पोंट्रीगिन द्वैत: Difference between revisions

Latest revision as of 13:11, 22 March 2023

2-एडिक पूर्णांक, पोंट्रीगिन द्विक समूहों पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ।

गणितीय में, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के मध्य एक द्विविधता है, जो सामान्य रूप से फूरियर को ऐसे सभी समूहों में परिवर्तित करने की अनुमति देता है, जिसमें चक्रीय समूह (आकलनांक एक की जटिल संख्याओं का गुणक समूह), परिमित एबेलियन समूह (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं, और पूर्णांकों का योगात्मक समूह (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ भी), वास्तविक संख्याएँ, और $p$ -एडिक क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित आयामी सदिश स्थान है।

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का पोन्ट्रियाजिन द्विक स्थानतः सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूह है, जो समूह से चक्रीय समूह तक बिन्दुवार गुणक की कार्य प्रणाली और सुसंहत समूह पर एकसमान अभिसरण के संस्थितिविज्ञान के साथ समूह समरूपता द्वारा बनाया गया है। पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को यह कहते हुए स्थापित करता है कि कोई भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह स्वाभाविक रूप से द्विभाषी (इसके द्विक दोहरे) के साथ समरूपीय है। फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय इस प्रमेय की एक विशेष स्थिति है।

इस विषय का नाम लेव पोन्ट्रियाजिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1934 में अपने प्रारंभिक गणितीय कार्यों के पर्यन्त स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और उनके द्विविधता के सिद्धांत की नींव रखी थी। पोन्ट्रियाजिन के उपचार समूहों के दूसरे-गणनीय होने और या तो सुसंहत या असतत होने पर निर्भर था।1935 में एगबर्ट वैन कम्पेन और 1940 में आंद्रे वेइल द्वारा स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों को आच्छादित करने के लिए इसमें सुधार किया गया था।

परिचय

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता एकीकृत संदर्भ में वास्तविक रेखा पर या परिमित एबेलियन समूहों पर कार्यों के विषयो में कई टिप्पणियों को प्रस्तुत करता है:

वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान आवधिक कार्यों में फूरियर श्रृंखला होती है और इन कार्यों को उनकी फूरियर श्रृंखला से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है;
वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान कार्यों में फूरियर रूपांतरण होते हैं जो वास्तविक रेखाओ पर भी कार्य करते हैं ,और आवधिक कार्यों के लिए, इन कार्यों को उनके फूरियर रूपांतरणों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है; और
एक एबेलियन समूहों पर जटिल-मूल्यवान कार्यों में असतत फूरियर रूपांतरण होते हैं, जो द्विक समूह पर कार्य करते हैं, और जो एक (गैर-प्रामाणिक रूप से) समरूपीय समूह है। इसके अतिरिक्त, परिमित एबेलियन समूह पर कोई भी कार्य इसके असतत फूरियर रूपांतरण से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

लेव पोन्ट्रियाजिन द्वारा प्रस्तुत किया गया सिद्धांत और जॉन वॉन न्यूमैन, आंद्रे वेइल और अन्य द्वारा प्रस्तुत किए गए हार आकलनको के साथ मिलकर स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के द्विक समूहों के सिद्धांत पर निर्भर करता है।

यह सदिश स्थान के द्विक सदिश स्थान के अनुरूप है: एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V और इसका द्विक सदिश स्थान V* स्वाभाविक रूप से समरूपीय नहीं है, परन्तु एक का अंतःरूपांतरण बीजगणितीय (आव्यूह बीजगणितीय) अंतःरूपांतरण के विपरीत समरूपीय है, और दूसरे का बीजगणितीय: ${\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},$ परिवर्त के माध्यम से दर्शाया जाता है। इसी प्रकार एक समूह $G$ और इसका द्विक समूह ${\widehat {G}}$ सामान्य रूप से समरूपीय नहीं होते हैं, परन्तु उनके अंतःरूपांतरण के वलय एक दूसरे के विपरीत होते हैं: ${\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}$ अधिक स्पष्ट रूप से, यह केवल अंतःरूपांतरण बीजगणितीय की एक समरूपता नहीं है, बल्कि श्रेणियों की एक विपरीत तुल्यता है। इसके लिए श्रेणीबद्ध विचार देखें।

