जनक फलन: Difference between revisions
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{{Main|रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम}} | {{Main|रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम}} | ||
एक अनुक्रम के सामान्य जनक फलन को एक तर्कसंगत फलन (दो परिमित-डिग्री बहुपदों का अनुपात) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि अनुक्रम निरंतर गुणांक के साथ एक [[रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम]] है; यह उपरोक्त उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है। इसके विपरीत, बहुपदों के एक अंश द्वारा उत्पन्न प्रत्येक अनुक्रम निरंतर गुणांकों के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है; ये गुणांक अंश भाजक बहुपद के गुणांक के समान हैं (इसलिए उन्हें सीधे पढ़ा जा सकता है)। इस अवलोकन से पता चलता है कि निरंतर गुणांक वाले रैखिक [[परिमित अंतर समीकरण]] द्वारा परिभाषित अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के लिए हल करना आसान है। यहाँ | एक अनुक्रम के सामान्य जनक फलन को एक तर्कसंगत फलन (दो परिमित-डिग्री बहुपदों का अनुपात) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि अनुक्रम निरंतर गुणांक के साथ एक [[रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम]] है; यह उपरोक्त उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है। इसके विपरीत, बहुपदों के एक अंश द्वारा उत्पन्न प्रत्येक अनुक्रम निरंतर गुणांकों के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है; ये गुणांक अंश भाजक बहुपद के गुणांक के समान हैं (इसलिए उन्हें सीधे पढ़ा जा सकता है)। इस अवलोकन से पता चलता है कि निरंतर गुणांक वाले रैखिक [[परिमित अंतर समीकरण]] द्वारा परिभाषित अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के लिए हल करना आसान है। यहाँ प्रतिमानिकल उदाहरण फलन तकनीकों को उत्पन्न करके [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं के लिए बिनेट के सूत्र को प्राप्त करना है। | ||
हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं <ref name="GFLECT">{{harvnb|Lando|2003|loc=§2.4}}</ref> | हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं <ref name="GFLECT">{{harvnb|Lando|2003|loc=§2.4}}</ref> | ||
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<math display="block">\operatorname{diag}(F) = \sum_{n = 0}^\infty \binom{2n}{n} z^n = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}. </math> | <math display="block">\operatorname{diag}(F) = \sum_{n = 0}^\infty \binom{2n}{n} z^n = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}. </math> | ||
इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या [[समोच्च एकीकरण]], जटिल [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष | इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या [[समोच्च एकीकरण]], जटिल [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष क्रमभंग द्वारा सम्मिलित है। | ||
=== जनक फलन संचालन === | === जनक फलन संचालन === | ||
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==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ==== | ==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ==== | ||
