एडियाबेटिक एक्सेसिबिलिटी: Difference between revisions

Revision as of 20:01, 26 March 2023

एडियाबेटिक एक्सेसिबिलिटी एक थर्मोडायनामिक प्रणाली (या ऐसी विभिन्न प्रणालियों) के दो संतुलन अवस्थाएँ के बीच एक निश्चित संबंध को दर्शाता है। यह अवधारणा 1909 में कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी^[1] द्वारा गढ़ी गई थी ("एडियाबैटिशे एरेइचबर्किट") और 90 साल बाद इलियट लिब और जे। यंगवासन द्वारा थर्मोडायनामिक्स की नींव के लिए अपने स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण में लिया गया था।^[2]^[3] इसका उपयोग आर. जाइल्स ने अपने 1964 के मोनोग्राफ में भी किया था।^[4]

विवरण

एक अवस्था Y में प्रणाली को अवस्था X से रुद्धोष्म रूप से सुलभ कहा जाता है यदि X को Y में परिवर्तित किया जा सकता है, बिना ऊर्जा के हस्तांतरण या पदार्थ के हस्तांतरण के रूप में। चूँकि, X पर काम करके X को Y में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक किलोग्राम गर्म पानी वाली प्रणाली एक किलोग्राम ठंडे पानी वाली प्रणाली से रुद्धोष्म रूप से सुलभ होती है, क्योंकि ठंडे पानी को यंत्रवत् हिलाया जा सकता है इसे गर्म करो। चूँकि, ठंडा पानी गर्म पानी से रूद्धोष्म रूप से सुलभ नहीं है, क्योंकि इसे ठंडा करने के लिए कोई राशि या प्रकार का काम नहीं किया जा सकता है।

कैराथोडोरी

कैराथियोडोरी की मूल परिभाषा विचाराधीन प्रणाली के संतुलन अवस्थाओ के कई गुना में वक्र द्वारा वर्णित, प्रतिवर्ती, अर्धस्थैतिक प्रक्रियाओं तक सीमित थी। उन्होंने इस तरह के अवस्था परिवर्तन को रुद्धोष्म कहा यदि अत्यल्प 'ऊष्मा' विभेदक रूप $\delta Q=dU-\sum p_{i}dV_{i}$ वक्र के साथ गायब हो जाता है। दूसरे शब्दों में, प्रक्रिया के समय किसी भी समय ऊष्मा प्रणाली में प्रवेश या बाहर नहीं जाती है। थर्मोडायनामिक्स के दूसरे नियम के कैराथोडोरी का सूत्रीकरण तब रूप लेता है: किसी भी प्रारंभिक अवस्था के पड़ोस में, ऐसे अवस्था होते हैं, जिन्हें अवस्था के रुद्धोष्म परिवर्तनों के माध्यम से इच्छानुसार बंद नहीं किया जा सकता है। इस सिद्धांत से उन्होंने एन्ट्रापी के अस्तित्व को अवस्था कार्य $S$ के रूप में प्राप्त किया जिसका अंतर $dS$ ताप विभेदक $\delta Q$ रूप के समानुपाती होता है , इसलिए यह रूद्धोष्म स्थिति परिवर्तन (कैराथोडोरी के अर्थ में) के तहत स्थिर रहता है। अपरिवर्तनीय के समय एन्ट्रापी की वृद्धि इस फॉर्मूलेशन में आगे की धारणाओं के बिना प्रक्रियाएं स्पष्ट नहीं हैं।

लिब और यंगवासन

लिब और यंगवासन द्वारा नियोजित परिभाषा बल्कि अलग है क्योंकि माना जाने वाला अवस्था परिवर्तन मनमाने ढंग से जटिल, संभवतः हिंसक, अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं का परिणाम हो सकता है और 'गर्मी' या विभेदक रूपों का कोई उल्लेख नहीं है। ऊपर दिए गए पानी के उदाहरण में, यदि सरगर्मी धीरे-धीरे की जाती है, तो ठंडे पानी से गर्म पानी में संक्रमण अर्धस्थैतिक होगा। चूँकि, विस्फोटित पटाखे वाली प्रणाली अनएक्सप्लोडेड पटाखे (लेकिन इसके विपरीत नहीं) वाली प्रणाली से रुद्धोष्म रूप से सुलभ है, और यह संक्रमण क्वासिस्टेटिक से बहुत दूर है। रुद्धोष्म अभिगम्यता की लिब और यंगवासन की परिभाषा है: अवस्था $Y$ अवस्था से आदिम रूप से सुलभ है $X$ , प्रतीकों में $X\prec Y$ (उच्चारण X 'वाई' से पहले), यदि इसे रूपांतरित करना संभव है $X$ में $Y$ इस तरह से कि आस-पास की प्रक्रिया का एकमात्र शुद्ध प्रभाव यह है कि वजन उठाया या घटाया गया है (या स्प्रिंग को खींचा/दबाया जाता है, या चक्का गति मेंसमुच्चय होता है)।

