डायटोमिक अणुओं की समरूपता

भौतिकी और रसायन विज्ञान में आणविक समरूपता अणुओं में सम्मिलित समरूपता और उनकी समरूपता के अनुसार अणुओं के वर्गीकरण का वर्णन करती है। आणविक समरूपता भौतिकी और रसायन विज्ञान में क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोग में एक मौलिक अवधारणा है उदाहरण के लिए इसका उपयोग अणु के कई गुणों का पूर्वानुमान या व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है जैसे कि इसका द्विध्रुवीय क्षण और इसके अनुमत स्पेक्ट्रमी संक्रमण चयन नियमों के आधार पर जटिल गणना किए बिना (जो, कुछ स्थितियों में संभव भी नहीं हो सकता है)। ऐसा करने के लिए अणु के समरूपता समूह की वर्ण तालिका से अलघुकरणीय अभ्यावेदन का उपयोग करके अणु की अवस्थाओं को वर्गीकृत करना आवश्यक है। सभी आणविक समरूपताओं के बीच, द्विपरमाण्विक अणु कुछ विशिष्ट विशेषताएं दिखाते हैं और उनका विश्लेषण करना अपेक्षाकृत आसान होता है।

समरूपता और समूह सिद्धांत

एक प्रणाली को नियंत्रित करने वाले भौतिक नियम सामान्यतः एक संबंध (समीकरण, अवकल समीकरण, समाकल समीकरण आदि) के रूप में लिखे जाते हैं। इस संबंध के संघटकों पर एक संक्रिया, जो संबंधों के रूप को अपरिवर्तित है उसे समरूपता परिवर्तन या प्रणाली की समरूपता कहा जाता है।

• इन समरूपता संचालन में बाहरी या आंतरिक समन्वय ज्यामितीय या आंतरिक समरूपता सम्मिलित हो सकती हैं।
• ये समरूपता संचालन वैश्विक या स्थानीय गेज समरूपता सम्मिलित हो सकती हैं।
• ये समरूपता संचालन असतत या निरंतर हो सकते हैं।

समरूपता क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक रूप से महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह संरक्षित राशियों का पूर्वानुमान कर सकता है और क्वांटम संख्या प्रदान कर सकता है। यह आइगेन मान और आइगेन सदिश का पूर्वानुमान कर सकता है और हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के आव्यूह तत्वों के विषय में उन्हें गणना किए बिना अंतर्दृष्टि देता है। व्यक्तिगत समरूपताओं को देखने के अतिरिक्त, कभी-कभी समरूपताओं के बीच सामान्य संबंधों को देखना अधिक सुविधाजनक होता है। जिससे यह पता चलता है कि समूह सिद्धांत का यह सबसे पर्याप्त तरीका है।

समूह

Main article: समूह (गणित)

समूह एक गणितीय संरचना है जिसको सामान्यतः (G *) के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें एक समूह G और एक बाइनरी संचालन $'*'$ सम्मिलित होता है कभी-कभी सामान्यतः 'गुणन' कहा जाता है जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करते हैं:

1. समापन: तत्वों के प्रत्येक जोड़े के लिए $x,y\in G$, गुणनफल $x*y\in G$ है।
2. संबद्धता: G में प्रत्येक x, y और z के लिए, दोनों (x*y)*z और x*(y*z) का परिणाम G में एक ही तत्व के साथ $(x*y)*z=x*(y*z)\forall x,y,z\in G$) प्रतीकों मे होता है।
3. पहचान का अस्तित्व: G में एक तत्व (मान लीजिए e) ऐसा होना चाहिए कि गुणनफल G का कोई भी तत्व e के साथ $x*e=e*x=x;\forall x\in G$ तत्व में कोई परिवर्तन न करे।
4. व्युत्क्रम का अस्तित्व: G में प्रत्येक तत्व ( x ) के लिए, G में एक तत्व y होना चाहिए जैसे कि x और y का उत्पाद पहचान तत्व e है (प्रतीकों में, प्रत्येक के लिए $x\in G$${\text{ }}\exists {\text{ }}y\in G$ ऐसा है कि $x*y=y*x=e$ है।

• उपरोक्त चारों के अतिरिक्त यदि ऐसा होता है कि $\forall x,y\in G$,$x*y=y*x$, अर्थात संक्रिया क्रमविनिमेय में तब समूह को एबेलियन समूह कहा जाता है। अन्यथा इसे एक गैर-अबेलियन समूह कहा जाता है।

समूह, समरूपता और संरक्षण

हैमिल्टनियन के सभी समरूपता परिवर्तनों के समूह में एक समूह की संरचना होती है जिसमें समूह गुणन एक के बाद एक परिवर्तनों को प्रयुक्त करने के बराबर होता है। समूह तत्वों को आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है ताकि समूह संचालन सामान्य आव्यूह गुणन बन जाए। क्वांटम यांत्रिकी में, स्थितियों के अपेक्षाकृत अध्यारोपण का विकास एकात्मक संचालकों द्वारा दिया जाता है इसलिए समरूपता समूहों के प्रत्येक तत्व एकात्मक संचालक हैं। अब किसी भी एकात्मक संकारक को कुछ हर्मिटियन संक्रियक के घातांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तो संबंधित हर्मिटियन संक्रियक समरूपता समूह के 'जनरेटर' हैं। ये एकात्मक परिवर्तन हैमिल्टनियन संक्रियक पर कुछ हिल्बर्ट समष्टि में इस प्रकार से कार्य करते हैं कि हैमिल्टन परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तित रहता है। दूसरे शब्दों में, समरूपता संचालक हैमिल्टनियन के साथ संचालन करते हैं। यदि $U$ एकात्मक समरूपता संक्रियक का प्रतिनिधित्व करता है और हैमिल्टनियन $H$ पर कार्य करता है, तब

$[H,U]=0$
${\begin{aligned}&{H}'={{U}^{\dagger }}HU=H\\&\Rightarrow HU=UH\\&\Rightarrow [H,U]=0;\forall U\in G\\\end{aligned}}$

इन संक्रियकों के पास समूह के उपर्युक्त गुण हैं:

• सममिति संक्रियाएँ गुणन के अंतर्गत विवृत हैं।
• समरूपता परिवर्तनों के अनुप्रयोग साहचर्य हैं।
• सदैव एक तुच्छ परिवर्तन होता है, जहाँ मूल निर्देशांक के लिए कुछ भी नहीं किया जाता है। यह समूह का पहचान तत्व है।
• जब तक एक व्युत्क्रम परिवर्तन सम्मिलित है, यह एक समरूपता परिवर्तन है, अर्थात यह हैमिल्टन के अपरिवर्तनीय को छोड़ देता है। इस प्रकार यह व्युत्क्रम समुच्चय का भाग है।

इसलिए, एक प्रणाली की समरूपता से हमारा तात्पर्य संक्रियकों के एक समूह से है जिनमें से प्रत्येक हैमिल्टनियन के साथ संचार करता है और वे एक समरूपता समूह बनाते हैं। यह समूह एबेलियन या गैर-एबेलियन हो सकता है। यह किस पर निर्भर करता है प्रणाली के गुण रूपांतरित होते हैं उदाहरण के लिए, यदि समूह एबेलियन है, तो कोई कमी नहीं होती है एक प्रणाली में प्रत्येक अलग प्रकार की समरूपता के अनुरूप हम इससे सम्बद्ध समरूपता समूह को खोज सकते हैं।

यह इस प्रकार है कि जनरेटर $T$ समरूपता समूह का भी हैमिल्टनियन के साथ संचालन होता है अब, यह इस प्रकार है:

जनरेटर हर्मिटियन आव्यूह के अनुरूप अवलोकनीय संरक्षित है।

The derivative of the expectation value of the operator T can be written as: ${\frac {d\left\langle T\right\rangle }{dt}}={\frac {d\left\langle \Psi |T|\Psi \right\rangle }{dt}}=\left\langle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}|T|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi |{\frac {\partial T}{\partial t}}|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi |T|{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right\rangle$ Now, $i\hbar {\frac {\partial \left|\Psi \right\rangle }{\partial t}}=H\left|\Psi \right\rangle$ So, ${\frac {d\left\langle T\right\rangle }{dt}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \Psi |HT|\Psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \Psi |TH|\Psi \right\rangle +\left\langle {\frac {\partial T}{\partial t}}\right\rangle$ as H is also Hermitian. So we have, ${\frac {d\left\langle T\right\rangle }{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [H,T]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial T}{\partial t}}\right\rangle$ Now, $[H,T]=0$ as stated above, and if the operator T does not have any explicit time-dependence; ${\frac {d\left\langle T\right\rangle }{dt}}=0$ $\Rightarrow \left\langle T\right\rangle$ is a constant, independent of what the state $\left|\Psi \right\rangle$ may be. So the observable corresponding to the operator T, is conserved.