प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं <code>'''अनुमान'''</code> अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- | प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं <code>'''अनुमान'''</code> अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- स्वेच्छाचारी इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और <code>'''सिग्मा'''</code> संकुल जो कई राशियों के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है, {{mvar|P}}-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत [[हार्मोनिक संख्या|सुसंगत संख्या]]ओं को सम्मिलित करती है।<ref>{{cite journal|last1=Schneider|first1=C.|title=प्रतीकात्मक योग कॉम्बिनेटरिक्स की सहायता करता है|journal=Sem. Lothar. Combin.|date=2007|volume=56|pages=1–36 |url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s56schneider.html}}</ref> इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य संकुल विशेष रूप से होलोनोमिक जनक फलन के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं। | ||
<!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.--> | <!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.--> | ||
| Line 301: | Line 301: | ||
<math display="block">G(C_n; x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.</math> | <math display="block">G(C_n; x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.</math> | ||
{{math|1=''r'' = {{sfrac|1|4}}}}, {{math|1=''α'' = 1}}, {{math|1=''β'' = −{{sfrac|1|2}}}}, {{math|1=''A''(''x'') = {{sfrac|1|2}}}}, और {{math|1=''B''(''x'') = −{{sfrac|1|2}}}} के साथ, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कैटलन | {{math|1=''r'' = {{sfrac|1|4}}}}, {{math|1=''α'' = 1}}, {{math|1=''β'' = −{{sfrac|1|2}}}}, {{math|1=''A''(''x'') = {{sfrac|1|2}}}}, और {{math|1=''B''(''x'') = −{{sfrac|1|2}}}} के साथ, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कैटलन संख्याों के लिए, | ||
<math display="block">C_n \sim \frac{B(r)}{r^\alpha \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1} \left(\frac{1}{r} \right)^n = \frac{-\frac12}{\left(\frac14\right)^1 \Gamma\left(-\frac12\right)} \, n^{-\frac12-1} \left(\frac{1}{\,\frac14\,}\right)^n = \frac{4^n}{n^\frac32 \sqrt\pi}.</math> | <math display="block">C_n \sim \frac{B(r)}{r^\alpha \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1} \left(\frac{1}{r} \right)^n = \frac{-\frac12}{\left(\frac14\right)^1 \Gamma\left(-\frac12\right)} \, n^{-\frac12-1} \left(\frac{1}{\,\frac14\,}\right)^n = \frac{4^n}{n^\frac32 \sqrt\pi}.</math> | ||
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===विभिन्न तकनीकें: राशियों का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना === | ===विभिन्न तकनीकें: राशियों का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना === | ||
==== उदाहरण 1: | ==== उदाहरण 1: सुसंगत संख्याओं के योग के लिए एक सूत्र ==== | ||
जनक फलन हमें योगों में | जनक फलन हमें योगों में क्रमभंग करने और योगों के बीच तत्समक स्थापित करने की कई विधियाँ प्रदान करते हैं। | ||
सबसे सरल स्तिथि तब | सबसे सरल स्तिथि तब होती है जब {{math|''s<sub>n</sub>'' {{=}} ∑{{su|b=''k'' {{=}} 0|p=''n''}} ''a<sub>k</sub>''}}. हम तब जानते हैं कि इसी सामान्य उत्पादन कार्यों के लिए {{math|''S''(''z'') {{=}} {{sfrac|''A''(''z'')|1 − ''z''}}}} है। | ||
उदाहरण के लिए, हम | उदाहरण के लिए, हम क्रमभंग कर सकते हैं | ||
<math display="block">s_n=\sum_{k=1}^{n} H_{k}\,,</math> | <math display="block">s_n=\sum_{k=1}^{n} H_{k}\,,</math> | ||
जहाँ {{math|''H<sub>k</sub>'' {{=}} 1 + {{sfrac|1|2}} + ⋯ + {{sfrac|1|''k''}}}} | जहाँ {{math|''H<sub>k</sub>'' {{=}} 1 + {{sfrac|1|2}} + ⋯ + {{sfrac|1|''k''}}}} सुसंगत संख्या हैं। मान लीजिये | ||
<math display="block">H(z) = \sum_{n = 1}^\infty{H_n z^n}</math> | <math display="block">H(z) = \sum_{n = 1}^\infty{H_n z^n}</math> | ||
सुसंगत संख्याओं का सामान्य जनन फलन हो। तब | |||
