अति सूक्ष्म: Difference between revisions

Latest revision as of 09:32, 21 April 2023

हाइपररियल नंबर लाइन (ε = 1/ω) पर इनफिनिटिमल्स (ε) और इन्फिनिटीज़ (ω)

गणित में, अतिसूक्ष्म संख्या वह मात्रा है जो किसी भी मानक की वास्तविक संख्या की तुलना में 0 के समीप रहती है, किन्तु शून्य नहीं होती है। इस शब्द के अनुसार अनंतता 17वीं सदी के न्यू लैटिन इन्फिनिटसिमस से आया है, जो मूल रूप से अनुक्रम में अनंत-क्रमिक संख्या (भाषाविज्ञान) आइटम को संदर्भित करता है।

मानक वास्तविक संख्या प्रणाली में अपरिमेय सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु वे अन्य संख्या प्रणालियों में सम्मिलित होते हैं, जैसे कि वास्तविक संख्या और अतिवास्तविक संख्या, जिसे वास्तविक संख्या के रूप में माना जा सकता है, जो कि मुख्य रूप से इसकी अनंत मात्रा को दोनों के साथ संवर्धित करती है, इस संवर्द्धन में दूसरे के गुणात्मक व्युत्क्रम प्रदर्शित होते हैं।

कैलकुलस के इतिहास में अपरिमेय संख्याओं का परिचय दिया गया, जिसमें अवकलन की कल्पना सबसे पहले दो अतिसूक्ष्म राशियों के अनुपात के रूप में की गई थी। इस प्रकार यह परिभाषा कठोर गणितीय कठोरता नहीं थी। इस प्रकार जैसे-जैसे कैलकुलस का और विकास हुआ, इनफिनिटिमल्स को लिमिट (गणित) से बदल दिया गया, जिसकी गणना मानक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके की जा सकती है।

अब्राहम रॉबिन्सन के गैर-मानक विश्लेषण और अतिवास्तविक संख्याओं के विकास के साथ 20वीं शताब्दी में इन्फिनिटिमल्स ने फिर से लोकप्रियता हासिल की, जिसने सदियों के विवाद के बाद दिखाया कि इन्फिनिटिमल कैलकुलस का औपचारिक उपचार संभव था। इसके बाद, गणितज्ञों ने अतियथार्थवादी संख्याएँ विकसित कीं हैं, जो अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं से संबंधित औपचारिकता है जिसमें अतिवास्तविक कार्डिनल संख्या और क्रमसूचक संख्या दोनों सम्मिलित हैं, जो कि सबसे बड़ा क्रमित क्षेत्र है।

व्लादिमीर अर्नोल्ड ने 1990 में लिखा था:

आजकल, विश्लेषण पढ़ाते समय, अतिसूक्ष्म मात्राओं के बारे में बात करना बहुत लोकप्रिय नहीं है। परिणामस्वरूप, वर्तमान समय के छात्र पूर्ण रूप से इस भाषा के कमांड में नहीं हैं। फिर भी, इसकी आज्ञा होना अभी भी आवश्यक है।^[1]

महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि^[whose?] इनफिनिटिमल्स को व्यवहारिक गणितीय संस्थाओं के लिए यह था कि वे अभी भी कुछ गुणों जैसे कि कोण या प्रवणता को बनाए रख सकते हैं, भले ही ये इकाइयां मुख्य रूप से छोटी हों।^[2]गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा विकसित कैलकुलस में इनफिनिटिमल्स मौलिक घटक हैं, जिसमें निरंतरता का नियम और एकरूपता का अनुवांशिक नियम सम्मिलित होता है। इस प्रकार सामान्य भाषा में अतिसूक्ष्म वस्तु ऐसी वस्तु है जो किसी भी व्यवहारिक माप से छोटी है, किन्तु आकार में शून्य नहीं है - या इतनी छोटी है कि इसे किसी भी उपलब्ध माध्यम से शून्य से पृथक नहीं किया जा सकता है। इसलिए जब गणित में विशेषण के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो अत्यल्प अतिसूक्ष्म का अर्थ होता है, इसके मुख्य रूप को छोटा करके किसी भी मानक वास्तविक संख्या से छोटा कर सकते हैं। इस प्रकार इनफिनिटिमल्स की तुलना अधिकांशतः समान आकार के अन्य इनफिनिटिमल्स से की जाती है, जैसा कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की जांच करने में होता है। इस प्रकार समाकलन की गणना करने के लिए अपरिमित संख्या में अपरिमित संख्याओं का योग किया जाता है।

