कक्षा (गतिकी): Difference between revisions

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== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
[[File:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|right|thumb|300px|सरल हार्मोनिक गति में द्रव्यमान-वसंत प्रणाली की आवधिक कक्षा को दर्शाने वाला आरेख। (यहाँ दो आरेखों को संरेखित करने के लिए वेग और स्थिति अक्षों को मानक सम्मेलन से उलट दिया गया है)]]''T a'' [[समूह (गणित)]], ''M'' a [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] और Φ विकास समारोह के साथ एक गतिशील प्रणाली (''T'', ''M'', Φ) को देखते हुए
[[File:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|right|thumb|300px|सरल हार्मोनिक गति में द्रव्यमान-वसंत प्रणाली की आवधिक कक्षा को दर्शाने वाला आरेख। (यहाँ दो आरेखों को संरेखित करने के लिए वेग और स्थिति अक्षों को मानक सम्मेलन से उलट दिया गया है)]]''T'' [[समूह (गणित)]], ''M'' [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] और Φ विकास समारोह के साथ गतिशील प्रणाली (''T'', ''M'', Φ) को देखते हुए


:<math>\Phi: U \to M</math> कहाँ <math>U \subset T \times M</math> साथ <math>\Phi(0,x)=x</math>
:<math>\Phi: U \to M</math>  
हम परिभाषित करते हैं
:जहाँ <math>U \subset T \times M</math> साथ <math>\Phi(0,x)=x</math>
हम परिभाषित करते हैं-


:<math>I(x):=\{t \in T : (t,x) \in U \},</math>
:<math>I(x):=\{t \in T : (t,x) \in U \},</math>
फिर समुच्चय
फिर समुच्चय-


:<math>\gamma_x:=\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\} \subset M</math>
:<math>\gamma_x:=\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\} \subset M</math>
''x'' के माध्यम से कक्षा कहा जाता है। एक कक्षा जिसमें एक बिंदु होता है। स्थिर कक्षा कहलाती है। एक गैर-निरंतर कक्षा को बंद या आवधिक कहा जाता है। यदि उपस्थितहो <math>t\neq 0</math> में <math>I(x)</math> ऐसा है कि
''x'' के माध्यम से कक्षा कहा जाता है। एक कक्षा जिसमें एक बिंदु होता है, वह स्थिर कक्षा कहलाती है। एक गैर-निरंतर कक्षा को बंद या आवधिक कहा जाता है। यदि उपस्थित हो
 
<math>t\neq 0</math> में <math>I(x)</math>  
 
ऐसा है कि-
:<math>\Phi(t, x) = x </math>.
:<math>\Phi(t, x) = x </math>.


=== वास्तविक गतिशील प्रणाली ===
=== वास्तविक गतिशील प्रणाली ===


एक वास्तविक गतिशील प्रणाली (''R'', ''M'', Φ) को देखते हुए (x) [[वास्तविक संख्या]] में खुला अंतराल है। जो <math>I(x) = (t_x^- , t_x^+)</math>. ''M'' में किसी भी ''x'' ए के लिए
वास्तविक गतिशील प्रणाली (''R'', ''M'', Φ) को देखते हुए (x) [[वास्तविक संख्या]] में खुला अंतराल है। जो <math>I(x) = (t_x^- , t_x^+)</math>. ''M'' में किसी भी ''x'' के लिए
:<math>\gamma_{x}^{+} := \{\Phi(t,x) : t \in (0,t_x^+)\}</math>
:<math>\gamma_{x}^{+} := \{\Phi(t,x) : t \in (0,t_x^+)\}</math>
'x' और के माध्यम से सकारात्मक अर्ध-कक्षा कहा जाता है।
'x' और के माध्यम से सकारात्मक अर्ध-कक्षा कहा जाता है।
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=== असतत समय गतिशील प्रणाली ===
=== असतत समय गतिशील प्रणाली ===
असतत समय गतिशील प्रणाली के लिए
असतत समय गतिशील प्रणाली के लिए x की आगे की कक्षा समुच्चय है।
 
