बेसेल बहुपद: Difference between revisions

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गणित में, बेसेल [[बहुपद]] बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है<ref name="KrallFrink">{{cite journal |last1=Krall |first1=H. L. |last2=Frink |first2=O. |title=A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |date=1948 |volume=65 |issue=1 |pages=100-115 |doi=10.2307/1990516 |ref=KrallFrink|doi-access=free }}</ref>{{rp|101}}
गणित में, बेसेल [[बहुपद|'''बहुपद''']] '''बहुपदों''' का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है<ref name="KrallFrink">{{cite journal |last1=Krall |first1=H. L. |last2=Frink |first2=O. |title=A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |date=1948 |volume=65 |issue=1 |pages=100-115 |doi=10.2307/1990516 |ref=KrallFrink|doi-access=free }}</ref>{{rp|101}}


:<math>y_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!}{(n-k)!k!}\,\left(\frac{x}{2}\right)^k.</math>
:<math>y_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!}{(n-k)!k!}\,\left(\frac{x}{2}\right)^k.</math>
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है<ref name="Grosswald">{{cite book |last=Grosswald |first=E. |authorlink=Emil Grosswald |title=बेसेल बहुपद (गणित में व्याख्यान नोट्स)|year=1978 |publisher=Springer |location= New York |isbn=978-0-387-09104-4 |ref=Grosswald }}</ref>{{rp|8}}<ref>{{cite journal
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी '''रिवर्स बेसेल बहुपद''' के रूप में जाना जाता है<ref name="Grosswald">{{cite book |last=Grosswald |first=E. |authorlink=Emil Grosswald |title=बेसेल बहुपद (गणित में व्याख्यान नोट्स)|year=1978 |publisher=Springer |location= New York |isbn=978-0-387-09104-4 |ref=Grosswald }}</ref>{{rp|8}}<ref>{{cite journal
| url = http://www.math.ku.dk/~berg/manus/bessel.pdf
| url = http://www.math.ku.dk/~berg/manus/bessel.pdf
| title = Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions
| title = Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions
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:<math>\theta_3(x)=x^3+6x^2+15x+15.</math>
:<math>\theta_3(x)=x^3+6x^2+15x+15.</math>
[[ बेसल फिल्टर ]] के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।
[[ बेसल फिल्टर | बेसल फिल्टर]] के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।


== गुण ==
== गुण ==
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:<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math>
:<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math>
:<math>\theta_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+ \frac 1 2}(x)</math>
:<math>\theta_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+ \frac 1 2}(x)</math>
जहां के<sub>''n''</sub>(x) एक बेसेल फलन है संशोधित बेसेल फलन:आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, y<sub>''n''</sub>(x) साधारण बहुपद है, और θ<sub>''n''</sub>(x) विपरीत बहुपद है .<ref name="Grosswald" />{{rp|7,34}} उदाहरण के लिए:<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=15x^3%2B15x^2%2B6x%2B1%3D%3DSqrt%5B2%2F%28Pi+x%29%5D+Exp%5B1%2Fx%5D+BesselK%5B3.5%2C+1%2Fx%5D Wolfram Alpha example]</ref>
जहां ''K<sub>n</sub>''(x) एक बेसेल फलन है '''संशोधित बेसेल फलन''':आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, y<sub>''n''</sub>(x) साधारण बहुपद है, और θ<sub>''n''</sub>(x) विपरीत बहुपद है .<ref name="Grosswald" />{{rp|7,34}} उदाहरण के लिए:<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=15x^3%2B15x^2%2B6x%2B1%3D%3DSqrt%5B2%2F%28Pi+x%29%5D+Exp%5B1%2Fx%5D+BesselK%5B3.5%2C+1%2Fx%5D Wolfram Alpha example]</ref>
:<math>y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1 = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{3+\frac 1 2}(1/x)</math>
:<math>y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1 = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{3+\frac 1 2}(1/x)</math>


 
=== [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन]] के रूप में परिभाषा ===
 
[[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन]] के रूप में परिभाषा ==
 
बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{cite arXiv
बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{cite arXiv
  | last1 =  Dita
  | last1 =  Dita
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सेट होने पर <math>t=z-xz^2/2</math>, किसी के पास घातीय कार्य के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:<ref name="KrallFrink" />{{rp|107}}
सेट होने पर <math>t=z-xz^2/2</math>, किसी के पास घातीय कार्य के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:<ref name="KrallFrink" />{{rp|107}}
:<math>e^z=\sum_{n=0}^\infty y_{n-1}(x)\frac{(z-xz^2/2)^n}{n!}.</math>
:<math>e^z=\sum_{n=0}^\infty y_{n-1}(x)\frac{(z-xz^2/2)^n}{n!}.</math>