इनफिनिटिमल्स की अवधारणा मूल रूप से 1670 के आसपास या तो निकोलस मर्केटर या गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा प्रस्तुत की गई थी।^[3] आर्किमिडीज ने अपने कार्य यांत्रिक प्रमेयों की विधि में क्षेत्रों के क्षेत्रों और ठोस पदार्थों के आयतन को खोजने के लिए अंततः अविभाज्य की विधि के रूप में जाना जाने वाला उपयोग किया था।^[4] अपने औपचारिक प्रकाशित ग्रंथों में, आर्किमिडीज़ ने थकावट की विधि का उपयोग करके उसी समस्या को हल किया गया था। इस प्रकार 15वीं शताब्दी में क्यूसा के निकोलस के कार्य को देखा गया, जो 17वीं शताब्दी में जोहान्स केप्लर द्वारा विकसित किया गया था, इस प्रकार विशेष रूप से इसके बाद वाले रूप को अनंत-पक्षीय बहुभुज के रूप में प्रस्तुत करके वृत्त के क्षेत्रफल की गणना की गयी थी। इसके सोलहवीं शताब्दी में सभी संख्याओं के दशमलव निरूपण पर साइमन स्टीवन के कार्य ने वास्तविक सातत्य के लिए आधार तैयार किया गया था। बोनवेंट्योर कैवलियरी की अविभाज्यता की पद्धति ने मौलिक लेखकों के परिणामों के विस्तार का नेतृत्व किया गया था। ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित अविभाज्यता की विधि को कोडिमेंशन 1 की संस्थाओं से बना है।^{[clarification needed]} जॉन वालिस के इनफिनिटिमल्स अविभाज्य से भिन्न थे कि वह ज्यामितीय आकृतियों को उसी आयाम के मुख्य रूप से पतले बिल्डिंग ब्लॉक्स में विघटित कर देता हैं, जो इंटीग्रल कैलकुलस के सामान्य तरीकों के लिए जमीन तैयार करता है। उन्होंने क्षेत्रफल की गणना में 1/∞ को इंगित करने वाले अतिसूक्ष्म का उपयोग किया गया था।

लीबनिज द्वारा इनफिनिटिमल्स का उपयोग हेयुरिस्टिक सिद्धांतों पर निर्भर करता है, जैसे कि निरंतरता का नियम: परिमित संख्याओं के लिए जो सफल होता है वह अनंत संख्याओं के लिए भी सफल होता है और इसके विपरीत और एकरूपता का अनुभवातीत नियम जो अनिर्दिष्ट मात्राओं वाले व्यंजकों को केवल आबंटित करने योग्य व्यंजकों से परिवर्तित करने की प्रक्रियाओं को निर्दिष्ट करता है। 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर और जोसेफ-लुई लाग्रेंज जैसे गणितज्ञों द्वारा इनफिनिटिमल्स का नियमित उपयोग देखा गया था। इस प्रकार ऑगस्टिन-लुई कॉची ने अपने कोर्ट्स डी'एनालिसिस में निरंतर कार्य को परिभाषित करने और डिराक डेल्टा फलन के प्रारंभिक रूप को परिभाषित करने के लिए इनफिनिटिमल्स का शोषण किया था। जैसा कि कैंटर और रिचर्ड डेडेकिंड स्टीविन के सातत्य के अधिक सार संस्करण विकसित कर रहे थे, पॉल डु बोइस-रेमंड ने कार्यों की विकास दर के आधार पर अत्यल्प-समृद्ध महाद्वीप पर कई पत्र लिखे गए थे। इस प्रकार डुबोइस-रेमंड के कार्य ने एमिल बोरेल और थोराल्फ़ स्कोलेम दोनों को प्रेरित किया था। बोरेल ने स्पष्ट रूप से डु बोइस-रेमंड के कार्य को कॉची के कार्य से संयोजित किया था, जो कि इनफिनिटिमल्स की वृद्धि दर पर है। स्कोलेम ने 1934 में अंकगणित के पहले गैर-मानक मॉडल विकसित किए थे। 1961 में अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा निरंतरता और अत्यल्पता के नियम दोनों का गणितीय कार्यान्वयन प्राप्त किया गया था, जिन्होंने 1948 में एडविन हेविट और 1955 में जेरज़ी लोश के पहले के कार्य के आधार पर गैर-मानक विश्लेषण विकसित किया गया था। अति वास्तविक संख्या अतिसूक्ष्म-समृद्ध सातत्य को लागू करती है और स्थानांतरण सिद्धांत लीबनिज के निरंतरता के नियम को लागू करता है। मानक भाग फ़ंक्शन फ़र्मेट की पर्याप्तता को लागू करता है।