x की आगे की कक्षा समुच्चय है।
:<math> \gamma_{x}^{+} \  \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}  \    \{ \Phi(t,x) : t \ge 0 \} </math>
:<math> \gamma_{x}^{+} \  \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}  \    \{ \Phi(t,x) : t \ge 0 \} </math>
x की पश्च कक्षा समुच्चय है।
x की पश्च कक्षा समुच्चय है।
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:<math>\gamma_{x}  \  \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}  \  \gamma_{x}^{-} \cup \gamma_{x}^{+} </math>
:<math>\gamma_{x}  \  \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}  \  \gamma_{x}^{-} \cup \gamma_{x}^{+} </math>
कहाँ:
जहां:
* <math>\Phi</math> एक विकास कार्य है। <math>\Phi : X \to X </math> जो यहाँ एक पुनरावृत्त कार्य है।
* <math>\Phi</math> एक विकास कार्य है। <math>\Phi : X \to X </math> जो यहाँ एक पुनरावृत्त कार्य है।
* तय करना <math>X</math> गतिशील स्थान है।
* <math>X</math> गतिशील स्थान निश्चित करता है।
*<math>t</math> पुनरावृत्ति की संख्या है। जो [[प्राकृतिक संख्या]] है और <math>t \in T </math>
*<math>t</math> पुनरावृत्ति की संख्या है। जो [[प्राकृतिक संख्या]] है और <math>t \in T </math>
*<math>x</math> प्रणाली की प्रारंभिक अवस्था है और <math>x \in X </math>
*<math>x</math> प्रणाली की प्रारंभिक अवस्था है और <math>x \in X </math>
सामान्यतः अलग संकेतन प्रयोग किया जाता है।
सामान्यतः अलग संकेतन प्रयोग किया जाता है।


*<math>\Phi(t,x)</math> के रूप में लिखा गया है <math>\Phi^{t}(x)</math>
*<math>\Phi(t,x)</math> के रूप में <math>\Phi^{t}(x)</math> लिखा गया है।
*<math>x_t = \Phi^{t}(x)</math> कहाँ <math>x_0 </math> है। <math>x </math> उपरोक्त अंकन में।
*<math>x </math> उपरोक्त अंकन में <math>x_t = \Phi^{t}(x)</math> जहां <math>x_0 </math> है।  


=== सामान्य गतिशील प्रणाली ===
=== सामान्य गतिशील प्रणाली ===
सामान्य गतिशील प्रणाली के लिए विशेष रूप से सजातीय गतिशीलता में जब किसी के पास एक अच्छा समूह होता है। <math>G</math> संभाव्यता स्थान पर कार्य करना <math>X</math> माप-संरक्षण तरीके से कक्षा <math>G.x \subset X</math> स्टेबलाइजर होने पर आवधिक (या समकक्ष, बंद) कहा जाएगा। <math>Stab_{G}(x)</math> अंदर एक जाली है <math>G</math>.
सामान्य गतिशील प्रणाली के लिए विशेष रूप से सजातीय गतिशीलता में जब किसी के पास एक अच्छा समूह होता है। <math>G</math> संभाव्यता स्थान पर कार्य करना <math>X</math> माप-संरक्षण प्रकार से कक्षा <math>G.x \subset X</math> स्टेबलाइजर होने पर आवधिक (या समकक्ष, बंद) कहा जाएगा। <math>Stab_{G}(x)</math> अंदर एक जाली <math>G</math> है।


इसके अतिरिक्त संबंधित शब्द बंधी हुई कक्षा है। जब समुच्चय <math>G.x</math> अंदर प्री-कॉम्पैक्ट है <math>X</math>.
इसके अतिरिक्त संबंधित शब्द बंधी हुई कक्षा है। जब समुच्चय <math>G.x</math> अंदर प्री-कॉम्पैक्ट <math>X</math> है।