<math display="block">H(z) = \frac{1}{1-z}\sum_{n = 1}^\infty \frac{z^n}{n}\,,</math> | <math display="block">H(z) = \frac{1}{1-z}\sum_{n = 1}^\infty \frac{z^n}{n}\,,</math> | ||
और इस तरह | और इस तरह | ||
| Line 465: | Line 465: | ||
का उपयोग करते हुए | का उपयोग करते हुए | ||
<math display="block">\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{n = 0}^\infty (n+1)z^n\,,</math> | <math display="block">\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{n = 0}^\infty (n+1)z^n\,,</math> | ||
जनक फलन | जनक फलन अंश के साथ संवलन प्राप्त होता है | ||
<math display="block">s_n = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n+1-k}{k} = (n+1)H_n - n\,,</math> | <math display="block">s_n = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n+1-k}{k} = (n+1)H_n - n\,,</math> | ||
जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है | जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है | ||
| Line 473: | Line 473: | ||
==== उदाहरण 2: संशोधित द्विपद गुणांक योग और द्विपद रूपांतरण ==== | ==== उदाहरण 2: संशोधित द्विपद गुणांक योग और द्विपद रूपांतरण ==== | ||
एक | एक स्वेच्छाचारी अनुक्रम के लिए अनुक्रमों से संबंधित और योग में क्रमभंग करने के लिए जनक फलन का उपयोग करने का एक और उदाहरण {{math|⟨ ''f<sub>n</sub>'' ⟩}} है, हम योग के दो क्रमों को परिभाषित करते हैं | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
s_n &:= \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} f_m 3^{n-m} \\[4px] | s_n &:= \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} f_m 3^{n-m} \\[4px] | ||
\tilde{s}_n &:= \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} (m+1)(m+2)(m+3) f_m 3^{n-m}\,, | \tilde{s}_n &:= \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} (m+1)(m+2)(m+3) f_m 3^{n-m}\,, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
सभी | सभी {{math|''n'' ≥ 0}} के लिए, और पहले के संदर्भ में दूसरे योग को व्यक्त करना चाहते हैं। हम कार्यों को उत्पन्न करके एक दृष्टिकोण का सुझाव देते हैं। | ||
सबसे पहले, हम पहली राशि के लिए जनक फलन लिखने के लिए [[द्विपद परिवर्तन]] का उपयोग करते हैं | सबसे पहले, हम पहली राशि के लिए जनक फलन लिखने के लिए [[द्विपद परिवर्तन]] का उपयोग करते हैं | ||
<math display="block">S(z) = \frac{1}{1-3z} F\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math> | <math display="block">S(z) = \frac{1}{1-3z} F\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math> | ||
{{math|⟨ (''n'' + 1)(''n'' + 2)(''n'' + 3) ''f<sub>n</sub>'' ⟩}} अनुक्रम के लिए जनक फलन के बाद से निम्न द्वारा दिया गया है | |||
<math display="block">6 F(z) + 18z F'(z) + 9z^2 F''(z) + z^3 F'''(z)</math> | <math display="block">6 F(z) + 18z F'(z) + 9z^2 F''(z) + z^3 F'''(z)</math> | ||
हम ऊपर परिभाषित दूसरी राशि के लिए जनक फलन को | हम ऊपर परिभाषित दूसरी राशि के लिए जनक फलन को निम्न स्वरुप में लिख सकते हैं | ||
<math display="block">\tilde{S}(z) = \frac{6}{(1-3z)} F\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{18z}{(1-3z)^2} F'\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{9z^2}{(1-3z)^3} F''\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{z^3}{(1-3z)^4} F'''\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math> | <math display="block">\tilde{S}(z) = \frac{6}{(1-3z)} F\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{18z}{(1-3z)^2} F'\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{9z^2}{(1-3z)^3} F''\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{z^3}{(1-3z)^4} F'''\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math> | ||