कुछ विशिष्ट उदाहरण घूर्णी समरूपता अनुवाद संबंधी आक्रमण आदि वाले प्रणाली हो सकते हैं। एक घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए, हैमिल्टनियन का समरूपता समूह सामान्य क्रमावर्तन समूह है। यदि प्रणाली Z-अक्ष के विषय में किसी भी घूर्णन बार में अपरिवर्तनीय है अर्थात, प्रणाली में अक्षीय समरूपता है तो हैमिल्टनियन का समरूपता समूह सममिति अक्ष बार में घूर्णन का समूह है। अब, यह समूह कक्षीय कोणीय संवेग के Z-घटक द्वारा ${L}_{z}$ उत्पन्न होता है सामान्य समूह तत्व $R(\alpha )={{e}^{\frac {-i\alpha {{L}_{z}}}{\hbar }}}$ इस प्रकार, ${L}_{z}$ साथ संचालन करता है $H$ इस प्रणाली के लिए और कोणीय गति का Z-घटक संरक्षित है। इसी प्रकार, अनुवाद समरूपता रैखिक गति के संरक्षण को उत्पन्न करती है और व्युत्क्रम समरूपता समता संरक्षण को जन्म देती है।

ज्यामितीय समरूपता

समरूपता संचालन, बिंदु समूह और क्रमपरिवर्तन-व्युत्क्रम समूह

Main article: आणविक समरूपता

एक निश्चित इलेक्ट्रॉनिक अवस्था में संतुलन पर एक अणु में सामान्यतः कुछ ज्यामितीय समरूपता होती है। इस समरूपता को एक निश्चित बिंदु समूह द्वारा वर्णित किया गया है जिसमें संचालन होते हैं जिन्हें समरूपता संचालन कहा जाता है जो अणु के एक स्थानिक अभिविन्यास का उत्पादन करते हैं जो प्रारंभिक विन्यास से अप्रभेद्य है। पाँच प्रकार के बिंदु समूह पहचान, क्रमावर्तन, प्रतिबिंब, व्युत्क्रम और अनुचित क्रमावर्तन या क्रमावर्तन-प्रतिबिंब समरूपता संचालन हैं सभी समरूपता संक्रियाओं के लिए सामान्य यह है कि अणु का ज्यामितीय केंद्र-बिंदु अपनी स्थिति नहीं परिवर्तित करता है इसलिए नाम बिंदु समूह किसी विशेष अणु के लिए उसके आणविक मॉडल की ज्यामितीय समरूपता पर विचार करके बिंदु समूह के तत्वों को निर्धारित किया जा सकता है। हालाँकि जब कोई बिंदु समूह का उपयोग करता है, तो तत्वों की उसी प्रकार व्याख्या नहीं की जानी चाहिए। इसके अतिरिक्त तत्व वाइब्रोनिक (कंपन-इलेक्ट्रॉनिक) निर्देशांक को घुमाते हैं और प्रतिबिंबित करते हैं और ये तत्व वाइब्रोनिक हैमिल्टनियन के साथ संचालन करते हैं। बिंदु समूह का उपयोग वाइब्रोनिक आइगेन स्थिति को समरूपता द्वारा वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है। घूर्णी स्तरों के समरूपता वर्गीकरण, पूर्ण (घूर्णकंपट्रानीय परमाणु घूर्णन) हैमिल्टनियन के आइगेन स्थिति को उपयुक्त क्रमपरिवर्तन-व्युत्क्रम समूह के उपयोग की आवश्यकता होती है जैसा कि लॉन्गेट-हिगिंस द्वारा प्रस्तुत किया गया था। अनुभाग व्युत्क्रम समरूपता और परमाणु क्रमचय समरूपता नीचे देखें। क्रमपरिवर्तन-व्युत्क्रम समूहों के तत्व पूर्ण आणविक हैमिल्टनियन के साथ संचालन करते हैं। बिंदु समूहों के अतिरिक्त, क्रिस्टलोग्राफी में महत्वपूर्ण एक अन्य प्रकार का समूह सम्मिलित है जहां 3-डी में अनुवाद पर भी ध्यान देने की आवश्यकता है। उन्हें समष्टि समूह के रूप में जाना जाता है।

मूल बिंदु समूह समरूपता संचालन

ऊपर वर्णित पांच आधारिक समरूपता संचालन हैं:

1. पहचान संचालन E (जर्मन 'ईनहाइट' अर्थात एकता से): पहचान संचालन अणु को अपरिवर्तित छोड़ देता है। यह समरूपता समूह में पहचान तत्व बनाता है। हालांकि इसका समावेश तुच्छ प्रतीत होता है यह महत्वपूर्ण भी है क्योंकि सबसे असममित अणु के लिए भी, यह समरूपता सम्मिलित है। संगत समरूपता तत्व संपूर्ण अणु ही है।
2. व्युत्क्रम i यह संचालित अणु को उसके व्युत्क्रम के केंद्र के विषय में बताता है यदि इसका कोई है। इस स्थिति में व्युत्क्रम केंद्र समरूपता तत्व है। इस केंद्र पर परमाणु हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है एक अणु में व्युत्क्रम का केंद्र हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है उदाहरण के लिए बेंजीन अणु, एक घन और गोलों में एक व्युत्क्रम केंद्र होता है, जबकि एक चतुष्फलक नहीं होता है।
3. परावर्तन σ: परावर्तन संचालन एक निश्चित तल के विषय में अणु की एक दर्पण छवि ज्यामिति का निर्माण करता है। दर्पण तल अणु को द्विभाजित करता है और इसमें ज्यामिति का केंद्र सम्मिलित होना चाहिए। इस स्थिति में समरूपता का तल सममिति तत्व है। प्रमुख अक्ष (नीचे परिभाषित) के समानांतर एक समरूपता समतल को लंबवत (σv) और एक लंबवत को क्षैतिज (σh) कहा जाता है। एक तीसरे प्रकार का समरूपता समतल सम्मिलित है: यदि एक ऊर्ध्वाधर समरूपता समतल अतिरिक्त रूप से दो 2-गुना घूर्णन अक्षों के बीच के कोण को प्रमुख अक्ष के लंबवत बनाता है, तो समतल को डायहेड्रल (σd) मे परिवर्तित कर दिया जाता है।
4. n-आवृत क्रमावर्तन ${{c}_{n}}$ n-आवृत क्रमावर्तन संचालन समरूपता के n-आवृत अक्ष बार में आणविक निर्देशन उत्पन्न करता है जो प्रत्येक क्रमावर्तन के लिए प्रारंभिक से ${\frac {{360}^{0}}{n}}$ दक्षिणावर्त और वामावर्त अप्रभेद्य होता है इसे ${{c}_{n}}$ द्वारा दर्शाया जाता है इस स्थिति में समरूपता का अक्ष समरूपता तत्व है। एक अणु में एक से अधिक सममिति अक्ष हो सकते हैं उच्चतम n वाले को 'प्रमुख अक्ष' कहा जाता है, और परिपाटी द्वारा कार्तीय समन्वय प्रणाली में z-अक्ष निर्दिष्ट किया जाता है।
5. 'n-आवृत क्रमावर्तन-प्रतिबिंब या अनुचित क्रमावर्तन ${{c}_{n}}$ क्रमावर्तन के n-आवृत अक्ष के बारे में एन-गुना अनुचित क्रमावर्तन संचालन दो क्रमिक ज्यामिति परिवर्तनों से बना है: पहला, उस क्रमावर्तन की धुरी बार में ${\frac {{360}^{0}}{n}}$ के माध्यम से एक क्रमावर्तन और दूसरा एक समतल लंबवत और आणविक के माध्यम से प्रतिबिंब ज्यामिति का केंद्र उस अक्ष पर यह अक्ष इस स्थिति में सममिति तत्व है। यह संक्षेप में ${{c}_{n}}$ है। एक विशिष्ट अणु में सम्मिलित अन्य सभी समरूपता इन 5 संक्रियाओं का एक संयोजन है।

शोयेनफ्लीज़ संकेतन

Main article: शोयेनफ्लीज़ संकेतन

जर्मन गणितज्ञ आर्थर मोरिट्ज़ शोयेनफ्लीज़ के नाम पर शोयेनफ्लीज़ या स्कोनफ़्लिज़ संकेतन सामान्यतः बिंदु समूहों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले दो फलनों में से एक है। इस अंकन का उपयोग स्पेक्ट्रम विज्ञान में किया जाता है और इसका उपयोग आणविक बिंदु समूह को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है।

द्विपरमाण्विक अणुओं के लिए बिंदु समूह

Main article: आणविक समरूपता

समनाभिकीय द्विपरमाणुक के लिए विषमनाभिकीय द्विपरमाण्विक अणु ${{C}_{\infty v}}$ और ${{D}_{\infty h}}$ के लिए दो बिंदु समूह हैं।

• ${{C}_{\infty v}}$

समूह ${{C}_{\infty v}}$ मे घूर्णन $C(\phi )$ सम्मिलित हैं किसी भी कोण से $\phi$ समरूपता की धुरी और प्रतिबिंबों की अनंत संख्या बार में ${{\sigma }_{v}}$ अंतरानाभिकीय अक्ष (या लंब अक्ष, जो सबस्क्रिप्ट 'v' का कारण है समतलों के माध्यम से समूह में ${{C}_{\infty v}}$ समरूपता के सभी तल समतुल्य हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब ${{\sigma }_{v}}$ तत्वों की एक सतत श्रृंखला के साथ एक एकल वर्ग बनाना समरूपता की धुरी द्विपक्षीय है, जिससे वर्गों की एक सतत श्रृंखला होती है, प्रत्येक में दो तत्व $C(\pm \phi )$ होते हैं ध्यान दें कि यह समूह गैर-अबेलियन है और समूह में अनंत संख्या में अप्रासंगिक अभ्यावेदन सम्मिलित हैं। जिसकी समूह की वर्ण तालिका इस प्रकार है:

	E	2c∞${\phi }$	...	$\infty {{\sigma }_{v}}$	रैखिक फलन, घूर्णन	द्विघात
A1=Σ+	1	1	...	1	z	x2+y2, z2
A2=Σ−	1	1	...	-1	Rz
E1=Π	2	$2\cos(\phi )$	...	0	(x, y) (Rx, Ry)	(xz, yz)
E2=Δ	2	$2\cos(2\phi )$	...	0		(x2-y2, xy)
E3=Φ	2	$2\cos(3\phi )$	....	0
...	...	...	...

