संपूर्णत समतुल्य परत

बिखरने की समस्या के लिए परिमित-अंतर समय-डोमेन विधि योजना। धारीदार सीमाएँ पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों से मेल खाती हैं, जिनका उपयोग बाहरी तरंगों को अवशोषित करके खुली सीमाओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परत (पीएमएल) लहर समीकरणों के लिए एक कृत्रिम अवशोषित परत है, आमतौर पर खुली सीमाओं के साथ समस्याओं को अनुकरण करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में कम्प्यूटेशनल क्षेत्रों को छोटा करने के लिए उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से परिमित-अंतर समय-डोमेन विधि और परिमित तत्व विधि विधियों में। एक पीएमएल की प्रमुख संपत्ति जो इसे एक सामान्य अवशोषित सामग्री से अलग करती है, वह यह है कि इसे डिज़ाइन किया गया है ताकि गैर-पीएमएल माध्यम से पीएमएल पर आने वाली तरंगें इंटरफ़ेस पर प्रतिबिंबित न हों- यह संपत्ति पीएमएल को बाहर जाने वाली तरंगों को दृढ़ता से अवशोषित करने की अनुमति देती है एक कम्प्यूटेशनल क्षेत्र के इंटीरियर को वापस इंटीरियर में प्रतिबिंबित किए बिना।

पीएमएल मूल रूप से 1994 में बेरेंजर द्वारा तैयार किया गया था मैक्सवेल के समीकरणों के साथ उपयोग के लिए, और उस समय से मैक्सवेल के समीकरणों और अन्य तरंग-प्रकार के समीकरणों, जैसे इलास्टोडायनामिक्स, दोनों के लिए पीएमएल के कई संबंधित सुधार किए गए हैं। लीनियराइज़्ड यूलर समीकरण, हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण और पोरोइलास्टिसिटी। बेरेंजर के मूल सूत्रीकरण को स्प्लिट-फील्ड पीएमएल कहा जाता है, क्योंकि यह पीएमएल क्षेत्र में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को दो अभौतिक क्षेत्रों में विभाजित करता है। एक बाद का सूत्रीकरण जो अपनी सादगी और दक्षता के कारण अधिक लोकप्रिय हो गया है, उसे यूनिक्सियल पीएमएल या यूपीएमएल कहा जाता है। जिसमें PML को एक कृत्रिम द्विप्रतिरोध अवशोषक सामग्री के रूप में वर्णित किया गया है। हालांकि बेरेंजर के फॉर्मूलेशन और यूपीएमएल दोनों को शुरू में मैन्युअल रूप से उन परिस्थितियों का निर्माण करके प्राप्त किया गया था, जिसके तहत एक सजातीय माध्यम से पीएमएल इंटरफेस से घटना विमान तरंगें प्रतिबिंबित नहीं होती हैं, दोनों फॉर्मूलेशन को बाद में एक अधिक सुरुचिपूर्ण और सामान्य दृष्टिकोण के बराबर दिखाया गया था: 'स्ट्रेच्ड' - समन्वय पीएमएल '। विशेष रूप से, पीएमएल को एक समन्वय परिवर्तन के अनुरूप दिखाया गया था जिसमें एक (या अधिक) निर्देशांक जटिल संख्याओं में मैप किए जाते हैं; अधिक तकनीकी रूप से, यह वास्तव में जटिल निर्देशांक में तरंग समीकरण का एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है, जो तेजी से सड़ने वाली तरंगों द्वारा प्रसार (दोलन) तरंगों को प्रतिस्थापित करता है। यह दृष्टिकोण पीएमएल को अमानवीय मीडिया जैसे वेवगाइड्स के साथ-साथ अन्य समन्वय प्रणालियों और तरंग समीकरणों के लिए प्राप्त करने की अनुमति देता है।

तकनीकी विवरण

2D FDTD विधि में फैला हुआ समन्वय PML के माध्यम से एक स्पंदित गोलाकार तरंग का अवशोषण। सफेद बॉर्डर सिमुलेशन सीमा को इंगित करता है।