थर्मोडायनामिक एन्ट्रॉपी

थर्मोडायनामिक एन्ट्रॉपी की परिभाषा पूरी तरह से संबंध के कुछ गुणों पर आधारित हो सकती है $\prec$ लिब-यंगवासन दृष्टिकोण में रुद्धोष्म अभिगम्यता को स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है। के गुणों की निम्नलिखित सूची में $\prec$ ऑपरेटर, प्रणाली को बड़े अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, उदा। एक्स, वाई या जेड। प्रणाली एक्स जिसका व्यापक पैरामीटर गुणा किया जाता है $\lambda$ लिखा है $\lambda X$ . (उदाहरण के लिए साधारण गैस के लिए, इसका मतलब समान दबाव में दोगुनी मात्रा में गैस की मात्रा से दोगुना होगा।) दो सबसिस्टम X और Y से मिलकर प्रणाली लिखी जाती है (X,Y)। अगर $X\prec Y$ और $Y\prec X$ दोनों सत्य हैं, तो प्रत्येक प्रणाली दूसरे तक पहुंच सकती है और एक को दूसरे में ले जाने वाला परिवर्तन प्रतिवर्ती है। यह तुल्यता संबंध लिखा है $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}Y$ . अन्यथा, यह अपरिवर्तनीय है। एडियाबेटिक एक्सेसिबिलिटी में निम्नलिखित गुण हैं:^[3]

प्रतिवर्तता: $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}X$
संक्रामकता: अगर $X\prec Y$ और $Y\prec Z$ तब $X\prec Z$
संगति: यदि $X\prec X'$ और $Y\prec Y'$ तब $(X,Y)\prec (X',Y')$
स्केलिंग इनवेरिएंस: यदि $\lambda >0$ और $X\prec Y$ तब $\lambda X\prec \lambda Y$
विभाजन और पुनर्संयोजन: $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}((1-\lambda )X,\lambda X)$ सभी के लिए $0<\lambda <1$
स्थिरता: अगर $\lim _{\epsilon \to 0}[(X,\epsilon Z_{0})\prec (Y,\epsilon Z_{1})]$ तब $X\prec Y$

एंट्रॉपी में वह गुण होता है की $S(X)\leq S(Y)$ अगर और केवल अगर $X\prec Y$ और $S(X)=S(Y)$ अगर और केवल अगर $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}Y$ दूसरे कानून के अनुसार। अगर हम दो अवस्थाओ को चुनते हैं $X_{0}$ और $X_{1}$ ऐसा है कि $X_{0}\prec X_{1}$ और उन्हें क्रमशः 0 और 1 एंट्रॉपी असाइन करें, फिर अवस्था एक्स की एंट्रॉपी जहां $X_{0}\prec X\prec X_{1}$ परिभाषित किया जाता है:^[3]

S(X)=\sup(\lambda :((1-\lambda )X_{0},\lambda X_{1})\prec X)

स्रोत

↑ Constantin Carathéodory: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik, Math. Ann., 67:355–386, 1909
↑ Lieb, Elliott H.; Yngvason, Jakob (1999). "ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का भौतिकी और गणित". Phys. Rep. 310 (1): 1–96. arXiv:cond-mat/9708200. Bibcode:1999PhR...310....1L. doi:10.1016/s0370-1573(98)00082-9. S2CID 119620408.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Lieb, Elliott H.; Yngvason, Jakob (2003). "ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की गणितीय संरचना". Physics Reports. 310 (1): 1. arXiv:math-ph/0204007. Bibcode:1999PhR...310....1L. doi:10.1016/S0370-1573(98)00082-9. S2CID 119620408.
↑ Robin Giles: "Mathematical Foundations of Thermodynamics", Pergamon, Oxford 1964

संदर्भ

Thess, André (2011). The Entropy Principle - Thermodynamics for the Unsatisfied. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-13349-7. ISBN 978-3-642-13348-0. Retrieved November 10, 2012. translated from André Thess: Das Entropieprinzip - Thermodynamik für Unzufriedene, Oldenbourg-Verlag 2007, ISBN 978-3-486-58428-8. A less mathematically intensive and more intuitive account of the theory of Lieb and Yngvason.