अनंत का इतिहास

इलियटिक स्कूल द्वारा मुख्य रूप से छोटी मात्राओं की धारणा पर चर्चा की गई थी। ग्रीक गणित गणितज्ञ आर्किमिडीज़ (सी. 287 ईसा पूर्व – सी. 212 ई.पू.), द मेथड ऑफ़ मैकेनिकल थ्योरम्स में, सबसे पहले इन्फिनिटिमल्स की तार्किक रूप से कठोर परिभाषा प्रस्तावित करने वाले थे।^[5] उनकी आर्किमिडीयन संपत्ति संख्या x को अनंत के रूप में परिभाषित करती है, इस प्रकार यदि यह शर्तों को पूरा करती है, इस प्रकार |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., और अनंत है, इस कारण यदि x≠0 और a शर्तों का समान समूह x और धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रमों के लिए लागू होता है। इस संख्या प्रणाली को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि इसमें कोई अनंत या अपरिमेय सदस्य नहीं होते हैं।

अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस ने अपनी 1655 की पुस्तक ट्रीटिस ऑन द कॉनिक सेक्शन में अभिव्यक्ति 1/∞ को प्रारंभ किया था। इसका प्रतीक ∞ के व्युत्क्रम, या व्युत्क्रम को दर्शाता है, अतिसूक्ष्म की गणितीय अवधारणा का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व है। शांकव अनुभागों पर अपने ग्रंथ में, वालिस ने अत्यल्प 1/∞ के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के बीच संबंध की अवधारणा पर भी चर्चा की जिसे उन्होंने प्रस्तुत किया और इस प्रकार अनंत की अवधारणा जिसके लिए उन्होंने प्रतीक ∞ का प्रारंभ किया था। अवधारणा परिमित क्षेत्र बनाने के लिए मुख्य चौड़ाई के समानांतर चतुर्भुजों की अनंत संख्या के संयोजन का विचार प्रयोग सुझाती है। यह अवधारणा समाकलन गणित में उपयोग की जाने वाली एकीकरण की आधुनिक पद्धति की पूर्ववर्ती थी। इस प्रकार अतिसूक्ष्म 1/∞ की अवधारणा के वैचारिक उद्गम का पता एलिया के ग्रीक दार्शनिक ज़ेनो के रूप में लगाया जा सकता है, जिसका ज़ेनो का द्विभाजन विरोधाभास परिमित अंतराल और अंतराल के बीच के संबंध पर विचार करने वाली पहली गणितीय अवधारणा थी। जिसके लिए अतिसूक्ष्म आकार का अंतराल उपयोग में लिया जाता हैं।

17 वीं शताब्दी के यूरोप में इन्फिनिटिमल्स राजनीतिक और धार्मिक विवादों का विषय थे, जिसमें 1632 में रोम में मौलवियों द्वारा प्रस्तुत किए गए इनफिनिटिमल्स पर प्रतिबंध भी सम्मिलित था।^[6] कलन के आविष्कार से पहले गणितज्ञ पियरे डी फर्मेट की पर्याप्तता की विधि और रेने डेसकार्टेस की सामान्य पद्धति का उपयोग करके स्पर्श रेखाओं की गणना करने में सक्षम थे। विद्वानों के बीच इस बात को लेकर यह विवाद है कि क्या यह विधि अतिसूक्ष्म थी या प्रकृति में बीजगणितीय थी। इस प्रकार जब आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लीबनिज ने इनफिनिटिमल कैलकुलस का आविष्कार किया गया था, तो उन्होंने इनफिनिटिमल्स, न्यूटन के फ्लक्सन (गणित) और लीबनिज के अंतर (इनफिनिटिमल) का उपयोग किया था। इस प्रकार जॉर्ज बर्कले ने अपने कार्य विश्लेषक में इनफिनिटिमल्स के उपयोग पर गलत के रूप में हमला किया था।^[7] इन गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों ने सही परिणाम प्राप्त करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग करना प्रस्तुत किया गया था। इस प्रकार उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, ऑगस्टिन-लुई कॉची, बर्नार्ड बोलजानो, कार्ल वीयरस्ट्रास, जॉर्ज कैंटर, रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य लोगों द्वारा (ε, δ) - सीमा और समुच्चय सिद्धांत की परिभाषा का उपयोग करके कैलकुलस में सुधार किया गया था।