विशेष रूप से, x दिशा में फैलने वाली तरंगों को अवशोषित करने के लिए डिज़ाइन किए गए PML के लिए, निम्न परिवर्तन तरंग समीकरण में शामिल है। जहां भी एक एक्स डेरिवेटिव $\partial /\partial x$ तरंग समीकरण में प्रकट होता है, इसे इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

${\frac {\partial }{\partial x}}\to {\frac {1}{1+{\frac {i\sigma (x)}{\omega }}}}{\frac {\partial }{\partial x}}$

कहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $\sigma$ x का कुछ फलन (गणित) है। जहां कहीं भी $\sigma$ सकारात्मक है, प्रसार तरंगों को क्षीण किया जाता है क्योंकि:

$e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'},$

जहां हमने +x दिशा में प्रचार करने वाली एक समतल तरंग ली है (के लिए $k>0$) और जटिल निर्देशांक के लिए परिवर्तन (विश्लेषणात्मक निरंतरता) लागू किया: $x\to x+{\frac {i}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'$, या समकक्ष $dx\to dx(1+i\sigma /\omega )$. समान समन्वय परिवर्तन के कारण तरंगें क्षीण हो जाती हैं जब भी उनकी x निर्भरता रूप में होती है $e^{ikx}$ कुछ प्रसार स्थिरांक k के लिए: इसमें x अक्ष के साथ कुछ कोण पर प्रसारित होने वाली समतल तरंगें और वेवगाइड के अनुप्रस्थ मोड भी शामिल हैं।

उपरोक्त समन्वय परिवर्तन को परिवर्तित तरंग समीकरणों में छोड़ दिया जा सकता है, या यूपीएमएल विवरण बनाने के लिए भौतिक विवरण (जैसे मैक्सवेल के समीकरणों में पारगम्यता और पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व)) के साथ जोड़ा जा सकता है। गुणांक σ/ω आवृत्ति पर निर्भर करता है- ऐसा इसलिए है कि क्षीणन दर k/ω के समानुपाती होती है, जो ω और k के बीच फैलाव संबंध के कारण सजातीय सामग्री में आवृत्ति से स्वतंत्र होती है (भौतिक फैलाव शामिल नहीं है, उदाहरण के लिए खालीपन के लिए)। . हालाँकि, इस आवृत्ति-निर्भरता का अर्थ है कि PML का एक समय डोमेन कार्यान्वयन, उदा। FDTD विधि में, आवृत्ति-स्वतंत्र अवशोषक की तुलना में अधिक जटिल है, और इसमें सहायक अंतर समीकरण (ADE) दृष्टिकोण शामिल है (समतुल्य, i/ω समय डोमेन में एक अभिन्न या कनवल्शन के रूप में प्रकट होता है)।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतें, अपने मूल रूप में, केवल प्रसार तरंगों को क्षीण करती हैं; विशुद्ध रूप से क्षणभंगुर तरंगें (घातीय रूप से सड़ने वाले क्षेत्र) PML में दोलन करती हैं लेकिन अधिक तेज़ी से क्षय नहीं करती हैं। हालाँकि, पीएमएल में एक वास्तविक संख्या समन्वय को शामिल करके क्षणिक तरंगों के क्षीणन को भी तेज किया जा सकता है: यह उपरोक्त अभिव्यक्ति में σ को एक जटिल संख्या बनाने के अनुरूप है, जहां काल्पनिक भाग एक वास्तविक समन्वय खिंचाव उत्पन्न करता है जिससे वाष्पशील तरंगें क्षय हो जाती हैं। अधिक तेजी से।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों की सीमाएं