Lieb, Elliott H.; Yngvason, Jakob (2003). Greven, A.; Keller, G.; Warnecke, G. (eds.). The Entropy of Classical Thermodynamics (Princeton Series in Applied Mathematics). Princeton University Press. pp. 147–193. ISBN 9780691113388. Retrieved November 10, 2012.

बाहरी संबंध

A. Thess: Was ist Entropie? (in German)

[:0-1] Constantin Carathéodory: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik, Math. Ann., 67:355–386, 1909

[LY1999-2] Lieb, Elliott H.; Yngvason, Jakob (1999). "ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का भौतिकी और गणित". Phys. Rep. 310 (1): 1–96. arXiv:cond-mat/9708200. Bibcode:1999PhR...310....1L. doi:10.1016/s0370-1573(98)00082-9. S2CID 119620408.

[LY2003-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Lieb, Elliott H.; Yngvason, Jakob (2003). "ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की गणितीय संरचना". Physics Reports. 310 (1): 1. arXiv:math-ph/0204007. Bibcode:1999PhR...310....1L. doi:10.1016/S0370-1573(98)00082-9. S2CID 119620408.

[:1-4] Robin Giles: "Mathematical Foundations of Thermodynamics", Pergamon, Oxford 1964

[1]

[2]

[3]

[4]

