वास्तविक समन्वय स्थान

कार्तीय निर्देशांक वास्तविक संख्याओं के युग्मों के साथ यूक्लिडियन विमान के बिंदुओं की पहचान करते हैं।

गणित में, आयाम n का वास्तविक समन्वय स्थान, Rⁿ (/ɑːrˈɛn/ ar-EN) या $\mathbb {R} ^{n}$, द्वारा निरूपित किया जाता है, वास्तविक संख्याओं के n-टुपल्स का समुच्चय, जो कि n वास्तविक संख्याओं के सभी अनुक्रमों का समुच्चय है। विशेष स्थितियों को वास्तविक रेखा R¹ और वास्तविक समन्वय तल R² कहा जाता है। घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह वास्तविक सदिश स्थान है, और इसके तत्वों को समन्वय सदिश कहा जाता है।

वास्तविक सदिश स्थान के तत्वों के किसी भी आधार पर निर्देशांक सदिश स्थान के समान आयाम के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं। इसी प्रकार, आयाम n के यूक्लिडियन स्थान के बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक आयाम n के वास्तविक समन्वय स्थान का निर्माण करते हैं।

सदिशों, बिंदुओं और निर्देशांक सदिशों के मध्य ये पत्राचार निर्देशांक स्थान और निर्देशांक सदिश के नामों की व्याख्या करते हैं। यह वास्तविक निर्देशांक रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए ज्यामितीय नियमों और विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है, और इसके विपरीत, ज्यामिति में पथरी की विधियों का उपयोग करने के लिए होता है। ज्यामिति का यह दृष्टिकोण 17वें दशक में रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदुओं को ज्ञात करने और उनके साथ कंप्यूटिंग करने की अनुमति देता है।

परिभाषा और संरचना

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, समुच्चय Rⁿ में वास्तविक संख्याओं (R) के सभी n-टुपल्स होते हैं। इसे n-आयामी वास्तविक स्थान या वास्तविक n-स्थान कहा जाता है।

Rⁿ का तत्व इस प्रकार n-ट्यूपल है, और इस प्रकार लिखा जाता है:

$$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$$

जहां प्रत्येक x_i वास्तविक संख्या है। इसलिए, बहुभिन्नरूपी कलन में, विभिन्न वास्तविक चरों के फलन का प्रांत और वास्तविक सदिश मान वाले फलन का कोडोमेन कुछ n के लिए Rⁿ के उपसमुच्चय होते हैं।

वास्तविक n-स्थान में और भी विभिन्न गुण हैं, जो विशेष रूप से इस प्रकार हैं:

• घटकवार संचालन जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह वास्तविक सदिश स्थान है। प्रत्येक n-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि इसके लिए तुल्याकारी है।
• डॉट उत्पाद के साथ (घटकों के शब्द उत्पाद द्वारा शब्द का योग), यह आंतरिक उत्पाद स्थान है। प्रत्येक n-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान इसके लिए समरूप है।
• प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान के रूप में, यह टोपोलॉजिकल स्थान और टोपोलॉजिकल सदिश स्थान है।
• यह यूक्लिडियन स्थान है और वास्तविक एफाइन स्थान है, और प्रत्येक यूक्लिडियन या एफाइन स्थान इसके लिए आइसोमोर्फिक है।
• यह विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है, और इसे सभी मैनिफोल्ड के प्रोटोटाइप के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि, परिभाषा के अनुसार, मैनिफोल्ड, प्रत्येक बिंदु के निकट, Rⁿ के खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमॉर्फिक है।
• यह बीजगणितीय विविधता है, और प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय विविधता Rⁿ का उपसमुच्चय है।

Rⁿ के ये गुण और संरचनाएं इसे गणित के लगभग सभी क्षेत्रों और उनके अनुप्रयोग डोमेन, जैसे सांख्यिकी, संभाव्यता सिद्धांत और भौतिकी के विभिन्न भागों में मौलिक बनाती हैं।

