एफ वितरण: Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''एफ''-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के ''एफ'' वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण ([[रोनाल्ड फिशर]] और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत संभावना वितरण है। जो परीक्षण आंकड़ों के [[अशक्त वितरण]] के रूप में अक्सर उत्पन्न होता है, विशेष रूप से विचरण (ANOVA) और अन्य F-परीक्षण|''F''-परीक्षणों के विश्लेषण में।<ref name=johnson>{{cite book  | last = Johnson
प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''एफ''-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के ''एफ'' वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण ([[रोनाल्ड फिशर]] और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो लगातार शून्य वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। एक परीक्षण सांख्यिकी, विशेष रूप से प्रसरण (एनोवा) और अन्य एफ-परीक्षणों के विश्लेषण में है।<ref name=johnson>{{cite book  | last = Johnson
   | first = Norman Lloyd
   | first = Norman Lloyd
   |author2=Samuel Kotz |author3=N. Balakrishnan
   |author2=Samuel Kotz |author3=N. Balakrishnan
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   | year = 1974
   | year = 1974
   | isbn = 0-07-042864-6}}</ref>
   | isbn = 0-07-042864-6}}</ref>
== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


डी के साथ एफ-वितरण<sub>1</sub> और डी<sub>2</sub> स्वतंत्रता की डिग्री का वितरण है
''d''<sub>1</sub> और ''d''<sub>2</sub> के साथ एफ-वितरण स्वतंत्रता की डिग्री का वितरण है


: <math> X = \frac{S_1/d_1}{S_2/d_2} </math>
: <math> X = \frac{S_1/d_1}{S_2/d_2} </math>
कहाँ <math display=inline>S_1</math> और <math display=inline>S_2</math> स्वतंत्रता की संबंधित डिग्री के साथ [[ची-स्क्वायर वितरण]] के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं <math display=inline>d_1</math> और <math display=inline>d_2</math>.
जहां <math display=inline>S_1</math> और <math display=inline>S_2</math> स्वतंत्रता <math display="inline">d_1</math>और <math display="inline">d_2</math> की संबंधित डिग्री के साथ [[ची-स्क्वायर वितरण|ची-वर्ग वितरण]] के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।


यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि एक्स के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है
यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि ''X'' के लिए प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है


: <math>  
: <math>  
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</math>
</math>
[[वास्तविक संख्या]] x > 0 के लिए यहाँ <math>\mathrm{B}</math> बीटा कार्य है। कई अनुप्रयोगों में, पैरामीटर डी<sub>1</sub> और डी<sub>2</sub> [[सकारात्मक पूर्णांक]] हैं, लेकिन इन मापदंडों के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए वितरण अच्छी तरह से परिभाषित है।
[[वास्तविक संख्या]] x > 0 के लिए यहाँ <math>\mathrm{B}</math> बीटा फलन है। कई अनुप्रयोगों में, पैरामीटर ''d''<sub>1</sub> और ''d''<sub>2</sub> [[सकारात्मक पूर्णांक|धनात्मक पूर्णांक]] हैं, लेकिन वितरण इन पैरामीटर के धनात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।


संचयी वितरण समारोह है
संचयी वितरण फलन है


:<math>F(x; d_1,d_2)=I_{d_1 x/(d_1 x + d_2)}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) ,</math>
:<math>F(x; d_1,d_2)=I_{d_1 x/(d_1 x + d_2)}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) ,</math>
जहां I [[नियमित अधूरा बीटा फ़ंक्शन]] है।
जहां ''I'' [[नियमित अधूरा बीटा फ़ंक्शन|नियमित अपूर्ण बीटा फलन]] है।


F(d) के बारे में अपेक्षा, विचरण और अन्य विवरण<sub>1</sub>, डी<sub>2</sub>) साइडबॉक्स में दिए गए हैं; घ के लिए<sub>2</sub>> 8, अतिरिक्त ककुदता है
F(''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>)) के बारे में अपेक्षा, प्रसरण और अन्य विवरण साइडबॉक्स में दिए गए हैं; ''d''<sub>2</sub> > 8 के लिए, अतिरिक्त ककुदता है


:<math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.</math>
:<math>\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.</math>
एफ का के-वें पल (डी<sub>1</sub>, डी<sub>2</sub>) वितरण मौजूद है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d<sub>2</sub> और यह बराबर है
F(''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>) वितरण का k-वाँ क्षण उपस्थित है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d<sub>2</sub> और यह समान है


:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math>  <ref name=taboga>{{cite web | last1 = Taboga | first1 = Marco | url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm | title = The F distribution}}</ref>
:<math>\mu _X(k) =\left( \frac{d_2}{d_1}\right)^k \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}+k\right) }{\Gamma \left(\tfrac{d_1}{2}\right)} \frac{\Gamma \left(\tfrac{d_2}{2}-k\right) }{\Gamma \left( \tfrac{d_2}{2}\right) }.</math> <ref name=taboga>{{cite web | last1 = Taboga | first1 = Marco | url = http://www.statlect.com/F_distribution.htm | title = The F distribution}}</ref>
एफ-डिस्ट्रीब्यूशन [[बीटा प्राइम वितरण]] का एक विशेष पैरामीट्रिजेशन है, जिसे दूसरी तरह का बीटा डिस्ट्रीब्यूशन भी कहा जाता है।
एफ-वितरण [[बीटा प्राइम वितरण|बीटा प्रमुख वितरण]] का एक विशेष प्राचलीकरण है, जिसे दूसरी तरह का बीटा वितरण भी कहा जाता है।


विशेषता फ़ंक्शन (संभाव्यता सिद्धांत) को कई मानक संदर्भों में गलत तरीके से सूचीबद्ध किया गया है (उदाहरण के लिए,<ref name=abramowitz />). सही अभिव्यक्ति <ref>Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," ''[[Biometrika]]'', 69: 261–264  {{JSTOR|2335882}}</ref> है
विशेषता फलन कई मानक संदर्भों (जैसे) में अशुद्ध रूप से सूचीबद्ध है।<ref name=abramowitz /> सही अभिव्यक्ति <ref>Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," ''[[Biometrika]]'', 69: 261–264  {{JSTOR|2335882}}</ref> है


:<math>\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{d_2}{2}\right)} U \! \left(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1} \imath s \right)</math>
:<math>\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{d_2}{2}\right)} U \! \left(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1} \imath s \right)</math>
जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह]] है।
जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|कोन्फ़्लुएंट हाइपरज्यामितीय फलन]] है।


== लक्षण वर्णन ==
== अभिलक्षण ==
मापदंडों के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] <math>d_1</math> और <math>d_2</math> दो उचित रूप से स्केल किए गए ची-स्क्वायर वितरण | ची-स्क्वेर्ड वेरिएट्स के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>
पैरामीटर <math>d_1</math> और <math>d_2</math> के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] दो उचित रूप से मापक किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>
:<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>
:<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>
कहाँ
जहाँ


*<math>U_1</math> और <math>U_2</math> के साथ ची-वर्ग वितरण है <math>d_1</math> और <math>d_2</math> [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)]], और
*<math>U_1</math> और <math>U_2</math> के क्रमशः स्वतंत्रता की <math>d_1</math> और <math>d_2</math> डिग्री के साथ ची-वर्ग वितरण हैं, और
*<math>U_1</math> और <math>U_2</math> [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] हैं।
*<math>U_1</math> और <math>U_2</math> [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता|स्वतंत्र]] हैं।


ऐसे उदाहरणों में जहां एफ-वितरण का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए विचरण के विश्लेषण में, की स्वतंत्रता <math>U_1</math> और <math>U_2</math> कोचरन के प्रमेय को लागू करके प्रदर्शित किया जा सकता है।
ऐसे उदाहरणों में जहां एफ-वितरण का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए प्रसरण विश्लेषण, कोचरन के प्रमेय को आवेदन करके <math>U_1</math> और <math>U_2</math> की स्वतंत्रता का प्रदर्शन किया जा सकता है।


समतुल्य रूप से, F-बंटन का यादृच्छिक चर भी लिखा जा सकता है
समतुल्य रूप से, एफ-वितरण का यादृच्छिक चर भी लिखा जा सकता है


:<math>X = \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} \div \frac{s_2^2}{\sigma_2^2},</math>
:<math>X = \frac{s_1^2}{\sigma_1^2} \div \frac{s_2^2}{\sigma_2^2},</math>
कहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> के वर्गों का योग है <math>d_1</math> सामान्य वितरण से यादृच्छिक चर <math>N(0,\sigma_1^2)</math> और <math>S_2^2</math> के वर्गों का योग है <math>d_2</math> सामान्य वितरण से यादृच्छिक चर <math>N(0,\sigma_2^2)</math>.
जहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_1^2)</math> से <math>d_1</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है और <math>S_2^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_2^2)</math> से <math>d_2</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है।
<!--where ''s''<sub>1</sub><sup>2</sup> and ''s''<sub>2</sub><sup>2</sup> are the sums of squares ''S''<sub>1</sub><sup>2</sup> and ''S''<sub>2</sub><sup>2</sup> from two normal processes with variances σ<sub>1</sub><sup>2</sup> and σ<sub>2</sub><sup>2</sup> divided by the corresponding number of χ<sup>2</sup> degrees of freedom, ''d''<sub>1</sub> and ''d''<sub>2</sub> respectively : <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> and <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>.-->{{discuss|Inconsistent.2C_or_at_least_confusing.2C_representation_in_terms_of_normal_variables}}{{citation needed|date=March 2014}}


