद द्वारा शब्द का योग), यह [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] है। प्रत्येक {{mvar|n}}-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान इसके लिए समरूप है।
* प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान के रूप में, यह [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] और [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश स्थान]] है।
* प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान के रूप में, यह [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] और [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल सदिश स्थान]] है।
* यह यूक्लिडियन स्थान है और वास्तविक [[affine अंतरिक्ष|एफाइन]] स्थान है, और प्रत्येक यूक्लिडियन या एफाइन स्थान इसके लिए आइसोमोर्फिक है।
* यह यूक्लिडियन और वास्तविक [[affine अंतरिक्ष|एफाइन]] स्थान है, और प्रत्येक यूक्लिडियन या एफाइन स्थान इसके लिए आइसोमोर्फिक है।
* यह विश्लेषणात्मक [[विविध|मैनिफोल्ड]] है, और इसे सभी मैनिफोल्ड के प्रोटोटाइप के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि, परिभाषा के अनुसार, मैनिफोल्ड, प्रत्येक बिंदु के निकट, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमॉर्फिक है।
* यह विश्लेषणात्मक [[विविध|मैनिफोल्ड]] है, और इसे सभी मैनिफोल्ड के प्रोटोटाइप के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि, परिभाषा के अनुसार, मैनिफोल्ड, प्रत्येक बिंदु के निकट, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमॉर्फिक है।
* यह  बीजगणितीय विविधता है, और प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय विविधता {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का उपसमुच्चय है।  
* यह  बीजगणितीय विविधता है, और प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय विविधता {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का उपसमुच्चय है।  
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{{main|आव्यूह (गणित)}}
{{main|आव्यूह (गणित)}}


मानक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] अंकन में, प्रत्येक तत्व {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सामान्यतः [[कॉलम वेक्टर|कॉलम]] सदिश के रूप में लिखा जाता है
मानक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] संकेतन में, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का प्रत्येक तत्व सामान्यतः [[कॉलम वेक्टर|स्तंभ]] सदिश के रूप में लिखा जाता है:
<math display="block">\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}</math>
<math display="block">\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}</math>
और कभी-कभी [[पंक्ति वेक्टर|पंक्ति]] सदिश के रूप में:
और कभी-कभी [[पंक्ति वेक्टर|पंक्ति]] सदिश के रूप में लिखा जाता है:
<math display="block">\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}.</math>
<math display="block">\mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}.</math>
समन्वय स्थान {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} तब सभी के स्थान के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{math|''n'' × 1}} कॉलम वैक्टर, या सभी {{math|1 × ''n''}} जोड़ और अदिश गुणन के साधारण आव्यूह संचालन के साथ पंक्ति वैक्टर।
तब निर्देशांक स्थान {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} की व्याख्या सभी {{math|''n'' × 1}} स्तंभ सदिशों के स्थान के रूप में की जा सकती है, या सभी {{math|1 × ''n''}} पंक्ति सदिशों के अतिरिक्त और अदिश गुणन के सामान्य आव्यूह संचालन के साथ की जा सकती है।


से [[रैखिक परिवर्तन]] {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} के रूप में लिखा जा सकता है {{math|''m'' × ''n''}} आव्यूह जो के तत्वों पर कार्य करते हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} [[बाएँ और दाएँ (बीजगणित)]] गुणन के माध्यम से (जब के तत्व {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} कॉलम वैक्टर हैं) और के तत्वों पर {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} सही गुणा के माध्यम से (जब वे पंक्ति वैक्टर हैं)बाएं गुणन का सूत्र, [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] का  विशेष मामला है:
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} तक [[रैखिक परिवर्तन]] तब {{math|''m'' × ''n''}} आव्यूह के रूप में लिखे जा सकते हैं, जो पर कार्य करते हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के तत्वों पर [[बाएँ और दाएँ (बीजगणित)|बाएँ]] गुणन के माध्यम से कार्य करते हैं (जब {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के तत्व स्तंभ सदिश होते हैं) और {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} के तत्वों पर उचित गुणन के माध्यम से (जब वे पंक्ति सदिश हैं) होते हैं। बाएं गुणन का सूत्र, [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] की विशेष स्थिति है:
<math display="block">(A{\mathbf x})_k = \sum_{l=1}^n A_{kl} x_l</math>
<math display="block">(A{\mathbf x})_k = \sum_{l=1}^n A_{kl} x_l</math>


कोई भी रैखिक परिवर्तन सतत कार्य है (देखें #स्थलीय गुण)। साथ ही, आव्यूह खुले मानचित्र को परिभाषित करता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} अगर और केवल अगर [[रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत)|रैंक (आव्यूह सिद्धांत)]] के बराबर है {{mvar|m}}.
कोई भी रैखिक परिवर्तन सतत कार्य है (नीचे देखें)। साथ ही, आव्यूह {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} प्रति {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} खुले मानचित्र को परिभाषित करता है, यदि केवल [[रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत)|आव्यूह की श्रेणी]] {{mvar|m}} के समान है।


=== मानक आधार ===
=== मानक आधार ===
{{main|मानक आधार}}
{{main|मानक आधार}}


समन्वय स्थान {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} मानक आधार के साथ आता है:
समन्वय स्थान {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} मानक आधार के साथ आता है:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
\mathbf e_1 & = (1, 0, \ldots, 0) \\
\mathbf e_1 & = (1, 0, \ldots, 0) \\
Line 65: Line 65:
\mathbf e_n & = (0, 0, \ldots, 1)
\mathbf e_n & = (0, 0, \ldots, 1)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
यह देखने के लिए कि यह आधार है, ध्यान दें कि स्वेच्छ सदिश in {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है
यह देखने के लिए कि यह आधार है, ध्यान दें कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में स्वेच्छ सदिश के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:
<math display="block">\mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i.</math>
<math display="block">\mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i.</math>
== ज्यामितीय गुण और उपयोग ==
== ज्यामितीय गुण और उपयोग ==


=== अभिविन्यास ===
=== अभिविन्यास ===
तथ्य यह है कि [[वास्तविक संख्या]]एं, कई अन्य क्षेत्रों (गणित) के विपरीत, आदेशित फ़ील्ड का गठन करती हैं, पर  [[अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)|अभिविन्यास (सदिश स्थान)]] उत्पन्न करती हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. कोई रैंक (आव्यूह थ्योरी) | का पूर्ण-रैंक रैखिक नक्शा {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} अपने आव्यूह के निर्धारक के [[संकेत (गणित)]] के आधार पर या तो स्थान के अभिविन्यास को संरक्षित या उलट देता है। यदि क्रम[[परिवर्तन]] समन्वय करता है (या, दूसरे शब्दों में, आधार के तत्व), परिणामी अभिविन्यास क्रमचय की समानता पर निर्भर करेगा।
तथ्य यह है कि [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याएं]], विभिन्न अन्य क्षेत्रों के विपरीत, आदेशित क्षेत्र का गठन करती हैं, और {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर [[अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)|अभिविन्यास संरचना]] उत्पन्न करती हैं। {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} की कोई भी पूर्ण-श्रेणी का रैखिक मानचित्र या तो अपने आव्यूह के निर्धारक के [[संकेत (गणित)|संकेत]] के आधार पर स्थान के अभिविन्यास को संरक्षित या विपरीत कर देता है। यदि कोई समन्वय करता है (या, दूसरे शब्दों में, आधार के तत्व), परिणामी अभिविन्यास क्रमचय की समानता पर निर्भर करता है।


[[डिफियोमोर्फिज्म]] ऑफ {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} या [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)]], शून्य जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक से बचने के लिए उनके गुण द्वारा, अभिविन्यास-संरक्षण और अभिविन्यास-उलटने के लिए भी वर्गीकृत किया जाता है। [[विभेदक रूप]]ों के सिद्धांत के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिनके अनुप्रयोगों में [[बिजली का गतिविज्ञान]] शामिल हैं।
शून्य जैकोबियन से बचने के लिए उनके गुण द्वारा {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} या [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)|डोमेन]] के [[डिफियोमोर्फिज्म]] को भी अभिविन्यास-संरक्षण और अभिविन्यास-विपरीत के लिए भी वर्गीकृत किया जाता है। [[विभेदक रूप|विभेदक रूपों]] के सिद्धांत के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिनके अनुप्रयोगों में [[बिजली का गतिविज्ञान|विद्युतगतिकी]] सम्मिलित हैं।


इस संरचना की और अभिव्यक्ति यह है कि [[बिंदु प्रतिबिंब]] में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सम और विषम संख्याओं के आधार पर भिन्न-भिन्न गुण होते हैं | की समता {{mvar|n}}.  जैसे के लिए {{mvar|n}} यह ओरिएंटेशन को बरकरार रखता है, जबकि ऑड के लिए {{mvar|n}} यह उल्टा है (अनुचित रोटेशन भी देखें)।
इस संरचना की अभिव्यक्ति यह है कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में [[बिंदु प्रतिबिंब]] में {{mvar|n}} की समता के आधार पर भिन्न-भिन्न गुण होते हैं। सम {{mvar|n}} के लिए यह ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है, जबकि विषम {{mvar|n}} के लिए यह विपरीत होता है (अनुचित घूर्णन भी देखें)।


=== एफ़िन स्थान ===
=== एफ़िन स्थान ===
{{details|एफ़िन स्थान}}
{{details|एफ़िन स्थान}}


{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} एफ़िन स्थान के रूप में समझा जाता है वही स्थान है, जहां {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सदिश स्थान के रूप में [[अनुवाद (ज्यामिति)]] द्वारा [[समूह क्रिया (गणित)]]। इसके विपरीत, सदिश को दो बिंदुओं के मध्य [[विस्थापन (वेक्टर)]] के रूप में समझा जाना चाहिए, सामान्यतः दो बिंदुओं को जोड़ने वाली  निर्देशित [[रेखा खंड]] द्वारा चित्रित किया जाता है। भेद कहता है कि कोई विहित रूप नहीं है जहां मूल (गणित) को  संबंध में जाना चाहिए {{mvar|n}}-स्थान , क्योंकि इसका कहीं भी अनुवाद किया जा सकता है।
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} को एफ़िन स्थान के रूप में समझा जाता है वही स्थान है, जहां {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सदिश स्थान के रूप में [[अनुवाद (ज्यामिति)|अनुवाद]] द्वारा कार्य करता है। इसके विपरीत, सदिश को दो बिंदुओं के मध्य अंतर के रूप में समझा जाना चाहिए, सामान्यतः दो बिंदुओं को जोड़ने वाली  निर्देशित [[रेखा खंड]] द्वारा चित्रित किया जाता है। अन्तर कहता है कि कोई विहित रूप नहीं है जहां मूल (गणित) {{mvar|n}}-स्थान को संबंध में जाना चाहिए, क्योंकि इसका कहीं भी अनुवाद किया जा सकता है।