विभिन्न चर के फलन का डोमेन

Main articles: बहुभिन्नरूपी कैलकुलस and वास्तविक बहुभिन्नरूपी कार्य

n वास्तविक चरों के किसी भी फलन f(x₁, x₂, ..., x_n) को Rⁿ पर फलन माना जा सकता है (अर्थात, Rⁿ इसके प्रांत के रूप में होता है)। भिन्न-भिन्न माने जाने वाले विभिन्न चरों के अतिरिक्त वास्तविक n-स्थान का उपयोग, संकेतन को सरल बना सकता है और उचित परिभाषाओं की अनुशंसा कर सकता है। n = 2 के लिए, निम्नलिखित रूप की फलन रचना पर विचार किया जा सकता है:

$$F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),$$

जहां फलन g₁ तथा g₂ सतत हैं। यदि,

• ∀x₁ ∈ R : f(x₁, ·) निरंतर है (द्वारा x₂)
• ∀x₂ ∈ R : f(·, x₂) निरंतर है (द्वारा x₁)

तो F अनिवार्य रूप से निरंतर नहीं है। निरंतरता स्थिर स्थिति है: प्राकृतिक में R² टोपोलॉजी (नीचे दिया गया है) में f की निरंतरता, जिसे बहुभिन्नरूपी निरंतरता भी कहा जाता है, जो संरचना F की निरंतरता के लिए पर्याप्त है।

सदिश स्थान

निर्देशांक स्थान Rⁿ रैखिकता की संरचना के योग के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में पर n-आयामी सदिश स्थान बनाता है, और प्रायः इसे अभी भी Rⁿ के रूप निरूपित किया जाता है। सदिश स्थान के रूप में Rⁿ पर संचालन सामान्यतः इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})$$

$$\alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).$$

शून्य सदिश के द्वारा दिया गया है:

$$\mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)$$

और सदिश x का योज्य व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है:

$$-\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).$$

यह संरचना महत्वपूर्ण है क्योंकि कोई भी n-आयामी वास्तविक सदिश समष्टि Rⁿ के लिए तुल्याकारी है।

आव्यूह संकेतन

Main article: आव्यूह (गणित)

मानक आव्यूह संकेतन में, Rⁿ का प्रत्येक तत्व सामान्यतः स्तंभ सदिश के रूप में लिखा जाता है:

$$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$$

और कभी-कभी पंक्ति सदिश के रूप में लिखा जाता है:

$$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.$$

तब निर्देशांक स्थान Rⁿ की व्याख्या सभी n × 1 स्तंभ सदिशों के स्थान के रूप में की जा सकती है, या सभी 1 × n पंक्ति सदिशों के अतिरिक्त और अदिश गुणन के सामान्य आव्यूह संचालन के साथ की जा सकती है।

Rⁿ से R^m तक रैखिक परिवर्तन तब m × n आव्यूह के रूप में लिखे जा सकते हैं, जो पर कार्य करते हैं Rⁿ के तत्वों पर बाएँ गुणन के माध्यम से कार्य करते हैं (जब Rⁿ के तत्व स्तंभ सदिश होते हैं) और R^m के तत्वों पर उचित गुणन के माध्यम से (जब वे पंक्ति सदिश हैं) होते हैं। बाएं गुणन का सूत्र, आव्यूह गुणन की विशेष स्थिति है:

$$(A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}$$

कोई भी रैखिक परिवर्तन सतत कार्य है (नीचे देखें)। साथ ही, आव्यूह Rⁿ प्रति R^m खुले मानचित्र को परिभाषित करता है, यदि केवल आव्यूह की श्रेणी m के समान है।

मानक आधार

Main article: मानक आधार

समन्वय स्थान Rⁿ मानक आधार के साथ आता है:

$${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}$$

यह देखने के लिए कि यह आधार है, ध्यान दें कि Rⁿ में स्वेच्छ सदिश के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.$$