परिभाषा

एक सांस्थितिक समूह स्थानतः सुसंहत समूह है, यदि अंतर्निहित सांस्थितिक स्थान स्थानतः सुसंहत और हॉसडॉर्फ है; और यदि अंतर्निहित समूह एबेलियन हो तो एक सांस्थितिक समूह एबेलियन है। स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के उदाहरणों में परिमित एबेलियन समूह, पूर्णांक (दोनों असतत संस्थितिविज्ञान के लिए, जो सामान्य आकलनीय द्वारा भी प्रेरित होते हैं), वास्तविक संख्याएं, चक्रीय समूह टी (दोनों अपने सामान्य आकलनीय संस्थितिविज्ञान के साथ), और पी-एडिक संख्या (उनके सामान्य पी-एडिक संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं।

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह $G$ के लिए, पोन्ट्रियाजिन द्विक समूह ${\widehat {G}}$ निरंतर समूह समरूपता $G$ से चक्रीय समूह $T$ है,अर्थात

{\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).

पोन्ट्रियाजिन द्विक

{\widehat {G}}

सामान्यतः सुसंहत समूह पर समान अभिसरण द्वारा दी गई है, संस्थितिविज्ञान (अर्थात, सभी निरंतर कार्यों के स्थान पर सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान द्वारा प्रेरित संस्थितिविज्ञान

G

को

T

) से संपन्न होता है।

उदाहरण के लिए,

{\widehat {\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\ {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय

प्रमेय^[1]^[2] — किसी भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह $G$ और इसके द्विक दोहरे के मध्य एक विहित समरूपता $G\cong {\widehat {\widehat {G}}}$ है।

विहित रूप का अर्थ है कि स्वाभाविक रूप से परिभाषित प्रतिचित्र $\operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}$ है; और इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रतिचित्र $G$ में क्रियाशील होनी चाहिए। विहित समरूपता $\operatorname {ev} _{G}$ पर $x\in G$ परिभाषित की गयी है; जो इस प्रकार है :

\operatorname {ev} _{G}(x)(\chi )=\chi (x)\in \mathbb {T} .

अर्थात,

\operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto \chi (x)).

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक समूह तत्व

x

की पहचान द्विक पर मूल्यांकन वर्ण से की जाती है। यह एक परिमित-आयामी सदिश स्थान और इसके द्विक दोहरे,

V\cong V^{**}

के मध्य विहित समरूपता के समान है, और यह उल्लेखनीय है कि कोई भी सदिश स्थान

V

एक एबेलियन समूह है। यदि

G

एक परिमित एबेलियन समूह है, तब

G\cong {\widehat {G}}

होगा, परन्तु यह समरूपता विहित नहीं है। इस कथन को सटीक (सामान्य रूप से) बनाने के लिए न केवल समूहों पर, बल्कि समूहों के मध्य प्रतिचित्रो पर भी द्वैतीकरण के विषय में विचार करने की आवश्यकता है, ताकि द्वैतीकरण को एक प्रकार्यक के रूप में माना जा सके और पहचान प्रकार्यक को प्रमाणित किया जा सके और द्वैतीकरण प्रकार्यक स्वाभाविक रूप से समकक्ष नहीं हैं। साथ ही द्विविधता प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी समूह के लिए (आवश्यक नहीं कि परिमित हो) द्वैतीकरण प्रकार्यक एक सटीक प्रकार्यक है।

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और फूरियर रूपांतरण

हार आकलनक

स्थानतः सुसंहत समूह के विषय में सबसे उल्लेखनीय तथ्यों में से एक $G$ है, यह एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्राकृतिक आकलन और हार आकलन, जो किसी को पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय $G$ के आकार को निरंतर आकलनने की अनुमति देता है। पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय का अर्थ है कि यहां एक बोरेल समूह है, अर्थात्, सुसंहत समूह द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणितीय का एक तत्व है। अधिक सटीक रूप से, स्थानतः सुसंहत समूह पर एक सटीक हार आकलन $G$ के बोरेल समूह पर परिभाषित एक योज्य आकलन μ है, $G$ जो इस अर्थ में सटीक अपरिवर्तनीय है; $μ(Ax) = μ(A)$ के लिए $x$ का एक तत्व $G$ और $A$ का एक बोरेल उपसमुच्चय $G$ और नियमितता की कुछ प्रतिबंधों को भी पूर्ण करता है (हार आकलन पर लेख में विस्तार से बताया गया है)। सकारात्मक क्रम गणक कारकों को छोड़कर, हार आकलन $G$ पर अनुपम है।

हार आकलन रहा है कि $G$ हमें समूह पर परिभाषित (जटिल संख्या-मूल्यवान) बोरेल कार्यों के लिए अभिन्न की धारणा को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, कोई हार आकलन μ से जुड़े विभिन्न L^p स्थानो पर विचार कर सकते है। विशेष रूप से,

{\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.