[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ F-वितरण इसलिए प्रायिकता देता है <math>p(s_1^2/s_2^2  \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math>, एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां आवेदन करना  <math>\sigma_1^2</math> के बराबर लिया जा रहा है <math>\sigma_2^2</math>. यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे आम तौर पर एफ-परीक्षण | एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच यह देखने के लिए की जाती है कि क्या उनका अनुपात इस अशक्त परिकल्पना के साथ काफी असंगत है।
[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक मापक किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2  \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी मापक के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।


मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण है, यदि पूर्व संभाव्यता के लिए एक गैर-सूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक [[जेफरीस पूर्व]] को लिया जाता है <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math>.<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक स्केल्ड एफ-वितरण इस प्रकार पश्च संभाव्यता देता है <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid  s^2_1, s^2_2)</math>, जहां मनाया रकम <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> अब ज्ञात के रूप में लिया जाता है।
यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक मापक किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid  s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।


== {{anchor|Properties}} गुण और संबंधित वितरण ==
== गुण और संबंधित वितरण ==
*अगर <math>X \sim \chi^2_{d_1}</math> और <math>Y \sim \chi^2_{d_2}</math> (ची चुकता वितरण) [[स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत)]] हैं, तो <math> \frac{X / d_1}{Y / d_2} \sim \mathrm{F}(d_1, d_2)</math>
*अगर <math>X \sim \chi^2_{d_1}</math> और <math>Y \sim \chi^2_{d_2}</math> (ची वर्ग वितरण) [[स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत)|स्वतंत्र]] हैं, तो <math> \frac{X / d_1}{Y / d_2} \sim \mathrm{F}(d_1, d_2)</math>
*अगर <math>X_k \sim \Gamma(\alpha_k,\beta_k)\,</math> ([[गामा वितरण]]) तब स्वतंत्र हैं <math> \frac{\alpha_2\beta_1 X_1}{\alpha_1\beta_2 X_2} \sim \mathrm{F}(2\alpha_1, 2\alpha_2)</math>
*अगर <math>X_k \sim \Gamma(\alpha_k,\beta_k)\,</math> ([[गामा वितरण]]) स्वतंत्र हैं, तो <math> \frac{\alpha_2\beta_1 X_1}{\alpha_1\beta_2 X_2} \sim \mathrm{F}(2\alpha_1, 2\alpha_2)</math>
*अगर <math>X \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2)</math> ([[बीटा वितरण]]) तब <math>\frac{d_2 X}{d_1(1-X)} \sim \operatorname{F}(d_1,d_2)</math>
*अगर <math>X \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2)</math> ([[बीटा वितरण]]) तो <math>\frac{d_2 X}{d_1(1-X)} \sim \operatorname{F}(d_1,d_2)</math>
*समान रूप से, यदि <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तब <math>\frac{d_1 X/d_2}{1+d_1 X/d_2} \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2)</math>.
*समान रूप से, यदि <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तो <math>\frac{d_1 X/d_2}{1+d_1 X/d_2} \sim \operatorname{Beta}(d_1/2,d_2/2)</math>
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तब <math>\frac{d_1}{d_2}X</math> एक बीटा प्राइम वितरण है: <math>\frac{d_1}{d_2}X \sim \operatorname{\beta^\prime}\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right)</math>.
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तो <math>\frac{d_1}{d_2}X</math> एक बीटा मुख्य वितरण है: <math>\frac{d_1}{d_2}X \sim \operatorname{\beta^\prime}\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right)</math>
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तब <math>Y = \lim_{d_2 \to \infty} d_1 X</math> ची-वर्ग वितरण है <math>\chi^2_{d_1}</math>
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>Y = \lim_{d_2 \to \infty} d_1 X</math> ची-वर्ग वितरण <math>\chi^2_{d_1}</math> है।
*<math>F(d_1, d_2)</math> स्केल्ड हॉटेलिंग के टी-स्क्वेर्ड वितरण के बराबर है <math>\frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1) </math>.
*<math>F(d_1, d_2)</math> मापक किए गए हॉटेलिंग के टी-वर्ग वितरण <math>\frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1) </math> के समतुल्य है।
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तब <math>X^{-1} \sim F(d_2, d_1)</math>.
*अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>X^{-1} \sim F(d_2, d_1)</math>
*अगर <math>X\sim t_{(n)}</math> — छात्र का टी-वितरण — फिर: <math display="block">\begin{align}
*अगर <math>X\sim t_{(n)}</math> — छात्र का टी-वितरण — तब: <math display="block">\begin{align}
X^{2} &\sim \operatorname{F}(1, n) \\
X^{2} &\sim \operatorname{F}(1, n) \\
X^{-2} &\sim \operatorname{F}(n, 1)  
X^{-2} &\sim \operatorname{F}(n, 1)  
\end{align}</math>
\end{align}</math>
*एफ-वितरण टाइप 6 [[पियर्सन वितरण]] का एक विशेष मामला है
*एफ-वितरण प्ररूप 6 [[पियर्सन वितरण]] का एक विशेष प्रकरण है