=== पुनरावर्तन ===
=== पुनरावर्तन ===
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:<math>\theta_1(x)=x+1\,</math>
:<math>\theta_1(x)=x+1\,</math>
:<math>\theta_n(x)=(2n\!-\!1)\theta_{n-1}(x)+x^2\theta_{n-2}(x)\,</math>
:<math>\theta_n(x)=(2n\!-\!1)\theta_{n-1}(x)+x^2\theta_{n-2}(x)\,</math>


=== विभेदक समीकरण ===
=== विभेदक समीकरण ===
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:<math>x\frac{d^2\theta_n(x)}{dx^2}-2(x\!+\!n)\frac{d\theta_n(x)}{dx}+2n\,\theta_n(x)=0</math>
:<math>x\frac{d^2\theta_n(x)}{dx^2}-2(x\!+\!n)\frac{d\theta_n(x)}{dx}+2n\,\theta_n(x)=0</math>


=== ओर्थोगोनलिटी ===
=== ओर्थोगोनलिटी ===
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<math>\int_0^{2\pi} y_n\left(e^{i\theta}\right) y_m\left(e^{i\theta}\right) ie^{i\theta} \mathrm{d}\theta = 0</math>
<math>\int_0^{2\pi} y_n\left(e^{i\theta}\right) y_m\left(e^{i\theta}\right) ie^{i\theta} \mathrm{d}\theta = 0</math>


== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
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:<math>B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_{n,m}^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha+m} e^{-\frac{\beta}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-m} (x^{\alpha+2n} e^{-\frac{\beta}{x}})</math>
:<math>B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_{n,m}^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha+m} e^{-\frac{\beta}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-m} (x^{\alpha+2n} e^{-\frac{\beta}{x}})</math>


== शून्य ==
== शून्य ==
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एक परिणाम निम्न है:<ref name="deBruinSaffVarga">{{cite journal |last1=de Bruin |first1=M. G. |last2=Saff |first2=E. B. |last3=Varga |first3=R. S. |title=सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के शून्यों पर। मैं|journal=Indag. Math. |date=1981 |volume=84 |issue=1 |pages=1-13|ref=deBruinSaffVarga}}</ref>
एक परिणाम निम्न है:<ref name="deBruinSaffVarga">{{cite journal |last1=de Bruin |first1=M. G. |last2=Saff |first2=E. B. |last3=Varga |first3=R. S. |title=सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के शून्यों पर। मैं|journal=Indag. Math. |date=1981 |volume=84 |issue=1 |pages=1-13|ref=deBruinSaffVarga}}</ref>
:<math>\frac{2}{2n+\alpha-\frac23}\le\alpha_k^{(n)}(\alpha,2)\le\frac{2}{n+\alpha-1}.</math>
:<math>\frac{2}{2n+\alpha-\frac23}\le\alpha_k^{(n)}(\alpha,2)\le\frac{2}{n+\alpha-1}.</math>


== विशेष मूल्य ==
== विशेष मूल्य ==
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समान रूप से, <math display="inline">\theta_k(x) = x^k y_k(1/x)</math>.
समान रूप से, <math display="inline">\theta_k(x) = x^k y_k(1/x)</math>.
इसका परिणाम निम्नलिखित होता है:
इसका परिणाम निम्नलिखित होता है:
:<math>
:<math>
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\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* बेसेल समारोह
* बेसेल फ़ंक्शन
* [[न्यूमैन बहुपद]]
* [[न्यूमैन बहुपद]]
* लोमेल बहुपद
* लोमेल बहुपद
Line 229: Line 219:
  |isbn=978-0-486-44139-9
  |isbn=978-0-486-44139-9
  }}
  }}
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* {{springer|title=Bessel polynomials|id=p/b110410}}
* {{springer|title=Bessel polynomials|id=p/b110410}}

Revision as of 19:14, 18 March 2023

गणित में, बेसेल बहुपद बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है[1]: 101 

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है[2]: 8 [3]: 15 

दूसरी परिभाषा के गुणांक पहले के समान हैं लेकिन विपरीत क्रम में हैं। उदाहरण के लिए, तृतीय-डिग्री बेसेल बहुपद है

जबकि थर्ड-डिग्री रिवर्स बेसेल बहुपद है

बेसल फिल्टर के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।

गुण

बेसेल कार्यों के संदर्भ में परिभाषा

बेसेल बहुपद को बेसेल फलनों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है जिससे बहुपद को अपना नाम मिलता है।