• ${{D}_{\infty h}}$:

अक्षीय परावर्तन समरूपता के अतिरिक्त, समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु समरूपता के बिंदु से गुजरने वाले समतल में किसी भी अक्ष के माध्यम से व्युत्क्रमण या परावर्तन के संबंध में सममित होते हैं और अंतर-नाभिकीय अक्ष के लंबवत होते हैं।

समूह ${{D}_{\infty h}}$ की कक्षाएं समूह ${{C}_{\infty v}}$ से दो समूहों ${{D}_{\infty h}}={{C}_{\infty v}}\times {{C}_{i}}$ के बीच संबंध का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती हैं। ${{C}_{\infty v}}$ या ${{D}_{\infty h}}$ जैसे गैर-एबेलियन है और समूह में अप्रासंगिक अभ्यावेदन की अनंत संख्या है। इस समूह की वर्ण तालिका इस प्रकार है:

	E	2c∞${\phi }$	...	$\infty {{\sigma }_{h}}$	i	2S∞${\phi }$	...	$\infty$$c_{2}^{'}$	रैखिक फलन, घूर्णन	द्विघात
A1g=Σ+g	1	1	...	1	1	1	...		z	x2+y2, z2
A2g=Σ−g	1	1	...	-1	1	1	...		Rz
E1g=Πg	2	$2\cos(\phi )$	...	0	2	$-2\cos(\phi )$	...		(x, y) (Rx, Ry)	(xz, yz)
E2g=Δg	2	$2\cos(2\phi )$	...	0	2	$2\cos(2\phi )$	...			(x2-y2, xy)
E3g=Φg	2	$2\cos(3\phi )$	....	0	2	$-2\cos(3\phi )$	...
...	...	...	...	...	...	...	...
A1u=Σ+u	1	1	...	1	-1	-1	...		z
A2u=Σ−u	1	1	...	-1	-1	-1	...
E1u=Πu	2	$2\cos(\phi )$	...	0	-2	$2\cos(\phi )$	...		(x, y)
E2u=Δu	2	$2\cos(2\phi )$	...	0	-2	$-2\cos(2\phi )$	...
E3u=Φu	2	$2\cos(3\phi )$	...	0	-2	$2\cos(3\phi )$	...
...	...	...	...	...	...	...	...

संक्षिप्त उदाहरण

बिंदु समूह	समरूपता संचालन या समूह संचालन	समरूपता तत्व या समूह तत्व	विशिष्ट ज्यामिति का सरल विवरण	समूह आदेश	वर्गों की संख्या और अलघुकरणीय अभ्यावेदन ( अपूरणीय)	उदाहरण
${{C}_{\infty v}}$	E, $c_{_{\infty }}^{\phi }$ ,σv	E, $2c_{_{\infty }}$ ,$\infty {{\sigma }_{v}}$	रैखिक	$\infty$	$\infty$	हाइड्रोजिन फ्लोराइड
${{D}_{\infty h}}$	E, $c_{_{\infty }}^{\phi }$, σh ,i,$c_{2}^{'}$	S∞ ,E ,$2c_{_{\infty }}$ ,$\infty {{\sigma }_{h}}$,$\infty$$c_{2}^{'}$	व्युत्क्रमण केंद्र के साथ रैखिक	$\infty$	$\infty$	ऑक्सीजन

कम्यूटिंग संक्रियकों का समूह

Main article: अवलोकनीय वेधशालाओं का पूर्ण समूह

एकल परमाणु के विपरीत द्विपरमाणुक अणु का हैमिल्टनियन साथ ${{L}^{2}}$ संचालन नहीं करता है तो क्वांटम संख्या $l$ अब एक अच्छी क्वांटम संख्या नहीं है। आंतरिक अक्ष समष्टि में एक विशिष्ट दिशा चुनता है और क्षमता गोलाकार रूप से सममित नहीं होती है। इसके अतिरिक्त ${{L}_{z}}$ और ${{J}_{z}}$ हैमिल्टनियन के साथ $H$ संचालन करता है अपेक्षाकृत आंतरिक परमाणु अक्ष को Z अक्ष के रूप में लेते हुए लेकिन ${{L}_{x}},{{L}_{y}}$ के साथ $H$ संचालन न करें इस तथ्य के कारण कि एक द्विपरमाणुक अणु का इलेक्ट्रॉनिक हेमिल्टनियन आंतरिक परमाणु रेखा (Z अक्ष) के चारों ओर घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, लेकिन x या y अक्ष बार में घूर्णन के अंतर्गत दोबारा, ${{S}^{2}}$ और ${{S}_{z}}$ एक अलग हिल्बर्ट समष्टि पर कार्य करते हैं इसलिए वे $H$ मे संचालन करते हैं इस स्थिति में भी द्विपरमाणुक अणु के लिए इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टन भी आंतरिक परमाणु रेखा वाले सभी समतलों में प्रतिबिंब के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। (X-Z) तल एक ऐसा तल है और इस तल में इलेक्ट्रॉनों के निर्देशांकों का प्रतिबिंब संक्रिया ${{y}_{i}}\to -{{y}_{i}}$ से अनुरूप है यदि ${{A}_{y}}$ संक्रियक है जो इस प्रतिबिंब $[{{A}_{y}},H]=0$ को निष्पादित करता है तो एक सामान्य समनाभिकीय अणु के लिए कम्यूटिंग वेधशालाओं (सीएससीओ) का पूरा समूह $\{H,{\text{ }}{{J}_{z}},{{L}_{z}},{{S}^{2}},{{S}_{z}},A\}$ है जहाँ $A$ एक संकारक है जो दो स्थानिक निर्देशांकों (x या y) में से केवल एक को व्युत्क्रम करता है।

समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु के विशेष स्थिति में, एक अतिरिक्त समरूपता होती है क्योंकि आंतरिक अक्ष द्वारा प्रदान की गई समरूपता के अक्ष के अतिरिक्त दो नाभिकों के बीच की दूरी के मध्य बिंदु पर समरूपता का एक केंद्र होता है (समरूपता पर चर्चा की गई है) यह पैराग्राफ केवल दो परमाणु आवेशों के समान होने पर निर्भर करता है। इसलिए दो नाभिकों का द्रव्यमान भिन्न हो सकता है अर्थात वे एक ही प्रजाति के दो समस्थानिक हो सकते हैं जैसे प्रोटॉन और ड्यूटेरॉन, या ${{O}^{16}}$ और ${{O}^{18}}$ और इसी प्रकार इस बिंदु को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में चुनना, हैमिल्टनियन उस मूल के संबंध में सभी इलेक्ट्रॉनों के निर्देशांक के व्युत्क्रम के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अर्थात् संचालन में ${{\vec {r}}_{i}}\to -{{\vec {r}}_{i}}$. इस प्रकार समता संक्रियक $\Pi$. इस प्रकार एक समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु के लिए सीएससीओ $\left\{H,{\text{ }}{{J}_{z}},{{L}_{z}},{{S}^{2}},{{S}_{z}},A,{\text{ }}\Pi \right\}$ है।

आणविक शब्द प्रतीक, Λ-दोहरीकरण

Main article: आणविक शब्द प्रतीक

आणविक शब्द प्रतीक समूह प्रतिनिधित्व और कोणीय संवेग की एक विशेषता अभिव्यक्ति है जो एक अणु की स्थिति की विशेषता है। यह परमाणु स्थिति के प्रतीक शब्द के बराबर है। हम पहले से ही सबसे सामान्य द्विपरमाणुक अणु के सीएससीओ को जानते हैं। तो अच्छी क्वांटम संख्याएँ पर्याप्त रूप से द्विपरमाणुक अणु की स्थिति का वर्णन कर सकती हैं। यहाँ, नामकरण में समरूपता स्पष्ट रूप से बताई गई है।

कोणीय संवेग

यहाँ, प्रणाली वृत्ताकार रूप से सममित नहीं है। इसलिए, $[H,{{L}^{2}}]\neq 0$, और स्थिति के संदर्भ में चित्रित नहीं किया जा सकता है $l$ हैमिल्टनियन के एक आइगेन अवस्था ${{L}^{2}}$ के रूप में एक आइगेन अवस्था नहीं है अब परमाणु शब्द प्रतीक के विपरीत जहां स्थितियों को $^{2S+1}{{L}_{J}}$ इस रूप में लिखा गया था परंतु जैसे $[H,{{L}_{z}}]=0$, के अनुरूप आइगेन मान ${{L}_{z}}$ अभी भी उपयोग किया जा सकता है।

यदि

${\begin{aligned}&{{L}_{z}}\left|\Psi \right\rangle ={{M}_{L}}\hbar \left|\Psi \right\rangle ;{{M}_{L}}=0,\pm 1,\pm 2,..........\\&\Rightarrow {{L}_{z}}\left|\Psi \right\rangle =\pm \Lambda \hbar \left|\Psi \right\rangle ;\Lambda =0,1,2,...........\\\end{aligned}}$