जबकि कैंटर, डेडेकिंड और वेइरस्ट्रास के अनुयायियों ने इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण से छुटकारा पाने की मांग की थी, और बर्ट्रेंड रसेल और रुडोल्फ कार्नाप जैसे उनके दार्शनिक सहयोगियों ने घोषणा की कि इनफिनिटिमल्स स्यूडोकॉन्सेप्ट्स हैं, हरमन कोहेन और उनके नव-कांतियनवाद के मारबर्ग स्कूल ने इन कार्यों के तर्क विकसित करने की मांग की थी। इंफीनिमल्स ^[8] फ़िलिप एर्लिच (2006) द्वारा प्रलेखित, उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी के समय टुल्लियो लेवी-सिविता या लेवी-सिविता, ग्यूसेप वेरोनीज़, पॉल डू बोइस-रेमंड और अन्य के कार्य के माध्यम से इन्फिनिटिमल्स युक्त प्रणालियों का गणितीय अध्ययन प्रस्तुत किया था। इसके लिए 20वीं सदी में, यह पाया गया था कि इनफिनिटिमल्स कैलकुलस और विश्लेषण के लिए आधार के रूप में कार्य कर सकते हैं।

प्रथम-क्रम गुण

अनंत और अतिसूक्ष्म मात्राओं को सम्मिलित करने के लिए वास्तविक संख्याओं का विस्तार करने में, सामान्यतः उनके किसी भी प्राथमिक गुणों को न परिवर्तित किये जितना संभव हो उतना रूढ़िवादी होना चाहता है। यह गारंटी देता है कि यथासंभव अधिक से अधिक जाने-पहचाने परिणाम अभी भी उपलब्ध हैं। सामान्यतः इसका प्राथमिक अर्थ है कि समुच्चय (गणित) पर कोई परिमाणीकरण (तर्क) नहीं है, बल्कि केवल अवयवों पर है। यह सीमा किसी भी संख्या x के लिए प्रपत्र के कथनों की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या x, x + 0 = x के लिए वर्णित अभिगृहीत अभी भी लागू होगा। यही बात कई संख्याओं के परिमाणीकरण के लिए भी सही है, उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या x और y, xy = yx के लिए किया जाता हैं। चूंकि संख्या के किसी भी समुच्चय S के लिए फॉर्म के विवरण को प्रस्तुत नहीं रखा जा सकता है। परिमाणीकरण पर इस सीमा के साथ तर्क को प्रथम-क्रम तर्क कहा जाता है।

परिणामी विस्तारित संख्या प्रणाली उन सभी गुणों पर वास्तविक से सहमत नहीं हो सकती है जिन्हें समुच्चय पर परिमाणीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि इस प्रकार लक्ष्य गैर-आर्किमिडीयन प्रणाली का निर्माण करना है, और आर्किमिडीज़ सिद्धांत को समुच्चय पर परिमाणीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। कोई भी सिद्धांतों को वास्तविक रूप से विस्तारित कर सकता है, इस प्रकार जिसमें समुच्चय सिद्धांत भी सम्मिलित है, इनफिनिटिमल्स को सम्मिलित करने के लिए, केवल स्वयंसिद्धों की अनगिनत अनंत सूची जोड़कर, जो यह प्रमाणित करता है कि संख्या 1/2, 1/3, 1/4, और इसी प्रकार से छोटी है। इसी प्रकार पूर्ण मीट्रिक समतल संपत्ति को आगे ले जाने की उम्मीद नहीं की जा सकती है, क्योंकि वास्तविक समरूपता तक अद्वितीय पूर्ण आदेशित क्षेत्र हैं।