=== उत्तलता ===
=== उत्तलता ===
[[File:2D-simplex.svg|thumb|एन-सिम्प्लेक्स (Rn में #Polytopes देखें) मानक उत्तल सेट है, जो हर पॉलीटॉप के लिए मैप करता है, और मानक का प्रतिच्छेदन है {{math|(''n'' + 1)}} affine हाइपरप्लेन (मानक affine स्थान) और मानक {{math|(''n'' + 1)}} ऑर्थोंट (मानक शंकु)]]
[[File:2D-simplex.svg|thumb|''n''-सिम्प्लेक्स (नीचे देखें) मानक उत्तल समुच्चय है, जो प्रत्येक पॉलीटॉप के लिए मानचित्रित करता है, और मानक का {{math|(''n'' + 1)}} एफ़िन हाइपरप्लेन (मानक एफ़िन स्थान) और मानक {{math|(''n'' + 1)}} ऑर्थोंट (मानक शंकु) का प्रतिच्छेदन है।]]
{{details|उत्तल विश्लेषण}}
{{details|उत्तल विश्लेषण}}
वास्तविक सदिश स्थान में, जैसे {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, उत्तल [[शंकु (रैखिक बीजगणित)]] को परिभाषित कर सकता है, जिसमें इसके वैक्टरों के सभी गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन होते हैं। affine स्थान में संगत अवधारणा  [[उत्तल सेट]] है, जो केवल [[उत्तल संयोजन]]ों (गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजनों का योग 1) की अनुमति देता है।
वास्तविक सदिश स्थान में, जैसे कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, उत्तल [[शंकु (रैखिक बीजगणित)|शंकु]] को परिभाषित कर सकता है, जिसमें इसके सदिशों के सभी गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन होते हैं। एफ़िन स्थान में संगत अवधारणा  [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] है, जो केवल [[उत्तल संयोजन|उत्तल संयोजनों]] (गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजनों का योग 1 होता है) की अनुमति देता है।


सार्वभौम बीजगणित की भाषा में, सदिश समष्टि सार्वभौम सदिश समष्टि पर बीजगणित है {{math|'''R'''<sup>∞</sup>}} गुणांकों के परिमित अनुक्रमों की संख्या, सदिशों के परिमित योगों के संगत, जबकि  संबधित स्थान इस स्थान में सार्वभौम सजातीय हाइपरप्लेन पर  बीजगणित है (परिमित अनुक्रमों का योग 1),  शंकु सार्वभौम [[orthant]] (परिमित अनुक्रमों का) पर बीजगणित है गैर-ऋणात्मक संख्याओं का), और उत्तल सेट सार्वभौमिक [[सिंप्लेक्स]] (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों का योग 1) पर बीजगणित है। यह निर्देशांक पर (संभव) प्रतिबंधों के साथ राशियों के संदर्भ में स्वयंसिद्धों को ज्यामितीय बनाता है।
सार्वभौम बीजगणित की भाषा में, सदिश स्थान गुणांकों के परिमित अनुक्रमों के सार्वभौम सदिश स्थान {{math|'''R'''<sup>∞</sup>}} पर बीजगणित है, जो सदिशों के परिमित योग के अनुरूप होता है, जबकि  संबधित स्थान इस स्थान (परिमित अनुक्रमों का योग 1),  शंकु सार्वभौमिक [[orthant|ऑर्थेंट]] (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों) पर बीजगणित है, और उत्तल समुच्चय सार्वभौमिक [[सिंप्लेक्स]] (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों का योग 1) पर बीजगणित है। यह निर्देशांक पर (संभव) प्रतिबंधों के साथ राशियों के संदर्भ में स्वयंसिद्धों को ज्यामितीय करता है।


उत्तल विश्लेषण से और अवधारणा उत्तल कार्य है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} वास्तविक संख्याओं के लिए, जो [[बिंदु (ज्यामिति)]] के उत्तल संयोजन पर इसके मूल्य और समान गुणांक वाले उन बिंदुओं में मानों के योग के मध्य [[असमानता (गणित)]] के माध्यम से परिभाषित किया गया है।
उत्तल विश्लेषण से अन्य अवधारणा {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से वास्तविक संख्याओं तक उत्तल कार्य है, जिसे [[बिंदु (ज्यामिति)|बिंदुओं]] के उत्तल संयोजन पर इसके मूल्य के मध्य [[असमानता (गणित)|असमानता]] के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और समान गुणांक वाले उन बिंदुओं में मानों के योग है।


=== यूक्लिडियन स्थान ===
=== यूक्लिडियन स्थान ===
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डॉट उत्पाद
डॉट उत्पाद
<math display="block">\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n</math>
<math display="block">\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n</math>
[[नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस|नॉर्म्ड सदिश स्थान]] को परिभाषित करता है {{math|1={{abs|'''x'''}} = {{sqrt|'''x''' &sdot; '''x'''}}}} सदिश स्थान पर {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. यदि प्रत्येक सदिश का अपना [[यूक्लिडियन मानदंड]] है, तो बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए दूरी
[[नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस|आदर्श]] {{math|1={{abs|'''x'''}} = {{sqrt|'''x''' &sdot; '''x'''}}}} को सदिश स्थान पर {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} परिभाषित करता है, यदि प्रत्येक सदिश का अपना [[यूक्लिडियन मानदंड]] है, तो बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए दूरी,
<math display="block">d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>
<math display="block">d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>
पर  [[मीट्रिक स्थान]] संरचना प्रदान करते हुए परिभाषित किया गया है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} इसके affine संरचना के अलावा।
परिभाषित किया गया है, जो कि इसकी सजातीय संरचना के अतिरिक्त {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर [[मीट्रिक स्थान]] संरचना प्रदान करता है।


सदिश स्थान संरचना के लिए, डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी को सामान्यतः मौजूद माना जाता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} विशेष स्पष्टीकरण के बिना। हालाँकि, असली {{mvar|n}}-स्थान और यूक्लिडियन {{mvar|n}}-स्थान विशिष्ट वस्तुएं हैं, सख्ती से बोलना। कोई यूक्लिडियन {{mvar|n}}-स्थान में समन्वय प्रणाली है जहां डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी के ऊपर दिखाया गया रूप है, जिसे रेनाटस कार्टेसियस कहा जाता है। लेकिन यूक्लिडियन स्थान पर कई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली हैं।
सदिश स्थान संरचना के लिए, विशेष स्पष्टीकरण के बिना डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी को सामान्यतः {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में उपस्थित माना जाता है। चूँकि, वास्तविक {{mvar|n}}-स्थान और यूक्लिडियन {{mvar|n}}-स्थान विशिष्ट वस्तुएं हैं, किसी भी यूक्लिडियन {{mvar|n}}-स्थान में समन्वय प्रणाली होती है, जहां डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी के ऊपर दिखाया गया रूप है, जिसे कार्टेशियन कहा जाता है। किंतु यूक्लिडियन स्थान पर विभिन्न कार्टेशियन समन्वय प्रणाली हैं।


इसके विपरीत, यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए उपरोक्त सूत्र मानक यूक्लिडियन संरचना को परिभाषित करता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, लेकिन यह एकमात्र संभव नहीं है। दरअसल, कोई [[सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप]] {{mvar|q}} अपनी दूरी तय करता है {{math|{{sqrt|''q''('''x''' − '''y''')}}}}, लेकिन यह इस मायने में यूक्लिडियन से बहुत अलग नहीं है कि
इसके विपरीत, यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए उपरोक्त सूत्र मानक यूक्लिडियन संरचना को {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर परिभाषित करता है, किंतु यह एकमात्र संभव नहीं है। वस्तुतः, कोई [[सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप]] {{mvar|q}} अपनी दूरी {{math|{{sqrt|''q''('''x''' − '''y''')}}}} को परिभाषित करता है, किंतु यह इस अर्थ में यूक्लिडियन से अधिक भिन्न नहीं है कि,
<math display="block">\exist C_1 > 0,\ \exist C_2 > 0,\ \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n:
<math display="block">\exist C_1 > 0,\ \exist C_2 > 0,\ \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n:
  C_1 d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \le \sqrt{q(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \le
  C_1 d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \le \sqrt{q(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \le
  C_2 d(\mathbf{x}, \mathbf{y}). </math>
  C_2 d(\mathbf{x}, \mathbf{y}). </math>
मीट्रिक का ऐसा परिवर्तन इसके कुछ गुणों को संरक्षित करता है, उदाहरण के लिए [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] होने का गुण।
मीट्रिक का ऐसा परिवर्तन इसके कुछ गुणों को संरक्षित करता है, उदाहरण के लिए [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] होने का गुण होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का कोई भी पूर्ण-श्रेणी रैखिक परिवर्तन, या इसका संबधित रूपांतरण, कुछ निश्चित {{math|''C''<sub>2</sub>}} से अधिक दूरियों को नहीं बढ़ाता है, और दूरियों को {{math|1 / ''C''<sub>1</sub>}} गुना से छोटा नहीं बनाता है, निश्चित परिमित संख्या छोटी है।{{clarify|date=October 2014}}
इसका तात्पर्य यह भी है कि कोई भी पूर्ण-रैंक रैखिक परिवर्तन {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, या इसका संबधित रूपांतरण, कुछ निश्चित दूरी से अधिक दूरियों को आवर्धित नहीं करता है {{math|''C''<sub>2</sub>}}, और इससे छोटी दूरी नहीं बनाता है {{math|1 / ''C''<sub>1</sub>}} गुना, निश्चित परिमित संख्या गुना छोटा।{{clarify|date=October 2014}}
मीट्रिक कार्यों की उपरोक्त समानता मान्य रहती है यदि {{math|{{sqrt|''q''('''x''' − '''y''')}}}} से बदल दिया जाता है {{math|''M''('''x''' − '''y''')}}, कहाँ पे {{mvar|M}} डिग्री 1 का कोई उत्तल सकारात्मक सजातीय कार्य है, अर्थात  आदर्श सदिश स्थान (उपयोगी उदाहरणों के लिए मिंकोव्स्की दूरी देखें)। इस तथ्य के कारण कि कोई भी प्राकृतिक मीट्रिक चालू है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} यूक्लिडियन मीट्रिक से विशेष रूप से भिन्न नहीं है, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} यूक्लिडियन से हमेशा अलग नहीं होता है {{math|''n''}}-पेशेवर गणितीय कार्यों में भी स्थान।