जहाँ $\Lambda =\left|{{M}_{L}}\right|$ आंतरिक अक्ष पर कुल इलेक्ट्रॉनिक कोणीय गति के प्रक्षेपण का पूर्ण मान $\Lambda$ है $\Lambda$ शब्द प्रतीक के रूप में प्रयुक्त किया जा सकता है। परमाणुओं के लिए उपयोग किए जाने वाले स्पेक्ट्रोस्कोपिक संकेतन S, P, D, F, ... के अनुरूप यह कोड अक्षरों को मान के साथ जोड़ने के लिए प्रथागत है $\Lambda$ के अनुसार:

अलग-अलग इलेक्ट्रॉनों के लिए संकेतन प्रयुक्त हैं:

$\lambda =\left|{{m}_{l}}\right|$

और

अक्षीय समरूपता

$[{{A}_{y}},H]=0$ और इसके अतिरिक्त में: ${{A}_{y}}{{L}_{z}}=-{{L}_{z}}{{A}_{y}}$ जैसे ${{L}_{z}}=-i\hbar (x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}})$ यह शीघ्र अनुसरण करता है कि यदि $\Lambda \neq 0$ संक्रियक ${{A}_{y}}$ आइगेन मान के अनुरूप एक आइगेन स्थिति पर $\Lambda \hbar$ का ${L}_{z}$ इस स्थिति को आइगेन मान के अनुरूप दूसरे में $-\Lambda \hbar$ परिवर्तित करता है और यह कि दोनों आइगेन स्थिति स्थितियों में समान ऊर्जा है। इलेक्ट्रॉनिक शब्द जैसे कि $\Lambda \neq 0$ (अर्थात शर्तें $\Pi ,\Delta ,\Phi ,................$) इस प्रकार दोगुने पतित होते हैं, दो अवस्थाओं के अनुरूप ऊर्जा का प्रत्येक मान जो आणविक अक्ष के साथ कक्षीय कोणीय गति के प्रक्षेपण की दिशा से भिन्न होता है। यह दुगनी कमी वास्तव में केवल अनुमानित है और यह दिखाना संभव है कि इलेक्ट्रॉनिक और घूर्णी गतियों के बीच की क्रिया के साथ शब्दों $\Lambda \neq 0$ का विभाजन होता है पास के दो स्तरों में, जिसे $\Lambda$-दोहरीकरण कहा जाता है। $\Lambda =0$ से $\Sigma$ स्थितियों के अनुरूप है। ये अवस्थाएँ गैर-पतित हैं इसलिए कि a की अवस्थाएँ $\Sigma$ शब्द को केवल आणविक अक्ष वाले समतल के माध्यम से प्रतिबिंब में स्थिरांक से गुणा किया जा सकता है। कब $\Lambda =0$, एक साथ के आइगेन फलन $H$,${L}_{z}$ और ${A}_{y}$ निर्माण किया जा सकता है। तब से $A_{y}^{2}=1$, के आइगेन फलन ${A}_{y}$ आइगेनमान $\pm 1$ हैं तो पूरी तरह से निर्दिष्ट करने के लिए $\Sigma$ द्विपरमाणुक अणुओं की स्थिति, ${{\Sigma }^{+}}$ स्थितियों, जो नाभिक वाले समतल में प्रतिबिंब पर अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है और ${{\Sigma }^{-}}$ को अलग करने की आवश्यकता होती है जिसके लिए यह उस संचालन को करने में चिन्ह को रूपांतरित करता है।

व्युत्क्रम समरूपता और परमाणु क्रमपरिवर्तन समरूपता

समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के मध्य बिंदु पर समरूपता का केंद्र होता है। निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में इस बिंदु (जो द्रव्यमान का परमाणु केंद्र है) का चयन करना, इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टनियन उस मूल पर सभी इलेक्ट्रॉनों के निर्देशांकों के व्युत्क्रम के बिंदु समूह संचालन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। यह संक्रिया समरूपता (भौतिकी) संक्रिया P (या E*) नहीं है समता संचालन में द्रव्यमान के आणविक केंद्र पर परमाणु और इलेक्ट्रॉनिक स्थानिक निर्देशांक का व्युत्क्रम सम्मिलित होता है। इलेक्ट्रॉनिक स्थिति या तो संचालन i से अपरिवर्तित रहते हैं या वे i द्वारा चिन्ह में परिवर्तित हो जाते हैं। पूर्व को सबस्क्रिप्ट G द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे सम कहा जाता है, जबकि बाद वाले को सबस्क्रिप्ट U द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे विषम कहा जाता है। सबस्क्रिप्ट g या u इसलिए शब्द प्रतीक में जोड़ा जाता है, ताकि समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के लिए इलेक्ट्रॉनिक स्थितियों में समरूपता हो सके और $\Sigma _{g}^{+},\Sigma _{g}^{-},\Sigma _{u}^{+},\Sigma _{u}^{-},{{\Pi }_{g}},{{\Pi }_{u}}$....... के अलघुकरणीय अभ्यावेदन के अनुसार ${{D}_{\infty h}}$ बिंदु समूह समता (भौतिकी) संक्रिया P या E* और रोविब्रोनिक (घूर्णन-कंपन-इलेक्ट्रॉनिक) ऊर्जा स्तरों (जिन्हें प्रायः घूर्णी स्तर कहा जाता है) के साथ एक द्विपरमाणुक अणु का पूरा हेमिल्टनियन (सभी अणुओं के लिए) समानता समरूपता वर्गीकरण दिया जा सकता है। '+ या -। समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु का पूरा हैमिल्टनियन भी संचालन के साथ प्रारम्भ होता है दो (समान) नाभिकों और घूर्णी स्तरों के निर्देशांकों को बदलने या आदान-प्रदान करने का अतिरिक्त वर्गीकरण s या a प्राप्त करें जो इस बात पर निर्भर करता है कि कुल तरंग फलन है या नहीं क्रमपरिवर्तन संचालन द्वारा अपरिवर्तित (सममित) या चिन्ह में परिवर्तित हो जाता है इस प्रकार, विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के घूर्णी स्तरों को + या - स्तर मे किया जाता है, जबकि समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के अणुओं को +s, +a, -s या -a मे रूप मे वर्गीकृत किया जाता है। घूर्णकंपट्रानीय स्तर परमाणु घूर्णन स्थितियों को उपयुक्त क्रमपरिवर्तन-व्युत्क्रम समूह का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया है।

होमोन्यूक्लियर द्विपरमाणुक अणु का पूरा हैमिल्टनियन (सभी केंद्र-सममित अणुओं के लिए) परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टनियन के प्रभाव के कारण बिंदु समूह व्युत्क्रम संचालन i के साथ नहीं परिवर्तित होता है। परमाणु हाइपरफाइन हैमिल्टन G और U वाइब्रोनिक स्थिति (ऑर्थो-पैरा मिश्रण कहा जाता है) के घूर्णी स्तरों को मिला सकता है और ऑर्थो-पैरा संक्रमण को उत्पन्न कर सकता है।

घूर्णन (भौतिकी) और कुल कोणीय गति

यदि s व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन घूर्णन के परिणामी $s(s+1){{\hbar }^{2}}$ को दर्शाता है S के आइगेन मान s ​​​​हैं और जैसा कि परमाणुओं के स्थिति में, अणु के प्रत्येक इलेक्ट्रॉनिक शब्द को S के मान से भी जाना जाता है। यदि घूर्णन- कक्षीय युग्मन को उपेक्षित किया जाता है, तो क्रम का अध: पतन $2s+1$ होता है $s$ प्रत्येक के साथ जुड़ा हुआ है किसी प्रदत्त के लिए $\Lambda$ जैसे परमाणुओं के लिए, मात्रा $2s+1$ शब्द की बहुलता कहलाती है और इसे (बाएं) सुपरस्क्रिप्ट के रूप में लिखा जाता है ताकि शब्द प्रतीक को ${}^{2s+1}\Lambda$ इस रूप में लिखा जा सके उदाहरण के लिए, प्रतीक ${}^{3}\Pi$ एक शब्द को दर्शाता है जैसे कि $\Lambda =1$ और $s=1$. यह ध्यान देने योग्य है कि उत्तेजित स्थिति (प्रायः प्रतीक $X$ द्वारा वर्गीकृत की जाती है) अधिकांश द्विपरमाणुक अणु ऐसे होते हैं $s=0$ और अधिकतम समरूपता प्रदर्शित करता है। इस प्रकार, अधिकांश स्थितियों में यह एक ${}^{1}{{\Sigma }^{+}}$ है $X{}^{1}{{\Sigma }^{+}}$ स्थिति के रूप में लिखा गया है उत्तेजित अवस्थाएँ $A,B,C,...$ के रूप मे लिखी जाती हैं एक विषम परमाणु अणु के लिए और A ${}^{1}\Sigma _{g}^{+}$ स्थिति ($X{}^{1}\Sigma _{g}^{+}$ के रूप में लिखा गया है) एक समनाभिकीय अणु के लिए घूर्णन- कक्षीय कपलिंग इलेक्ट्रॉनिक स्थितियों की कमी को दूर करती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि घूर्णन का z-घटक कक्षीय कोणीय गति के z-घटक के साथ परस्पर क्रिया करता है, जिससे अणु अक्ष 'J' के साथ कुल इलेक्ट्रॉनिक कोणीय गति उत्पन्न होती है। यह क्वांटम संख्या ${{M}_{J}}$ द्वारा विशेषता है जहाँ ${{M}_{J}}={{M}_{S}}+{{M}_{L}}$. फिर से ${{M}_{J}}$ धनात्मक और ऋणात्मक मान हैं, इसलिए जोड़े (M_L, M_S) और (−M_L, −M_S) पतित हैं। इन संबंधो को क्वांटम संख्या $\Omega$ के साथ समूहीकृत किया जाता है जिसे मानों की जोड़ी (M_L, M_S) के योग के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए $X{}^{1}\Sigma _{g}^{+}$ धनात्मक होता है।