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 {{Short description|Relation between thermodynamic states}}
-एडियाबेटिक एक्सेसिबिलिटी एक [[थर्मोडायनामिक प्रणाली]] (या ऐसी विभिन्न प्रणालियों) के दो [[संतुलन राज्य]] के बीच एक निश्चित संबंध को दर्शाता है। यह अवधारणा 1909 में कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी<ref name=":0">Constantin Carathéodory: ''Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik'', [[Mathematische Annalen|Math. Ann.]], 67:355–386, 1909</ref> द्वारा गढ़ी गई थी ("एडियाबैटिशे एरेइचबर्किट") और 90 साल बाद इलियट लिब और जे। यंगवासन द्वारा थर्मोडायनामिक्स की नींव के लिए अपने स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण में लिया गया था।<ref name="LY1999">{{cite journal |last1=Lieb |first1=Elliott H. |last2=Yngvason |first2=Jakob |year=1999 |title=ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का भौतिकी और गणित|journal=Phys. Rep. |volume=310 |issue= 1|pages=1–96 |doi= 10.1016/s0370-1573(98)00082-9|arxiv=cond-mat/9708200|bibcode=1999PhR...310....1L|s2cid=119620408 }}</ref><ref name="LY2003">{{cite journal |last1=Lieb |first1=Elliott H. |last2=Yngvason |first2=Jakob |title=ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की गणितीय संरचना|journal=Physics Reports |doi=10.1016/S0370-1573(98)00082-9 |year=2003|volume=310 |issue=1 |page=1 |arxiv=math-ph/0204007|bibcode=1999PhR...310....1L|s2cid=119620408 }}</ref> इसका उपयोग आर. जाइल्स ने अपने 1964 के मोनोग्राफ में भी किया था।<ref name=":1">Robin Giles: "Mathematical Foundations of Thermodynamics", Pergamon, Oxford 1964</ref>
+एडियाबेटिक एक्सेसिबिलिटी एक [[थर्मोडायनामिक प्रणाली]] (या ऐसी विभिन्न प्रणालियों) के दो [[संतुलन राज्य|संतुलन अवस्थाएँ]] के बीच एक निश्चित संबंध को दर्शाता है। यह अवधारणा 1909 में कॉन्स्टेंटिन कैराथियोडोरी<ref name=":0">Constantin Carathéodory: ''Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik'', [[Mathematische Annalen|Math. Ann.]], 67:355–386, 1909</ref> द्वारा गढ़ी गई थी ("एडियाबैटिशे एरेइचबर्किट") और 90 साल बाद इलियट लिब और जे। यंगवासन द्वारा थर्मोडायनामिक्स की नींव के लिए अपने स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण में लिया गया था।<ref name="LY1999">{{cite journal |last1=Lieb |first1=Elliott H. |last2=Yngvason |first2=Jakob |year=1999 |title=ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का भौतिकी और गणित|journal=Phys. Rep. |volume=310 |issue= 1|pages=1–96 |doi= 10.1016/s0370-1573(98)00082-9|arxiv=cond-mat/9708200|bibcode=1999PhR...310....1L|s2cid=119620408 }}</ref><ref name="LY2003">{{cite journal |last1=Lieb |first1=Elliott H. |last2=Yngvason |first2=Jakob |title=ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की गणितीय संरचना|journal=Physics Reports |doi=10.1016/S0370-1573(98)00082-9 |year=2003|volume=310 |issue=1 |page=1 |arxiv=math-ph/0204007|bibcode=1999PhR...310....1L|s2cid=119620408 }}</ref> इसका उपयोग आर. जाइल्स ने अपने 1964 के मोनोग्राफ में भी किया था।<ref name=":1">Robin Giles: "Mathematical Foundations of Thermodynamics", Pergamon, Oxford 1964</ref>
 == विवरण ==
-एक राज्य Y में प्रणाली को राज्य X से रुद्धोष्म रूप से सुलभ कहा जाता है यदि X को Y में परिवर्तित किया जा सकता है, बिना ऊर्जा के हस्तांतरण या पदार्थ के हस्तांतरण के रूप में। चूँकि, X पर काम करके X को Y में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक किलोग्राम गर्म पानी वाली प्रणाली एक किलोग्राम ठंडे पानी वाली प्रणाली से रुद्धोष्म रूप से सुलभ होती है, क्योंकि ठंडे पानी को यंत्रवत् हिलाया जा सकता है इसे गर्म करो। चूँकि, ठंडा पानी गर्म पानी से रूद्धोष्म रूप से सुलभ नहीं है, क्योंकि इसे ठंडा करने के लिए कोई राशि या प्रकार का काम नहीं किया जा सकता है।