विशेष रूप से, हम इस संशोधित योग उत्पन्न करने वाले फलन को | विशेष रूप से, हम इस संशोधित योग उत्पन्न करने वाले फलन को निम्न रूप में लिख सकते हैं | ||
<math display="block">a(z) \cdot S(z) + b(z) \cdot z S'(z) + c(z) \cdot z^2 S''(z) + d(z) \cdot z^3 S'''(z), </math> | <math display="block">a(z) \cdot S(z) + b(z) \cdot z S'(z) + c(z) \cdot z^2 S''(z) + d(z) \cdot z^3 S'''(z), </math> | ||
{{math|''a''(''z'') {{=}} 6(1 − 3''z'')<sup>3</sup>}} के लिए , {{math|''b''(''z'') {{=}} 18(1 − 3''z'')<sup>3</sup>}}, {{math|''c''(''z'') {{=}} 9(1 − 3''z'')<sup>3</sup>}}, और {{math|''d''(''z'') {{=}} (1 − 3''z'')<sup>3</sup>}}, जहाँ {{math|(1 − 3''z'')<sup>3</sup> {{=}} 1 − 9''z'' + 27''z''<sup>2</sup> − 27''z''<sup>3</sup>}}. | |||
अंत में, यह इस प्रकार है कि हम निम्नलिखित रूप में पहली योग के माध्यम से दूसरी योग व्यक्त कर सकते हैं: | अंत में, यह इस प्रकार है कि हम निम्नलिखित रूप में पहली योग के माध्यम से दूसरी योग व्यक्त कर सकते हैं: | ||
| Line 499: | Line 499: | ||
==== उदाहरण 3: परस्पर पुनरावर्ती अनुक्रमों के लिए कार्य उत्पन्न करना ==== | ==== उदाहरण 3: परस्पर पुनरावर्ती अनुक्रमों के लिए कार्य उत्पन्न करना ==== | ||
इस उदाहरण में, हम | इस उदाहरण में, हम गणित की धारा 7.3 में दिए गए एक जनक फलन उदाहरण को सुधारते हैं (फलन श्रृंखला उत्पन्न करने के सुंदर चित्रों के लिए समान संदर्भ का अनुभाग 7.1 भी देखें)। विशेष रूप से, मान लीजिए कि हम 3-दर-एन आयत को अचिह्नित 2-दर-1 दूरगामी टुकड़ों के साथ टाइल करने के तरीकों की कुल संख्या (अन चिह्नित) की खोज करते हैं। सहायक अनुक्रम, अन, को पूर्ण आयत के 3-दर-एन आयत-ऋण-कोने वाले खंड को आच्छादित करने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।। हम इन परिभाषाओं का उपयोग {{math|''U<sub>n</sub>''}} के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति सूत्र के लिए करना चाहते हैं लंबवत बनाम क्षैतिज डोमिनोज़ की स्तिथि को संभालने के लिए इस परिभाषा को और अधिक तोड़े बिना। ध्यान दें कि हमारे दो अनुक्रमों के लिए सामान्य जनक फलन श्रृंखला के अनुरूप हैं | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
| Line 505: | Line 505: | ||
V(z) = z + 4z^3 + 15 z^5 + 56 z^7 + \cdots. | V(z) = z + 4z^3 + 15 z^5 + 56 z^7 + \cdots. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यदि हम संभावित | यदि हम संभावित समाकृति पर विचार करते हैं जो 3-बाय-{{mvar|n}} के बाएं किनारे से प्रारम्भ किया जा सकता है आयत, हम निम्नलिखित पारस्परिक रूप से निर्भर, या पारस्परिक रूप से पुनरावर्ती, हमारे दो अनुक्रमों के लिए पुनरावृत्ति संबंधों को व्यक्त करने में सक्षम हैं जब {{math|''n'' ≥ 2}} ऊपर के रूप {{math|''U''<sub>0</sub> {{=}} 1}}, {{math|''U''<sub>1</sub> {{=}} 0}}, {{math|''V''<sub>0</sub> {{=}} 0}}, और {{math|''V''<sub>1</sub> {{=}} 1}} में परिभाषित किया गया है : | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
U_n & = 2 V_{n-1} + U_{n-2} \\ | U_n & = 2 V_{n-1} + U_{n-2} \\ | ||
V_n & = U_{n-1} + V_{n-2}. | V_n & = U_{n-1} + V_{n-2}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
चूँकि हमारे पास वह सभी पूर्णांकों | चूँकि हमारे पास वह सभी पूर्णांकों {{math|''m'' ≥ 0}} के लिए है, इंडेक्स-स्थानान्तरित जनक फलन संतुष्ट करते हैं{{noteTag|Incidentally, we also have a corresponding formula when {{math|''m'' < 0}} given by | ||
<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty g_{n+m} z^n = \frac{G(z) - g_0 -g_1 z - \cdots - g_{m-1} z^{m-1}}{z^m}\,.</math>}} | <math display="block">\sum_{n = 0}^\infty g_{n+m} z^n = \frac{G(z) - g_0 -g_1 z - \cdots - g_{m-1} z^{m-1}}{z^m}\,.</math>}} | ||