ज्यामितीय गुण और उपयोग

अभिविन्यास

तथ्य यह है कि वास्तविक संख्याएं, विभिन्न अन्य क्षेत्रों के विपरीत, आदेशित क्षेत्र का गठन करती हैं, और Rⁿ पर अभिविन्यास संरचना उत्पन्न करती हैं। Rⁿ की कोई भी पूर्ण-श्रेणी का रैखिक मानचित्र या तो अपने आव्यूह के निर्धारक के संकेत के आधार पर स्थान के अभिविन्यास को संरक्षित या विपरीत कर देता है। यदि कोई समन्वय करता है (या, दूसरे शब्दों में, आधार के तत्व), परिणामी अभिविन्यास क्रमचय की समानता पर निर्भर करता है।

शून्य जैकोबियन से बचने के लिए उनके गुण द्वारा Rⁿ या डोमेन के डिफियोमोर्फिज्म को भी अभिविन्यास-संरक्षण और अभिविन्यास-विपरीत के लिए भी वर्गीकृत किया जाता है। विभेदक रूपों के सिद्धांत के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिनके अनुप्रयोगों में विद्युतगतिकी सम्मिलित हैं।

इस संरचना की अभिव्यक्ति यह है कि Rⁿ में बिंदु प्रतिबिंब में n की समता के आधार पर भिन्न-भिन्न गुण होते हैं। सम n के लिए यह ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है, जबकि विषम n के लिए यह विपरीत होता है (अनुचित घूर्णन भी देखें)।

एफ़िन स्थान

Further information: एफ़िन स्थान

Rⁿ को एफ़िन स्थान के रूप में समझा जाता है वही स्थान है, जहां Rⁿ सदिश स्थान के रूप में अनुवाद द्वारा कार्य करता है। इसके विपरीत, सदिश को दो बिंदुओं के मध्य अंतर के रूप में समझा जाना चाहिए, सामान्यतः दो बिंदुओं को जोड़ने वाली निर्देशित रेखा खंड द्वारा चित्रित किया जाता है। अन्तर कहता है कि कोई विहित रूप नहीं है जहां मूल (गणित) n-स्थान को संबंध में जाना चाहिए, क्योंकि इसका कहीं भी अनुवाद किया जा सकता है।

उत्तलता

एन-सिम्प्लेक्स (Rn में #Polytopes देखें) मानक उत्तल सेट है, जो हर पॉलीटॉप के लिए मैप करता है, और मानक का प्रतिच्छेदन है (n + 1) affine हाइपरप्लेन (मानक affine स्थान) और मानक (n + 1) ऑर्थोंट (मानक शंकु)।

Further information: उत्तल विश्लेषण

वास्तविक सदिश स्थान में, जैसे कि Rⁿ, उत्तल शंकु को परिभाषित कर सकता है, जिसमें इसके सदिशों के सभी गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन होते हैं। एफ़िन स्थान में संगत अवधारणा उत्तल समुच्चय है, जो केवल उत्तल संयोजनों (गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजनों का योग 1 होता है) की अनुमति देता है।

सार्वभौम बीजगणित की भाषा में, सदिश स्थान गुणांकों के परिमित अनुक्रमों के सार्वभौम सदिश स्थान R^∞ पर बीजगणित है, जो सदिशों के परिमित योग के अनुरूप होता है, जबकि संबधित स्थान इस स्थान (परिमित अनुक्रमों का योग 1), शंकु सार्वभौमिक ऑर्थेंट (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों) पर बीजगणित है, और उत्तल समुच्चय सार्वभौमिक सिंप्लेक्स (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों का योग 1) पर बीजगणित है। यह निर्देशांक पर (संभव) प्रतिबंधों के साथ राशियों के संदर्भ में स्वयंसिद्धों को ज्यामितीय करता है।

उत्तल विश्लेषण से अन्य अवधारणा Rⁿ से वास्तविक संख्याओं तक उत्तल कार्य है, जिसे बिंदुओं के उत्तल संयोजन पर इसके मूल्य के मध्य असमानता के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और समान गुणांक वाले उन बिंदुओं में मानों के योग है।

