रूट लोकस

For सामान्य रूप से बहुपद जड़ों का व्यवहार, see बहुपद जड़ों के ज्यामितीय गुण.

स्पिरुल

नियंत्रण सिद्धांत और स्थिरता सिद्धांत में, रूट लोकस विश्लेषण एक निश्चित प्रणाली पैरामीटर की भिन्नता के साथ एक प्रणाली के रूट कैसे बदलते हैं, यह जांचने के लिए एक ग्राफिकल विधि है, सामान्यतयः प्रतिक्रिया प्रणाली के भीतर एक लूप लाभ होता है। यह वाल्टर आर इवांस द्वारा विकसित पारंपरिक नियंत्रण सिद्धांत के क्षेत्र में एक स्थिरता मानदंड के रूप में उपयोग की जाने वाली विधि है जो प्रणाली के स्थिर बहुपद को निर्धारित कर सकती है। रूट लोकस जटिल s-तल में बंद लूप स्थानांतरण फलन के शून्य और ध्रुवों को लाभ पैरामीटर के फलन के रूप में प्लॉट करता है (ध्रुव-शून्य प्लॉट देखें)।

इवांस ने 1948 में रूट लोकी की गणना करने के लिए एक एनालॉग कंप्यूटर का भी आविष्कार किया, जिसे स्पिरुल ("सर्पिल" और "स्लाइड नियम" के बाद) कहा जाता है, डिजिटल कंप्यूटर के आगमन से पहले इसका व्यापक उपयोग हुआ था।

उपयोग

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द्वितीय क्रम प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात पर ध्रुव स्थान का प्रभाव। इस ध्रुव का जटिल संयुग्म (जो आवश्यक रूप से उपस्थित है क्योंकि इस ध्रुव में एक गैर-काल्पनिक काल्पनिक घटक है) नहीं दिखाया गया है।

प्रणाली की स्थिरता का निर्धारण करने के अतिरिक्त, रूट लोकस का उपयोग एक प्रतिक्रिया प्रणाली के डंपिंग अनुपात (ζ) और प्राकृतिक आवृत्ति (ω_n) को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है। । स्थिर अवमंदन अनुपात की रेखाएँ रूट से अरीय रूप से खींची जा सकती हैं और स्थिर प्राकृतिक आवृत्ति की रेखाएँ आर्ककोसाइन के रूप में खींची जा सकती हैं जिनके केंद्र बिंदु रूट बिंदु के साथ मिलते हैं। वांछित डंपिंग अनुपात और प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मिलने वाले रूट लोकस के साथ एक बिंदु का चयन करके, लाभ K की गणना की जा सकती है और नियंत्रक में प्रायुक्त किया जा सकता है। अधिकांश नियंत्रण पाठ्यपुस्तकों में रूट लोकस का उपयोग कर नियंत्रक डिजाइन की अधिक विस्तृत विधि उपलब्ध हैं: उदाहरण के लिए - लीड- लैग, लीड, पीआई, पीडी और पीआईडी ​​​​नियंत्रकों को लगभग इस विधि के साथ डिजाइन किया जा सकता है।

अवमंदक अनुपात और प्राकृतिक आवृत्ति की परिभाषा यह मानती है कि समग्र प्रतिक्रिया प्रणाली एक दूसरे क्रम प्रणाली द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है; अर्थात् प्रणाली में ध्रुवों की एक प्रमुख जोड़ी है। यह हमेशा नहीं होता है, इसलिए यह जांचने के लिए कि क्या परियोजना के लक्ष्य संतुष्ट हैं, अंतिम डिजाइन का अनुकरण करना अच्छा अभ्यास है।

परिभाषा

पुनिर्निवेश प्रणाली का रूट लोकस एक निश्चित प्रणाली पैरामीटर के अलग-अलग मानों के लिए अपने बंद-लूप ध्रुवों के संभावित स्थानों के जटिल s-तल में ग्राफिकल प्रतिनिधित्व है। वे बिंदु जो रूट लोकस का भाग हैं, कोण की स्थिति को संतुष्ट करते हैं। रूट लोकस के एक निश्चित बिंदु के लिए पैरामीटर का मान परिमाण की स्थिति का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए कि इनपुट सिग्नल $X(s)$ और आउटपुट सिग्नल $Y(s)$ के साथ एक पुनिर्निवेश प्रणाली है। फॉरवर्ड पाथ स्थानांतरण फलन $G(s)$ है; प्रतिक्रिया पथ स्थानांतरण फलन $H(s)$ है।

