ज्या नियम

ज्या का नियम

चित्र 1, परिवृत्त के साथ

चित्र 2, परिवृत्त के बिना

ज्या के नियम के घटकों के साथ लेबल किए गए दो त्रिकोण α, β और γ बड़े A, B पर शीर्षों से जुड़े कोण हैं, और C, क्रमशः लोअर-केस a, b, और c उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई हैं। (a, α, आदि के विपरीत है।)

[[त्रिकोणमिति]] में, ज्या का नियम, ज्या नियम, ज्या सूत्र, या साइन नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को उसके कोणों की ज्या से संबंधित समीकरण के रूप में संदर्भित करता है। नियम के अनुसार,

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,$$

जहाँ a, b, और c एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं, और α, β, और γ विपरीत कोण हैं (आकृति 2 देखें), जबकि R त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या है। जब समीकरण के अंतिम भाग का उपयोग नहीं किया जाता है, तो नियम को कभी-कभी गुणक व्युत्क्रम का उपयोग करके कहा जा सकता है;

$${\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.$$

ज्या के नियम का उपयोग त्रिभुज की शेष भुजाओं की गणना करने के लिए किया जा सकता है जब दो कोण और एक भुजा ज्ञात हो—एक तकनीक जिसे त्रिभुजन के रूप में जाना जाता है। इसका उपयोग तब भी किया जा सकता है जब दो भुजाएँ और एक असंबद्ध कोण ज्ञात हो। ऐसे कुछ सन्दर्भों में, त्रिभुज इस डेटा द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है (जिसे अस्पष्ट परिस्थिति कहा जाता है) और तकनीक संलग्न कोण के लिए दो संभावित मान देती है।

ज्या का नियम दो त्रिकोणमितीय समीकरणों में से एक है, जिसे सामान्यतः त्रिभुज प्रकार के त्रिभुज में लंबाई और कोण खोजने के लिए लागू किया जाता है, जबकि दूसरा कोज्या का नियम है।

ज्या के नियम को निरंतर वक्रता वाली सतहों पर उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

इतिहास

उबिरतन डी एम्ब्रोसियो और हेलेन सेलिन के अनुसार, ज्या के वृत्ताकार नियम की खोज 10वीं शताब्दी में हुई थी। इसे अबू-महमूद खोजंदी, अबू अल-वफा 'बुज्जानी, नासिर अल-दीन अल-तुसी और अबू नासिर मंसूर के लिए उत्तरदायी ठहराया गया है।

इब्न मुआद अल-जैअर्थात की 11वीं शताब्दी में एक गोले के अज्ञात चापों की पुस्तक में जीवाओं का सामान्य नियम सम्मिलित है। 13वीं शताब्दी में नासिर अल-दीन अल-तुसी द्वारा सीन्स के समान नियम को बाद में कहा गया था। अपने ऑन द सेक्टर चित्र में, उन्होंने समतल और गोलीय त्रिभुजों के लिए ज्या के नियम को बताया, और इस नियम के लिए प्रमाण दिए।ग्लेन वान ब्रुमेलेन के अनुसार, सिन्स का नियम वास्तव में पुस्तक IV में समकोण त्रिभुजों के समाधान के लिए रेजीओमोंटानस की नींव है, और ये समाधान बदले में सामान्य त्रिकोणों के उनके समाधान के लिए आधार हैं। रेजीओमोंटानस 15वीं सदी का जर्मन गणितज्ञ था।

प्रमाण

क्षेत्र T किसी भी त्रिभुज की ऊंचाई को उसके आधार के आधे गुणा उसकी ऊंचाई के रूप में लिखा जा सकता है। त्रिभुज की एक भुजा को आधार के रूप में चुनते हुए, उस आधार के सापेक्ष त्रिभुज की ऊँचाई की गणना चुनी हुई भुजा और आधार के बीच के कोण की ज्या की दूसरी भुजा की लंबाई के रूप में की जाती है। इस प्रकार आधार के चयन के आधार पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल इनमें से किसी भी रूप में लिखा जा सकता है:

$$T={\frac {1}{2}}b\left(c\sin {\alpha }\right)={\frac {1}{2}}c\left(a\sin {\beta }\right)={\frac {1}{2}}a\left(b\sin {\gamma }\right).$$

इनका गुणा करके 2/abc निर्गत करता है

$${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin {\alpha }}{a}}={\frac {\sin {\beta }}{b}}={\frac {\sin {\gamma }}{c}}\,.$$