PML का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म में पसंद की अवशोषित सीमा तकनीक बन गई है। हालांकि यह ज्यादातर मामलों में अच्छी तरह से काम करता है, कुछ महत्वपूर्ण मामले हैं जिनमें यह टूट जाता है, अपरिहार्य प्रतिबिंबों या यहां तक ​​कि घातीय वृद्धि से पीड़ित होता है।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों के साथ एक चेतावनी यह है कि वे केवल सटीक, निरंतर तरंग समीकरण के लिए परावर्तन रहित हैं। एक बार एक कंप्यूटर पर अनुकरण के लिए तरंग समीकरण का विवेचन हो जाने के बाद, कुछ छोटे संख्यात्मक प्रतिबिंब दिखाई देते हैं (जो बढ़ते संकल्प के साथ गायब हो जाते हैं)। इस कारण से, पीएमएल अवशोषण गुणांक σ आमतौर पर लहर के तरंग दैर्ध्य के पैमाने पर कम दूरी पर शून्य (जैसे द्विघात समारोह) से धीरे-धीरे चालू होता है।सामान्य तौर पर, कोई भी अवशोषक, चाहे पीएमएल हो या नहीं, उस सीमा में प्रतिबिंब रहित होता है जहां यह पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे चालू होता है (और अवशोषित परत मोटी हो जाती है), लेकिन एक विवेकाधीन प्रणाली में पीएमएल का लाभ परिमित-मोटाई संक्रमण प्रतिबिंब को कम करना है एक साधारण आइसोट्रोपिक अवशोषण गुणांक की तुलना में परिमाण के कई आदेश।

कुछ सामग्रियों में, पश्च-तरंग समाधान होते हैं जिनमें समूह वेग और चरण वेग एक दूसरे के विपरीत होते हैं। यह इलेक्ट्रोमैग्नेटिज़्म के लिए और कुछ ठोस पदार्थों में ध्वनिक तरंगों के लिए बाएं हाथ के नकारात्मक सूचकांक मेटामेट्रीज़ में होता है, और इन मामलों में मानक पीएमएल फॉर्मूलेशन अस्थिर होता है: यह क्षय के बजाय घातीय वृद्धि की ओर जाता है, केवल इसलिए कि के चिह्न में फ़्लिप किया जाता है उपरोक्त विश्लेषण। सौभाग्य से, बाएं हाथ के माध्यम में एक सरल समाधान है (जिसके लिए सभी तरंगें पीछे की ओर हैं): केवल σ के चिह्न को फ़्लिप करें। हालाँकि, एक जटिलता यह है कि भौतिक बाएँ हाथ की सामग्री फैलाव (प्रकाशिकी) है: वे केवल एक निश्चित आवृत्ति सीमा के भीतर बाएँ हाथ की होती हैं, और इसलिए σ गुणांक को आवृत्ति-निर्भर बनाया जाना चाहिए। दुर्भाग्य से, विदेशी सामग्रियों के बिना भी, कोई भी कुछ वेवगाइडिंग संरचनाओं (जैसे कि इसके केंद्र में एक उच्च-सूचकांक सिलेंडर के साथ एक खोखली धातु ट्यूब) को डिज़ाइन कर सकता है, जो एक ही आवृत्ति पर पीछे की ओर और आगे-तरंग दोनों समाधानों को प्रदर्शित करता है, जैसे कि कोई भी संकेत विकल्प σ के लिए घातीय वृद्धि होगी, और ऐसे मामलों में PML अपरिवर्तनीय रूप से अस्थिर प्रतीत होता है। पीएमएल की एक और महत्वपूर्ण सीमा यह है कि जटिल निर्देशांक (जटिल समन्वय खिंचाव) के समाधान की विश्लेषणात्मक निरंतरता का समर्थन करने के लिए माध्यम को सीमा के ओर्थोगोनल दिशा में परिवर्तनीय होना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, आवधिक मीडिया (जैसे फोटोनिक क्रिस्टल या ध्वनिक मेटामटेरियल्स) के मामले में पीएमएल दृष्टिकोण अब मान्य नहीं है (अनंत संकल्प पर प्रतिबिंबहीन नहीं है)। या केवल एक वेवगाइड जो तिरछे कोण पर सीमा में प्रवेश करता है।

यह भी देखें

• कैनिआर्ड-डी हूप विधि

बाहरी संबंध

• Animation on the effects of PML (YouTube)