File:Simple feedback system.svg

इस प्रणाली के लिए बंद लूप स्थानांतरण फलन दिया जाता है

$T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}$

इस प्रकार, बंद-लूप स्थानांतरण फलन के बंद-लूप ध्रुव विशेषता समीकरण $1+G(s)H(s)=0$ के रूट हैं इस समीकरण के रूट $G(s)H(s)=-1$ कहीं भी मिल सकती हैं।

शुद्ध विलंब के बिना प्रणाली में, उत्पाद $G(s)H(s)$ एक तर्कसंगत बहुपद फलन है और इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}$

जहाँ $-z_{i}$ $m$ शून्य हैं और $-p_{i}$ $n$ ध्रुव हैं और $K$ एक अदिश लाभ है। सामान्यतयः, एक रूट लोकस आरेख पैरामीटर $K$ के अलग-अलग मानों के लिए स्थानांतरण फलन ध्रुव स्थानों को निरुपित करता हैं। रूट लोकस प्लॉट s-तल में वे सभी बिंदु होंगे जहां $G(s)H(s)=-1$$K$ के किसी भी मान के लिए है |

$K$ की फैक्टरिंग और सरल एकपदीयों के उपयोग का अर्थ है तर्कसंगत बहुपद का रूट्यांकन सदिश विधिों के साथ किया जा सकता है जो कोणों को जोड़ते या घटाते हैं और परिमाण को गुणा या विभाजित करते हैं। सदिश सूत्रीकरण इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि गुणनखंडित $G(s)H(s)$ में प्रत्येक मोनोमियल शब्द $(s-a)$ s-तल में $a$ से $s$ तक सदिश का प्रतिनिधित्व करता है। इनमें से प्रत्येक सदिश के परिमाण और कोणों पर विचार करके बहुपद का रूट्यांकन किया जा सकता है।

सदिश गणित के अनुसार, परिमेय बहुपद के परिणाम का कोण, अंश के सभी कोणों का योग होता है, जिसमें हर के सभी कोणों का योग घटाया जाता है। तो यह जांचने के लिए कि s-तल में एक बिंदु रूट लोकस पर है, केवल सभी खुले लूप ध्रुवों और शून्यों के कोणों पर विचार किया जाना चाहिए। इसे कोण की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

इसी प्रकार, परिमेय बहुपद के परिणाम का परिमाण अंश में सभी परिमाणों का गुणनफल होता है जो भाजक में सभी परिमाणों के गुणनफल से विभाजित होता है। यह पता चला है कि s-तल में कोई बिंदु रूट लोकस का भाग है या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए परिमाण की गणना की आवश्यकता नहीं है क्योंकि $K$ बदलता रहता है और मनमाना वास्तविक मान ले सकता है। रूट लोकस के प्रत्येक बिंदु के लिए एक मान $K$ गणना की जा सकती है। इसे परिमाण की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

रूट लोकस केवल बंद लूप ध्रुव का स्थान लाभ के रूप में देता है क्योंकि लाभ $K$ विविध है। $K$ का मान शून्य की स्थिति को प्रभावित नहीं करता है। खुले-लूप शून्य, बंद-लूप शून्य के समान हैं।

कोण की स्थिति

एक बिंदु $s$ जटिल s-तल कोण की स्थिति को संतुष्ट करता है यदि

$\angle (G(s)H(s))=\pi$

जो ऐसा कहने जैसा ही है

$\sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi$

अर्थात्, खुला-लूप शून्य से बिंदु तक के कोणों का योग $s$ (प्रति शून्य w.r.t. मापा जाता है उस शून्य के माध्यम से क्षैतिज चल रहा है) खुले-लूप ध्रुवों से बिंदु $s$ तक कोण घटाएं (उस ध्रुव से गुजरने वाले क्षैतिज के संबंध में प्रति ध्रुव मापा गया) को $\pi$, या 180 डिग्री (कोण) के बराबर होना चाहिए। ध्यान दें कि इन व्याख्याओं को बिंदु $s$ और शून्य/ध्रुव के बीच कोण के अंतर के लिए गलत नहीं होना चाहिए।

परिमाण स्थिति

का एक मान $K$ किसी दिए गए परिमाण की स्थिति को संतुष्ट करता है $s$ रूट लोकस का बिंदु यदि

$|G(s)H(s)|=1$

जो ऐसा कहने जैसा ही है

$K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1$.