यूक्लिडियन स्थान

Main articles: यूक्लिडियन अंतरिक्ष and कार्तीय समन्वय प्रणाली

डॉट उत्पाद

$$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$$

आदर्श |x| = √x ⋅ x को सदिश स्थान पर Rⁿ परिभाषित करता है, यदि प्रत्येक सदिश का अपना यूक्लिडियन मानदंड है, तो बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए दूरी,

$$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$$

परिभाषित किया गया है, जो कि इसकी सजातीय संरचना के अतिरिक्त Rⁿ पर मीट्रिक स्थान संरचना प्रदान करता है।

सदिश स्थान संरचना के लिए, विशेष स्पष्टीकरण के बिना डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी को सामान्यतः Rⁿ में उपस्थित माना जाता है। चूँकि, वास्तविक n-स्थान और यूक्लिडियन n-स्थान विशिष्ट वस्तुएं हैं, किसी भी यूक्लिडियन n-स्थान में समन्वय प्रणाली होती है, जहां डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी के ऊपर दिखाया गया रूप है, जिसे कार्टेशियन कहा जाता है। किंतु यूक्लिडियन स्थान पर विभिन्न कार्टेशियन समन्वय प्रणाली हैं।

इसके विपरीत, यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए उपरोक्त सूत्र मानक यूक्लिडियन संरचना को परिभाषित करता है Rⁿ, किंतु यह एकमात्र संभव नहीं है। दरअसल, कोई सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप q अपनी दूरी तय करता है √q(x − y), किंतु यह इस मायने में यूक्लिडियन से बहुत अलग नहीं है कि

$$\exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).$$

मीट्रिक का ऐसा परिवर्तन इसके कुछ गुणों को संरक्षित करता है, उदाहरण के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान होने का गुण। इसका तात्पर्य यह भी है कि कोई भी पूर्ण-श्रेणी रैखिक परिवर्तन Rⁿ, या इसका संबधित रूपांतरण, कुछ निश्चित दूरी से अधिक दूरियों को आवर्धित नहीं करता है C₂, और इससे छोटी दूरी नहीं बनाता है 1 / C₁ गुना, निश्चित परिमित संख्या गुना छोटा। मीट्रिक कार्यों की उपरोक्त समानता मान्य रहती है यदि √q(x − y) से बदल दिया जाता है M(x − y), कहाँ पे M डिग्री 1 का कोई उत्तल सकारात्मक सजातीय कार्य है, अर्थात आदर्श सदिश स्थान (उपयोगी उदाहरणों के लिए मिंकोव्स्की दूरी देखें)। इस तथ्य के कारण कि कोई भी प्राकृतिक मीट्रिक चालू है Rⁿ यूक्लिडियन मीट्रिक से विशेष रूप से भिन्न नहीं है, Rⁿ यूक्लिडियन से हमेशा अलग नहीं होता है n-पेशेवर गणितीय कार्यों में भी स्थान।

बीजीय और अवकल ज्यामिति में

हालांकि मैनिफोल्ड की परिभाषा के लिए जरूरी नहीं है कि इसका मॉडल स्थान होना चाहिए Rⁿ, यह विकल्प सबसे आम है, और अंतर ज्यामिति में लगभग अनन्य है।

दूसरी ओर, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेयों का कहना है कि कोई भी वास्तविक अवकलनीय मैनिफोल्ड | अवकलनीय है m-आयामी मैनिफोल्ड में एम्बेडिंग किया जा सकता है R^2m.