=== बीजीय और अवकल ज्यामिति में ===
मीट्रिक कार्यों की उपरोक्त समानता मान्य रहती है यदि {{math|{{sqrt|''q''('''x''' − '''y''')}}}} को  {{math|''M''('''x''' − '''y''')}} से परिवर्तित किया जाता है, जहां {{mvar|M}}  डिग्री 1 का कोई उत्तल सकारात्मक सजातीय कार्य है, अर्थात आदर्श मानदंड है (उपयोगी उदाहरणों के लिए मिंकोव्स्की दूरी देखें)। इस तथ्य के कारण कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर कोई भी प्राकृतिक मीट्रिक यूक्लिडियन मीट्रिक से विशेष रूप से भिन्न नहीं है, व्यसायिक गणितीय कार्यों में भी  {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सदैव यूक्लिडियन {{math|''n''}}-स्थान से भिन्न नहीं होता है।
हालांकि मैनिफोल्ड की परिभाषा के लिए जरूरी नहीं है कि इसका मॉडल स्थान  होना चाहिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, यह विकल्प सबसे आम है, और [[अंतर ज्यामिति]] में लगभग अनन्य है।


दूसरी ओर, [[व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय]]ों का कहना है कि कोई भी वास्तविक अवकलनीय मैनिफोल्ड | अवकलनीय है {{mvar|m}}-आयामी मैनिफोल्ड में [[एम्बेडिंग]] किया जा सकता है {{math|'''R'''<sup>2''m''</sup>}}.
=== बीजगणितीय और ज्यामिति में अंतर ===
=== अन्य दिखावे ===
चूँकि मैनिफोल्ड की परिभाषा की आवश्यकता नहीं है, कि इसका प्रारूप स्थान {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} होना चाहिए, यह विकल्प सबसे सामान्य है, और [[अंतर ज्यामिति]] में लगभग अनन्य है।
अन्य संरचनाओं पर विचार किया गया {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} [[छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष]], [[सहानुभूतिपूर्ण संरचना]] (यहां तक ​​​​कि {{mvar|n}}), और [[संपर्क संरचना]] (विषम {{mvar|n}}). इन सभी संरचनाओं, हालांकि  समन्वय-मुक्त तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, निर्देशांक में मानक (और यथोचित सरल) रूपों को स्वीकार करते हैं।


{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} की  वास्तविक सदिश उपसमष्टि भी है {{math|[[complex coordinate space|'''C'''<sup>''n''</sup>]]}} जो [[जटिल संयुग्मन]] के लिए अपरिवर्तनीय है; [[जटिलता]] भी देखें।
दूसरी ओर, [[व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय|व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेयों]] का कहना है कि किसी भी वास्तविक भिन्न  {{mvar|m}}-आयामी मैनिफोल्ड को {{math|'''R'''<sup>2''m''</sup>}} में [[एम्बेडिंग]] किया जा सकता है।
=== अन्य प्रदर्शन ===
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर विचार की जाने वाली अन्य संरचनाओं में [[छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष|छद्म-यूक्लिडियन स्थान]], [[सहानुभूतिपूर्ण संरचना]] (यहां तक ​​​​कि {{mvar|n}}), और [[संपर्क संरचना]] (विषम {{mvar|n}}) में सम्मिलित है। इन सभी संरचनाओं, चूँकि समन्वय-मुक्त विधि से परिभाषित किया जा सकता है, निर्देशांक में मानक (और यथोचित सरल) रूपों को स्वीकार करते हैं।


=== आर में पॉलीटोप्स<sup>एन </सुप> ===
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} भी {{math|[[complex coordinate space|'''C'''<sup>''n''</sup>]]}} का वास्तविक सदिश उपस्थान है, जो [[जटिल संयुग्मन]] के लिए अपरिवर्तनीय है; [[जटिलता]] भी देखें।
 
=== R<sup>''n'' में पॉलीटोप्स ===
{{see also|रैखिक प्रोग्रामिंग|उत्तल पॉलीटॉप}}
{{see also|रैखिक प्रोग्रामिंग|उत्तल पॉलीटॉप}}
[[polytope]]्स के तीन परिवार हैं जिनका सरल प्रतिनिधित्व है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} रिक्त स्थान, किसी के लिए {{mvar|n}}, और वास्तविक में किसी भी affine समन्वय प्रणाली की कल्पना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है {{mvar|n}}-अंतरिक्ष। [[अतिविम]] के वर्टिकल में निर्देशांक होते हैं {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} जहां प्रत्येक {{mvar|x<sub>k</sub>}} केवल दो मानों में से लेता है, सामान्यतः  0 या 1. हालांकि, उदाहरण के लिए, 0 और 1 के अतिरिक्त किन्हीं भी दो संख्याओं को चुना जा सकता है {{num|−1}} और 1.  {{mvar|n}}-हाइपरक्यूब को कार्टेशियन उत्पाद के रूप में माना जा सकता है {{mvar|n}} समान [[अंतराल (गणित)]] (जैसे [[इकाई अंतराल]] {{closed-closed|0,1}}) वास्तविक रेखा पर। के रूप में {{mvar|n}}आयामी उपसमुच्चय को असमानताओं की प्रणाली | की प्रणाली के साथ वर्णित किया जा सकता है {{math|2''n''}} असमानताएँ:
[[polytope|पॉलीटोप्स]] के तीन परिवार हैं जिनके पास किसी भी {{mvar|n}} के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} रिक्त स्थान सरल प्रतिनिधित्व है, और वास्तविक {{mvar|n}}-स्थान में किसी भी एफ़िन समन्वय प्रणाली को देखने के लिए उपयोग किया जा सकता है। [[अतिविम|हाइपरक्यूब]] के वर्टिकल में निर्देशांक {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} होते हैं, जहां प्रत्येक {{mvar|x<sub>k</sub>}} केवल दो मानों में से लेता है, सामान्यतः  0 या 1 है, चूँकि, उदाहरण के लिए, 0 और 1 के अतिरिक्त कोई भी दो संख्याओंका चयन किया जा सकता है, उदाहरण के लिए {{num|−1}} और 1है। {{mvar|n}}-हाइपरक्यूब को वास्तविक रेखा पर {{mvar|n}} समान [[अंतराल (गणित)|अंतराल]] (जैसे [[इकाई अंतराल]] {{closed-closed|0,1}}) के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। के रूप में {{mvar|n}}आयामी उपसमुच्चय को असमानताओं की प्रणाली | की प्रणाली के साथ वर्णित किया जा सकता है {{math|2''n''}} असमानताएँ:
<math display="block">\begin{matrix}
<math display="block">\begin{matrix}
0 \le x_1 \le 1 \\
0 \le x_1 \le 1 \\
\vdots \\
\vdots \\
0 \le x_n \le 1
0 \le x_n \le 1
\end{matrix}</math> के लिये {{closed-closed|0,1}}, तथा
\end{matrix}</math> {{closed-closed|0,1}} के लिये, तथा
<math display="block">\begin{matrix}
<math display="block">\begin{matrix}
|x_1| \le 1 \\
|x_1| \le 1 \\
\vdots \\
\vdots \\
|x_n| \le 1
|x_n| \le 1
\end{matrix}</math> के लिये {{closed-closed|−1,1}}.
\end{matrix}</math> {{closed-closed|−1,1}} के लिये
कुछ के लिए, [[क्रॉस-पॉलीटॉप]] के प्रत्येक शीर्ष में है {{mvar|k}}, {{mvar|x<sub>k</sub>}} निर्देशांक ±1 के बराबर और अन्य सभी निर्देशांक 0 के बराबर (जैसे कि यह है {{mvar|k}}वें #मानक आधार पर हस्ताक्षर करने के लिए (गणित))। यह हाइपरक्यूब का [[दोहरी पॉलीटॉप]] है। के रूप में {{mvar|n}}-आयामी उपसमुच्चय इसे असमानता के साथ वर्णित किया जा सकता है जो पूर्ण मूल्य संचालन का उपयोग करता है:
[[क्रॉस-पॉलीटॉप]] के प्रत्येक शीर्ष में कुछ {{mvar|k}} के लिए, {{mvar|x<sub>k</sub>}} निर्देशांक ±1 के समान है, और अन्य सभी निर्देशांक 0 के समान हैं (जैसे कि यह {{mvar|k}}वें मानक आधार सदिश है जो हस्ताक्षर करने के लिए है)। यह हाइपरक्यूब का [[दोहरी पॉलीटॉप|डुअल पॉलीटॉप]] है। {{mvar|n}}-आयामी उपसमुच्चय के रूप में इसे असमानता के साथ वर्णित किया जा सकता है जो पूर्ण मूल्य संचालन का उपयोग करता है:
<math display="block">\sum_{k=1}^n |x_k| \le 1\,,</math>
<math display="block">\sum_{k=1}^n |x_k| \le 1\,,</math>
लेकिन यह  प्रणाली के साथ व्यक्त किया जा सकता है {{math|[[power of two|2<sup>''n''</sup>]]}} रैखिक असमानताएं भी।
किंतु इसे {{math|[[power of two|2<sup>''n''</sup>]]}} रैखिक असमानताओं की प्रणाली के साथ व्यक्त किया जा सकता है।