स्केचिंग रूट लोकस

File:RL&ZARL-(1 3)-(1 3 5 1).png

आरएल = रूट लोकस; ZARL = शून्य कोण रूट लोकस

कुछ रूटभूत नियमों का उपयोग करते हुए, रूट लोकस विधि रूटों द्वारा तय किए गए पथ (लोकस) के समग्र आकार को मान के रूप में प्लॉट कर सकती है क्योंकि $K$ का मान भिन्न होता है। रूट लोकस का प्लॉट $K$ के विभिन्न रूट्यों के लिए इस प्रतिक्रिया प्रणाली की स्थिरता और गतिशीलता का एक विचार देता है। नियम निम्नलिखित हैं:

• खुला-लूप ध्रुवों और शून्य चिह्नित करें
• ध्रुवों और शून्यों की एक विषम संख्या के बाईं ओर वास्तविक अक्ष भाग को चिह्नित करें
• स्पर्शोन्मुख खोजें

P को ध्रुवों की संख्या और Z को शून्य की संख्या होने दें:

$P-Z={\text{number of asymptotes}}\,$

स्पर्शोन्मुख रेखाएँ वास्तविक अक्ष को $\alpha$ (जिसे केन्द्रक कहते हैं) पर काटती हैं और कोण $\phi$ पर प्रस्थान करते हैं द्वारा दिए गए:

$\phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z$

$\alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}$

जहाँ $\sum _{P}$ ध्रुवों के सभी स्थानों का योग है, $\sum _{Z}$ स्पष्ट शून्य के सभी स्थानों का योग है और $\operatorname {Re} ()$ दर्शाता है कि हम केवल वास्तविक भाग में रुचि रखते हैं।

• प्रस्थान के कोण को खोजने के लिए परीक्षण बिंदु पर चरण की स्थिति
• ब्रेकअवे/ब्रेक-इन पॉइंट की गणना करें

ब्रेकअवे बिंदु निम्नलिखित समीकरण की रूटों पर स्थित हैं:

${\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0$

एक बार जब आप z के लिए समाधान कर लेते हैं, तो वास्तविक रूट आपको ब्रेकअवे/रीएंट्री पॉइंट देती हैं। जटिल रूट ब्रेकअवे/रीएंट्री की कमी के अनुरूप हैं।

प्लॉटिंग रूट लोकस

सामान्य बंद-लूप भाजक परिमेय बहुपद दिया गया है

$1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},$

विशेषता समीकरण को सरल बनाया जा सकता है

$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.$

इस समीकरण के $s$ के समाधान बंद-लूप स्थानांतरण फलन के रूट लोसी हैं।

उदाहरण

दिया गया

$1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},$

हमारे पास विशेषता समीकरण होगा

$s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.$

निम्नलिखित MATLAB (एमएटीएलएबी) कोड बंद-लूप स्थानांतरण फलन के रूट लोकस को प्लॉट करेगा क्योंकि $K$ वर्णित मानवीकृत विधि के साथ-साथ rlocus अंतर्निहित फलन का उपयोग करके भिन्न होता है:

% Manual method
K_array = (0:0.1:220).'; % .' is a transpose. Looking up in Matlab documentation.
NK = length(K_array);
x_array = zeros(NK, 3);
y_array = zeros(NK, 3);

for nK = 1:NK
   K = K_array(nK);
   C = [1, 3, (5 + K), (1 + 3*K)];
   r = roots(C).';
   x_array(nK,:) = real(r);
   y_array(nK,:) = imag(r);
end

figure();
plot(x_array, y_array);
grid on;

% Built-in method
sys = tf([1, 3], [1, 3, 5, 1]);
figure();
rlocus(sys);