अन्य दिखावे

अन्य संरचनाओं पर विचार किया गया Rⁿ छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष, सहानुभूतिपूर्ण संरचना (यहां तक ​​​​कि n), और संपर्क संरचना (विषम n). इन सभी संरचनाओं, हालांकि समन्वय-मुक्त तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, निर्देशांक में मानक (और यथोचित सरल) रूपों को स्वीकार करते हैं।

Rⁿ की वास्तविक सदिश उपसमष्टि भी है Cⁿ जो जटिल संयुग्मन के लिए अपरिवर्तनीय है; जटिलता भी देखें।

आर में पॉलीटोप्स^{एन </सुप>}

See also: रैखिक प्रोग्रामिंग and उत्तल पॉलीटॉप

polytope्स के तीन परिवार हैं जिनका सरल प्रतिनिधित्व है Rⁿ रिक्त स्थान, किसी के लिए n, और वास्तविक में किसी भी affine समन्वय प्रणाली की कल्पना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है n-अंतरिक्ष। अतिविम के वर्टिकल में निर्देशांक होते हैं (x₁, x₂, ..., x_n) जहां प्रत्येक x_k केवल दो मानों में से लेता है, सामान्यतः 0 या 1. हालांकि, उदाहरण के लिए, 0 और 1 के अतिरिक्त किन्हीं भी दो संख्याओं को चुना जा सकता है −1 और 1. n-हाइपरक्यूब को कार्टेशियन उत्पाद के रूप में माना जा सकता है n समान अंतराल (गणित) (जैसे इकाई अंतराल [0,1]) वास्तविक रेखा पर। के रूप में nआयामी उपसमुच्चय को असमानताओं की प्रणाली | की प्रणाली के साथ वर्णित किया जा सकता है 2n असमानताएँ:

$${\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}$$

के लिये [0,1], तथा

$${\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}$$

के लिये [−1,1]. कुछ के लिए, क्रॉस-पॉलीटॉप के प्रत्येक शीर्ष में है k, द x_k निर्देशांक ±1 के बराबर और अन्य सभी निर्देशांक 0 के बराबर (जैसे कि यह है kवें #मानक आधार पर हस्ताक्षर करने के लिए (गणित))। यह हाइपरक्यूब का दोहरी पॉलीटॉप है। के रूप में n-आयामी उपसमुच्चय इसे असमानता के साथ वर्णित किया जा सकता है जो पूर्ण मूल्य संचालन का उपयोग करता है:

$$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,$$

किंतु यह प्रणाली के साथ व्यक्त किया जा सकता है 2ⁿ रैखिक असमानताएं भी।

साधारण रूप से गणना करने योग्य निर्देशांक वाला तीसरा पॉलीटॉप मानक सिंप्लेक्स है, जिसके कोने हैं n मानक आधार वैक्टर और उत्पत्ति (गणित) (0, 0, ..., 0). के रूप में nआयामी उपसमुच्चय की प्रणाली के साथ इसका वर्णन किया गया है n + 1 रैखिक असमानताएँ:

$${\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}$$

सभी ≤ का < के साथ प्रतिस्थापन इन पॉलीटोप्स के अंदरूनी भाग देता है।

सामयिक गुण

की टोपोलॉजी (संरचना)। Rⁿ (मानक टोपोलॉजी, यूक्लिडियन टोपोलॉजी, या सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है) न केवल परिभाषा और उपयोग प्राप्त किया जा सकता है। यह #यूक्लिडियन स्थान द्वारा प्रेरित प्राकृतिक टोपोलॉजी के समान है: यूक्लिडियन टोपोलॉजी में सेट खुला सेट है अगर और केवल अगर इसके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर खुली गेंद होती है। भी, Rⁿ रैखिक सामयिक स्थान है (ऊपर रैखिक मानचित्रों की निरंतरता देखें), और इसकी रैखिक संरचना के साथ संगत केवल संभव (गैर-तुच्छ) टोपोलॉजी है। चूंकि कई खुले रैखिक मानचित्र हैं Rⁿ स्वयं के लिए जो आइसोमेट्री नहीं हैं, वहां कई यूक्लिडियन संरचनाएं हो सकती हैं Rⁿ जो ही टोपोलॉजी से मेल खाते हैं। वास्तव में, यह रैखिक संरचना पर भी बहुत अधिक निर्भर नहीं करता है: कई गैर-रैखिक भिन्नताएं (और अन्य होमोमोर्फिज्म) हैं Rⁿ खुद पर, या उसके हिस्से जैसे यूक्लिडियन ओपन बॉल या आरएन में #Polytopes)।

Rⁿ सांस्थितिक आयाम है n.