त्रिभुज समाधान का अस्पष्ट परिस्थिति

ज्या के नियम का उपयोग करते हुए त्रिभुज की एक भुजा का पता लगाना, एक अस्पष्ट परिस्थिति तब होता है जब दिए गए डेटा से दो अलग-अलग त्रिभुज बनाए जा सकते हैं (अर्थात, त्रिभुज के दो अलग-अलग संभावित समाधान हैं)। नीचे दिखाए गए परिस्थिति में वे त्रिभुज ABC और ABC′ हैं।

एक सामान्य त्रिकोण को देखते हुए, परिस्थिति अस्पष्ट होने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

• त्रिभुज के बारे में केवल ज्ञात जानकारी α कोण है, और भुजा a और c.
• कोण α कोण है, कोणों के प्रकार (अर्थात, α <90 डिग्री)।
• भुजा a भुजा c से छोटा है (अर्थात, a < c).
• भुजा a ऊंचाई h से अधिक लंबा है, कोण से β, जहाँ h = c sin α (अर्थात, a > h).

यदि उपरोक्त सभी शर्तें सत्य हैं, तो प्रत्येक कोण β और β′ एक वैध त्रिभुज उत्पन्न करता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित दोनों सत्य हैं:

$${\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.$$

वहां से हम संबंधित पा सकते हैं β और b या β′ और b′ यदि आवश्यक हो, जहां b शीर्षों से घिरा भुजा है A और C और b′ से A और C′ घिरा हुआ है।

उदाहरण

ज्या के नियम का उपयोग करके किसी समस्या को कैसे हल किया जाए, इसके उदाहरण निम्नलिखित हैं।

उदाहरण 1

उदाहरण 1

दिया गया: भुजा a = 20, भुजा c = 24, और कोण γ = 40°. कोण α वांछित है।

ज्या के नियम का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

$${\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.$$

$$\alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$$

ध्यान दें कि संभावित समाधान α = 147.61° बाहर रखा गया है क्योंकि वह अनिवार्य रूप से α + β + γ > 180° देगा।

उदाहरण 2

उदाहरण 2

यदि त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई a और b के बराबर हैं x, तीसरी भुजा की लंबाई है, और c लंबाई की भुजाओं के विपरीत कोण a, b, और c हैं α, β, और γ क्रमशः तब

$${\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}$$

परिवृत्त से संबंध

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},$$

तीन भिन्नों का सामान्य मान वास्तव में त्रिभुज के परिवृत्त का व्यास है। यह परिणाम टॉलेमी के समय का है।

File:Sinelaw radius (Greek angles).svg

परिधि वाले व्यास के बराबर साइन नियम के अनुपात को व्युत्पन्न करना। ध्यान दें कि त्रिभुज ADB व्यास के साथ परिधि वाले वृत्त के केंद्र d से होकर गुजरता है.

प्रमाण

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, $\triangle ABC$ उत्कीर्ण हुआ एक चक्र है, और दूसरा $\triangle ADB$ अंकित है, जो वृत्त के केंद्र O से होकर जाता है। $\angle AOD$ का एक केंद्रीय कोण है $180^{\circ }$ और इस तरह $\angle ABD=90^{\circ }$. तब से $\triangle ABD$ एक समकोण त्रिभुज है,

$$\sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},$$

जहाँ $R={\frac {d}{2}}$ त्रिभुज के परिगत वृत्त की त्रिज्या है।कोणों ${\gamma }$ और ${\delta }$ समान केंद्रीय कोण हैं इसलिए वे समान हैं: ${\gamma }={\delta }$. इसलिए,

$$\sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.$$

पुनर्व्यवस्था को सुव्यवस्थित करने अर्थात,

$$2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.$$

बनाने की प्रक्रिया को दोहराता है $\triangle ADB$ अन्य बिंदुओं के साथ निर्गत करता है,

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.$

त्रिभुज के क्षेत्रफल से संबंध

त्रिभुज का क्षेत्रफल ${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $\theta$ लम्बाई की भुजाओं से घिरा कोण है a और b. इस समीकरण में ज्या नियम को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

$$T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.$$

माना कि $R$ परिधि त्रिज्या के रूप में,

$T={\frac {abc}{4R}}.$

यह भी दिखाया जा सकता है कि यह समानता निहित है

$${\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}$$

जहाँ T त्रिभुज का क्षेत्रफल है और s अर्द्धपरिधि है ${\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

उपरोक्त दूसरी समानता आसानी से क्षेत्र के लिए हेरॉन के सूत्र को सरल बनाती है।

त्रिकोण के क्षेत्र के लिए निम्नलिखित सूत्र को प्राप्त करने के लिए साइन नियम का भी उपयोग किया जा सकता है:${\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}$,

$T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}$

जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है: ${\textstyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$.