हम तीन स्तरों में अंतर कर सकते हैं जिन पर गैर-आर्किमिडीयन संख्या प्रणाली में वास्तविक के साथ संगत प्रथम-क्रम गुण हो सकते हैं:

एक आदेशित क्षेत्र वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी सामान्य स्वयंसिद्धों का पालन करता है जिन्हें प्रथम-क्रम तर्क में कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेयता स्वयंसिद्ध x + y = y + x धारण करता है।
एक वास्तविक बंद क्षेत्र में वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी प्रथम-क्रम गुण होते हैं, भले ही उन्हें मूल आदेशित फ़ील्ड संबंधों +, ×, और ≤ से जुड़े बातों के लिए सामान्यतः स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है या नहीं इस बात का ध्यान रखते हैं। इस प्रकार आदेशित क्षेत्र के स्वयंसिद्धों का पालन करने की तुलना में यह मजबूत स्थिति है। इसे अधिक विशेष रूप में अतिरिक्त प्रथम-क्रम गुण सम्मिलित हैं, जैसे कि प्रत्येक विषम-डिग्री बहुपद के लिए रूट का अस्तित्व हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक संख्या का घनमूल होना चाहिए।
सिस्टम में किसी भी संबंध से जुड़े बयानों के लिए वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी प्रथम-क्रम गुण हो सकते हैं (भले ही उन संबंधों को +, × और ≤ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है)। उदाहरण के लिए, एक उन लोगों के फ़ंक्शन होना चाहिए जो इस प्रकार अनंत इनपुट के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होती हैं इसका प्रत्येक वास्तविक कार्य के लिए भी यही सत्य है।

स्पेक्ट्रम के कमजोर छोर पर श्रेणी 1 में सिस्टम के निर्माण के लिए अपेक्षाकृत सरल हैं, किन्तु न्यूटन और लाइबनिज की भावना में अपरिमेय का उपयोग करके मौलिक विश्लेषण के पूर्ण उपचार की अनुमति नहीं देते हैं। उदाहरण के लिए, पारलौकिक कार्यों को अनंत सीमित प्रक्रियाओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, और इस प्रकार इसलिए उन्हें पहले क्रम के तर्क में परिभाषित करने का कोई तरीका नहीं है। श्रेणी 2 और 3 में जाने से प्रणाली की विश्लेषणात्मक शक्ति में वृद्धि करते हुए हम पाते हैं कि उपचार का स्वाद कम रचनात्मक हो जाता है, और अनंत और अपरिमेय की पदानुक्रमित संरचना के बारे में कुछ भी ठोस कहना कठिन हो जाता है।

संख्या प्रणालियाँ जिनमें इनफिनिटिमल्स सम्मिलित हैं

औपचारिक श्रृंखला

लॉरेंट श्रृंखला

उपरोक्त श्रेणी 1 का उदाहरण लॉरेंट श्रृंखला का क्षेत्र है जिसमें नकारात्मक-शक्ति शर्तों की सीमित संख्या है। उदाहरण के लिए, लॉरेंट श्रृंखला जिसमें केवल निरंतर शब्द 1 सम्मिलित है, वास्तविक संख्या 1 के साथ पहचाना जाता है, और केवल रैखिक शब्द x वाली श्रृंखला को सबसे सरल अपरिमेय माना जाता है, जिससे अन्य अपरिमेय निर्मित होते हैं। इसके लिए डिक्शनरी ऑर्डरिंग का उपयोग किया जाता है, जो निम्न शक्तियों की तुलना में x की उच्च शक्तियों को नगण्य मानने के बराबर है। इस कारण डेविड ओ टाल^[9] इस प्रणाली को सुपर-वास्तविक के रूप में संदर्भित करता है, डेल्स और वुडिन की सुपर-वास्तविक संख्या प्रणाली के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। चूँकि टेलर श्रृंखला का मूल्यांकन लॉरेंट श्रृंखला के साथ किया जाता है क्योंकि इसका तर्क अभी भी लॉरेंट श्रृंखला है, यदि वे विश्लेषणात्मक हैं तो प्रणाली का उपयोग पारलौकिक कार्यों पर कलन करने के लिए किया जा सकता है। इन अत्यणुओं के पहले-क्रम के गुण वास्तविक से भिन्न होते हैं, क्योंकि उदाहरण के लिए मौलिक अत्यल्प x का वर्गमूल नहीं होता है।