<math display="block">z^m G(z) = \sum_{n = m}^\infty g_{n-m} z^n\,,</math> | <math display="block">z^m G(z) = \sum_{n = m}^\infty g_{n-m} z^n\,,</math> | ||
| Line 522: | Line 522: | ||
इस प्रकार पिछले समीकरण में जनक फलन के दूसरे आंशिक भिन्न विस्तार से उत्पन्न अनुक्रम का बीजगणितीय सरलीकरण करके, हम पाते हैं कि {{math|''U''<sub>2''n'' + 1</sub> ≡ 0}} ओर वो | इस प्रकार पिछले समीकरण में जनक फलन के दूसरे आंशिक भिन्न विस्तार से उत्पन्न अनुक्रम का बीजगणितीय सरलीकरण करके, हम पाते हैं कि {{math|''U''<sub>2''n'' + 1</sub> ≡ 0}} ओर वो | ||
<math display="block">U_{2n} = \left\lceil \frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n}{3-\sqrt{3}} \right\rceil\,, </math> | <math display="block">U_{2n} = \left\lceil \frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n}{3-\sqrt{3}} \right\rceil\,, </math> | ||
सभी पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 0}}. हम यह भी ध्यान देते हैं कि फाइबोनैचि संख्याओं के लिए दूसरे क्रम के पुनरावर्तन संबंध पर लागू वही स्थानान्तरित जनक फलन तकनीक पहले से ही | सभी पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 0}}. हम यह भी ध्यान देते हैं कि फाइबोनैचि संख्याओं के लिए दूसरे क्रम के पुनरावर्तन संबंध पर लागू वही स्थानान्तरित जनक फलन तकनीक पहले से ही आच्छादित किए गए एक चर में [[पुनरावृत्ति संबंध]]ों को हल करने के लिए जनक फलन का उपयोग करने का प्रतिमान उदाहरण है, या कम से कम उपखंड में संकेत दिया गया है। ऊपर दिए गए [[तर्कसंगत कार्य]]। | ||
===संक्रमण (कॉची उत्पाद)=== | ===संक्रमण (कॉची उत्पाद)=== | ||
दो औपचारिक घात श्रृंखलाओं में शर्तों का एक असतत संवलन जनक फलन के उत्पाद को मूल अनुक्रम शब्दों के एक निश्चित योग की गणना करने वाले जनक फलन में बदल देता है (कॉची उत्पाद देखें)। | '''दो औपचारिक घात श्रृंखलाओं में शर्तों का एक असतत संवलन''' जनक फलन के उत्पाद को मूल अनुक्रम शब्दों के एक निश्चित योग की गणना करने वाले जनक फलन में बदल देता है (कॉची उत्पाद देखें)। | ||
#विचार करना {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} साधारण जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}</math> | #विचार करना {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} साधारण जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}</math> | ||
| Line 540: | Line 540: | ||
==== उदाहरण: [[कैटलन नंबर]]ों के लिए जनक फलन ==== | ==== उदाहरण: [[कैटलन नंबर|कैटलन संख्या]]ों के लिए जनक फलन ==== | ||
एक उदाहरण जहां जनक फलन के संवलन उपयोगी होते हैं, हमें कैटलन | एक उदाहरण जहां जनक फलन के संवलन उपयोगी होते हैं, हमें कैटलन संख्याों के लिए सामान्य जनक फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक विशिष्ट संवृत रूप फलन के लिए हल करने की अनुमति देता है, {{math|''C<sub>n</sub>''}}. विशेष रूप से, इस अनुक्रम में उत्पाद में कोष्ठक सम्मिलित करने के तरीकों की संख्या के रूप में मिश्रित व्याख्या है {{math|''x''<sub>0</sub> · ''x''<sub>1</sub> ·⋯· ''x<sub>n</sub>''}} ताकि गुणा का क्रम पूरी तरह निर्दिष्ट हो। उदाहरण के लिए, {{math|''C''<sub>2</sub> {{=}} 2}} जो दो भावों से मेल खाता है {{math|''x''<sub>0</sub> · (''x''<sub>1</sub> · ''x''<sub>2</sub>)}} और {{math|(''x''<sub>0</sub> · ''x''<sub>1</sub>) · ''x''<sub>2</sub>}}. यह इस प्रकार है कि अनुक्रम द्वारा दिए गए पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है | ||
<math display="block">C_n = \sum_{k=0}^{n-1} C_k C_{n-1-k} + \delta_{n,0} = C_0 C_{n-1} + C_1 C_{n-2} + \cdots + C_{n-1} C_0 + \delta_{n,0}\,,\quad n \geq 0\,, </math> | <math display="block">C_n = \sum_{k=0}^{n-1} C_k C_{n-1-k} + \delta_{n,0} = C_0 C_{n-1} + C_1 C_{n-2} + \cdots + C_{n-1} C_0 + \delta_{n,0}\,,\quad n \geq 0\,, </math> | ||
