आयतन प्रत्यास्थता गुणांक

समान संपीड़न का चित्रण

किसी पदार्थ का थोक मापांक ($K$ या $B$) किसी पदार्थ के संपीड़न के प्रतिरोध का एक उपाय है। इसे आयतन के परिणामी सापेक्षिक कमी के लिए अतिसूक्ष्म दबाव वृद्धि के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

अन्य मोडुली अन्य प्रकार के तनाव (भौतिकी) के लिए सामग्री की प्रतिक्रिया (तनाव) का वर्णन करते हैं: अपप्रपण मापांक अपप्रपण तनाव की प्रतिक्रिया का वर्णन करते है और यंग का मापांक सामान्य (लंबाई में खिंचाव) तनाव की प्रतिक्रिया का वर्णन करता है। किसी द्रव के लिए केवल आयतन गुणांक सार्थक होता है। लकड़ी या कागज जैसे एक जटिल अनिसोट्रोपिक सॉलिड के लिए, इन तीन मोडुली में इसके व्यवहार का वर्णन करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं होती है और किसी को पूर्ण सामान्यीकृत हुक के नियम का उपयोग करना चाहिए। निश्चित तापमान पर बल्क मॉड्यूलस के व्युत्क्रम को इज़ोटेर्माल संपीड्यता कहा जाता है।

परिभाषा

थोक मापांक $K$ (जो सामान्य तौर पर धनात्मक होता है) को समीकरण द्वारा औपचारिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है

$K=-V{\frac {dP}{dV}},$

जहाँ $P$ दबाव है, $V$ पदार्थ का प्रारंभिक आयतन है और $dP/dV$ आयतन के संबंध में दबाव के व्युत्पन्न को दर्शाता है। चूँकि आयतन घनत्व के व्युत्क्रमानुपाती होता है, यह उसी का अनुसरण करता है

$K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},$

जहाँ $\rho$ प्रारंभिक घनत्व है और $dP/d\rho$ घनत्व के संबंध में दबाव के व्युत्पन्न को दर्शाता है। बल्क मापांक का व्युत्क्रम किसी पदार्थ की संपीड्यता देता है। सामान्य तौर पर बल्क मापांक को स्थिर तापमान पर इज़ोटेर्मल बल्क मापांक के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन स्थिर एन्ट्रापी पर एडियाबेटिक बल्क मापांक के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

थर्मोडायनामिक संबंध

सख्ती से बोलना, बल्क मापांक एक थर्मोडायनामिक मात्रा है, और बल्क मापांक को निर्दिष्ट करने के लिए यह निर्दिष्ट करना आवश्यक है कि संपीड़न के दौरान दबाव कैसे बदलता है: स्थिर-तापमान (इज़ोथर्मल $K_{T}$), निरंतर-एन्ट्रॉपी (आइसेंट्रोपिक प्रक्रिया $K_{S}$) और अन्य विविधताएं संभव हैं। इस तरह के भेद विशेष रूप से गैसों के लिए प्रासंगिक हैं।

एक आइडल गैस आइसेंट्रोपिक प्रक्रिया में है:

$PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },$

जहाँ $\gamma$ ताप क्षमता अनुपात है इसलिए, आइसेंट्रोपिक बल्क मापांक $K_{S}$ द्वारा दिया गया है

$K_{S}=\gamma P.$

इसी प्रकार, एक आइडल गैस की समतापीय प्रक्रिया में:

$PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,$

इसलिए, इज़ोटेर्माल थोक मापांक $K_{T}$ द्वारा दिया गया है

$K_{T}=P$ .

जब गैस आइडल नहीं होती है, तो ये समीकरण बल्क मॉडुलस का केवल एक सन्निकटन देते हैं। एक द्रव में, बल्क मापांक $K$ और घनत्व $\rho$ ध्वनि की गति निर्धारित करते हैं $c$ (दबाव तरंगें), न्यूटन-लाप्लास सूत्र के अनुसार

$c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.$

ठोस पदार्थों में, $K_{S}$ और $K_{T}$ के मान बहुत समान होते हैं। ठोस भी अनुप्रस्थ तरंगों को बनाए रख सकते हैं: इन सामग्रियों के लिए एक अतिरिक्त elastic modulusa लोचदार मापांक, उदाहरण के लिए shear modulus मापांक, तरंग गति निर्धारित करने के लिए आवश्यक है।

माप

लागू दबाव में पाउडर विवर्तन का उपयोग करके बल्क मापांक को मापना संभव है।

यह द्रव का एक गुण है जो इसके दबाव में इसके आयतन को बदलने की क्षमता दर्शाता है।

चयनित मान

सामान्य सामग्री के लिए अनुमानित थोक मापांक (K)

Material	Bulk modulus in GPa	Bulk modulus in Mpsi
Diamond (at 4K)	443	64
Alumina	162 ± 14	23.5
Steel	160	23.2
Limestone	65	9.4
Granite	50	7.3
Glass (see also diagram below table)	35 to 55	5.8
Graphite 2H (single crystal)	34	4.9
Sodium chloride	24.42	3.542
Shale	10	1.5
Chalk	9	1.3
Rubber	1.5 to 2	0.22 to 0.29
Sandstone	0.7	0.1

एक विशिष्ट बेस ग्लास के थोक मापांक पर चयनित ग्लास घटक परिवर्धन का प्रभाव।

35 GPa के थोक मापांक वाली सामग्री 0.35 GPa (~3500 बार) के बाहरी दबाव के अधीन होने पर इसकी मात्रा का एक प्रतिशत खो देती है।