लेवी-सिविता क्षेत्र

लेवी-सिविता क्षेत्र लॉरेंट श्रृंखला के समान है, किन्तु बीजगणितीय रूप से बंद है। उदाहरण के लिए, बेसिक इनफिनिटिमल x का वर्गमूल है। इस प्रकार यह क्षेत्र पर्याप्त मात्रा में विश्लेषण करने की अनुमति देने के लिए पर्याप्त समृद्ध है, किन्तु इसके अवयवों को अभी भी कंप्यूटर पर उसी अर्थ में प्रदर्शित किया जा सकता है, जैसे वास्तविक संख्याओं को फ़्लोटिंग-पॉइंट में प्रदर्शित किया जा सकता है।^[10]

ट्रांस श्रृंखला

ट्रांस श्रृंखला का क्षेत्र लेवी-सिविता क्षेत्र से बड़ा है।^[11] ट्रांस श्रृंखला का उदाहरण है:

e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},

जहां आदेश देने के प्रयोजनों के लिए x को अनंत माना जाता है।

वास्तविक संख्या

कॉनवे की वास्तविक संख्याएँ श्रेणी 2 में आती हैं, सिवाय इसके कि वास्तविक संख्याएँ उचित वर्ग बनाती हैं न कि समुच्चय के लिए बनाती हैं।^[12] ये ऐसी प्रणाली हैं जो इस प्रकार संख्याओं के विभिन्न आकारों में जितना संभव हो उतना समृद्ध होने के लिए डिज़ाइन की गई हैं, किन्तु विश्लेषण करने में सुविधा के लिए आवश्यक नहीं है, इस प्रकार इस अर्थ में कि प्रत्येक आदेशित फ़ील्ड वास्तविक संख्याओं का उपक्षेत्र है।^[13] इस प्रकार वास्तविक संख्या के लिए घातीय कार्य का स्वाभाविक विस्तार है।^[14]^{: ch. 10}

हाइपररियल्स

1960 के दशक में अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा विकसित इनफिनिटिमल्स को संभालने के लिए सबसे व्यापक तकनीक हाइपररियल्स है। वे उपरोक्त श्रेणी 3 में आते हैं, उन्हें इस तरह से डिज़ाइन किया गया है जिससे कि सभी मौलिक विश्लेषणों को वास्तविक से आगे ले जाया जा सके। इस प्रकार प्राकृतिक तरीके से सभी संबंधों को आगे बढ़ाने में सक्षम होने की इस संपत्ति को हस्तांतरण सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जिसे 1955 में जेर्जी लाॅस द्वारा सिद्ध किया गया था। उदाहरण के लिए, पारलौकिक कार्य sin का प्राकृतिक प्रतिपक्ष है जो अतिवास्तविक इनपुट लेता है और अतिवास्तविक देता है। इसके आउटपुट और इसी प्रकार की प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {N}$ प्राकृतिक समकक्ष है इसके लिए $^{*}\mathbb {N}$ , जिसमें परिमित और अनंत दोनों पूर्णांक हैं। इस प्रकार इसके प्रस्ताव जैसे $\forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0$ के रूप में हाइपररियल्स $\forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0$ को ले जाता है।

सुपररियल्स

डेल्स और वुडिन का सुपररियल संख्या प्रणाली हाइपररियल्स का सामान्यीकरण है। यह डेविड टॉल द्वारा परिभाषित सुपर रियल सिस्टम से अलग है।

दोहरी संख्या

रेखीय बीजगणित में, दोहरी संख्याएं अपरिमित को जोड़कर वास्तविक का विस्तार करती हैं, इसके लिए ε के मान के साथ नया अवयव ε² = 0 अर्थात, ε शून्य है। प्रत्येक दोहरी संख्या का रूप z = a + bε होता है जिसमें a और b विशिष्ट रूप से निर्धारित वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

इस प्रकार दोहरी संख्याओं का अनुप्रयोग स्वचालित विभेदीकरण है। एन-आयामी वेक्टर समतल के बाहरी बीजगणित का उपयोग करके, इस एप्लिकेशन को एन वेरिएबल्स में बहुपदों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

समतल अतिसूक्ष्म विश्लेषण

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