और इसी तरह एक संबंधित संकेंद्रित जनक फलन है, {{math|''C''(''z'')}}, संतुष्टि देने वाला | और इसी तरह एक संबंधित संकेंद्रित जनक फलन है, {{math|''C''(''z'')}}, संतुष्टि देने वाला | ||
| Line 626: | Line 626: | ||
पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या# परिमित उत्पादों द्वारा उत्पन्न स्टर्लिंग संख्याओं पर अनुरूपता | पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या# परिमित उत्पादों द्वारा उत्पन्न स्टर्लिंग संख्याओं पर अनुरूपता | ||
<math display="block">S_n(x) := \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k = x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)\,,\quad n \geq 1\,, </math> | <math display="block">S_n(x) := \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k = x(x+1)(x+2) \cdots (x+n-1)\,,\quad n \geq 1\,, </math> | ||
Wilf के स्टॉक रेफरेंस उत्पन्निंगफंक्शनोलॉजी की धारा 4.6 में उनके जनक फलन के गुणों से सख्ती से प्राप्त इन | Wilf के स्टॉक रेफरेंस उत्पन्निंगफंक्शनोलॉजी की धारा 4.6 में उनके जनक फलन के गुणों से सख्ती से प्राप्त इन संख्याों के लिए सर्वांगसमता का अवलोकन प्रदान करता है। | ||
हम मूल तर्क को दोहराते हैं और ध्यान देते हैं कि जब मॉडुलो 2 को कम करता है, तो ये परिमित उत्पाद जनक फलन प्रत्येक को संतुष्ट करते हैं | हम मूल तर्क को दोहराते हैं और ध्यान देते हैं कि जब मॉडुलो 2 को कम करता है, तो ये परिमित उत्पाद जनक फलन प्रत्येक को संतुष्ट करते हैं | ||
| Line 663: | Line 663: | ||
p(25m+24) & \equiv 0 \pmod{5^2}\,. | p(25m+24) & \equiv 0 \pmod{5^2}\,. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
हम दिखाते हैं कि ऊपर सूचीबद्ध इन सर्वांगसमताओं में से पहले का अत्यधिक प्रारंभिक प्रमाण देने के लिए औपचारिक घात श्रृंखला के लिए जनक फलन और सर्वांगसमता के | हम दिखाते हैं कि ऊपर सूचीबद्ध इन सर्वांगसमताओं में से पहले का अत्यधिक प्रारंभिक प्रमाण देने के लिए औपचारिक घात श्रृंखला के लिए जनक फलन और सर्वांगसमता के क्रमभंग का उपयोग कैसे करें। | ||
सबसे पहले, हम देखते हैं कि द्विपद गुणांक जनक फलन में | सबसे पहले, हम देखते हैं कि द्विपद गुणांक जनक फलन में | ||
| Line 744: | Line 744: | ||
* क्रम {{math|''n''! · ''f<sub>n</sub>''(''x'')}} द्विपद प्रकार का है | * क्रम {{math|''n''! · ''f<sub>n</sub>''(''x'')}} द्विपद प्रकार का है | ||
* अनुक्रम के विशेष मूल्यों में सम्मिलित हैं {{math|''f<sub>n</sub>''(1) {{=}} [''z<sup>n</sup>''] ''F''(''z'')}} और {{math|''f<sub>n</sub>''(0) {{=}} ''δ''<sub>''n'',0</sub>}}, और | * अनुक्रम के विशेष मूल्यों में सम्मिलित हैं {{math|''f<sub>n</sub>''(1) {{=}} [''z<sup>n</sup>''] ''F''(''z'')}} और {{math|''f<sub>n</sub>''(0) {{=}} ''δ''<sub>''n'',0</sub>}}, और | ||
* | * स्वेच्छाचारी (निश्चित) के लिए {{math|''x'', ''y'', ''t'' ∈ ℂ}}, ये बहुपद रूप के संवलन सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
f_n(x+y) & = \sum_{k=0}^n f_k(x) f_{n-k}(y) \\ | f_n(x+y) & = \sum_{k=0}^n f_k(x) f_{n-k}(y) \\ | ||
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जहाँ {{math|𝓕<sub>''t''</sub>(''z'')}} परोक्ष रूप से रूप के एक [[कार्यात्मक समीकरण]] द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|𝓕<sub>''t''</sub>(''z'') {{=}} ''F''(''x''𝓕<sub>''t''</sub>(''z'')<sup>''t''</sup>)}}. इसके अलावा, हम मैट्रिक्स विधियों (संदर्भ के अनुसार) का उपयोग यह साबित करने के लिए कर सकते हैं कि दो दृढ़ बहुपद अनुक्रम दिए गए हैं, {{math|⟨ ''f<sub>n</sub>''(''x'') ⟩}} और {{math|⟨ ''g<sub>n</sub>''(''x'') ⟩}}, संबंधित संबंधित उत्पादन कार्यों के