अन्य पदार्थों के लिए अनुमानित थोक मापांक (K)।

Water	2.2 GPa (0.32 Mpsi) (value increases at higher pressures)
Methanol	823 MPa (at 20 °C and 1 Atm)
Air	142 kPa (adiabatic bulk modulus [or isentropic bulk modulus])
Air	101 kPa (isothermal bulk modulus)
Solid helium	50 MPa (approximate)

सूक्ष्म मूल

अंतरपरमाण्विक क्षमता और रैखिक लोच

अंतरपरमाण्विक क्षमता और बल

चूंकि रैखिक लोच अंतर-परमाणु संपर्क का प्रत्यक्ष परिणाम है, यह बांड के विस्तार/संपीड़न से संबंधित है। इसके बाद इसे क्रिस्टलीय सामग्री के लिए अंतर-परमाणु क्षमता से प्राप्त किया जा सकता है। पहले, आइए हम परस्पर क्रिया करने वाले दो परमाणुओं की स्थितिज ऊर्जा की जाँच करें। बहुत दूर के बिंदुओं से शुरू करके वे एक दूसरे के प्रति आकर्षण महसूस करेंगे। जैसे-जैसे वे एक-दूसरे के पास आते हैं, उनकी संभावित ऊर्जा कम होती जाएगी। दूसरी ओर, जब दो परमाणु एक-दूसरे के बहुत निकट होते हैं, तो प्रतिकारक अन्योन्य क्रिया के कारण उनकी कुल ऊर्जा बहुत अधिक होगी। साथ में, ये क्षमताएँ एक अंतर-परमाणु दूरी की गारंटी देती हैं जो एक न्यूनतम ऊर्जा स्थिति प्राप्त करती है। यह कुछ दूरी a0 पर होता है, जहां कुल बल शून्य होता है:

$F=-{\partial U \over \partial r}=0$

जहाँ U अंतरपरमाण्विक क्षमता है और r अंतरपरमाण्विक दूरी है। इसका मतलब है कि परमाणु संतुलन में हैं।

दो परमाणुओं के दृष्टिकोण को ठोस में विस्तारित करने के लिए, एक साधारण मॉडल पर विचार करें, कहते हैं, एक तत्व की 1-डी सरणी, जिसमें अंतर-परमाणु दूरी a है, और संतुलन दूरी a0 हैं। संभावित ऊर्जा-अंतर-परमाण्विक दूरी के संबंध के रुप में दो परमाणुओं के मामले के समान है, जो a0 पर न्यूनतम तक पहुंचता है, इसके लिए टेलर विस्तार है:

$u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)$

संतुलन पर पहला व्युत्पन्न 0 है इसलिए डोमिनेट शब्द द्विघात है। जब विस्थापन छोटा हो, तो उच्च क्रम की terms को छोड़ दिया जाना चाहिए। अभिव्यक्ति बन जाता है:

$u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}$

$F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})$

जो स्पष्ट रूप से रेखीय मूल्य सापेक्षता है।

ध्यान दें कि व्युत्पन्न दो पड़ोसी परमाणुओं पर विचार किया जाता है, इसलिए हुक का गुणांक है:

$K=a_{0}{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}$

अंतर-परमाण्विक दूरी के स्थान पर आयतन प्रति परमाणु (Ω) के साथ, इस फॉर्म को आसानी से 3-डी केस तक बढ़ाया जा सकता है।

$K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}$

परमाणु त्रिज्या के साथ संबंध

जैसा कि ऊपर व्युत्पन्न किया गया है, बल्क मापांक सीधे अंतर-परमाणु क्षमता और आयतन प्रति परमाणु से संबंधित है। हम K को अन्य गुणों से जोड़ने के लिए अंतर-परमाणु क्षमता का और मूल्यांकन कर सकते हैं। आमतौर पर, अंतर-परमाणु क्षमता को दूरी के एक समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें दो शब्द होते हैं, आकर्षण के लिए एक शब्द और प्रतिकर्षण के लिए दूसरा शब्द।

$u=-Ar^{-n}+Br^{-m}$

जहाँ A > 0 आकर्षण शब्द का प्रतिनिधित्व करता है और B > 0 प्रतिकर्षण का प्रतिनिधित्व करता है। एन और एम आम तौर पर अभिन्न होते हैं, और एम आमतौर पर एन से बड़ा होता है, जो प्रतिकर्षण की छोटी सीमा प्रकृति का प्रतिनिधित्व करता है। संतुलन की स्थिति में, यू अपने न्यूनतम स्तर पर है, इसलिए प्रथम कोटि का अवकलज 0 है।

$\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0$

${B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}$

$u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)$

जब आर करीब है, एन (आमतौर पर 1 से 6) एम (आमतौर पर 9 से 12) से छोटा होता है, दूसरी अवधि को अनदेखा करें, दूसरे व्युत्पन्न का मूल्यांकन करें

$\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}$

r और Ω के बीच संबंध को ज्ञात कीजिए

$\Omega ={4\pi \over 3}r^{3}$

$\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}$

$K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}$

कई मामलों में, जैसे धातु या आयनिक सामग्री में, आकर्षण बल इलेक्ट्रोस्टैटिक होता है, इसलिए हमारे पास n = 1 है

$K\propto r_{0}^{-4}$

यह समान बंधन प्रकृति वाले परमाणुओं पर लागू होता है। यह संबंध क्षार धातुओं और कई आयनिक यौगिकों के भीतर सत्यापित है।

यह भी देखें

• लोच टेंसर

अग्रिम पठन

• De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). "Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds". Scientific Data. 2: 150009. Bibcode:2013NatSD...2E0009D. doi:10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348.

Conversion formulae
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D materials (second part).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Notes
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $\nu \geq 0$. The minus sign leads to $\nu \leq 0$.
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Cannot be used when $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D formulae	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Notes
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Cannot be used when $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$