ज्या का वृत्ताकार नियम

ज्या का वृत्ताकार नियम एक गोले पर त्रिभुजों से संबंधित है, जिसकी भुजाएँ बड़े वृत्तों के चाप हैं।

मान लीजिए गोले की त्रिज्या 1 है। मान लीजिए a, b, और c त्रिभुज की भुजाओं वाले दीर्घ-चापों की लंबाई हो। क्योंकि यह एक इकाई क्षेत्र है, a, b, और c रेडियन में, उन चापों द्वारा गोले के केंद्र में अंतरित कोण हैं। माना कि A, B, और C उन संबंधित भुजाओं के विपरीत कोण बनें। ये तीन बड़े वृत्तों के तलों के बीच द्वितल कोण हैं।

फिर ज्या का वृत्ताकार नियम यह प्रमाणित करता है:

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$$

File:Spherical trigonometry vectors.svg

वेक्टर प्रमाण

तीन इकाई सदिशों के साथ एक इकाई गोले पर विचार करें OA, OB और OC त्रिभुज के मूल से शीर्ष तक खींचा गया। इस प्रकार कोण α, β, और γ कोण हैं a, b, और c, क्रमश चाप BC परिमाण का a केंद्र में कोण घटाता है। जो कि इसके साथ एक कार्तीय आधार का परिचय दें, OA साथ में z-अक्ष और OB में xz-समान एक कोण c बना रहा है, उसके साथ z-अक्ष सदिश OC परियोजनाओं के लिए ON में xy-तल और बीच का कोण ON और यह x-अक्ष A है, इसलिए, तीन वैक्टरों में घटक होते हैं:

$$\mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.$$

अदिश त्रिविमीय गुणनफल, OA ⋅ (OB × OC) गोलीय त्रिभुज के शीर्षों की स्थिति सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन है। OA, OB और OC यह मात्रा प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशिष्ट समन्वय प्रणाली OA, OB और OC के लिए अपरिवर्तनीय है। अदिश त्रि-अक्षीय गुणनफल का मान OA ⋅ (OB × OC) है, 3 × 3 के साथ निर्धारक OA, OB और OC इसकी पंक्तियों के रूप में z-अक्ष, उसके साथ-साथ OA इस निर्धारक का वर्ग है।

$${\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}$$

इस गणना को दोहराते हुए z-अक्ष (sin c sin a sin B)² के साथ OB निर्गत करता है, जबकि (sin a sin b sin C)² के साथ z-अक्ष OC है, इन मानों की तुल्यता करना और (sin a sin b sin c)² में विभाजित करना निर्गत करता है,

$${\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},$$

जहाँ V गोलीय त्रिभुज के शीर्षों की स्थिति सदिश द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन है। परिणामतः, परिणाम इस प्रकार है।

यह देखना आसान है कि छोटे वृत्ताकार त्रिभुजों के लिए, जब गोले की त्रिज्या त्रिभुज की भुजाओं की तुलना में बहुत अधिक होती है, तो यह सूत्र सीमा पर समतलीय सूत्र बन जाता है, क्योंकि

$$\lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1$$

और उसी के लिए sin b और sin c भी मान निर्गत करते हैं।

File:Sine law spherical small.svg

ज्यामितीय प्रमाण

इस इकाई क्षेत्र पर विचार करें:

$$OA=OB=OC=1$$

निर्माण बिंदु $D$ और बिंदु $E$ ऐसा है कि $\angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }$

निर्माण बिंदु $A'$ ऐसा है कि $\angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }$

इसलिए यह देखा जा सकता है $\angle ADA'=B$ और $\angle AEA'=C$

ध्यान दीजिये कि जो $A'$ का प्रक्षेपण है, वह $OBC$ पर $A$ के समान है, इसलिए $\angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }$

मूल त्रिकोणमिति द्वारा, हमारे पास है:

$$AD=\sin c$$

$$AE=\sin b$$

लेकिन $AA'=AD\sin B=AE\sin C$

उन्हें मिलाकर हमारे पास है:

$$\sin c\sin B=\sin b\sin C$$

$${\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

इसी तरह के तर्क को लागू करने से, हमें ज्या का गोलीय नियम प्राप्त होता है:

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

See also: गोलाकार त्रिकोणमिति, कोसाइन का गोलाकार नियम, and अर्ध-भुजा का सूत्र

अन्य प्रमाण

कोसाइन के गोलीय नियम से विशुद्ध रूप से बीजगणितीय प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है। पहचान से $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$ और $\cos A$ के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति कोसाइन के वृत्ताकार नियम से

$${\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}$$

चूंकि दाहिने पक्ष की ओर एक चक्रीय क्रमचय के तहत $a,\;b,\;c$ अपरिवर्तनीय है, वृत्ताकार साइन नियम तुरंत पालन करता है।

ऊपर ज्यामितीय प्रमाण में प्रयुक्त आकृति द्वारा प्रयोग किया गया है और बनर्जी में भी प्रदान किया गया है (इस पेपर में चित्र 3 देखें) प्रारंभिक रेखीय बीजगणित और प्रक्षेपण मैट्रिसेस का उपयोग करके साइन नियम प्राप्त करने के लिए उपलब्ध कराया गया है।

अतिशयोक्तिपूर्ण परिस्थिति

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में जब वक्रता -1 होती है, ज्या का नियम बन जाता है

$${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.$$

विशेष परिस्थिति में जब B एक समकोण है, तब यह प्राप्त करता है,

$$\sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}$$

जो कि यूक्लिडियन ज्यामिति में सूत्र का अनुरूप है जो एक कोण की ज्या को कर्ण द्वारा विभाजित विपरीत भुजा के रूप में व्यक्त करता है।

See also: अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण

निरंतर वक्रता की सतहों का परिस्थिति

एक वास्तविक पैरामीटर के आधार पर, सामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन K को परिभाषित करें:

$$\sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .$$

निरंतर वक्रता में ज्या का नियम K के रूप में प्रयुक्त होता है

$${\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.$$

प्रतिस्थापित करके K = 0, K = 1, और K = −1, ऊपर वर्णित ज्या के नियम के क्रमशः यूक्लिडियन, वृत्ताकार और अतिशयोक्तिपूर्ण सन्दर्भों को प्राप्त करता है।

माना कि p_K(r) त्रिज्या के एक वृत्त की परिधि को इंगित करें r निरंतर वक्रता के स्थान में K. फिर p_K(r) = 2π sin_K r. अतः ज्या के नियम को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:

$${\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{p_{K}(c)}}\,.$$

इस सूत्रीकरण की खोज जानोस बोल्याई ने की थी।

उच्च आयाम

एक के लिए n-विमीय सिंप्लेक्स (अर्थात, त्रिकोण (n = 2), चतुष्फलक (n = 3), पेंटाटोप (n = 4), आदि) में n आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, ध्रुवीय ज्या का निरपेक्ष मान (sin p) पहलू (ज्यामिति) के सामान्य वैक्टर जो एक शीर्ष (ज्यामिति) पर मिलते हैं, शीर्ष के विपरीत पहलू के हाइपरएरिया द्वारा विभाजित शीर्ष की पसंद से स्वतंत्र है। V के हाइपरवॉल्यूम के लिए n-आयामी सिंप्लेक्स और P इसके हाइपरएरिया के गुणनफल के लिए (n − 1)-आयामी पहलू, सामान्य अनुपात है

$${\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.$$

उदाहरण के लिए, एक चतुष्फलक में चार त्रिभुजाकार फलक होते हैं। सामान्य सदिशों के ध्रुवीय ज्या का निरपेक्ष मान तीन पहलुओं को साझा करता है जो एक शीर्ष साझा करते हैं, चौथे पहलू के क्षेत्र से विभाजित शीर्ष की पसंद पर निर्भर नहीं होगा:

$${\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{1}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{2}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{3}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} )\right|}{\mathrm {Area} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {Area} _{1}\mathrm {Area} _{2}\mathrm {Area} _{3}\mathrm {Area} _{4}}}\,.\end{aligned}}$$

यह भी देखें

• गर्सोनाइडेस
• आधा भुजा सूत्र – वृत्ताकार त्रिभुजों को हल करने के लिए
• कोसाइन का नियम
• [[स्पर्शरेखा का नियम]]
• स्पर्शरेखा का नियम
• मोल्वाइड का सूत्र – त्रिकोण के समाधान की जाँच के लिए
• त्रिभुजों का हल
• सर्वे करना

बाहरी कड़ियाँ

• "Sine theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• The Law of Sines at cut-the-knot
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized law of sines to higher dimensions