साधारण रूप से गणना करने योग्य निर्देशांक वाला तीसरा पॉलीटॉप [[मानक सिंप्लेक्स]] है, जिसके कोने हैं {{mvar|n}} मानक आधार वैक्टर और उत्पत्ति (गणित) {{math|(0, 0, ..., 0)}}.  के रूप में {{mvar|n}}आयामी उपसमुच्चय की  प्रणाली के साथ इसका वर्णन किया गया है {{math|''n'' + 1}} रैखिक असमानताएँ:
साधारण रूप से गणना करने योग्य निर्देशांक वाला तीसरा पॉलीटॉप [[मानक सिंप्लेक्स]] है, जिसके कोने {{mvar|n}} मानक आधार सदिश और मूल {{math|(0, 0, ..., 0)}} हैं। {{mvar|n}}-आयामी उपसमुच्चय के रूप में इसे {{math|''n'' + 1}} रैखिक असमानताओं की प्रणाली के साथ वर्णित किया गया है:
<math display="block">\begin{matrix}
<math display="block">\begin{matrix}
0 \le x_1 \\
0 \le x_1 \\
Line 141: Line 141:
\sum\limits_{k=1}^n x_k \le 1
\sum\limits_{k=1}^n x_k \le 1
\end{matrix}</math>
\end{matrix}</math>
सभी ≤ का < के साथ प्रतिस्थापन इन पॉलीटोप्स के अंदरूनी भाग देता है।
सभी ≤ को < के साथ प्रतिस्थापन इन पॉलीटोप्स के अंदरूनी भाग देता है।


== सामयिक गुण ==
== सामयिक गुण ==
की [[टोपोलॉजी (संरचना)]]। {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} (मानक टोपोलॉजी, यूक्लिडियन टोपोलॉजी, या सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है) न केवल परिभाषा और उपयोग प्राप्त किया जा सकता है। यह #यूक्लिडियन स्थान द्वारा प्रेरित [[प्राकृतिक टोपोलॉजी]] के समान है: यूक्लिडियन टोपोलॉजी में सेट [[खुला सेट]] है [[अगर और केवल अगर]] इसके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर [[खुली गेंद]] होती है। भी, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}  [[रैखिक सामयिक स्थान]] है (ऊपर रैखिक मानचित्रों की निरंतरता देखें), और इसकी रैखिक संरचना के साथ संगत केवल  संभव (गैर-तुच्छ) टोपोलॉजी है। चूंकि कई खुले रैखिक मानचित्र हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} स्वयं के लिए जो [[आइसोमेट्री]] नहीं हैं, वहां कई यूक्लिडियन संरचनाएं हो सकती हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} जो ही टोपोलॉजी से मेल खाते हैं। वास्तव में, यह रैखिक संरचना पर भी बहुत अधिक निर्भर नहीं करता है: कई गैर-रैखिक भिन्नताएं (और अन्य होमोमोर्फिज्म) हैं {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} खुद पर, या उसके हिस्से जैसे यूक्लिडियन ओपन बॉल या आरएन में #Polytopes)
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} की [[टोपोलॉजी (संरचना)|टोपोलॉजी संरचना]] (जिसे मानक टोपोलॉजी, यूक्लिडियन टोपोलॉजी, या सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है) न केवल कार्टेशियन उत्पाद से प्राप्त की जा सकती है। यह यूक्लिडियन मेट्रिक द्वारा प्रेरित [[प्राकृतिक टोपोलॉजी]] के समान है: यूक्लिडियन टोपोलॉजी में समुच्चय [[खुला सेट|मुक्त समुच्चय]] है [[अगर और केवल अगर|यदि केवल]] इसके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर [[खुली गेंद|मुक्त]] [[खुली गेंद|गेंद]] होती है। इसके अतिरिक्त, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}  [[रैखिक सामयिक स्थान]] है (ऊपर रैखिक मानचित्रों की निरंतरता देखें), और इसकी रैखिक संरचना के साथ संगत केवल  संभव (गैर-अल्प) टोपोलॉजी है। चूंकि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} से लेकर स्वयं तक अनेक मुक्त रैखिक मानचित्र हैं जो [[आइसोमेट्री]] नहीं हैं, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर अनेक यूक्लिडियन संरचनाएं हो सकती हैं जो टोपोलॉजी के अनुरूप हैं। वास्तव में, यह रैखिक संरचना पर भी अत्यधिक निर्भर नहीं करता है: स्वयं पर {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के अनेक गैर-रैखिक भिन्नताएं (और अन्य होमोमोर्फिज्म) हैं, या उसके भाग जैसे यूक्लिडियन ओपन बॉल या हाइपरक्यूब का आंतरिक भाग) हैं।


{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सांस्थितिक आयाम है {{mvar|n}}.
{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} सांस्थितिक आयाम {{mvar|n}} है। {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} की टोपोलॉजी पर महत्वपूर्ण परिणाम, जो सतही से अधिक दूर है, ब्रोवर का [[डोमेन का व्युत्क्रम|डोमेन का आविष्कार]] है। {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का कोई भी उपसमुच्चय (इसके उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) जो कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के दूसरे मुक्त उपसमुच्चय के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है, स्वयं मुक्त है। इसका तात्कालिक परिणाम यह है कि {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}}, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के लिए [[होमियोमोर्फिज्म]] नहीं है, यदि {{math|''m'' ≠ ''n''}} – सहज ज्ञान युक्त स्पष्ट परिणाम है जिसको पुनः प्रमाणित करना कठिन है।


की टोपोलॉजी पर  महत्वपूर्ण परिणाम {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, जो सतही से बहुत दूर है, L. E. J. Brouwer का [[डोमेन का व्युत्क्रम]] है। का कोई उपसमुच्चय {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} (इसके उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) जो कि  अन्य खुले उपसमुच्चय के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} स्वयं खुला है। इसका तात्कालिक परिणाम यह होता है {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} के लिए [[होमियोमोर्फिज्म]] नहीं है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} यदि {{math|''m'' ≠ ''n''}} –  सहज रूप से स्पष्ट परिणाम जो फिर भी साबित करना मुश्किल है।
सामयिक आयाम में अंतर के अतिरिक्त, धारणा के विपरीत, अल्प -आयामी{{clarify|date=April 2016}} वास्तविक स्थान को निरंतर और विशेष रूप से {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर मानचित्रित करना संभव है। निरंतर (चूँकि चिकना नहीं) स्थान भरने वाला वक्र ({{math|'''R'''<sup>1</sup>}} की छवि) संभव है।{{clarify|date=April 2016}}


टोपोलॉजिकल आयाम में अंतर के बावजूद, और  भोली धारणा के विपरीत, कम-आयामी मैप करना संभव है{{clarify|date=April 2016}} वास्तविक स्थान निरंतर और विशेषण कार्य करता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}.  निरंतर (हालांकि चिकना नहीं) स्थान भरने वाला वक्र ( छवि {{math|'''R'''<sup>1</sup>}}) संभव है।{{clarify|date=April 2016}}




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=== एन ≤ 1 ===
=== ''n'' ≤ 1 ===
के मामले {{math|0 ≤ ''n'' ≤ 1}} कुछ भी नया ऑफर न करें: {{math|'''R'''<sup>1</sup>}} [[वास्तविक रेखा]] है, जबकि {{math|'''R'''<sup>0</sup>}} (खाली कॉलम सदिश युक्त स्थान) [[सिंगलटन (गणित)]] है, जिसे शून्य सदिश स्थान के रूप में समझा जाता है। हालांकि, भिन्न-भिन्न वर्णन करने वाले सिद्धांतों के मामलों को [[तुच्छता (गणित)]] के रूप में शामिल करना उपयोगी है {{mvar|n}}.
{{math|0 ≤ ''n'' ≤ 1}} की स्थिति कुछ भी नया नहीं देते हैं: {{math|'''R'''<sup>1</sup>}} [[वास्तविक रेखा]] है, जबकि {{math|'''R'''<sup>0</sup>}} (रिक्त स्तंभ सदिश वाला स्थान) [[सिंगलटन (गणित)|सिंगलटन]] है, जिसे शून्य सदिश स्थान के रूप में अध्ययन किया जाता है। चूँकि, इन्हें भिन्न-भिन्न {{mvar|n}} का वर्णन करने वाले सिद्धांतों की [[तुच्छता (गणित)|अल्प]] स्थितियों के रूप में सम्मिलित करना उपयोगी है।


=== एन = 2 ===
=== ''n'' = 2 ===
[[Image:Real 2-space, orthoplex.svg|thumb|right|264px|हाइपरक्यूब और क्रॉस-पॉलीटॉप दोनों {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} [[वर्ग]] हैं, लेकिन शीर्षों के निर्देशांक अलग तरीके से व्यवस्थित हैं]]
[[Image:Real 2-space, orthoplex.svg|thumb|right|264px|{{math|'''R'''<sup>2</sup>}} में हाइपरक्यूब और क्रॉस-पॉलीटॉप दोनों ही [[वर्ग]] हैं, किंतु शीर्षों के निर्देशांक भिन्न प्रकार से व्यवस्थित हैं।]]
{{details|द्वि-आयामी स्थान}}
{{details|द्वि-आयामी स्थान}}
{{details|कार्टेशियन विमान}}
{{details|कार्टेशियन विमान}}
{{see also|SL2(R)}}
{{see also|SL2(R)}}


=== एन = 3 ===
=== ''n'' = 3 ===
[[Image:Duality Hexa-Okta SVG.svg|thumb|left|[[घनक्षेत्र]] (हाइपरक्यूब) और [[अष्टफलक]] (क्रॉस-पॉलीटॉप)। {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}. निर्देशांक नहीं दिखाए गए हैं]]
[[Image:Duality Hexa-Okta SVG.svg|thumb|left|{{math|'''R'''<sup>3</sup>}} का [[घनक्षेत्र]] (हाइपरक्यूब) और [[अष्टफलक]] (क्रॉस-पॉलीटॉप) निर्देशांक नहीं दिखाए गए हैं।]]
{{main|त्रि-आयामी स्थान}}
{{main|त्रि-आयामी स्थान}}




