यूलर ईंट: Difference between revisions

Latest revision as of 11:03, 14 April 2023

गणित में, एक यूलर ईंट, जिसका नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, एक आयताकार घनाभ है जिसके किनारों और फलक विकर्णों की लंबाई पूर्णांक होती है। एक अभाज्य यूलर ईंट एक यूलर ईंट होती है जिसके किनारों की लंबाई सापेक्षतः अभाज्य होती है। एक पूर्ण यूलर ईंट वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।

परिभाषा

ज्यामितीय पदों में यूलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}

जहाँ $a, b, c$ किनारे हैं और $d, e, f$ विकर्ण हैं।

गुण

यदि $(a, b, c)$ एक समाधान है, तो $(ka, kb, kc)$ भी किसी भी (k)का एक समाधान है। अतः,परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई $(a, b, c)$ के साथ एक यूलर ईंट को देखते हुए, त्रिक $(bc, ac, ab)$ भी एक यूलर ईंट बनाता है।^[1]^{: p. 106}

अभाज्य यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।

यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।^[1]^{: p. 106}

यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।^[1]^{: p. 106}

यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।^[1]^{: p. 106}

उदाहरण

1719 में पॉल हाल्के द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ और फलक विकर्ण $(d, e, f) = (125, 244, 267)$ हैं।^[2] किनारे $(a, b, c)$ - फलक विकर्ण $(d, e, f)$ के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे प्राथमिक समाधान नीचे हैं:

1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें

:

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

सूत्र बनाना

यूलर ने समस्या के कम से कम दो प्राचलिक समाधान खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता।^[3]

सौंडरसन के प्राचलिक सूत्र से यूलर ईंटों की अनंतता उत्पन्न की जा सकती है।^[4] मान लीजिए $(u, v, w)$ एक पायथागॉरियन त्रिक है (यानी, $u 2 + v 2 = w 2$ ) तो^[1]^: 105 किनारे

a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw

दिया गया फलक विकर्ण

d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).

कई यूलर ईंटें हैं जो ऊपर की तरह प्राचलीकरण नहीं हैं, उदाहरण के लिए किनारों $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ और फलक विकर्ण $(d, e, f) = (348, 365, 373)$ के साथ यूलर ईंटें।

परिपूर्ण घनाभ

Unsolved problem in mathematics:

Does a perfect cuboid exist?

(more unsolved problems in mathematics)

एक परिपूर्ण घनाभ (जिसे एक पूर्ण यूलर ईंट या परिपूर्ण वर्ग भी कहा जाता है) एक यूलर ईंट है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी पूर्णांक लंबाई का होता है। दूसरे शब्दों में, यूलर ईंट को परिभाषित करने वाले डायोफैंटाइन समीकरणों की पद्धति में निम्नलिखित समीकरण जोड़ा गया है:

a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},

जहाँ $g$ अंतरिक्ष विकर्ण है। As of September 2020^[update], एक परि

[1]