z-तल बनाम s-तल

रूट लोकस विधि का उपयोग s-प्लेन के असतत समकक्ष z-प्लेन में रूट लोकस की गणना करके नमूनाकृत डेटा प्रणाली के विश्लेषण के लिए भी किया जा सकता है। समीकरण z = e^sT z-डोमेन में निरंतर s-तल ध्रुव (शून्य नहीं) मैप करता है, जहां T नमूना लेने की अवधि है। z-तल के इकाई वृत के इंटीरियर में स्थिर, बाएं आधे s-तल माप, s-तल रूट |z| = 1 (क्योंकि e⁰ = 1) के बराबर हैं। z-तल में (1,0) से एक सर्पिल के चारों ओर s-तल माप में निरंतर डंपिंग की एक विकर्ण रेखा के रूप में यह रूट की ओर घटता है। निक्विस्ट अलियासिंग मानदंड को x- अक्ष द्वारा z- समतल में रेखांकन के रूप में व्यक्त किया गया है, जहाँ ωnT = π है। निरंतर डंपिंग की रेखा ने केवल अनिश्चित काल में सर्पिल का वर्णन किया है, लेकिन नमूना डेटा प्रणाली में, निक्विस्ट आवृत्ति के अभिन्न गुणकों द्वारा आवृत्ति सामग्री को निम्न आवृत्तियों पर अलिया किया जाता है। यही है, नमूना प्रतिक्रिया कम आवृत्ति के रूप में दिखाई देती है और साथ ही उत्तम नमी के साथ-साथ ज़ेड-तल माप में रूट एक अलग, उत्तम नमी वाले सर्पिल वक्र के निरंतर भिगोने के पहले लूप के लिए समान रूप से अच्छी तरह से दिखाई देती है। कई अन्य रोचक और प्रासंगिक मानचित्रण गुणों का वर्णन किया जा सकता है, कम से कम यह नहीं कि z-तल नियंत्रकों की संपत्ति होने पर उन्हें सीधे z-तल स्थानांतरण फलन (बहुपदों के शून्य/ध्रुव अनुपात) से प्रायुक्त किया जा सकता है, एक पर ग्राफिक रूप से कल्पना की जा सकती है। खुला लूप स्थानांतरण फलन का z-तल प्लॉट, और तुरंत रूट लोकस का उपयोग करके विश्लेषण किया गया हैं।

चूँकि रूट लोकस एक ग्राफिकल एंगल विधि है, रूट लोकस नियम z और s तलों में समान काम करते हैं।

रूट लोकस का विचार कई प्रणालियों पर प्रायुक्त किया जा सकता है जहां एक पैरामीटर K विविध है। उदाहरण के लिए, यह किसी भी प्रणाली पैरामीटर को स्वीप करने के लिए उपयोगी है जिसके व्यवहार को निर्धारित करने के लिए सटीक मान अनिश्चित है।

यह भी देखें

• चरण मार्जिन
• राउत-हर्विट्ज स्थिरता मानदंड
• निक्विस्ट स्थिरता मानदंड
• बोडे प्लॉट # लाभ मार्जिन और फेज मार्जिन
• बोडे प्लॉट

संदर्भ

• Kuo, Benjamin C. (1967). "Root Locus Technique". Automatic Control Systems (second ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. pp. 329–388. ASIN B000KPT04C. LCCN 67016388. OCLC 3805225.

अग्रिम पठन

• Ash, R. H.; Ash, G. H. (October 1968), "Numerical Computation of Root Loci Using the Newton-Raphson Technique", IEEE Transactions on Automatic Control, 13 (5): 576–582, doi:10.1109/TAC.1968.1098980
• Williamson, S. E. (May 1968), "Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part I)", Control Magazine, 12 (119): 404–407
• Williamson, S. E. (June 1968), "Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part II)", Control Magazine, 12 (120): 556–559
• Williamson, S. E. (July 1968), "Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part III)", Control Magazine, 12 (121): 645–647
• Williamson, S. E. (May 15, 1969), "Computer Program to Obtain the Time Response of Sampled Data Systems", Electronics Letters, 5 (10): 209–210, Bibcode:1969ElL.....5..209W, doi:10.1049/el:19690159
• Williamson, S. E. (July 1969), "Accurate root locus plotting including the effects of pure time delay. Computer-program description", Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, 116 (7): 1269–1271, doi:10.1049/piee.1969.0235

बाहरी संबंध

• Wikibooks: Control Systems/Root Locus
• Carnegie Mellon / University of Michigan Tutorial
• Excellent examples. Start with example 5 and proceed backwards through 4 to 1. Also visit the main page
• The root-locus method: Drawing by hand techniques
• "RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms
• "Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows
• Root Locus at ControlTheoryPro.com
• Root Locus Analysis of Control Systems
• MATLAB function for computing root locus of a SISO open-loop model
• Wechsler, E. R. (January–March 1983), "Root Locus Algorithms for Programmable Pocket Calculators" (PDF), Telecommunications and Data Acquisition Progress Report, NASA, 73: 60–64, Bibcode:1983TDAPR..73...60W
• Mathematica function for plotting the root locus
• Šekara, Tomislav B.; Rapaić, Milan R. (1 October 2015). "A revision of root locus method with applications". Journal of Process Control. 34: 26–34. doi:10.1016/j.jprocont.2015.07.007.