की टोपोलॉजी पर महत्वपूर्ण परिणाम Rⁿ, जो सतही से बहुत दूर है, L. E. J. Brouwer का डोमेन का व्युत्क्रम है। का कोई उपसमुच्चय Rⁿ (इसके उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) जो कि अन्य खुले उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है Rⁿ स्वयं खुला है। इसका तात्कालिक परिणाम यह होता है R^m के लिए होमियोमोर्फिज्म नहीं है Rⁿ यदि m ≠ n – सहज रूप से स्पष्ट परिणाम जो फिर भी साबित करना मुश्किल है।

टोपोलॉजिकल आयाम में अंतर के बावजूद, और भोली धारणा के विपरीत, कम-आयामी मैप करना संभव है वास्तविक स्थान निरंतर और विशेषण कार्य करता है Rⁿ. निरंतर (हालांकि चिकना नहीं) स्थान भरने वाला वक्र ( छवि R¹) संभव है।

उदाहरण

Empty column vector, the only element of R0

R1

एन ≤ 1

के मामले 0 ≤ n ≤ 1 कुछ भी नया ऑफर न करें: R¹ वास्तविक रेखा है, जबकि R⁰ (खाली कॉलम सदिश युक्त स्थान) सिंगलटन (गणित) है, जिसे शून्य सदिश स्थान के रूप में समझा जाता है। हालांकि, भिन्न-भिन्न वर्णन करने वाले सिद्धांतों के मामलों को तुच्छता (गणित) के रूप में शामिल करना उपयोगी है n.

एन = 2

हाइपरक्यूब और क्रॉस-पॉलीटॉप दोनों R² वर्ग हैं, किंतु शीर्षों के निर्देशांक अलग तरीके से व्यवस्थित हैं

Further information: द्वि-आयामी स्थान

Further information: कार्टेशियन विमान

See also: SL2(R)

एन = 3

घनक्षेत्र (हाइपरक्यूब) और अष्टफलक (क्रॉस-पॉलीटॉप)। R³. निर्देशांक नहीं दिखाए गए हैं

Main article: त्रि-आयामी स्थान

एन = 4

Further information: चार-आयामी स्थान

R⁴ इस तथ्य का उपयोग करके कल्पना की जा सकती है कि 16 अंक (x₁, x₂, x₃, x₄), जहां प्रत्येक x_k या तो 0 या 1 है, tesseract (चित्रित) के शिखर हैं, 4-हाइपरक्यूब (आरएन में #Polytopes देखें)।

का पहला प्रमुख प्रयोग R⁴ [[स्थान समय]] मॉडल है: तीन स्थानिक निर्देशांक और बार। यह सामान्यतः सापेक्षता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है, हालांकि गैलिलियो गैलिली के बाद से ऐसे मॉडलों के लिए चार आयामों का उपयोग किया गया था। सिद्धांत की पसंद अलग संरचना की ओर ले जाती है, हालांकि: गैलीलियन सापेक्षता में t निर्देशांक विशेषाधिकार प्राप्त है, किंतु आइंस्टीनियन सापेक्षता में ऐसा नहीं है। मिन्कोव्स्की स्थान में विशेष सापेक्षता निर्धारित की गई है। सामान्य सापेक्षता घुमावदार स्थानों का उपयोग करती है, जिसके बारे में सोचा जा सकता है R⁴ अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) के साथ। इनमें से कोई भी संरचना (सकारात्मक-निश्चित) मीट्रिक (गणित) प्रदान नहीं करती है R⁴.

