अनियमित संहत समुच्चय

गणित में, एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट अनिवार्य रूप से एक कॉम्पैक्ट जगह -वैल्यू अनियमित परिवर्तनशील वस्तु है। यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट यादृच्छिक गतिशील प्रणालियों के लिए आकर्षित करने वालों के अध्ययन में उपयोगी होते हैं।

परिभाषा

होने देना $(M,d)$ एक पूर्ण स्थान वियोज्य अंतरिक्ष मीट्रिक स्थान हो। होने देना ${\mathcal {K}}$ के सभी कॉम्पैक्ट सबसेट के सेट को निरूपित करें $M$. हॉसडॉर्फ मीट्रिक $h$ पर ${\mathcal {K}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.$

$({\mathcal {K}},h)$ एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय एक सिग्मा बीजगणित उत्पन्न करते हैं|σ-बीजगणित पर ${\mathcal {K}}$, बोरेल सिग्मा बीजगणित ${\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ का ${\mathcal {K}}$.

एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट एक औसत दर्जे का कार्य है $K$ संभाव्यता स्थान से $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ में $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$.

दूसरा तरीका रखो, एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट एक औसत दर्जे का कार्य है $K\colon \Omega \to 2^{M}$ ऐसा है कि $K(\omega )$ लगभग निश्चित रूप से कॉम्पैक्ट है और

$\omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)$

प्रत्येक के लिए एक मापने योग्य कार्य है $x\in M$.

चर्चा

इस अर्थ में रैंडम कॉम्पैक्ट सेट भी यादृच्छिक बंद सेट हैं जैसा कि जॉर्जेस माथेरॉन (1975) में है। नतीजतन, अतिरिक्त धारणा के तहत कि वाहक स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, उनका वितरण संभावनाओं द्वारा दिया जाता है

$\mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )$ के लिए $K\in {\mathcal {K}}.$

(एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट का वितरण भी सभी समावेशन संभावनाओं की प्रणाली द्वारा दिया जाता है $\mathbb {P} (X\subset K).$)

के लिए $K=\{x\}$, संभावना $\mathbb {P} (x\in X)$ प्राप्त होता है, जो संतुष्ट करता है

$\mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).$

इस प्रकार आवरण कार्य $p_{X}$ द्वारा दिया गया है

$p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)$ के लिए $x\in M.$

बिल्कुल, $p_{X}$ संकेतक फ़ंक्शन के माध्य के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है $\mathbf {1} _{X}$:

$p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

कवरिंग फ़ंक्शन के बीच मान लेता है $0$ और $1$. सेट $b_{X}$ के सभी $x\in M$ साथ $p_{X}(x)>0$ का समर्थन कहा जाता है $X$. सेट $k_{X}$, के सभी $x\in M$ साथ $p_{X}(x)=1$ कर्नेल कहा जाता है, निश्चित बिंदुओं का समूह या आवश्यक न्यूनतम $e(X)$. अगर $X_{1},X_{2},\ldots$, आई.आई.डी. का एक क्रम है। यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट, फिर लगभग निश्चित रूप से

$\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$

और $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है $e(X).$

संदर्भ

• Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
• Molchanov, I. (2005) The Theory of Random Sets. Springer, New York.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.