साथ, {{math|''F''(''z'')<sup>''x''</sup>}} और {{math|''G''(''z'')<sup>''x''</sup>}}, फिर मनमानी के लिए {{mvar|t}} हमारी सर्वसमिका है | जहाँ {{math|𝓕<sub>''t''</sub>(''z'')}} परोक्ष रूप से रूप के एक [[कार्यात्मक समीकरण]] द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|𝓕<sub>''t''</sub>(''z'') {{=}} ''F''(''x''𝓕<sub>''t''</sub>(''z'')<sup>''t''</sup>)}}. इसके अलावा, हम मैट्रिक्स विधियों (संदर्भ के अनुसार) का उपयोग यह साबित करने के लिए कर सकते हैं कि दो दृढ़ बहुपद अनुक्रम दिए गए हैं, {{math|⟨ ''f<sub>n</sub>''(''x'') ⟩}} और {{math|⟨ ''g<sub>n</sub>''(''x'') ⟩}}, संबंधित संबंधित उत्पादन कार्यों के साथ, {{math|''F''(''z'')<sup>''x''</sup>}} और {{math|''G''(''z'')<sup>''x''</sup>}}, फिर मनमानी के लिए {{mvar|t}} हमारी सर्वसमिका है | ||
<math display="block">\left[z^n\right] \left(G(z) F\left(z G(z)^t\right)\right)^x = \sum_{k=0}^n F_k(x) G_{n-k}(x+tk). </math> | <math display="block">\left[z^n\right] \left(G(z) F\left(z G(z)^t\right)\right)^x = \sum_{k=0}^n F_k(x) G_{n-k}(x+tk). </math> | ||
दृढ़ बहुपद अनुक्रमों के उदाहरणों में द्विपद घात श्रृंखला सम्मिलित है, {{math|𝓑<sub>''t''</sub>(''z'') {{=}} 1 + ''z''𝓑<sub>''t''</sub>(''z'')<sup>''t''</sup>}}, तथाकथित पेड़ बहुपद, [[बेल नंबर]], {{math|''B''(''n'')}}, [[लैगुएरे बहुपद]], और [[स्टर्लिंग बहुपद]]। | दृढ़ बहुपद अनुक्रमों के उदाहरणों में द्विपद घात श्रृंखला सम्मिलित है, {{math|𝓑<sub>''t''</sub>(''z'') {{=}} 1 + ''z''𝓑<sub>''t''</sub>(''z'')<sup>''t''</sup>}}, तथाकथित पेड़ बहुपद, [[बेल नंबर|बेल संख्या]], {{math|''B''(''n'')}}, [[लैगुएरे बहुपद]], और [[स्टर्लिंग बहुपद]]। | ||
=== विशेष जनक फलन की तालिकाएँ === | === विशेष जनक फलन की तालिकाएँ === | ||
Revision as of 04:13, 17 March 2023
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गणित में, एक जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को एक औपचारिक घात श्रृंखला के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका (an) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर एक अनिश्चित (चर) रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था।[1] संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।
विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।
औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। इन भावों को अनिश्चित के संदर्भ में x के संबंध में अंकगणितीय संचालन, भेदभाव सम्मिलित हो सकता हैx और संरचना के साथ (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य जनक फलन; चूंकि इन कार्यों को कार्यों के लिए भी परिभाषित किया गया है, परिणाम एक कार्य की तरह दिखता हैx. वस्तुतः, बंद रूप की अभिव्यक्ति को प्रायः एक ऐसे फलन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसका मूल्यांकन (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है x, और जिसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला है; यह पदनाम जनक फलनों की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसारी श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है।x. साथ ही, वे सभी व्यंजक नहीं हैं जो के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैंx अर्थपूर्ण हैं क्योंकि अभिव्यक्तियाँ औपचारिक श्रृंखला को निर्दिष्ट करती हैं; उदाहरण के लिए, की नकारात्मक और भिन्नात्मक घातयाँx ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं जिनके पास संबंधित औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है।
किसी फलन के डोमेन से कोडोमेन तक मैपिंग के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पन्निंग शृंखला कहा जाता है,[2] इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।