इयूक्लिडियन R⁴ गणितज्ञों का भी ध्यान आकर्षित करता है, उदाहरण के लिए चतुष्कोणों से इसके संबंध के कारण, स्वयं क्षेत्र पर 4-आयामी बीजगणित। कुछ जानकारी के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन स्थान में घूर्णन देखें।

विभेदक ज्यामिति में, n = 4 एकमात्र मामला है जहां Rⁿ गैर-मानक विभेदक संरचना को स्वीकार करता है: विदेशी R4|विदेशी R देखें^{4</उप>।}

मानदंड चालू Rⁿ

सदिश स्थान पर कई मानदंडों को परिभाषित किया जा सकता है Rⁿ. कुछ सामान्य उदाहरण हैं

• पी-मानदंड, द्वारा परिभाषित ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ कहाँ पे $p$ सकारात्मक पूर्णांक है। मुकदमा $p=2$ बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह बिल्कुल यूक्लिडियन मानदंड है।
• द $\infty$-नॉर्म या अधिकतम मानदंड, द्वारा परिभाषित $\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$. यह सभी पी-मानदंडों की सीमा है: ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$.

वास्तव में आश्चर्यजनक और उपयोगी परिणाम यह है कि प्रत्येक मानदंड पर परिभाषित किया गया है Rⁿ समतुल्य मानदंड है। इसका मतलब दो मनमाने मानदंडों के लिए है $\|\cdot \|$ तथा $\|\cdot \|'$ पर Rⁿ आप हमेशा सकारात्मक वास्तविक संख्याएं पा सकते हैं $\alpha ,\beta >0$, ऐसा है कि

$$\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|$$

सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$.

यह सभी मानदंडों के सेट पर समानता संबंध को परिभाषित करता है Rⁿ. इस परिणाम से आप जाँच सकते हैं कि सदिशों का क्रम Rⁿ के साथ मिलती है $\|\cdot \|$ अगर और केवल अगर यह अभिसरण करता है $\|\cdot \|'$.

इस परिणाम का प्रमाण कैसा दिख सकता है इसका स्केच यहां दिया गया है:

तुल्यता संबंध के कारण यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक मानदंड चालू है Rⁿ यूक्लिडियन मानदंड के बराबर है $\|\cdot \|_{2}$. होने देना $\|\cdot \|$ मनमाना मानदंड हो Rⁿ. सबूत दो चरणों में बांटा गया है:

• हम दिखाते हैं कि मौजूद है $\beta >0$, ऐसा है कि $\|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$. इस चरण में आप इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि प्रत्येक $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ मानक आधार (रैखिक बीजगणित) के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: ${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$. फिर कॉची-श्वार्ज़ असमानता के साथ
  $$\|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},$$
  कहाँ पे ${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$.
• अब हमें खोजना है $\alpha >0$, ऐसा है कि $\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$. मान लीजिए कि ऐसा कोई नहीं है $\alpha$. फिर वहाँ हर के लिए मौजूद है $k\in \mathbb {N}$ a $\mathbf {x} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}$, ऐसा है कि $\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|$. दूसरा क्रम परिभाषित करें $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ द्वारा ${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$. यह क्रम परिबद्ध है क्योंकि $\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1$. तो बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के कारण अभिसारी अनुवर्तीता मौजूद है $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbb {N} }$ सीमा के साथ $\mathbf {a} \in$ Rⁿ. अब हम दिखाते हैं $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ किंतु $\mathbf {a} =\mathbf {0}$है, जो विरोधाभास है। यह है
  $$\|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,$$
  इसलिये $\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0$ तथा $0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}$, इसलिए ${\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0$. यह संकेत करता है $\|\mathbf {a} \|=0$, इसलिए $\mathbf {a} =\mathbf {0}$. दूसरी ओर $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$, इसलिये $\|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1$. यह कभी सच नहीं हो सकता, इसलिए धारणा झूठी थी और ऐसा मौजूद है $\alpha >0$.

यह भी देखें

• घातीय वस्तु, सुपरस्क्रिप्ट संकेतन की सैद्धांतिक व्याख्या के लिए
• वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान

संदर्भ

• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Munkres, James (1999). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.