+एक अवस्था Y में प्रणाली को अवस्था X से रुद्धोष्म रूप से सुलभ कहा जाता है यदि X को Y में परिवर्तित किया जा सकता है, बिना ऊर्जा के हस्तांतरण या पदार्थ के हस्तांतरण के रूप में। चूँकि, X पर काम करके X को Y में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक किलोग्राम गर्म पानी वाली प्रणाली एक किलोग्राम ठंडे पानी वाली प्रणाली से रुद्धोष्म रूप से सुलभ होती है, क्योंकि ठंडे पानी को यंत्रवत् हिलाया जा सकता है इसे गर्म करो। चूँकि, ठंडा पानी गर्म पानी से रूद्धोष्म रूप से सुलभ नहीं है, क्योंकि इसे ठंडा करने के लिए कोई राशि या प्रकार का काम नहीं किया जा सकता है।
 == कैराथोडोरी ==
-कैराथियोडोरी की मूल परिभाषा विचाराधीन प्रणाली के संतुलन राज्यों के कई गुना में वक्र द्वारा वर्णित, प्रतिवर्ती, अर्धस्थैतिक प्रक्रियाओं तक सीमित थी। उन्होंने इस तरह के राज्य परिवर्तन को रुद्धोष्म कहा यदि अत्यल्प 'ऊष्मा' विभेदक रूप <math>\delta Q=dU-\sum p_idV_i</math> वक्र के साथ गायब हो जाता है। दूसरे शब्दों में, प्रक्रिया के समय किसी भी समय ऊष्मा प्रणाली में प्रवेश या बाहर नहीं जाती है। थर्मोडायनामिक्स के दूसरे नियम के कैराथोडोरी का सूत्रीकरण तब रूप लेता है: किसी भी प्रारंभिक अवस्था के पड़ोस में, ऐसे राज्य होते हैं, जिन्हें राज्य के रुद्धोष्म परिवर्तनों के माध्यम से इच्छानुसार बंद नहीं किया जा सकता है। इस सिद्धांत से उन्होंने [[एन्ट्रापी]] के अस्तित्व को राज्य कार्य के रूप में प्राप्त किया <math>S</math> जिसका अंतर <math>dS </math> ताप विभेदक रूप के समानुपाती होता है  <math>\delta Q</math>, इसलिए यह रूद्धोष्म स्थिति परिवर्तन (कैराथोडोरी के अर्थ में) के तहत स्थिर रहता है। अपरिवर्तनीय के समय एन्ट्रापी की वृद्धि इस फॉर्मूलेशन में आगे की धारणाओं के बिना प्रक्रियाएं स्पष्ट नहीं हैं।
+कैराथियोडोरी की मूल परिभाषा विचाराधीन प्रणाली के संतुलन अवस्थाओ के कई गुना में वक्र द्वारा वर्णित, प्रतिवर्ती, अर्धस्थैतिक प्रक्रियाओं तक सीमित थी। उन्होंने इस तरह के अवस्था परिवर्तन को रुद्धोष्म कहा यदि अत्यल्प 'ऊष्मा' विभेदक रूप <math>\delta Q=dU-\sum p_idV_i</math> वक्र के साथ गायब हो जाता है। दूसरे शब्दों में, प्रक्रिया के समय किसी भी समय ऊष्मा प्रणाली में प्रवेश या बाहर नहीं जाती है। थर्मोडायनामिक्स के दूसरे नियम के कैराथोडोरी का सूत्रीकरण तब रूप लेता है: किसी भी प्रारंभिक अवस्था के पड़ोस में, ऐसे अवस्था होते हैं, जिन्हें अवस्था के रुद्धोष्म परिवर्तनों के माध्यम से इच्छानुसार बंद नहीं किया जा सकता है। इस सिद्धांत से उन्होंने [[एन्ट्रापी]] के अस्तित्व को अवस्था कार्य <math>S</math> के रूप में प्राप्त किया जिसका अंतर <math>dS </math> ताप विभेदक <math>\delta Q</math> रूप के समानुपाती होता है , इसलिए यह रूद्धोष्म स्थिति परिवर्तन (कैराथोडोरी के अर्थ में) के तहत स्थिर रहता है। अपरिवर्तनीय के समय एन्ट्रापी की वृद्धि इस फॉर्मूलेशन में आगे की धारणाओं के बिना प्रक्रियाएं स्पष्ट नहीं हैं।
 == लिब और यंगवासन ==
-लिब और यंगवासन द्वारा नियोजित परिभाषा बल्कि अलग है क्योंकि माना जाने वाला राज्य परिवर्तन मनमाने ढंग से जटिल, संभवतः हिंसक, अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं का परिणाम हो सकता है और 'गर्मी' या विभेदक रूपों का कोई उल्लेख नहीं है। ऊपर दिए गए पानी के उदाहरण में, यदि सरगर्मी धीरे-धीरे की जाती है, तो ठंडे पानी से गर्म पानी में संक्रमण अर्धस्थैतिक होगा। चूँकि, विस्फोटित पटाखे वाली प्रणाली अनएक्सप्लोडेड पटाखे (लेकिन इसके विपरीत नहीं) वाली प्रणाली से रुद्धोष्म रूप से सुलभ है, और यह संक्रमण क्वासिस्टेटिक से बहुत दूर है। रुद्धोष्म अभिगम्यता की लिब और यंगवासन की परिभाषा है: अवस्था <math>Y</math> राज्य से आदिम रूप से सुलभ है <math>X</math>, प्रतीकों में <math>X\prec Y</math> (उच्चारण X 'वाई' से पहले), यदि इसे रूपांतरित करना संभव है <math>X</math> में <math>Y</math> इस तरह से कि आस-पास की प्रक्रिया का एकमात्र शुद्ध प्रभाव यह है कि वजन उठाया या घटाया गया है (या स्प्रिंग को खींचा/दबाया जाता है, या चक्का गति में सेट होता है)।