कक्षाओं के वर्गीकरण से अन्य गणितीय क्षेत्रों के संबंध में दिलचस्प प्रश्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए ओपेनहाइम अनुमान (मार्गुलिस द्वारा सिद्ध) और लिटिलवुड अनुमान (आंशिक रूप से लिंडेनस्ट्रॉस द्वारा सिद्ध) इस सवाल से निपट रहे हैं। कि क्या किसी प्राकृतिक क्रिया की प्रत्येक परिबद्ध कक्षा पर सजातीय स्थान <math>SL_{3}(\mathbb{R})\backslash SL_{3}(\mathbb{Z})</math> वास्तव में आवधिक है। यह अवलोकन रघुनाथन के कारण है और दूसरी भाषा में कैसल्स और स्विनर्टन-डायर के कारण है। इस तरह के प्रश्न गहरे माप-वर्गीकरण प्रमेयों से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं।
कक्षाओं के वर्गीकरण से अन्य गणितीय क्षेत्रों के संबंध में अच्छे प्रश्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए ओपेनहाइम अनुमान (मार्गुलिस द्वारा सिद्ध) और लिटिलवुड अनुमान (आंशिक रूप से लिंडेनस्ट्रॉस द्वारा सिद्ध) इस सवाल से निश्चित रहे हैं कि क्या किसी प्राकृतिक क्रिया की प्रत्येक परिबद्ध कक्षा पर सजातीय स्थान <math>SL_{3}(\mathbb{R})\backslash SL_{3}(\mathbb{Z})</math> वास्तव में आवधिक है। यह अवलोकन रघुनाथन के कारण है और दूसरी भाषा में कैसल्स और स्विनर्टन-डायर के कारण है। इस प्रकार के प्रश्न गहरे माप-वर्गीकरण प्रमेयों से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं।


=== टिप्पणियाँ ===
=== टिप्पणियाँ ===


अधिकांशतः ऐसा होता है कि विकास कार्य को एक समूह के तत्वों को बनाने के लिए समझा जा सकता है। इस मामले में समूह क्रिया के समूह-सैद्धांतिक कक्षाएं गतिशील कक्षाओं के समान ही होती हैं।
अधिकांशतः ऐसा होता है कि विकास कार्य को एक समूह के तत्वों को बनाने के लिए समझा जा सकता है। इस स्थिति में समूह क्रिया के समूह-सैद्धांतिक कक्षाएं गतिशील कक्षाओं के समान ही होती हैं।
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
<gallery>
<gallery>
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== कक्षाओं की स्थिरता ==
== कक्षाओं की स्थिरता ==


कक्षाओं का बुनियादी वर्गीकरण है।
कक्षाओं का मूलभूत वर्गीकरण है।
* स्थिर कक्षाएँ या निश्चित बिंदु
* स्थिर कक्षाएँ या निश्चित बिंदु
* आवधिक परिक्रमा
* आवधिक परिक्रमा
* गैर-निरंतर और गैर-आवधिक कक्षाएँ
* गैर-निरंतर और गैर-आवधिक कक्षाएँ


एक कक्षा दो तरह से बंद होने में विफल हो सकती है।
एक कक्षा दो प्रकार से बंद होने में विफल हो सकती है।


यदि यह (गणित) आवधिक कक्षा तक सीमित है। तो यह असम्बद्ध रूप से आवधिक कक्षा हो सकती है। ऐसी कक्षाएँ बंद नहीं होती हैं। क्योंकि वे वास्तव में कभी दोहराती नहीं हैं। लेकिन वे इच्छानुसार से दोहराई जाने वाली कक्षा के करीब हो जाती हैं।
यदि यह (गणित) आवधिक कक्षा तक सीमित है। तो यह असम्बद्ध रूप से आवधिक कक्षा हो सकती है। ऐसी कक्षाएँ बंद नहीं होती हैं क्योंकि वे रियल में कभी दोहराती नहीं हैं। किन्तु वे इच्छानुसार से दोहराई जाने वाली कक्षा के पास हो जाती हैं।