आण्विक शब्द प्रतीक

सबसे सामान्य द्विपरमाणुक अणु के लिए समग्र आणविक शब्द प्रतीक ${}^{2S+1}\!\Lambda _{\Omega ,(g/u)}^{(+/-)}$ द्वारा दिया गया है:

जहाँ

• s कुल घूर्णन क्वांटम संख्या है।
• $\Lambda$ आंतरिक अक्ष के साथ कक्षीय कोणीय गति का प्रक्षेपण है।
• $\Omega$ आंतरिक अक्ष के साथ कुल कोणीय गति का प्रक्षेपण है।
• u/g बिंदु समूह संचालन i का प्रभाव है।
• +/− आंतरिक परमाणु अक्ष वाले एक अपेक्षाकृत समतल के साथ प्रतिबिंब समरूपता है।

वॉन न्यूमैन-विग्नर गैर-प्रसंस्करण नियम

Main article: विग्नर प्रसंकरण

हैमिल्टनियन के आव्यूह तत्वों पर समरूपता का प्रभाव

इलेक्ट्रॉनिक शर्तें या संभावित घटता ${{E}_{S}}(R)$ द्विपरमाणुक अणु की मात्रा केवल आंतरिक दूरी $R$ पर निर्भर करती है और इन संभावित वक्रों के व्यवहार की जांच करना महत्वपूर्ण है क्योंकि $R$ भिन्न होता है। विभिन्न शब्दों का प्रतिनिधित्व करने वाले वक्रों के प्रतिच्छेदन की जांच करना अपेक्षाकृत रुचि का विषय है।

वॉन न्यूमैन और विग्नर का गैर-प्रतिच्छेद नियम दो संभावित वक्र ${{E}_{1}}(R)$ और ${{E}_{2}}(R)$ यदि स्थिति 1 और 2 में समान बिंदु समूह समरूपता है, तो वे प्रतिच्छेदित नहीं कर सकते हैं

माना कि ${{E}_{1}}(R)$ और ${{E}_{2}}(R)$ दो अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक संभावित वक्र यदि किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो ${{E}_{1}}(R)$ और ${{E}_{2}}(R)$ कार्य करता है इस बिंदु के निकट मान होंगे। यह तय करने के लिए कि क्या ऐसा प्रतिच्छेद हो सकता है, समस्या को निम्नानुसार रखना सुविधाजनक है। मान लीजिए कुछ आंतरिक दूरी पर ${R}_{c}$ मान ${{E}_{1}}({{R}_{C}})$ और ${{E}_{2}}({{R}_{C}})$ के निकट हैं, लेकिन अलग हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। फिर इसकी जांच की जाएगी कि है या नहीं ${{E}_{1}}(R)$ और ${{E}_{2}}(R)$ संशोधन द्वारा प्रतिच्छेद करने के लिए ${{R}_{C}}\to {{R}_{C}}+\Delta R$ बनाया जा सकता है ऊर्जाएं $E_{1}^{(0)}={{E}_{1}}({{R}_{C}})$ और $E_{2}^{(0)}={{E}_{2}}({{R}_{C}})$ हैमिल्टनियन के आइगेन मान ​​${{H}_{0}}=H({{R}_{C}})$ हैं संबंधित ऑर्थोनॉर्मल इलेक्ट्रॉनिक आइगेन स्थिति $\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle$ और $\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle$ द्वारा निरूपित किया जाएगा और वास्तविक माने जाते हैं। $H\equiv H({{R}_{C}}+\Delta R)={{H}_{0}}+H'$,हैमिल्टनियन है

जहाँ $H'={\frac {\partial {{H}_{0}}}{\partial {{R}_{C}}}}\Delta R$ अपेक्षाकृत छोटा संक्रियक है हालांकि यह एक पतित स्थिति है, इसलिए अस्तव्यवस्थता की सामान्य विधि कार्य नहीं करती है समूह $H_{ij}^{'}=\left\langle \Phi _{i}^{(0)}|H'|\Phi _{j}^{(0)}\right\rangle ;i,j=1,2$, का यह अनुमान लगाया जा सकता है कि K के लिए ${{E}_{1}}(R)$ और ${{E}_{2}}(R)$ बिंदु पर बराबर है और ${{R}_{C}}+\Delta R$ मे निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता होती है:

$E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}+H_{11}^{'}-H_{22}^{'}=0$ and $H_{12}^{'}=0$

As an initial zero-order approximation, instead of $\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle$ and $\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle$ themselves, linear combinations of them of the form $\left|{{\Phi }^{(0)}}\right\rangle ={{c}_{1}}\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle +{{c}_{2}}\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle$, can be taken as the आइगेन स्थिति of the Hamiltonian $H$ (where ${{c}_{1}}$ and ${{c}_{2}}$ are, in general, complex). Substituting this expression in the perturbed Schrödinger  equation: $({{H}_{0}}+H')\left|{{\Phi }^{(0)}}\right\rangle =E\left|{{\Phi }^{(0)}}\right\rangle$ Expanding: ${{c}_{1}}(E_{1}^{(0)}+H'-E)\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle +{{c}_{2}}(E_{2}^{(0)}+H'-E)\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle =0$ Taking inner product with the respective bra's: ${{c}_{1}}(E_{1}^{(0)}+H'-E)\left\langle \Phi _{1}^{(0)}|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle +{{c}_{2}}(E_{2}^{(0)}+H'-E)\left\langle \Phi _{1}^{(0)}|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle =0$; and ${{c}_{1}}(E_{1}^{(0)}+H'-E)\left\langle \Phi _{2}^{(0)}|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle +{{c}_{2}}(E_{2}^{(0)}+H'-E)\left\langle \Phi _{2}^{(0)}|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle =0$ Now, $\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle$ and $\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle$ are आइगेन स्थितिs of the Hamiltonian ${{H}_{0}}$ corresponding to different आइगेन मानs and as ${{H}_{0}}$ is itself Hermitian, they are orthonormal: $\left\langle \Phi _{i}^{(0)}|\Phi _{j}^{(0)}\right\rangle ={{\delta }_{ij}}$ Thus: ${{c}_{1}}(E_{1}^{(0)}+H_{11}^{'}-E)+{{c}_{2}}H_{12}^{'}=0$; and ${{c}_{1}}H_{21}^{'}+{{c}_{2}}(E_{2}^{(0)}+H_{22}^{'}-E)=0$ Since the operator $H'$ is Hermitian, the matrix elements $H_{11}^{'}$ and $H_{22}^{'}$ are real, while $H_{12}^{'}=H_{21}^{'*}$. The compatibility condition for these equations is (such that both ${{c}_{1}}$ and ${{c}_{2}}$ are not simultaneously zero): $\left|{\begin{matrix}E_{1}^{(0)}+H_{11}^{'}-E&H_{12}^{'}\\H_{21}^{'}&E_{2}^{(0)}+H_{22}^{'}-E\\\end{matrix}}\right|=0$ This gives: Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "ग" found.in 3:4"): {\displaystyle E=\frac{1}{2}(E_{1}^{(0)}+E_{2}^{(0)}+H_{11}^{'}+H_{22}^{'})\pm \sqrt{\frac{1}{4}{{(E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}+H_{11}^{'}-H_{22}^{'})}^{2}}+{{\left| H_{12}^{'} \right|}^{2}}} </ गणित> यह सूत्र पहले सन्निकटन में ऊर्जा के आवश्यक eigenvalues ​​​​देता है। यदि दो पदों के ऊर्जा मान बिंदु पर बराबर हो जाते हैं गणित>({{R}_{C}}+\डेल्टा आर) } (अर्थात शब्द प्रतिच्छेद करते हैं), इसका मतलब है कि दो मान गणित> ई </math> सूत्र द्वारा दिए गए समान हैं। ऐसा होने के लिए, रेडिकल के अंतर्गत अभिव्यक्ति गायब होनी चाहिए। चूंकि यह दो वर्गों का योग है, दोनों एक साथ शून्य हैं। तो, यह शर्तें देता है: गणित>E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}+H_{11}^{'}-H_{22}^{'}=0 </ गणित> और गणित>H_{12}^{'}=0 </ गणित>

हालाँकि, हमारे पास केवल एक अपेक्षाकृत पैरामीटर $\Delta R$ है जो अस्पष्टता दे रहा है। इसलिए एक से अधिक पैरामीटर वाली दो शर्तें सामान्य रूप से एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकती हैं प्रारंभिक धारणा है कि $\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle$ और $\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle$ वास्तविक, इसका तात्पर्य है कि $H_{12}^{'}$ वास्तविक भी है तो, दो स्थिति उत्पन्न हो सकती हैं:

1. आव्यूह तत्व $H_{12}^{'}$ समान रूप से लुप्त हो जाता है। तब पहली शर्त को स्वतंत्र रूप से संतुष्ट करना संभव है। इसलिए, एक निश्चित मान के लिए, प्रतिच्छेद होने के लिए यह संभव है अर्थात, $\Delta R$ के एक निश्चित मान के लिए $R$ पहला समीकरण संतुष्ट है। अस्पष्ट संक्रियक के रूप में $H'$ या $H$ अणु के समरूपता संचालकों के साथ संचार करता है यह स्थिति तब होगी जब दो इलेक्ट्रॉनिक अवस्थाएँ $\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle$ और $\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle$ अलग-अलग बिंदु समूह समरूपताएं हैं उदाहरण के लिए यदि वे दो इलेक्ट्रॉनिक शब्दों के अनुरूप हैं जिनके अलग-अलग मान $\Lambda$ हैं अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक समानताएं G और U अलग-अलग बहुलताएं, या उदाहरण के लिए दो शब्द ${{\Sigma }^{+}}$ और ${{\Sigma }^{-}}$ हैं जैसा कि यह दिखाया जा सकता है कि एक अदिश राशि के लिए जिसका संक्रियक कोणीय गति और व्युत्क्रम संचालकों के साथ कार्य करता है, समान कोणीय गति और समता के स्थितियों के बीच संक्रमण के लिए केवल आव्यूह तत्व गैर-शून्य हैं और अनिवार्य रूप से वैध रहता है एक ही रूप, एक अपेक्षाकृत समरूपता संक्रियक के सामान्य स्थिति के लिए है।
2. यदि इलेक्ट्रॉनिक बताता है $\left|\Phi _{1}^{(0)}\right\rangle$ और $\left|\Phi _{2}^{(0)}\right\rangle$ एक ही बिंदु समूह समरूपता है, तो $H_{12}^{'}$ हो सकता है, और सामान्य तौर पर, गैर-शून्य होगा। आकस्मिक प्रतिच्छेद को छोड़कर, जो तब होता है जब संयोग से, दो समीकरण समान मान पर संतुष्ट होते हैं $R$, का एकल मान ज्ञात करना सामान्य रूप से असंभव है अर्थात, $\Delta R$ का एक मान $R$ जिसके लिए दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं।

इस प्रकार, एक द्विपरमाणुक अणु में, केवल भिन्न समरूपता के पद प्रतिच्छेद कर सकते हैं, जबकि समान समरूपता के पदों का प्रतिच्छेदन वर्जित है। यह, सामान्य रूप से, क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी स्थिति के लिए सही है, जहां हैमिल्टनियन में कुछ पैरामीटर होते हैं और इसके आइगेन मान उस पैरामीटर के परिणामी कार्य होते हैं। इस सामान्य नियम को जॉन वॉन न्यूमैन-विग्नर गैर-प्रतिच्छेद नियम के रूप में जाना जाता है।

इस सामान्य समरूपता सिद्धांत के महत्वपूर्ण परिणाम आणविक स्पेक्ट्रा हैं। वास्तव में, द्विपरमाणुक अणुओं के स्थिति में संयोजी बंध सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, परमाणु कक्षीय और आणविक कक्षकों के बीच तीन मुख्य पत्राचार का ध्यान रखा जाता है:

1. आणविक कक्षीय का एक दिया गया मान $\lambda$ है आंतरिक अक्ष के साथ कक्षीय कोणीय संवेग का घटक समान मान वाले परमाणु कक्षकों के साथ $\lambda$ अर्थात समान मान $\left|m\right|$ होते है।
2. तरंग फलन (G या U) की इलेक्ट्रॉनिक समता $R$ को $0$ या $\infty$ के रूप संरक्षित किया जाना चाहिए।
3. वॉन न्यूमैन-विग्नर गैर-प्रतिच्छेद नियम का पालन किया जाना चाहिए, ताकि समान समरूपता वाले कक्षीय के अनुरूप ऊर्जा घटक के रूप में $R$ से भिन्न होता है।

इस प्रकार, वॉन न्यूमैन-विग्नर गैर-प्रतिच्छेद नियम भी वैलेंस बांड सिद्धांत के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है।

प्रेक्षणीय परिणाम

अणु की आणविक वर्णक्रमीय रेखा को प्रभावित करके द्विपरमाणुक अणुओं में समरूपता सीधे प्रकट होती है। द्विपरमाणुक अणुओं में विभिन्न प्रकार के स्पेक्ट्रमों पर सममिति के प्रभाव हैं:

घूर्णी स्पेक्ट्रम

विद्युत द्विध्रुवीय सन्निकटन में विकिरण के उत्सर्जन या अवशोषण के लिए संक्रमण आयाम को विद्युत द्विध्रुवीय संक्रियक के घटक के वाइब्रोनिक आव्यूह तत्व के समानुपाती दिखाया जा सकता है। $D$ आणविक अक्ष के साथ। यह स्थाई विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है। समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं में, स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण लुप्त हो जाता है और कोई शुद्ध घूर्णन स्पेक्ट्रम नहीं होता है (लेकिन नीचे N.B. देखें)। हेटेरोन्यूक्लियर द्विपरमाणुक अणुओं में एक स्थायी विद्युत द्विध्रुवीय क्षण होता है और वाइब्रोनिक अवस्था में परिवर्तन के बिना घूर्णी संक्रमणों के अनुरूप स्पेक्ट्रा प्रदर्शित करता है। $\Lambda =0$ घूर्णी संक्रमण के लिए ${\begin{aligned}&\Delta \Im =\pm 1\\&\Delta {{M}_{\Im }}=0,\pm 1\\\end{aligned}}$ चयन नियम हैं $\Lambda \neq 0$, के लिए ${\begin{aligned}&\Delta \Im =0,\pm 1\\&\Delta {{M}_{\Im }}=0,\pm 1\\\end{aligned}}$ चयन नियम बन जाते हैं यह इस तथ्य के कारण है कि हालांकि अवशोषित या उत्सर्जित फोटॉन कोणीय गति की एक इकाई को वहन करता है, परमाणु घुमाव परिवर्तित हो सकता है जिसमें कोई $\Im$ परिवर्तन नहीं होता है यदि इलेक्ट्रॉनिक कोणीय संवेग एक समान और विपरीत परिवर्तन करता है। समरूपता के विचारों के लिए आवश्यक है कि एक द्विपरमाणुक अणु के विद्युत द्विध्रुवीय क्षण को आंतरिक रेखा के साथ निर्देशित किया जाए और यह अतिरिक्त चयन नियम $\Delta \Lambda =0$ की ओर ले जाता है द्विपरमाणुक अणु के शुद्ध घूर्णी स्पेक्ट्रम में इन्फ्रा-रेड या सूक्ष्म तरंग क्षेत्र में रेखाएँ होती हैं इन रेखाओं की आवृत्तियाँ निम्न द्वारा दी जाती हैं:

$\hbar {{\omega }_{\Im +1,\Im }}={{E}_{r}}(\Im +1)-{{E}_{r}}(\Im )=2B(\Im +1)$; जहाँ $B={\frac {{\hbar }^{2}}{2\mu R_{0}^{2}}}$, और $\Im \geq \Lambda$

• एनबी असाधारण परिस्थितियों में हाइपरफाइन हेमिल्टनियन समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के g और u वाइब्रोनिक अवस्थाओं के घूर्णी स्तरों को मिला सकता है और एक समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु में शुद्ध घूर्णी (ऑर्थो-पैरा) संक्रमण को उत्पन्न करता है।

कंपन स्पेक्ट्रम

शुद्ध कंपन संक्रमण के लिए संक्रमण आव्यूह तत्व हैं ${{\mu }_{v,v'}}=\left\langle v'|\mu |v\right\rangle$, जहाँ $\mu$ इलेक्ट्रॉनिक अवस्था में द्विपरमाणुक अणु का द्विध्रुव आघूर्ण है $\alpha$. क्योंकि द्विध्रुव आघूर्ण बंध की लंबाई $R$ पर निर्भर करता है और संतुलन से नाभिक के विस्थापन के साथ इसकी भिन्नता को $\mu ={{\mu }_{0}}+{{({\frac {d\mu }{dx}})}_{0}}x+{\frac {1}{2}}{{({\frac {{{d}^{2}}\mu }{d{{x}^{2}}}})}_{0}}{{x}^{2}}+.......$; इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