=== एन = 4 ===
=== ''n'' = 4 ===
[[Image:4-cube 3D.png|thumb|right]]
[[Image:4-cube 3D.png|thumb|right]]
{{details|चार-आयामी स्थान}}
{{details|चार-आयामी स्थान}}
{{math|'''R'''<sup>4</sup>}} इस तथ्य का उपयोग करके कल्पना की जा सकती है कि {{num|16}} अंक {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ''x''<sub>4</sub>)}}, जहां प्रत्येक {{mvar|x<sub>k</sub>}} या तो 0 या 1 है, [[tesseract]] (चित्रित) के शिखर हैं, 4-हाइपरक्यूब (आरएन में #Polytopes देखें)
{{math|'''R'''<sup>4</sup>}} को इस तथ्य का उपयोग करके कल्पना की जा सकती है कि {{num|16}} अंक {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ''x''<sub>4</sub>)}} है, जहां प्रत्येक {{mvar|x<sub>k</sub>}} या तो 0 या 1 है, [[tesseract|टेसेरैक्ट]] (चित्रित) 4-हाइपरक्यूब (ऊपर देखें) के शिखर हैं।


का पहला प्रमुख प्रयोग {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} [[स्थान [[समय]]]] मॉडल है: तीन स्थानिक निर्देशांक और बार। यह सामान्यतः  सापेक्षता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है, हालांकि [[गैलिलियो गैलिली]] के बाद से ऐसे मॉडलों के लिए चार आयामों का उपयोग किया गया था। सिद्धांत की पसंद अलग संरचना की ओर ले जाती है, हालांकि: [[गैलीलियन सापेक्षता]] में {{mvar|t}} निर्देशांक विशेषाधिकार प्राप्त है, लेकिन आइंस्टीनियन सापेक्षता में ऐसा नहीं है। मिन्कोव्स्की स्थान में विशेष सापेक्षता निर्धारित की गई है। सामान्य सापेक्षता घुमावदार स्थानों का उपयोग करती है, जिसके बारे में सोचा जा सकता है {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) के साथ। इनमें से कोई भी संरचना (सकारात्मक-निश्चित) [[मीट्रिक (गणित)]] प्रदान नहीं करती है {{math|'''R'''<sup>4</sup>}}.
{{math|'''R'''<sup>4</sup>}} का प्रथम प्रमुख प्रयोग [[समय|स्पेसटाइम]] प्रारूप है: तीन स्थानिक निर्देशांक और लौकिक हैं। यह सामान्यतः  सापेक्षता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है, चूँकि [[गैलिलियो गैलिली]] के पश्चात से ऐसे प्रारूपों के लिए चार आयामों का उपयोग किया गया था। सिद्धांत की रूचि भिन्न संरचना की ओर ले जाती है, चूँकि: [[गैलीलियन सापेक्षता]] में {{mvar|t}} निर्देशांक विशेषाधिकार प्राप्त है, किंतु आइंस्टीनियन सापेक्षता में ऐसा नहीं है। मिन्कोव्स्की स्थान में विशेष सापेक्षता निर्धारित की गई है। सामान्य सापेक्षता घूर्णन स्थानों का उपयोग करती है, जिसे अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए घूर्णन मीट्रिक के साथ {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} के रूप में माना जा सकता है। इनमें से कोई भी संरचना {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} पर (सकारात्मक-निश्चित) [[मीट्रिक (गणित)|मीट्रिक]] प्रदान नहीं करती है।


इयूक्लिडियन {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} गणितज्ञों का भी ध्यान आकर्षित करता है, उदाहरण के लिए चतुष्कोणों से इसके संबंध के कारण, स्वयं क्षेत्र पर 4-आयामी बीजगणित। कुछ जानकारी के लिए [[4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन|4-आयामी यूक्लिडियन स्थान में घूर्णन]] देखें।
यूक्लिडियन {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} भी गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित करता है, उदाहरण के लिए चतुष्कोणों से इसके संबंध के कारण, स्वयं  4-आयामी वास्तविक बीजगणित है। कुछ सूचना के लिए [[4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन|4-आयामी यूक्लिडियन स्थान में घूर्णन]] देखें।


विभेदक ज्यामिति में, {{math|1=''n'' = 4}} एकमात्र मामला है जहां {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}  गैर-मानक [[विभेदक संरचना]] को स्वीकार करता है: विदेशी R4|विदेशी R देखें<sup>4</उप>।
विभेदक ज्यामिति में, {{math|1=''n'' = 4}} एकमात्र स्थिति है जहां {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}  गैर-मानक [[विभेदक संरचना]] को स्वीकार करता है: विदेशी R<sup>4 देखें।


== मानदंड चालू {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}==
== {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर मानदंड ==
सदिश स्थान पर कई मानदंडों को परिभाषित किया जा सकता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. कुछ सामान्य उदाहरण हैं
सदिश स्थान {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर विभिन्न मानदंडों को परिभाषित किया जा सकता है। कुछ सामान्य उदाहरण हैं:


* [[पी-मानदंड]], द्वारा परिभाषित <math display="inline">\|\mathbf{x}\|_p := \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p}</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> कहाँ पे <math>p</math> सकारात्मक पूर्णांक है। मुकदमा <math>p = 2</math> बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह बिल्कुल यूक्लिडियन मानदंड है।
* [[पी-मानदंड]], द्वारा परिभाषित <math display="inline">\|\mathbf{x}\|_p := \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p}</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> जहाँ  <math>p</math> सकारात्मक पूर्णांक है। स्थिति <math>p = 2</math> अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वास्तव में यूक्लिडियन मानदंड है।
* <math>\infty</math>-नॉर्म या [[अधिकतम मानदंड]], द्वारा परिभाषित <math>\|\mathbf{x}\|_\infty:=\max \{x_1,\dots,x_n\}</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math>. यह सभी पी-मानदंडों की सीमा है: <math display="inline">\|\mathbf{x}\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p}</math>.
* <math>\infty</math>-नॉर्म या [[अधिकतम मानदंड]], द्वारा परिभाषित <math>\|\mathbf{x}\|_\infty:=\max \{x_1,\dots,x_n\}</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> है। यह सभी पी-मानदंडों की सीमा है: <math display="inline">\|\mathbf{x}\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i|^p}</math>


वास्तव में आश्चर्यजनक और उपयोगी परिणाम यह है कि प्रत्येक मानदंड पर परिभाषित किया गया है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} [[समतुल्य मानदंड]] है। इसका मतलब दो मनमाने मानदंडों के लिए है <math>\|\cdot\|</math> तथा <math>\|\cdot\|'</math> पर {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} आप हमेशा सकारात्मक वास्तविक संख्याएं पा सकते हैं <math>\alpha,\beta > 0</math>, ऐसा है कि
वास्तव में आश्चर्यजनक और उपयोगी परिणाम यह है कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर परिभाषित प्रत्येक मानक [[समतुल्य मानदंड|समतुल्य]] है। इसका तात्पर्य दो इच्छानुसार मानदंडों के लिए है <math>\|\cdot\|</math> और <math>\|\cdot\|'</math> {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर सदैव सकारात्मक वास्तविक संख्याएं पा सकते हैं <math>\alpha,\beta > 0</math>, ऐसा है कि
<math display="block">\alpha \cdot \|\mathbf{x}\| \leq \|\mathbf{x}\|' \leq \beta\cdot\|\mathbf{x}\|</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math>.
<math display="block">\alpha \cdot \|\mathbf{x}\| \leq \|\mathbf{x}\|' \leq \beta\cdot\|\mathbf{x}\|</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> है।


यह सभी मानदंडों के सेट पर  समानता संबंध को परिभाषित करता है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. इस परिणाम से आप जाँच सकते हैं कि सदिशों का  क्रम {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के साथ मिलती है <math>\|\cdot\|</math> अगर और केवल अगर यह अभिसरण करता है <math>\|\cdot\|'</math>.
यह {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर सभी मानदंडों के समुच्चय पर तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। इस परिणाम से परिक्षण कर सकते हैं कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में सदिशों का क्रम अभिसरित होता है, यदि केवल यह <math>\|\cdot\|</math>और <math>\|\cdot\|'</math> अभिसरण करता है।


इस परिणाम का प्रमाण कैसा दिख सकता है इसका स्केच यहां दिया गया है:
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तुल्यता संबंध के कारण यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक मानदंड चालू है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} यूक्लिडियन मानदंड के बराबर है <math>\|\cdot\|_2</math>. होने देना <math>\|\cdot\|</math> मनमाना मानदंड हो {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. सबूत दो चरणों में बांटा गया है:
तुल्यता संबंध के कारण यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर प्रत्येक मान यूक्लिडियन मानदंड के तुल्य है <math>\|\cdot\|_2</math> और <math>\|\cdot\|</math> {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} पर इच्छानुसार मानदंड है, प्रमाण दो चरणों में बांटा गया है:


* हम दिखाते हैं कि मौजूद है <math>\beta > 0</math>, ऐसा है कि <math>\|\mathbf{x}\| \leq \beta \cdot \|\mathbf{x}\|_2</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math>. इस चरण में आप इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि प्रत्येक <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \R^n</math> मानक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: <math display="inline">\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i</math>. फिर कॉची-श्वार्ज़ असमानता के साथ <math display="block">\|\mathbf{x}\| = \left\|\sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i \right\|\leq \sum_{i=1}^n \|e_i\| \cdot |x_i|
* हम दिखाते हैं कि <math>\beta > 0</math> उपस्थित है, ऐसा है कि <math>\|\mathbf{x}\| \leq \beta \cdot \|\mathbf{x}\|_2</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> होता है, इस चरण में आप इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि प्रत्येक <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \R^n</math> मानक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: <math display="inline">\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i</math>. फिर कॉची-श्वार्ज़ असमानता के साथ,<math display="block">\|\mathbf{x}\| = \left\|\sum_{i=1}^n e_i \cdot x_i \right\|\leq \sum_{i=1}^n \|e_i\| \cdot |x_i|
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* अब हमें  खोजना है <math>\alpha > 0</math>, ऐसा है कि <math>\alpha\cdot\|\mathbf{x}\|_2 \leq \|\mathbf{x}\|</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math>. मान लीजिए कि ऐसा कोई नहीं है <math>\alpha</math>. फिर वहाँ हर के लिए मौजूद है <math>k \in \mathbb{N}</math> a <math>\mathbf{x}_k \in \R^n</math>, ऐसा है कि <math>\|\mathbf{x}_k\|_2 > k \cdot \|\mathbf{x}_k\|</math>. दूसरा क्रम परिभाषित करें <math>(\tilde{\mathbf{x}}_k)_{k \in \N}</math> द्वारा <math display="inline">\tilde{\mathbf{x}}_k := \frac{\mathbf{x}_k}{\|\mathbf{x}_k\|_2}</math>. यह क्रम परिबद्ध है क्योंकि <math>\|\tilde{\mathbf{x}}_k\|_2 = 1</math>. तो बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के कारण अभिसारी अनुवर्तीता मौजूद है <math>(\tilde{\mathbf{x}}_{k_j})_{j\in\mathbb{N}}</math> सीमा के साथ <math>\mathbf{a} \in</math> {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. अब हम दिखाते हैं <math>\|\mathbf{a}\|_2 = 1</math> लेकिन <math>\mathbf{a} = \mathbf{0}</math>है, जो विरोधाभास है। यह है <math display="block">\|\mathbf{a}\| \leq \left\|\mathbf{a} - \tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\| + \left\|\tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\| \leq \beta \cdot \left\|\mathbf{a} - \tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\|_2 + \frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} \ \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} \ 0,</math> इसलिये <math>\|\mathbf{a}-\tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\| \to 0</math> तथा <math>0 \leq \frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} < \frac{1}{k_j}</math>, इसलिए <math>\frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} \to 0</math>. यह संकेत करता है <math>\|\mathbf{a}\| = 0</math>, इसलिए <math>\mathbf{a}= \mathbf{0}</math>. दूसरी ओर <math>\|\mathbf{a}\|_2 = 1</math>, इसलिये <math>\|\mathbf{a}\|_2 = \left\| \lim_{j \to \infty}\tilde{\mathbf{x}}_{k_j} \right\|_2 = \lim_{j \to \infty} \left\| \tilde{\mathbf{x}}_{k_j} \right\|_2 = 1</math>. यह कभी सच नहीं हो सकता, इसलिए धारणा झूठी थी और ऐसा मौजूद है <math>\alpha > 0</math>.
* अब हमें  शोध करना है <math>\alpha > 0</math>, ऐसा है कि <math>\alpha\cdot\|\mathbf{x}\|_2 \leq \|\mathbf{x}\|</math> सभी के लिए <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> होता है, मान लीजिए कि ऐसा कोई <math>\alpha</math> नहीं है, फिर वहाँ प्रत्येक के लिए <math>k \in \mathbb{N}</math> a <math>\mathbf{x}_k \in \R^n</math> उपस्थित है, ऐसा है कि <math>\|\mathbf{x}_k\|_2 > k \cdot \|\mathbf{x}_k\|</math> होता है, दूसरा क्रम <math>(\tilde{\mathbf{x}}_k)_{k \in \N}</math> द्वारा <math display="inline">\tilde{\mathbf{x}}_k := \frac{\mathbf{x}_k}{\|\mathbf{x}_k\|_2}</math>परिभाषित करें यह क्रम परिबद्ध है क्योंकि <math>\|\tilde{\mathbf{x}}_k\|_2 = 1</math> है, तो बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के कारण अभिसारी अनुवर्तीता <math>(\tilde{\mathbf{x}}_{k_j})_{j\in\mathbb{N}}</math> उपस्थित है, सीमा के साथ <math>\mathbf{a} \in</math> {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} होता है, अब हम दिखाते हैं <math>\|\mathbf{a}\|_2 = 1</math> किंतु <math>\mathbf{a} = \mathbf{0}</math> है, जो विरोधाभास है। यह है,<math display="block">\|\mathbf{a}\| \leq \left\|\mathbf{a} - \tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\| + \left\|\tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\| \leq \beta \cdot \left\|\mathbf{a} - \tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\right\|_2 + \frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} \ \overset{j \to \infty}{\longrightarrow} \ 0,</math> इसलिये <math>\|\mathbf{a}-\tilde{\mathbf{x}}_{k_j}\| \to 0</math> तथा <math>0 \leq \frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} < \frac{1}{k_j}</math>, इसलिए <math>\frac{\|\mathbf{x}_{k_j}\|}{\|\mathbf{x}_{k_j}\|_2} \to 0</math> यह संकेत करता है <math>\|\mathbf{a}\| = 0</math>, इसलिए <math>\mathbf{a}= \mathbf{0}</math> दूसरी ओर <math>\|\mathbf{a}\|_2 = 1</math>, इसलिये <math>\|\mathbf{a}\|_2 = \left\| \lim_{j \to \infty}\tilde{\mathbf{x}}_{k_j} \right\|_2 = \lim_{j \to \infty} \left\| \tilde{\mathbf{x}}_{k_j} \right\|_2 = 1</math>. यह कभी सत्य नहीं हो सकता, इसलिए धारणा असत्य थी और ऐसा <math>\alpha > 0</math> उपस्थित है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[घातीय वस्तु]], सुपरस्क्रिप्ट संकेतन की सैद्धांतिक व्याख्या के लिए
* [[घातीय वस्तु]], सुपरस्क्रिप्ट संकेतन की सैद्धांतिक व्याख्या के लिए होता है।
* वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान
* वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान


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==संदर्भ==
*{{cite book | author=Kelley, John L. | title=General Topology | publisher=Springer-Verlag | year=1975 | isbn= 0-387-90125-6 }}
*{{cite book | author=Munkres, James | title=Topology | publisher=Prentice-Hall | year=1999 | isbn= 0-13-181629-2 }}
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*{{cite book | author=Kelley, John L. | title=General Topology | publisher=Springer-Verlag | year=1975 | isbn= 0-387-90125-6 }}
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Latest revision as of 16:06, 27 April 2023

कार्तीय निर्देशांक वास्तविक संख्याओं के युग्मों के साथ यूक्लिडियन विमान के बिंदुओं की पहचान करते हैं।

गणित में, आयाम n का वास्तविक समन्वय स्थान, Rn या , द्वारा निरूपित किया जाता है, वास्तविक संख्याओं के n-टुपल्स का समुच्चय, जो कि n वास्तविक संख्याओं के सभी अनुक्रमों का समुच्चय है। विशेष स्थितियों को वास्तविक रेखा R1 और वास्तविक समन्वय तल R2 कहा जाता है। घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह वास्तविक सदिश स्थान है, और इसके तत्वों को समन्वय सदिश कहा जाता है।

वास्तविक सदिश स्थान के तत्वों के किसी भी आधार पर निर्देशांक सदिश स्थान के समान आयाम के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं। इसी प्रकार, आयाम n के यूक्लिडियन स्थान के बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक आयाम n के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं।

सदिशों, बिंदुओं और निर्देशांक के मध्य पत्राचार निर्देशांक स्थान और सदिश के नामों की व्याख्या करते हैं। यह वास्तविक निर्देशांक रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए ज्यामितीय नियमों और विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है, और इसके विपरीत, ज्यामिति में पथरी की विधियों का उपयोग करने के लिए होता है। ज्यामिति का यह दृष्टिकोण 17वें दशक में रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदुओं को ज्ञात करने और उनके साथ कंप्यूटिंग करने की अनुमति देता है।

परिभाषा और संरचना

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, समुच्चय Rn में वास्तविक संख्याओं (R) के सभी n-टुपल्स होते हैं। इसे n-आयामी वास्तविक स्थान या n-स्थान कहा जाता है।

Rn का तत्व इस प्रकार n-ट्यूपल है, जो इस प्रकार लिखा जाता है:

जहां प्रत्येक xi वास्तविक संख्या है। इसलिए, बहुभिन्नरूपी कलन में, विभिन्न वास्तविक चरों के फलन का प्रांत और वास्तविक सदिश मान वाले फलन का कोडोमेन n के लिए Rn के उपसमुच्चय होते हैं।

वास्तविक n-स्थान में और भी विभिन्न गुण हैं, जो विशेष रूप से इस प्रकार हैं:

  • घटकवार संचालन जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह वास्तविक सदिश स्थान है। प्रत्येक n-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि इसके लिए तुल्याकारी है।
  • डॉट उत्पाद के साथ (घटकों के शब्द उत्पाद द्वारा शब्द का योग), यह आंतरिक उत्पाद स्थान है। प्रत्येक n-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान इसके लिए समरूप है।
  • प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान के रूप में, यह टोपोलॉजिकल स्थान और टोपोलॉजिकल सदिश स्थान है।
  • यह यूक्लिडियन और वास्तविक एफाइन स्थान है, और प्रत्येक यूक्लिडियन या एफाइन स्थान इसके लिए आइसोमोर्फिक है।
  • यह विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है, और इसे सभी मैनिफोल्ड के प्रोटोटाइप के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि, परिभाषा के अनुसार, मैनिफोल्ड, प्रत्येक बिंदु के निकट, Rn के खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमॉर्फिक है।
  • यह बीजगणितीय विविधता है, और प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय विविधता Rn का उपसमुच्चय है।

Rn के ये गुण और संरचनाएं इसे गणित के लगभग सभी क्षेत्रों और उनके अनुप्रयोग डोमेन, जैसे सांख्यिकी, संभाव्यता सिद्धांत और भौतिकी के विभिन्न भागों में मौलिक बनाती हैं।

विभिन्न चर के फलन का डोमेन

n वास्तविक चरों के किसी भी फलन f(x1, x2, ..., xn) को Rn पर फलन माना जा सकता है (अर्थात, Rn इसके प्रांत के रूप में होता है)। भिन्न-भिन्न माने जाने वाले विभिन्न चरों के अतिरिक्त वास्तविक n-स्थान का उपयोग, संकेतन को सरल बना सकता है और उचित परिभाषाओं की अनुशंसा कर सकता है। n = 2 के लिए, निम्नलिखित रूप की फलन रचना पर विचार किया जा सकता है:

जहां फलन g1 तथा g2 सतत हैं। यदि,

  • x1 ∈ R : f(x1, ·) निरंतर है (द्वारा x2)
  • x2 ∈ R : f(·, x2) निरंतर है (द्वारा x1)

तो F अनिवार्य रूप से निरंतर नहीं है। निरंतरता स्थिर स्थिति है: प्राकृतिक में R2 टोपोलॉजी (नीचे दिया गया है) में f की निरंतरता, जिसे बहुभिन्नरूपी निरंतरता भी कहा जाता है, जो संरचना F की निरंतरता के लिए पर्याप्त है।