ध्यान दें, चूंकि कोई भी दो हार पर आकलन करता है,

G

एक क्रम गणक कारक के समान हैं, यह

L^{p}

- स्थान हार आकलन के चयन से स्वतंत्र है और इस प्रकार सम्भवतः इसे

L^{p}(G)

लिखा जा सकता है, हालांकि

L^{p}

-इस स्थान पर मानदंड हार आकलन के चयन पर निर्भर करता है, इसलिए यदि कोई समदूरीकता के विषय में विचार विमर्श करना चाहते है तो उपयोग किए जा रहे हार आकलन का पथानुसरण रखना महत्वपूर्ण है।

L¹ - प्रकार्य के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के द्विक समूह का उपयोग फूरियर रूपांतरण के सार संस्करण के लिए अंतर्निहित स्थान के रूप में किया जाता है। यदि $f\in L^{1}(G)$ , तो फूरियर रूपांतरण कार्य ${\widehat {f}}$ पर ${\widehat {G}}$ द्वारा परिभाषित है:

{\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),

जहां पूर्णांकी हार आकलन के

\mu

पर

G

सापेक्ष है, और यह भी

({\mathcal {F}}f)(\chi )

निरूपित है। ध्यान दें, कि फूरियर रूपांतरण हार आकलन के चयन पर निर्भर करता है। यह आलोकन बहुत कठिन नहीं है कि फूरियर एक

L^{1}

का रूपांतरण करता है, और कार्य चालू है।

G

पर एक परिबद्ध सतत फलन

{\widehat {G}}

है, जो अनंत पर विलुप्त हो जाता है।

Fourier Inversion Formula for $L^{1}$ -Functions — प्रत्येक हार आकलन के लिए $\mu$ on $G$ एक विशिष्ट हार आकलन है $\nu$ पर ${\widehat {G}}$ ऐसा कि जब भी $f\in L^{1}(G)$ और ${\widehat {f}}\in L^{1}\left({\widehat {G}}\right)$ , हमें प्राप्त है

f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}

यदि

f

निरंतर है तो यह पहचान सभी के लिए

x

है।

एक समाकलनीय फलन का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण ${\widehat {G}}$ द्वारा दिया गया है;

{\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),

जहां पूर्णांकी हार आकलन के सापेक्ष

\nu

है, और द्विक समूह

{\widehat {G}}

पर आकलन

\nu

पर

{\widehat {G}}

जो फूरियर व्युत्क्रम सूत्र में प्रकट होता है। जिसे द्विक आकलन कहा जाता है, जहां

\mu

और

{\widehat {\mu }}

को निरूपित किया जा सकता है।

विभिन्न फूरियर रूपांतरणों को उनके कार्यक्षेत्र और रूपांतरण कार्यक्षेत्र (समूह और द्विक समूह) के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है (ध्यान दें कि एक $\mathbb {T}$ चक्रीय समूह है):

रूपांतरण	वास्तविक कार्यक्षेत्र, $G$	रूपांतरण कार्यक्षेत्र, ${\hat {G}}$	आकलनक, $\mu$
फूरियर रूपांतरण	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R}$	${\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}$
फूरियर श्रृंखला	$\mathbb {T}$	$\mathbb {Z}$	${\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}$
असंतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT)	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {T}$	${\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}$
असंतत फूरियर रूपांतरण (DFT)	$\mathbb {Z} _{n}$	$\mathbb {Z} _{n}$	${\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}$

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $G=\mathbb {R} ^{n}$ , ताकि हम विचार सकें कि ${\widehat {G}}$ के रूप में $\mathbb {R} ^{n}$ युगलन द्वारा $(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$ परिभाषित है। यदि $\mu$ यूक्लिडियन स्थान पर लेबेस्ग आकलन है, तो हम सामान्य फूरियर रूपांतरण $\mathbb {R} ^{n}$ प्राप्त करते हैं और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र के लिए आवश्यक द्विक आकलन ${\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu$ है। यदि हम दोनों पक्षों पर समान आकलनों के साथ फूरियर व्युत्क्रम सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं (अर्थात, चूंकि हम इसके विषय में विचार कर सकते हैं, कि $\mathbb {R} ^{n}$ को इसके द्विक स्थान के रूप में हम याचना कर सकते हैं, और ${\widehat {\mu }}$ के समान करने के लिए $\mu$ ) तो हमें उपयोग करने की आवश्यकता होती है;