जहाँ ${{\mu }_{0}}$ द्विध्रुव आघूर्ण है जब विस्थापन शून्य होता है। संक्रमण आव्यूह तत्व हैं, इसलिए: $\left\langle v'|\mu |v\right\rangle ={{\mu }_{0}}\left\langle v'|v\right\rangle +{{({\frac {d\mu }{dx}})}_{0}}\left\langle v'|x|v\right\rangle +{\frac {1}{2}}{{({\frac {{{d}^{2}}\mu }{d{{x}^{2}}}})}_{0}}\left\langle v'|{{x}^{2}}|v\right\rangle +.......={{({\frac {d\mu }{dx}})}_{0}}\left\langle v'|x|v\right\rangle +{\frac {1}{2}}{{({\frac {{{d}^{2}}\mu }{d{{x}^{2}}}})}_{0}}\left\langle v'|{{x}^{2}}|v\right\rangle +.......$स्थितियों का उपयोग करना और संक्रमण आव्यूह केवल गैर-शून्य है यदि आणविक द्विध्रुवीय क्षण विस्थापन के साथ भिन्न होता है, अन्यथा के डेरिवेटिव के लिए $\mu$ शून्य होगा। द्विपरमाणुक अणुओं के कंपन संक्रमण के लिए सकल चयन नियम तब होता है: एक कंपन स्पेक्ट्रम दिखाने के लिए, द्विपरमाणुक अणु में एक द्विध्रुवीय क्षण होना चाहिए जो विस्तार के साथ परिवर्तित होता है। तो, समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु विद्युत-द्विध्रुवीय कंपन संक्रमण से नहीं गुजरते हैं। तो एक समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु विशुद्ध रूप से कंपन स्पेक्ट्रा नहीं दिखाता है। अपेक्षाकृत छोटे विस्थापन के लिए, एक अणु के विद्युत द्विध्रुवीय पल में बंधन के विस्तार के साथ रैखिक रूप से भिन्न होने की उम्मीद की जा सकती है। यह एक समनाभिकीय अणु के स्थिति में होगा जिसमें दो परमाणुओं पर आंशिक शुल्क आंतरिक दूरी से स्वतंत्र थे। ऐसे स्थितियों में (हार्मोनिक सन्निकटन के रूप में जाना जाता है), विस्तार में द्विघात और उच्च शर्तों को पूर्ण किया जा सकता है और ${{\mu }_{v,v'}}=\left\langle v'|\mu |v\right\rangle ={{({\frac {d\mu }{dx}})}_{0}}\left\langle v'|x|v\right\rangle$. अब, आव्यूह तत्वों को हार्मोनिक तरंग फलन के संदर्भ में स्थिति के आधार पर व्यक्त किया जा सकता है: हर्मिट बहुपद हर्मिट बहुपदों की संपत्ति का उपयोग करना: $2(\alpha x){{H}_{v}}(\alpha x)=2v{{H}_{v-1}}(\alpha x)+{{H}_{v+1}}(\alpha x)$, यह स्पष्ट है कि $x\left|v\right\rangle$ जो आनुपातिक है $x{{H}_{v}}(\alpha x)$, दो शब्दों का उत्पादन करता है, एक आनुपातिक $\left|v+1\right\rangle$ और दूसरे को $\left|v-1\right\rangle$. तो, केवल गैर-शून्य योगदान ${{\mu }_{v,v'}}$ से आता है $v'=v\pm 1$. तो, समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के लिए $\Delta v=\pm 1$ चयन नियम है।

• निष्कर्ष: समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु कोई शुद्ध कंपन वर्णक्रमीय रेखाएं नहीं दिखाते हैं और विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं की कंपन वर्णक्रमीय रेखाएं उपर्युक्त चयन नियम द्वारा नियंत्रित होती हैं।

घूर्णी-कंपन स्पेक्ट्रम विज्ञान

Main article: घूर्णी-कंपन स्पेक्ट्रोस्कोपी

समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु न तो शुद्ध कम्पनिक और न ही शुद्ध घूर्णी स्पेक्ट्रम दिखाते हैं। हालाँकि, एक फोटॉन के अवशोषण के लिए अणु को कोणीय गति की एक इकाई लेने की आवश्यकता होती है, कंपन संक्रमण के साथ घूर्णी अवस्था में परिवर्तन होता है, जो शुद्ध घूर्णी स्पेक्ट्रम के समान चयन नियमों के अधीन होता है। एक अणु के लिए ए $\Sigma$ स्थिति, दो कंपन-घूर्णन (या रोवाइब्रेशनल) स्तरों के बीच संक्रमण $(v,\Im )$ और $(v',\Im ')$, कंपन क्वांटम संख्या के साथ $v$ और $v'=v+1$, के अनुसार दो समूहों में आते हैं $\Delta \Im =+1$ या $\Delta \Im =-1$. के अनुरूप समूह $\Delta \Im =+1$ 'आर शाखा' कहा जाता है। संगत आवृत्तियों द्वारा दिया जाता है: $\hbar {{\omega }^{R}}=E(v+1,\Im +1)-E(v,\Im )=2B(\Im +1)+\hbar {{\omega }_{0}};{\text{ }}\Im =0,1,2,......$के अनुरूप समूह $\Delta \Im =-1$ 'P शाखा' कहा जाता है।

संगत आवृत्तियों $\hbar {{\omega }^{P}}=E(v+1,\Im -1)-E(v,\Im )=-2B\Im +\hbar {{\omega }_{0}};{\text{ }}\Im =1,2,3,......$ द्वारा दिया जाता है दोनों शाखाएं एक घूर्णन-कंपन बैंड या रोवाइब्रेशनल बैंड कहलाती हैं। ये बैंड स्पेक्ट्रम के इन्फ़रा रेड भाग में हैं। यदि अणु में $\Sigma$ स्थिति नहीं है ताकि $\Lambda \neq 0$, के साथ संक्रमण $\Delta \Im =0$ स्वीकृति दी जाती है। यह कंपन-घूर्णी स्पेक्ट्रम की एक और शाखा को जन्म देता है, जिसे 'Q स्थिति' कहा जाता है। आवृत्तियों ${{\omega }^{Q}}$ को इस शाखा में रेखाओं के अनुरूप एक द्विघात फलन $\Im$ द्वारा दिया गया है यदि ${{B}_{v}}$ और ${{B}_{v+1}}$ असमान हैं और एकल आवृत्ति $\hbar {{\omega }^{Q}}=E(v+1,\Im )-E(v,\Im )=\hbar {{\omega }_{0}}$ तक कम करें: यदि ${{B}_{v+1}}={{B}_{v}}$ विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु के लिए, इस चयन नियम के दो परिणाम हैं:

1. कंपन और घूर्णी क्वांटम संख्या दोनों को रूपांतरित करना Q शाखा इसलिए वर्जित है।
2. क्रमावर्तन के ऊर्जा परिवर्तन को या तो घटाया जा सकता है या कंपन के ऊर्जा परिवर्तन में जोड़ा जा सकता है, क्रमशः स्पेक्ट्रम की R और R शाखाएं दे सकता है।

समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु भी इस प्रकार का स्पेक्ट्रम प्रदर्शित करते हैं। हालाँकि चयन नियम अपेक्षाकृत अलग हैं।

• निष्कर्ष: दोनों होमो और हेटेरो-अणु द्विपरमाणुक अणु रोविब्रेशनल स्पेक्ट्रा दिखाते हैं। विषमनाभिकीय द्विपरमाणुक अणुओं के स्पेक्ट्रम में एक क्यू-शाखा अनुपस्थित होती है।

एक विशेष उदाहरण: हाइड्रोजन अणु आयन

Main article: डाइहाइड्रोजन धनायन

आण्विक संरचना पर समरूपता का एक स्पष्ट निहितार्थ सबसे सरल द्वि-परमाणु प्रणाली की स्थिति में दिखाया जा सकता है एक हाइड्रोजन अणु आयन या एक डी-हाइड्रोजन धनायन ${\text{H}}_{2}^{+}$ के लिए एक प्राकृतिक परीक्षण तरंग फलन ${\text{H}}_{2}^{+}$ जब दो प्रोटॉन व्यापक रूप से अलग हो जाते हैं तो प्रणाली की निम्नतम-ऊर्जा स्थिति पर विचार करके निर्धारित किया जाता है। फिर स्पष्ट रूप से दो संभावित अवस्थाएँ हैं इलेक्ट्रॉन या तो एक प्रोटॉन से जुड़ा होता है जो उत्तेजित अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु बनाता है या इलेक्ट्रॉन दूसरे प्रोटॉन से संबद्ध होता है फिर से हाइड्रोजन परमाणु की उत्तेजित अवस्था में (जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है) स्थिति के आधार पर परीक्षण स्थिति या तरंग फलन तब हैं:

प्रणाली की दो संभावित आरंभिक स्थितियाँ

$\left\langle \mathbf {r} |\mathbf {1} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\pi a_{0}^{3}}}}{{e}^{-{\frac {\left|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {R} }{2}}\right|}{{a}_{0}}}}}$ और $\left\langle \mathbf {r} |\mathbf {2} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\pi a_{0}^{3}}}}{{e}^{-{\frac {\left|\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {R} }{2}}\right|}{{a}_{0}}}}}$

${\text{H}}_{2}^{+}$ का विश्लेषण भिन्नात्मक विधि का उपयोग करके इन रूपों को ग्रहण करना प्रारम्भ कर देता है। दोबारा, इन स्थितियों का केवल एक संभावित संयोजन है। स्थितयोन का अन्य संयोजन भी हो सकता है उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन हाइड्रोजन परमाणु की उत्तेजित अवस्था में है। प्रणाली का संबंधित हैमिल्टनियन है:

$H={\frac {{\mathbf {p} }^{2}}{2{{m}_{e}}}}-{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {R} /2\right|}}-{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} +\mathbf {R} /2\right|}}+{\frac {{e}^{2}}{R}}$

$\left|1\right\rangle$ और $\left|2\right\rangle$ के आधार के रूप में हैमिल्टनियन में अप विकर्ण तत्वों को प्रस्तुत करता है यहाँ ${\text{H}}_{2}^{+}$ आयन की सापेक्ष सादगी के कारण आव्यूह तत्वों की वास्तव में गणना की जा सकती है ${\text{H}}_{2}^{+}$ का इलेक्ट्रॉनिक हैमिल्टन बिंदु समूह व्युत्क्रम समरूपता संक्रियक i के साथ संचार करता है। इसके समरूपता गुणों का उपयोग करते हुए, हम हैमिल्टनियन के विकर्ण और अप-विकर्ण तत्वों को इस प्रकार संबंधित कर सकते हैं:

${{H}_{11}}={{H}_{22}}{\text{ and }}{{H}_{12}}={{H}_{21}}$

The diagonal terms: Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "ब" found.in 1:186"): {\displaystyle {{H}_{11}}=\left\langle 1|\frac{{{\mathbf{p}}^{2}}}{2{{m}_{e}}}-\frac{{{e}^{2}}}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{R}/2 \right|}|1 \right\rangle -\left\langle 1|\frac{{{e}^{2}}{\बाएं| \mathbf{r}+\mathbf{R}/2 \right|}|1 \right\rangle +\frac{{{e}^{2}}{R}\बाएं\langle 1|1 \दाएं\rangle } $\Rightarrow {{H}_{11}}={{E}_{1}}-\int {{{d}^{3}}r}{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} +\mathbf {R} /2\right|}}{{\left|\left\langle \mathbf {r} |1\right\rangle \right|}^{2}}+{\frac {{e}^{2}}{R}}$$\Rightarrow {{H}_{11}}={{E}_{1}}-\int {{{d}^{3}}r}{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} +\mathbf {R} /2\right|}}{{\left|\left\langle \mathbf {r} |1\right\rangle \right|}^{2}}+{\frac {{e}^{2}}{R}}$ जहाँ, ${{E}_{1}}$हाइड्रोजन परमाणु की उत्तेजित अवस्था ऊर्जा है। दोबारा,${{H}_{22}}=\left\langle 2|{\frac {{\mathbf {p} }^{2}}{2{{m}_{e}}}}-{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} +\mathbf {R} /2\right|}}|2\right\rangle -\left\langle 2|{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {R} /2\right|}}|2\right\rangle +{\frac {{e}^{2}}{R}}\left\langle 2|2\right\rangle$ $\Rightarrow {{H}_{22}}={{E}_{1}}-\int {{{d}^{3}}r}{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {R} /2\right|}}{{\left|\left\langle \mathbf {r} |2\right\rangle \right|}^{2}}+{\frac {{e}^{2}}{R}}={{H}_{11}}$ जहां अंतिम चरण इस तथ्य से अनुसरण करता है कि ${{\left|\left\langle \mathbf {r} |2\right\rangle \right|}^{2}}={{\left|\left\langle \mathbf {r} |1\right\rangle \right|}^{2}}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}$ और प्रणाली की समरूपता से, इंटीग्रल का मान समान है। अब ऑफ-विकर्ण शर्तें: ${{H}_{12}}=\left\langle 1|{\frac {{\mathbf {p} }^{2}}{2{{m}_{e}}}}-{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} +\mathbf {R} /2\right|}}|2\right\rangle -\left\langle 1|{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {R} /2\right|}}|2\right\rangle +{\frac {{e}^{2}}{R}}\left\langle 1|2\right\rangle$ $\Rightarrow {{H}_{12}}=({{E}_{1}}+{\frac {{e}^{2}}{R}})\left\langle 1|2\right\rangle -\int {{{d}^{3}}r}{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {R} /2\right|}}\left\langle 1\left|\mathbf {r} \right\rangle \left\langle \mathbf {r} \right|2\right\rangle$ स्थितियों का एक पूरा समूह सम्मिलित करके $\int {{{d}^{3}}r}\left|\mathbf {r} \right\rangle \left\langle \mathbf {r} \right|$ अंतिम कार्यकाल में। $\left\langle 1|2\right\rangle =\int {{{d}^{3}}r}\left\langle 1\left|\mathbf {r} \right\rangle \left\langle \mathbf {r} \right|2\right\rangle$ 'ओवरलैप इंटीग्रल' कहा जाता है और, ${{H}_{21}}=\left\langle 2|{\frac {{\mathbf {p} }^{2}}{2{{m}_{e}}}}-{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {R} /2\right|}}|1\right\rangle -\left\langle 2|{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} +\mathbf {R} /2\right|}}|1\right\rangle +{\frac {{e}^{2}}{R}}\left\langle 2|1\right\rangle$ $\Rightarrow {{H}_{21}}=({{E}_{1}}+{\frac {{e}^{2}}{R}})\left\langle 2|1\right\rangle -\int {{{d}^{3}}r}{\frac {{e}^{2}}{\left|\mathbf {r} +\mathbf {R} /2\right|}}\left\langle 2\left|\mathbf {r} \right\rangle \left\langle \mathbf {r} \right|1\right\rangle ={{H}_{12}}$ (चूंकि तरंग कार्य वास्तविक हैं) इसलिए, ${{H}_{11}}={{H}_{22}}{\text{ and }}{{H}_{12}}={{H}_{21}}$

क्योंकि ${{H}_{11}}={{H}_{22}}$ साथ ही ${{H}_{12}}={{H}_{21}}$, का रैखिक संयोजन $\left|1\right\rangle$ और$\left|2\right\rangle$ हैमिल्टनियन $\left|\pm \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pm 2\left\langle 1|2\right\rangle }}}(\left|1\right\rangle \pm \left|2\right\rangle )$ का विकर्ण है सामान्यीकरण के बाद $[H,$ नहीं था [ i के लिए ${\text{H}}_{2}^{+}$, स्थिति $\left|\pm \right\rangle$ i के भी आइगेन स्थिति हैं। यह पता चला है कि $\left|+\right\rangle$ और $\left|-\right\rangle$ आइगेन मान ​​+1 और -1 के साथ i के आइगेन स्थिति हैं दूसरे शब्दों में, तरंग फलन $\left\langle \mathbf {r} |+\right\rangle$ और $\left\langle \mathbf {r} |-\right\rangle$ क्रमशः जेरेड (सममित) और अनगेरेड (असममित) हैं ऊर्जाओं की संगत ${{E}_{\pm }}={\frac {1}{1\pm \left\langle 1|2\right\rangle }}({{H}_{11}}\pm {{H}_{12}})$ मान है।

ऊर्जा बनाम पृथक्करण ग्राफ ${\text{H}}_{2}^{+}$ दो निम्नतम वक्र ${{E}_{-}}$ और ${{E}_{+}}$ क्रमशः निरूपित करते हैं उच्च उत्साहित स्थिति हैं। न्यूनतम ${{E}_{+}}$ एक ऊर्जा $-15.4{\text{ eV}}$ के अनुरूप है।

आरेख से, हम देखते हैं कि केवल ${{E}_{+}}$ में 1.3 Å के पृथक्करण के अनुरूप न्यूनतम और कुल ऊर्जा ${{E}_{+}}=-15.4{\text{ eV}}$ जो प्रणाली की $-13.6{\text{ eV}}$ प्रारंभिक ऊर्जा से कम है इस प्रकार, केवल जेराड स्थिति आयन को बाध्यकारी ऊर्जा $1.8{\text{ eV}}$ के साथ स्थिर करता है जिसके परिणाम स्वरूप ${\text{H}}_{2}^{+}$ की मूल स्थिति ${{X}^{2}}\Sigma _{g}^{+}$ और इस स्थिति को $\left(\left|+\right\rangle \right)$ बंधन आणविक कक्षक कहा जाता है। इस प्रकार, समरूपता के निर्माण में ${\text{H}}_{2}^{+}$ एक स्पष्ट भूमिका निभाती है।

यह भी देखें

• लिपि तालिका
• अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व § सैद्धांतिक भौतिकी और रसायन विज्ञान में अनुप्रयोग
• समतुल्यता (भौतिकी) § अणुभार
• द्विपरमाण्विक अणु
• आणविक समरूपता
• शोयेनफ्लीज़ प्रतीक
• रासायनिक रूप से महत्वपूर्ण 3डी बिंदु समूहों के लिए वर्ण तालिकाओं की सूची
• हुंड की स्थिति
• घूर्णी-कंपन स्पेक्ट्रम विज्ञान
• आणविक शब्द प्रतीक
• परिवर्जन प्रसंकरण
• डाइहाइड्रोजन धनायन
• क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
• समूह (गणित)
• तीन आयामों में बिंदु समूह
• वेधशालाओं का समूह
• बोर्न-ओपेनहाइमर सन्निकटन

अग्रिम पठन

1. Quantum Mechanics, Third Edition: Non-Relativistic Theory (Volume 3)by L. D. Landau, L. M. Lifshitz; ISBN 978-0750635394 Edition: 3rd; chapters: XI and XII.
2. Physics of Atoms & Molecules by B.H. Bransden, C.J. Joachain; ISBN 978-8177582796 Edition: 2nd edition; chapter: 9
3. Molecular Spectra and Molecular Structure: Spectra of Diatomic Molecules by Gerhard Herzberg; ISBN 978-0894642685 Edition: 2nd
4. Molecular Quantum Mechanics by Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman; ISBN 978-0199541423 Edition: 5th; chapter: 10.
5. Lecture notes on Quantum Mechanics (handouts: 12, 10) by Prof. Sourendu Gupta, Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai.
6. Symmetry in Physics: Principles and Simple Applications Volume 1 by James Philip Elliott, P.G. Dawber; ISBN 978-0195204551
7. A Modern Approach to Quantum Mechanics by John S. Townsend; Edition 2nd; ISBN 978-1891389788
8. http://www.astro.uwo.ca/~jlandstr/p467/lec5-mol_spect/index.html

बाहरी संबंध

1. http://www.astro.uwo.ca/~jlandstr/p467/lec5-mol_spect/index.html
2. http://csi.chemie.tu-darmstadt.de/ak/immel/script/redirect.cgi?filename=http://csi.chemie.tu-darmstadt.de/ak/immel/tutorials/symmetry/index1.html
3. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2014/index.php
4. A pdf file explaining the relation between Point Groups and Permutation-Inversion Groups Link