एक कक्षा [[अराजकता सिद्धांत]] भी हो सकती है। ये कक्षाएँ इच्छानुसार से प्रारंभिक बिंदु के करीब आती हैं। लेकिन कभी भी आवधिक कक्षा में अभिसरण करने में विफल रहती हैं। वे [[प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता]] प्रदर्शित करते हैं। जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक मूल्य में छोटे अंतर कक्षा के भविष्य के बिंदुओं में बड़े अंतर का कारण बनेंगे।
कक्षा [[अराजकता सिद्धांत]] भी हो सकती है। ये कक्षाएँ इच्छानुसार से प्रारंभिक बिंदु के पास आती हैं। किन्तु कभी भी आवधिक कक्षा में अभिसरण करने में विफल रहती हैं। वे [[प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता]] प्रदर्शित करते हैं। जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक मूल्य में छोटे अंतर कक्षा के भविष्य के बिंदुओं में बड़े अंतर का कारण बनेंगे।


कक्षाओं के अन्य गुण हैं जो विभिन्न वर्गीकरणों की अनुमति देते हैं। एक कक्षा [[अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदु]] हो सकती है। यदि पास के बिंदु कक्षा से घातीय रूप से तेजी से पास आते हैं या विचलन करते हैं।
कक्षाओं के अन्य गुण हैं। जो विभिन्न वर्गीकरणों की अनुमति देते हैं। एक कक्षा [[अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदु|हाइपरबोलिक संतुलन बिंदु]] हो सकती है। यदि पास के बिंदु कक्षा से घातीय रूप से तेजी से पास आते हैं या विचलन करते हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 23:44, 31 March 2023

गणित में विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में चरण स्थान (गतिशील प्रणाली) के विकास कार्य से संबंधित बिंदुओं का एक संग्रह है। इसे प्रारंभिक स्थितियों के एक विशेष समुच्चय के अनुसार डायनेमिक प्रणाली के प्रक्षेप वक्र द्वारा कवर किए गए फेज स्पेस (डायनेमिक प्रणाली) के सबसेट के रूप में समझा जा सकता है क्योंकि प्रणाली विकसित होता है। एक चरण अंतरिक्ष प्रक्षेप वक्र के रूप में चरण अंतरिक्ष निर्देशांक के किसी भी समुच्चय के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। विभिन्न कक्षाओं के लिए चरण अंतरिक्ष में अंतर करना संभव नहीं है। इसलिए एक गतिशील प्रणाली की सभी कक्षाओं का समुच्चय चरण का एक विभाजन (समुच्चय सिद्धांत) है। सामयिक गतिकी का उपयोग करके कक्षाओं के गुणों को समझना डायनेमिक प्रणाली के आधुनिक सिद्धांत के उद्देश्यों में से एक है।

असतत-समय गतिशील प्रणालियों के लिए कक्षाएँ अनुक्रम हैं। वास्तविक गतिशील प्रणाली के लिए कक्षाएँ वक्र हैं और होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन डायनेमिक प्रणालीके लिए कक्षाएँ रीमैन सतह हैं।

परिभाषा

File:Simple Harmonic Motion Orbit.gif
सरल हार्मोनिक गति में द्रव्यमान-वसंत प्रणाली की आवधिक कक्षा को दर्शाने वाला आरेख। (यहाँ दो आरेखों को संरेखित करने के लिए वेग और स्थिति अक्षों को मानक सम्मेलन से उलट दिया गया है)

T समूह (गणित), M समुच्चय (गणित) और Φ विकास समारोह के साथ गतिशील प्रणाली (T, M, Φ) को देखते हुए

जहाँ साथ

हम परिभाषित करते हैं-

फिर समुच्चय-

x के माध्यम से कक्षा कहा जाता है। एक कक्षा जिसमें एक बिंदु होता है, वह स्थिर कक्षा कहलाती है। एक गैर-निरंतर कक्षा को बंद या आवधिक कहा जाता है। यदि उपस्थित हो

में

ऐसा है कि-

.

वास्तविक गतिशील प्रणाली

वास्तविक गतिशील प्रणाली (R, M, Φ) को देखते हुए (x) वास्तविक संख्या में खुला अंतराल है। जो . M में किसी भी x के लिए

'x' और के माध्यम से सकारात्मक अर्ध-कक्षा कहा जाता है।

x से होकर ऋणात्मक अर्ध-कक्षा कहलाती है।

असतत समय गतिशील प्रणाली

असतत समय गतिशील प्रणाली के लिए x की आगे की कक्षा समुच्चय है।