+लिब और यंगवासन द्वारा नियोजित परिभाषा बल्कि अलग है क्योंकि माना जाने वाला अवस्था परिवर्तन मनमाने ढंग से जटिल, संभवतः हिंसक, अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं का परिणाम हो सकता है और 'गर्मी' या विभेदक रूपों का कोई उल्लेख नहीं है। ऊपर दिए गए पानी के उदाहरण में, यदि सरगर्मी धीरे-धीरे की जाती है, तो ठंडे पानी से गर्म पानी में संक्रमण अर्धस्थैतिक होगा। चूँकि, विस्फोटित पटाखे वाली प्रणाली अनएक्सप्लोडेड पटाखे (लेकिन इसके विपरीत नहीं) वाली प्रणाली से रुद्धोष्म रूप से सुलभ है, और यह संक्रमण क्वासिस्टेटिक से बहुत दूर है। रुद्धोष्म अभिगम्यता की लिब और यंगवासन की परिभाषा है: अवस्था <math>Y</math> अवस्था से आदिम रूप से सुलभ है <math>X</math>, प्रतीकों में <math>X\prec Y</math> (उच्चारण X 'वाई' से पहले), यदि इसे रूपांतरित करना संभव है <math>X</math> में <math>Y</math> इस तरह से कि आस-पास की प्रक्रिया का एकमात्र शुद्ध प्रभाव यह है कि वजन उठाया या घटाया गया है (या स्प्रिंग को खींचा/दबाया जाता है, या चक्का गति मेंसमुच्चय होता है)।
 == थर्मोडायनामिक एन्ट्रॉपी ==
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 *विभाजन और पुनर्संयोजन: <math>X\overset{\underset{\mathrm{A}}{}}{\sim}((1-\lambda)X,\lambda X)</math> सभी के लिए <math>0 < \lambda < 1</math>
 *स्थिरता: अगर <math>\lim_{\epsilon \to 0} [(X,\epsilon Z_0) \prec (Y,\epsilon Z_1)]</math> तब <math>X \prec Y</math>
-एंट्रॉपी में वह गुण होता है <math>S(X)\leq S(Y)</math> अगर और केवल अगर <math> X\prec Y</math> और <math>S(X)= S(Y)</math> अगर और केवल अगर <math>X \overset{\underset{\mathrm{A}}{}}{\sim} Y</math> दूसरे कानून के अनुसार। अगर हम दो राज्यों को चुनते हैं <math>X_0</math> और <math>X_1</math> ऐसा है कि <math>X_0 \prec X_1</math> और उन्हें क्रमशः 0 और 1 एंट्रॉपी असाइन करें, फिर राज्य एक्स की एंट्रॉपी जहां <math>X_0 \prec X \prec X_1</math> परिभाषित किया जाता है:<ref name="LY2003"/>
+एंट्रॉपी में वह गुण होता है की <math>S(X)\leq S(Y)</math> अगर और केवल अगर <math> X\prec Y</math> और <math>S(X)= S(Y)</math> अगर और केवल अगर <math>X \overset{\underset{\mathrm{A}}{}}{\sim} Y</math> दूसरे कानून के अनुसार। अगर हम दो अवस्थाओ को चुनते हैं <math>X_0</math> और <math>X_1</math> ऐसा है कि <math>X_0 \prec X_1</math> और उन्हें क्रमशः 0 और 1 एंट्रॉपी असाइन करें, फिर अवस्था एक्स की एंट्रॉपी जहां <math>X_0 \prec X \prec X_1</math> परिभाषित किया जाता है:<ref name="LY2003"/>
 :<math>S(X) = \sup (\lambda : ((1-\lambda)X_0, \lambda X_1) \prec X)</math>
 == स्रोत ==
 <references/>
 ==संदर्भ==
-{{cite book |title=The Entropy Principle - Thermodynamics for the Unsatisfied |first=André |last=Thess |year=2011 |publisher=Springer-Verlag |doi=10.1007/978-3-642-13349-7 |isbn=978-3-642-13348-0 |access-date=November 10, 2012 |url=https://www.springer.com/engineering/mechanical+engineering/book/978-3-642-13348-0 }} translated from  André Thess: ''Das Entropieprinzip - Thermodynamik für Unzufriedene'', Oldenbourg-Verlag 2007, {{ISBN|978-3-486-58428-8}}. A less mathematically intensive and more intuitive  account of the theory of Lieb and Yngvason.
+{{cite book |title=The Entropy Principle - Thermodynamics for the Unsatisfied |first=André |last=Thess |year=2011 |publisher=Springer-Verlag |doi=10.1007/978-3-642-13349-7 |isbn=978-3-642-13348-0 |access-date=November 10, 2012 |url=https://www.springer.com/engineering/mechanical+engineering/book/978-3-642-13348-0 }} translated from André Thess: ''Das Entropieprinzip - Thermodynamik für Unzufriedene'', Oldenbourg-Verlag 2007, {{ISBN|978-3-486-58428-8}}. A less mathematically intensive and more intuitive account of the theory of Lieb and Yngvason.
 {{cite book |title=The Entropy of Classical Thermodynamics (Princeton Series in Applied Mathematics)|last1=Lieb |first1=Elliott H. |last2=Yngvason |first2=Jakob |publisher=Princeton University Press |year=2003|pages=147–193 |isbn=9780691113388 |access-date=November 10, 2012 |url=http://press.princeton.edu/titles/7688.html |editor1-first=A. |editor1-last=Greven |editor2-first=G. |editor2-last=Keller |editor3-first=G. |editor3-last=Warnecke}}

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