सदिश स्थान

निर्देशांक स्थान Rn रैखिकता की संरचना के योग के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में पर n-आयामी सदिश स्थान बनाता है, और प्रायः इसे अभी भी Rn के रूप निरूपित किया जाता है। सदिश स्थान के रूप में Rn पर संचालन सामान्यतः इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

शून्य सदिश के द्वारा दिया गया है:
और सदिश x का योज्य व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है:
यह संरचना महत्वपूर्ण है क्योंकि कोई भी n-आयामी वास्तविक सदिश समष्टि Rn के लिए तुल्याकारी है।

आव्यूह संकेतन

मानक आव्यूह संकेतन में, Rn का प्रत्येक तत्व सामान्यतः स्तंभ सदिश के रूप में लिखा जाता है:

और कभी-कभी पंक्ति सदिश के रूप में लिखा जाता है:
तब निर्देशांक स्थान Rn की व्याख्या सभी n × 1 स्तंभ सदिशों के स्थान के रूप में की जा सकती है, या सभी 1 × n पंक्ति सदिशों के अतिरिक्त और अदिश गुणन के सामान्य आव्यूह संचालन के साथ की जा सकती है।

Rn से Rm तक रैखिक परिवर्तन तब m × n आव्यूह के रूप में लिखे जा सकते हैं, जो पर कार्य करते हैं Rn के तत्वों पर बाएँ गुणन के माध्यम से कार्य करते हैं (जब Rn के तत्व स्तंभ सदिश होते हैं) और Rm के तत्वों पर उचित गुणन के माध्यम से (जब वे पंक्ति सदिश हैं) होते हैं। बाएं गुणन का सूत्र, आव्यूह गुणन की विशेष स्थिति है:

कोई भी रैखिक परिवर्तन सतत कार्य है (नीचे देखें)। साथ ही, आव्यूह Rn प्रति Rm खुले मानचित्र को परिभाषित करता है, यदि केवल आव्यूह की श्रेणी m के समान है।

मानक आधार

समन्वय स्थान Rn मानक आधार के साथ आता है:

यह देखने के लिए कि यह आधार है, ध्यान दें कि Rn में स्वेच्छ सदिश के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

ज्यामितीय गुण और उपयोग

अभिविन्यास

तथ्य यह है कि वास्तविक संख्याएं, विभिन्न अन्य क्षेत्रों के विपरीत, आदेशित क्षेत्र का गठन करती हैं, और Rn पर अभिविन्यास संरचना उत्पन्न करती हैं। Rn की कोई भी पूर्ण-श्रेणी का रैखिक मानचित्र या तो अपने आव्यूह के निर्धारक के संकेत के आधार पर स्थान के अभिविन्यास को संरक्षित या विपरीत कर देता है। यदि कोई समन्वय करता है (या, दूसरे शब्दों में, आधार के तत्व), परिणामी अभिविन्यास क्रमचय की समानता पर निर्भर करता है।

शून्य जैकोबियन से बचने के लिए उनके गुण द्वारा Rn या डोमेन के डिफियोमोर्फिज्म को भी अभिविन्यास-संरक्षण और अभिविन्यास-विपरीत के लिए भी वर्गीकृत किया जाता है। विभेदक रूपों के सिद्धांत के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिनके अनुप्रयोगों में विद्युतगतिकी सम्मिलित हैं।

इस संरचना की अभिव्यक्ति यह है कि Rn में बिंदु प्रतिबिंब में n की समता के आधार पर भिन्न-भिन्न गुण होते हैं। सम n के लिए यह ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है, जबकि विषम n के लिए यह विपरीत होता है (अनुचित घूर्णन भी देखें)।

एफ़िन स्थान

Rn को एफ़िन स्थान के रूप में समझा जाता है वही स्थान है, जहां Rn सदिश स्थान के रूप में अनुवाद द्वारा कार्य करता है। इसके विपरीत, सदिश को दो बिंदुओं के मध्य अंतर के रूप में समझा जाना चाहिए, सामान्यतः दो बिंदुओं को जोड़ने वाली निर्देशित रेखा खंड द्वारा चित्रित किया जाता है। अन्तर कहता है कि कोई विहित रूप नहीं है जहां मूल (गणित) n-स्थान को संबंध में जाना चाहिए, क्योंकि इसका कहीं भी अनुवाद किया जा सकता है।

उत्तलता

n-सिम्प्लेक्स (नीचे देखें) मानक उत्तल समुच्चय है, जो प्रत्येक पॉलीटॉप के लिए मानचित्रित करता है, और मानक का (n + 1) एफ़िन हाइपरप्लेन (मानक एफ़िन स्थान) और मानक (n + 1) ऑर्थोंट (मानक शंकु) का प्रतिच्छेदन है।

वास्तविक सदिश स्थान में, जैसे कि Rn, उत्तल शंकु को परिभाषित कर सकता है, जिसमें इसके सदिशों के सभी गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन होते हैं। एफ़िन स्थान में संगत अवधारणा उत्तल समुच्चय है, जो केवल उत्तल संयोजनों (गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजनों का योग 1 होता है) की अनुमति देता है।

सार्वभौम बीजगणित की भाषा में, सदिश स्थान गुणांकों के परिमित अनुक्रमों के सार्वभौम सदिश स्थान R पर बीजगणित है, जो सदिशों के परिमित योग के अनुरूप होता है, जबकि संबधित स्थान इस स्थान (परिमित अनुक्रमों का योग 1), शंकु सार्वभौमिक ऑर्थेंट (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों) पर बीजगणित है, और उत्तल समुच्चय सार्वभौमिक सिंप्लेक्स (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों का योग 1) पर बीजगणित है। यह निर्देशांक पर (संभव) प्रतिबंधों के साथ राशियों के संदर्भ में स्वयंसिद्धों को ज्यामितीय करता है।

उत्तल विश्लेषण से अन्य अवधारणा Rn से वास्तविक संख्याओं तक उत्तल कार्य है, जिसे बिंदुओं के उत्तल संयोजन पर इसके मूल्य के मध्य असमानता के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और समान गुणांक वाले उन बिंदुओं में मानों के योग है।

यूक्लिडियन स्थान

डॉट उत्पाद

आदर्श |x| = xx को सदिश स्थान पर Rn परिभाषित करता है, यदि प्रत्येक सदिश का अपना यूक्लिडियन मानदंड है, तो बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए दूरी,
परिभाषित किया गया है, जो कि इसकी सजातीय संरचना के अतिरिक्त Rn पर मीट्रिक स्थान संरचना प्रदान करता है।

सदिश स्थान संरचना के लिए, विशेष स्पष्टीकरण के बिना डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी को सामान्यतः Rn में उपस्थित माना जाता है। चूँकि, वास्तविक n-स्थान और यूक्लिडियन n-स्थान विशिष्ट वस्तुएं हैं, किसी भी यूक्लिडियन n-स्थान में समन्वय प्रणाली होती है, जहां डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी के ऊपर दिखाया गया रूप है, जिसे कार्टेशियन कहा जाता है। किंतु यूक्लिडियन स्थान पर विभिन्न कार्टेशियन समन्वय प्रणाली हैं।

इसके विपरीत, यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए उपरोक्त सूत्र मानक यूक्लिडियन संरचना को Rn पर परिभाषित करता है, किंतु यह एकमात्र संभव नहीं है। वस्तुतः, कोई सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप q अपनी दूरी q(xy) को परिभाषित करता है, किंतु यह इस अर्थ में यूक्लिडियन से अधिक भिन्न नहीं है कि,

मीट्रिक का ऐसा परिवर्तन इसके कुछ गुणों को संरक्षित करता है, उदाहरण के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान होने का गुण होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि Rn का कोई भी पूर्ण-श्रेणी रैखिक परिवर्तन, या इसका संबधित रूपांतरण, कुछ निश्चित C2 से अधिक दूरियों को नहीं बढ़ाता है, और दूरियों को 1 / C1 गुना से छोटा नहीं बनाता है, निश्चित परिमित संख्या छोटी है।[clarification needed]

मीट्रिक कार्यों की उपरोक्त समानता मान्य रहती है यदि q(xy) को M(xy) से परिवर्तित किया जाता है, जहां M डिग्री 1 का कोई उत्तल सकारात्मक सजातीय कार्य है, अर्थात आदर्श मानदंड है (उपयोगी उदाहरणों के लिए मिंकोव्स्की दूरी देखें)। इस तथ्य के कारण कि Rn पर कोई भी प्राकृतिक मीट्रिक यूक्लिडियन मीट्रिक से विशेष रूप से भिन्न नहीं है, व्यसायिक गणितीय कार्यों में भी Rn सदैव यूक्लिडियन n-स्थान से भिन्न नहीं होता है।

बीजगणितीय और ज्यामिति में अंतर

चूँकि मैनिफोल्ड की परिभाषा की आवश्यकता नहीं है, कि इसका प्रारूप स्थान Rn होना चाहिए, यह विकल्प सबसे सामान्य है, और अंतर ज्यामिति में लगभग अनन्य है।

दूसरी ओर, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेयों का कहना है कि किसी भी वास्तविक भिन्न m-आयामी मैनिफोल्ड को R2m में एम्बेडिंग किया जा सकता है।

अन्य प्रदर्शन

Rn पर विचार की जाने वाली अन्य संरचनाओं में छद्म-यूक्लिडियन स्थान, सहानुभूतिपूर्ण संरचना (यहां तक ​​​​कि n), और संपर्क संरचना (विषम n) में सम्मिलित है। इन सभी संरचनाओं, चूँकि समन्वय-मुक्त विधि से परिभाषित किया जा सकता है, निर्देशांक में मानक (और यथोचित सरल) रूपों को स्वीकार करते हैं।

Rn भी Cn का वास्तविक सदिश उपस्थान है, जो जटिल संयुग्मन के लिए अपरिवर्तनीय है; जटिलता भी देखें।