*अगर <math>X</math> और <math>Y</math> साथ स्वतंत्र हैं <math>X,Y\sim</math> लाप्लास बंटन|लाप्लास(μ, ख) तब <math display="block"> \frac{|X-\mu|}{|Y-\mu|} \sim \operatorname{F}(2,2) </math>
*अगर <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र हैं, तो <math>X,Y\sim</math> [[Laplace(μ, b)]] के साथ <math display="block"> \frac{|X-\mu|}{|Y-\mu|} \sim \operatorname{F}(2,2) </math>
*अगर <math>X\sim F(n,m)</math> तब <math>\tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m)</math> (फिशर का जेड-वितरण)
*अगर <math>X\sim F(n,m)</math> तो <math>\tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m)</math> (फिशर का जेड-वितरण)
*नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन|नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन एफ-डिस्ट्रीब्यूशन को सरल बनाता है अगर <math>\lambda=0</math>.
*गैर केंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math>\lambda=0</math>
*डबल नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन| नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन एफ-डिस्ट्रीब्यूशन को सरल बनाता है अगर <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>
*दोगुना गैर केंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>
*अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> के लिए मात्रात्मक पी है <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> परिमाण है <math>1-p</math> के लिए <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math>, तब <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}.</math>
*अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> के लिए विभाजक ''p'' है और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math> के लिए विभाजक <math>1-p</math> है, तो <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}</math>
* एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है
* एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
{{Colbegin}}
{{Colbegin}}
* बीटा प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन
* बीटा प्राइम वितरण
* ची-स्क्वायर वितरण
* ची वर्ग वितरण
* [[चाउ परीक्षण]]
* [[चाउ परीक्षण]]
* गामा वितरण
* गामा वितरण
Line 123: Line 118:
* विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
* विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
* [[विशार्ट वितरण]]
* [[विशार्ट वितरण]]
* [[संशोधित आधा सामान्य वितरण]]<ref name="Sun, Kong and Pal">{{cite journal |last1=Sun |first1=Jingchao |last2=Kong |first2=Maiying |last3=Pal |first3=Subhadip |title=The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme |journal=Communications in Statistics - Theory and Methods |date=22 June 2021 |pages=1–23 |doi=10.1080/03610926.2021.1934700 |s2cid=237919587 |url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2021.1934700?journalCode=lsta20 |issn=0361-0926}}</ref> पीडीएफ के साथ <math>(0, \infty)</math> के रूप में दिया जाता है <math> f(x)= \frac{2\beta^{\frac{\alpha}{2}} x^{\alpha-1} \exp(-\beta x^2+ \gamma x )}{\Psi{\left(\frac{\alpha}{2}, \frac{ \gamma}{\sqrt{\beta}}\right)}}</math>, कहाँ <math>\Psi(\alpha,z)={}_1\Psi_1\left(\begin{matrix}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)\\(1,0)\end{matrix};z \right)</math> [[फॉक्स-राइट साई समारोह]] को दर्शाता है।
* [[संशोधित अर्ध-सामान्य वितरण]]<ref name="Sun, Kong and Pal">{{cite journal |last1=Sun |first1=Jingchao |last2=Kong |first2=Maiying |last3=Pal |first3=Subhadip |title=The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme |journal=Communications in Statistics - Theory and Methods |date=22 June 2021 |pages=1–23 |doi=10.1080/03610926.2021.1934700 |s2cid=237919587 |url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610926.2021.1934700?journalCode=lsta20 |issn=0361-0926}}</ref> पीडीएफ के साथ <math>(0, \infty)</math> के रूप में दिया गया है <math> f(x)= \frac{2\beta^{\frac{\alpha}{2}} x^{\alpha-1} \exp(-\beta x^2+ \gamma x )}{\Psi{\left(\frac{\alpha}{2}, \frac{ \gamma}{\sqrt{\beta}}\right)}}</math>, जहाँ <math>\Psi(\alpha,z)={}_1\Psi_1\left(\begin{matrix}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)\\(1,0)\end{matrix};z \right)</math> [[फॉक्स-राइट साई फलन]] को दर्शाता है।
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*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]
*[http://www.waterlog.info/f-test.htm Free calculator for ''F''-testing]


{{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}}
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{{DEFAULTSORT:F-distribution}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: भिन्नता का विश्लेषण]]
 
 


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Latest revision as of 13:04, 7 April 2023

Fisher–Snedecor
Probability density function
File:F-distribution pdf.svg
Cumulative distribution function
File:F dist cdf.svg
Parameters d1, d2 > 0 deg. of freedom
Support if , otherwise
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