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 {{short description|Cuboid whose edges and face diagonals have integer lengths}}
-[[गणित]] में, एक '''यूलर ईंट''', जिसका नाम '''<small>[[लियोनहार्ड ऑयलर|लियोनहार्ड यूलर]]</small>''' के नाम पर रखा गया है, एक [[आयताकार घनाभ]] है जिसके [[किनारों]] और [[फलक विकर्णों]] की लंबाई पूर्णांक होती है। एक '''अभाज्य यूलर ईंट''' एक ऑयलर ईंट होती है जिसके किनारे की लंबाई [[सापेक्षतः अभाज्य]] होती है। एक '''<small>[[पूर्ण ऑयलर ईंट|पूर्ण यूलर ईंट]]</small>''' वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।
+[[गणित]] में, एक '''यूलर ईंट''', जिसका नाम '''<small>[[लियोनहार्ड ऑयलर|लियोनहार्ड यूलर]]</small>''' के नाम पर रखा गया है, एक [[आयताकार घनाभ]] है जिसके [[किनारों]] और [[फलक विकर्णों]] की लंबाई पूर्णांक होती है। एक '''अभाज्य यूलर ईंट''' एक यूलर ईंट होती है जिसके किनारों की लंबाई [[सापेक्षतः अभाज्य]] होती है। एक '''<small>[[पूर्ण ऑयलर ईंट|पूर्ण यूलर ईंट]]</small>''' वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।
 [[File:Euler_brick.svg|right|399x199px|अंगूठा|किनारे वाली यूलर ईंट {{math|''a'', ''b'', ''c''}} और विकर्णों का सामना करें {{math|''d'', ''e'', ''f''}}]]
-== परिभाषा ==
+== '''परिभाषा''' ==
-ज्यामितीय पदों में ऑयलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:
+ज्यामितीय पदों में यूलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:
 :<math>\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ a^2 + c^2 = e^2\\ b^2 + c^2 = f^2\end{cases}</math>
 जहाँ {{math|''a'', ''b'', ''c''}} किनारे हैं और {{math|''d'', ''e'', ''f''}} विकर्ण हैं।
-== गुण ==
+== '''गुण''' ==
 * यदि {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} एक समाधान है, तो {{math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} भी किसी भी (''k'')का एक समाधान है। अतः,[[परिमेय संख्याओं]] में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}के साथ एक यूलर ईंट को देखते हुए, त्रिक {{math|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} भी एक यूलर ईंट बनाता है।<ref name=Sierpinski>[[Wacław Sierpiński]], ''[[Pythagorean Triangles]]'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|p. 106}}
-* ''अभाज्य'' ऑयलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।
+* ''अभाज्य'' यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।
 * यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
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 * यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
-== उदाहरण ==
+== '''उदाहरण''' ==
 में [[पॉल हल्के|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:
-[[File:Euler_brick_examples.svg|thumb|400px|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य ऑयलर ईंटें]]:{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
+[[File:Euler_brick_examples.svg|thumb|400px|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य यूलर ईंटें]]:
+:{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
 |(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||)
 |-
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-== सूत्र बनाना ==
+== '''सूत्र बनाना''' ==
 यूलर ने समस्या के कम से कम दो [[पैरामीट्रिक समाधान|प्राचलिक समाधान]] खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता।<ref>{{mathworld|urlname=EulerBrick|title=Euler Brick}}</ref>
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 * विषम किनारा 2.5 × 10<sup>13</sup> से अधिक होना चाहिए<sup>13</sup>,<ref name=Matson>{{cite web |first=Robert D. |last=Matson |title=एक पूर्ण घनाभ के लिए कंप्यूटर खोज के परिणाम|url=http://unsolvedproblems.org/S58.pdf |work=unsolvedproblems.org |accessdate=February 24, 2020}}</ref>
 * सबसे छोटा किनारा {{val|5e11}} से बड़ा होना चाहिए।<ref name=Matson/>           *अंतरिक्ष विकर्ण 9 × 10<sup>15</sup> से अधिक होना चाहिए<sup>15</sup>.<ref name=Belogourov>Alexander Belogourov, Distributed search for a perfect cuboid, https://www.academia.edu/39920706/Distributed_search_for_a_perfect_cuboid</ref>
-[[मॉड्यूलर अंकगणित|मापांक अंकगणित]] के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक अभाज्य पूर्ण घन द्वारा संतुष्ट होना चाहिए, यदि कुछ मौजूद है:<ref>M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).</ref>
+[[मॉड्यूलर अंकगणित|मापांक अंकगणित]] के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक अभाज्य पूर्ण घनाभ द्वारा संतुष्ट होना चाहिए, यदि कुछ मौजूद है:<ref>M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).</ref>
 * एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।
 * दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।
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 {{Asof|2020|July}}, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (समिति) घनाभ हैं, 16,612 एक सम्मिश्र संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 फलक घनाभ थे।<ref>{{cite arXiv |eprint=1705.05929v4 |class=math.NT |first=Randall L. |last=Rathbun |title=पूर्णांक घनाभ तालिका|date=14 Jul 2020}}</ref>
-{{Asof|2017|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और चेहरे के घनाभों को गिना, 350,778 चेहरे के घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>
+{{Asof|2017|December}}, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और फलक घनाभों को गिना, 350,778 फलक घनाभ थे।<ref name=Belogourov/>
-== पूर्ण समानांतर चतुर्भुज ==
+== पूर्ण समान्तरषटफलक ==
-एक पूर्ण समानांतर चतुर्भुज पूर्णांक-लंबाई वाले किनारों, चेहरे के विकर्णों और शरीर के विकर्णों के साथ एक समानांतर चतुर्भुज है, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी समकोण हों; एक आदर्श घनाभ एक पूर्ण समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। 2009 में, दर्जनों संपूर्ण समानांतर चतुर्भुजों का अस्तित्व दिखाया गया था,<ref>{{Cite journal|first1=Jorge F.|last1=Sawyer|first2=Clifford A.|last2=Reiter|year=2011|title=बिल्कुल सही समांतर चतुर्भुज मौजूद हैं|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=80|issue=274|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7|s2cid=206288198 }}.</ref> रिचर्ड के. गाइ के एक खुले प्रश्न का उत्तर देना। इनमें से कुछ पूर्ण समांतर चतुर्भुजों में दो आयताकार फलक होते हैं। सबसे छोटे पूर्ण समांतर चतुर्भुज के किनारे 271, 106 और 103 हैं; लघु फलक विकर्ण 101, 266 और 255; लंबे फलक विकर्ण 183, 312 और 323; और शरीर के विकर्ण 374, 300, 278 और 272 हैं।
+एक पूर्ण [[समान्तरषटफलक]] पूर्णांक-लंबाई वाले किनारों, फलक विकर्णों और निकाय के विकर्णों के साथ एक समान्तरषटफलक है, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी समकोण हों; एक आदर्श घनाभ एक पूर्ण समान्तरषटफलक की एक विशेष स्थिति  है। 2009 में, [[रिचर्ड गाइ]] के एक अनिर्णीत प्रश्न का उत्तर देते हुए,<ref>{{Cite journal|first1=Jorge F.|last1=Sawyer|first2=Clifford A.|last2=Reiter|year=2011|title=बिल्कुल सही समांतर चतुर्भुज मौजूद हैं|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=80|issue=274|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7|s2cid=206288198 }}.</ref> दर्जनों सटीक समान्तरषटफलकों का अस्तित्व दिखाया गया था। इनमें से कुछ पूर्ण समान्तरषटफलकों में दो आयताकार फलक होते हैं। सबसे छोटे पूर्ण समान्तरषटफलक के किनारे 271, 106 और 103 हैं; लघु फलक विकर्ण 101, 266 और 255; लंबे फलक विकर्ण 183, 312 और 323; और निकाय के विकर्ण 374, 300, 278 और 272 हैं।
 == यह भी देखें ==
-* पायथागॉरियन चौगुनी
+* [[पाइथागोरियन]] [[चतुष्कोण]]
 == टिप्पणियाँ ==
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