Rn में पॉलीटोप्स

पॉलीटोप्स के तीन परिवार हैं जिनके पास किसी भी n के लिए Rn रिक्त स्थान सरल प्रतिनिधित्व है, और वास्तविक n-स्थान में किसी भी एफ़िन समन्वय प्रणाली को देखने के लिए उपयोग किया जा सकता है। हाइपरक्यूब के वर्टिकल में निर्देशांक (x1, x2, ..., xn) होते हैं, जहां प्रत्येक xk केवल दो मानों में से लेता है, सामान्यतः 0 या 1 है, चूँकि, उदाहरण के लिए, 0 और 1 के अतिरिक्त कोई भी दो संख्याओंका चयन किया जा सकता है, उदाहरण के लिए −1 और 1है। n-हाइपरक्यूब को वास्तविक रेखा पर n समान अंतराल (जैसे इकाई अंतराल [0,1]) के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। के रूप में nआयामी उपसमुच्चय को असमानताओं की प्रणाली | की प्रणाली के साथ वर्णित किया जा सकता है 2n असमानताएँ:

[0,1] के लिये, तथा
[−1,1] के लिये क्रॉस-पॉलीटॉप के प्रत्येक शीर्ष में कुछ k के लिए, xk निर्देशांक ±1 के समान है, और अन्य सभी निर्देशांक 0 के समान हैं (जैसे कि यह kवें मानक आधार सदिश है जो हस्ताक्षर करने के लिए है)। यह हाइपरक्यूब का डुअल पॉलीटॉप है। n-आयामी उपसमुच्चय के रूप में इसे असमानता के साथ वर्णित किया जा सकता है जो पूर्ण मूल्य संचालन का उपयोग करता है:
किंतु इसे 2n रैखिक असमानताओं की प्रणाली के साथ व्यक्त किया जा सकता है।

साधारण रूप से गणना करने योग्य निर्देशांक वाला तीसरा पॉलीटॉप मानक सिंप्लेक्स है, जिसके कोने n मानक आधार सदिश और मूल (0, 0, ..., 0) हैं। n-आयामी उपसमुच्चय के रूप में इसे n + 1 रैखिक असमानताओं की प्रणाली के साथ वर्णित किया गया है:

सभी ≤ को < के साथ प्रतिस्थापन इन पॉलीटोप्स के अंदरूनी भाग देता है।

सामयिक गुण

Rn की टोपोलॉजी संरचना (जिसे मानक टोपोलॉजी, यूक्लिडियन टोपोलॉजी, या सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है) न केवल कार्टेशियन उत्पाद से प्राप्त की जा सकती है। यह यूक्लिडियन मेट्रिक द्वारा प्रेरित प्राकृतिक टोपोलॉजी के समान है: यूक्लिडियन टोपोलॉजी में समुच्चय मुक्त समुच्चय है यदि केवल इसके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर मुक्त गेंद होती है। इसके अतिरिक्त, Rn रैखिक सामयिक स्थान है (ऊपर रैखिक मानचित्रों की निरंतरता देखें), और इसकी रैखिक संरचना के साथ संगत केवल संभव (गैर-अल्प) टोपोलॉजी है। चूंकि Rn से लेकर स्वयं तक अनेक मुक्त रैखिक मानचित्र हैं जो आइसोमेट्री नहीं हैं, Rn पर अनेक यूक्लिडियन संरचनाएं हो सकती हैं जो टोपोलॉजी के अनुरूप हैं। वास्तव में, यह रैखिक संरचना पर भी अत्यधिक निर्भर नहीं करता है: स्वयं पर Rn के अनेक गैर-रैखिक भिन्नताएं (और अन्य होमोमोर्फिज्म) हैं, या उसके भाग जैसे यूक्लिडियन ओपन बॉल या हाइपरक्यूब का आंतरिक भाग) हैं।

Rn सांस्थितिक आयाम n है। Rn की टोपोलॉजी पर महत्वपूर्ण परिणाम, जो सतही से अधिक दूर है, ब्रोवर का डोमेन का आविष्कार है। Rn का कोई भी उपसमुच्चय (इसके उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) जो कि Rn के दूसरे मुक्त उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है, स्वयं मुक्त है। इसका तात्कालिक परिणाम यह है कि Rm, Rn के लिए होमियोमोर्फिज्म नहीं है, यदि mn – सहज ज्ञान युक्त स्पष्ट परिणाम है जिसको पुनः प्रमाणित करना कठिन है।

सामयिक आयाम में अंतर के अतिरिक्त, धारणा के विपरीत, अल्प -आयामी[clarification needed] वास्तविक स्थान को निरंतर और विशेष रूप से Rn पर मानचित्रित करना संभव है। निरंतर (चूँकि चिकना नहीं) स्थान भरने वाला वक्र (R1 की छवि) संभव है।[clarification needed]


उदाहरण

Real 0-space.svg
Empty column vector,
the only element of R0
Real 1-space, orthoplex.svg
R1


n ≤ 1

0 ≤ n ≤ 1 की स्थिति कुछ भी नया नहीं देते हैं: R1 वास्तविक रेखा है, जबकि R0 (रिक्त स्तंभ सदिश वाला स्थान) सिंगलटन है, जिसे शून्य सदिश स्थान के रूप में अध्ययन किया जाता है। चूँकि, इन्हें भिन्न-भिन्न n का वर्णन करने वाले सिद्धांतों की अल्प स्थितियों के रूप में सम्मिलित करना उपयोगी है।

n = 2

R2 में हाइपरक्यूब और क्रॉस-पॉलीटॉप दोनों ही वर्ग हैं, किंतु शीर्षों के निर्देशांक भिन्न प्रकार से व्यवस्थित हैं।

n = 3

R3 का घनक्षेत्र (हाइपरक्यूब) और अष्टफलक (क्रॉस-पॉलीटॉप) निर्देशांक नहीं दिखाए गए हैं।


n = 4

4-cube 3D.png

R4 को इस तथ्य का उपयोग करके कल्पना की जा सकती है कि 16 अंक (x1, x2, x3, x4) है, जहां प्रत्येक xk या तो 0 या 1 है, टेसेरैक्ट (चित्रित) 4-हाइपरक्यूब (ऊपर देखें) के शिखर हैं।

R4 का प्रथम प्रमुख प्रयोग स्पेसटाइम प्रारूप है: तीन स्थानिक निर्देशांक और लौकिक हैं। यह सामान्यतः सापेक्षता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है, चूँकि गैलिलियो गैलिली के पश्चात से ऐसे प्रारूपों के लिए चार आयामों का उपयोग किया गया था। सिद्धांत की रूचि भिन्न संरचना की ओर ले जाती है, चूँकि: गैलीलियन सापेक्षता में t निर्देशांक विशेषाधिकार प्राप्त है, किंतु आइंस्टीनियन सापेक्षता में ऐसा नहीं है। मिन्कोव्स्की स्थान में विशेष सापेक्षता निर्धारित की गई है। सामान्य सापेक्षता घूर्णन स्थानों का उपयोग करती है, जिसे अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए घूर्णन मीट्रिक के साथ R4 के रूप में माना जा सकता है। इनमें से कोई भी संरचना R4 पर (सकारात्मक-निश्चित) मीट्रिक प्रदान नहीं करती है।

यूक्लिडियन R4 भी गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित करता है, उदाहरण के लिए चतुष्कोणों से इसके संबंध के कारण, स्वयं 4-आयामी वास्तविक बीजगणित है। कुछ सूचना के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन स्थान में घूर्णन देखें।

विभेदक ज्यामिति में, n = 4 एकमात्र स्थिति है जहां Rn गैर-मानक विभेदक संरचना को स्वीकार करता है: विदेशी R4 देखें।

Rn पर मानदंड

सदिश स्थान Rn पर विभिन्न मानदंडों को परिभाषित किया जा सकता है। कुछ सामान्य उदाहरण हैं:

  • पी-मानदंड, द्वारा परिभाषित सभी के लिए जहाँ सकारात्मक पूर्णांक है। स्थिति अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वास्तव में यूक्लिडियन मानदंड है।
  • -नॉर्म या अधिकतम मानदंड, द्वारा परिभाषित सभी के लिए है। यह सभी पी-मानदंडों की सीमा है:

वास्तव में आश्चर्यजनक और उपयोगी परिणाम यह है कि Rn पर परिभाषित प्रत्येक मानक समतुल्य है। इसका तात्पर्य दो इच्छानुसार मानदंडों के लिए है और Rn पर सदैव सकारात्मक वास्तविक संख्याएं पा सकते हैं , ऐसा है कि

सभी के लिए है।

यह Rn पर सभी मानदंडों के समुच्चय पर तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। इस परिणाम से परिक्षण कर सकते हैं कि Rn में सदिशों का क्रम अभिसरित होता है, यदि केवल यह और अभिसरण करता है।

इस परिणाम का प्रमाण कैसा दिख सकता है इसका स्केच यहां दिया गया है:

तुल्यता संबंध के कारण यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि Rn पर प्रत्येक मान यूक्लिडियन मानदंड के तुल्य है और Rn पर इच्छानुसार मानदंड है, प्रमाण दो चरणों में बांटा गया है:

  • हम दिखाते हैं कि उपस्थित है, ऐसा है कि सभी के लिए होता है, इस चरण में आप इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि प्रत्येक मानक आधार (रैखिक बीजगणित) के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: . फिर कॉची-श्वार्ज़ असमानता के साथ,
    जहाँ
  • अब हमें शोध करना है , ऐसा है कि सभी के लिए होता है, मान लीजिए कि ऐसा कोई नहीं है, फिर वहाँ प्रत्येक के लिए a उपस्थित है, ऐसा है कि होता है, दूसरा क्रम द्वारा परिभाषित करें यह क्रम परिबद्ध है क्योंकि है, तो बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के कारण अभिसारी अनुवर्तीता उपस्थित है, सीमा के साथ Rn होता है, अब हम दिखाते हैं किंतु है, जो विरोधाभास है। यह है,
    इसलिये तथा , इसलिए यह संकेत करता है , इसलिए दूसरी ओर , इसलिये . यह कभी सत्य नहीं हो सकता, इसलिए धारणा असत्य थी और ऐसा उपस्थित है।

यह भी देखें

  • घातीय वस्तु, सुपरस्क्रिप्ट संकेतन की सैद्धांतिक व्याख्या के लिए होता है।
  • वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान

फुटनोट्स









संदर्भ

  • Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
  • Munkres, James (1999). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.