{\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}

हालाँकि, यदि युगलन का उपयोग करके इसके द्विक समूह

\mathbb {R} ^{n}

के साथ सर्वसमिकाओ की स्थिति को परिवर्तित करते हैं:

(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },

पुनः लेबेसेग आकलन

\mathbb {R} ^{n}

अपने स्वतः के द्विक आकलन के समान है। यह सम्मेलन के

2\pi

कारकों की संख्या को कम करता है, जो यूक्लिडियन स्थान पर फूरियर रूपांतरण या व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण की गणना करते समय विभिन्न स्थानों पर, (वास्तव में यह सीमित करता है, कि

2\pi

केवल घातांक के बदले अभिन्न चिह्न के बाहर एक पूर्व-कारक के रूप में) दिखाई देते है। ध्यान दें कि पहचान करने के माध्यम का विकल्प

\mathbb {R} ^{n}

अपने द्विक समूहों के साथ "स्वतः-द्विक कार्य" शब्दों के अर्थ को प्रभावित करता है, जो एक कार्य

\mathbb {R} ^{n}

है, अपने स्वतः के फूरियर रूपांतरण के समान: पारम्परिक युगलन का उपयोग करना

(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }

प्रकार्य

e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}

स्वतः द्विविधता है। परन्तु युगलन का उपयोग करना जो पूर्व-कारक को एकता के रूप में ,

(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }

इसके बदले स्व-द्विक

e^{-\pi x^{2}}

बनाता है। फूरियर रूपांतरण के लिए इस दूसरी परिभाषा का लाभ यह है कि यह गुणात्मक पहचान को संकल्प पहचान के लिए प्रतिचित्र करता है, जो उपयोगी है, और

L^{1}

एक संवलयी बीजगणितीय है। इसके अतिरिक्त, यह फॉर्म भी आवश्यक रूप से

L^{2}

रिक्त स्थान सममितीय है।

समूह बीजगणितीय

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह पर पूर्णांक कार्यों का स्थान $G$ एक बीजगणितीय है, जहाँ गुणन संवलयी है: दो पूर्णांक कार्यों का संवलयी $f$ और $g$ के रूप में परिभाषित किया जाता है:

(f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).

Theorem — बनच-समष्‍टि $L^{1}(G)$ दृढ़ संकल्प के अंतर्गत एक साहचर्य और क्रमविनिमेय बीजगणितीय है।

इस बीजगणितीय को समूह बीजगणितीय $G$ कहा जाता है। फ़ुबिनी के प्रमेय के अनुसार संवलयी एक उप गुणक $L^{1}$ है, जिसके संबंध में मानदंड $L^{1}(G)$ एक बनच बीजगणितीय है। एक बनच बीजगणितीय $L^{1}(G)$ में गुणात्मक पहचान तत्व है,यदि और केवल यदि $G$ एक असतत समूह है, अर्थात् कार्य जो पहचान पर 1 है और कहीं शून्य है। सामान्यतः, हालांकि, इसकी एक अनुमानित पहचान होती है जो एक शुद्ध (या सामान्यीकृत अनुक्रम) $\{e_{i}\}_{i\in I}$ है। एक निर्देशित समूह पर अनुक्रमित $I$ ऐसा है कि $f*e_{i}\to f.$

फूरियर रूपांतरण संवलयी को गुणन में ले जाता है, अर्थात यह एबेलियन बनच बीजगणितीय का एक समरूपता $L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)$ (आदर्श ≤ 1) है:

{\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).

विशेष रूप से, प्रत्येक समूह के स्वरूप पर

G

द्वारा परिभाषित समूह बीजगणितीय पर एक अद्वितीय गुणात्मक रैखिक कार्यात्मक के अनुरूप है;

f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).

एक समूह बीजगणितीय की यह एक महत्वपूर्ण विशेषता है कि ये समूह बीजगणितीय पर गैर-तुच्छ (जो समान रूप से शून्य नहीं है) गुणात्मक रैखिक क्रियाओं के समूह को सआकलन्त करते हैं; (लूमिस 1953) की धारा 34 देखें। इसका अर्थ है कि फूरियर रूपांतरण गेलफैंड रूपांतरण की एक विशेष स्थिति है।

प्लांचरेल और L² फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय

जैसा कि हमने कहा है, स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का द्विक समूह स्वतः में स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह है और इस प्रकार एक हार आकलन है, या अधिक सटीक रूप से पैमाने से संबंधित हार आकलनों का एक पूर्ण समूह है।

Theorem — एक हार आकलन चयन करे $\mu$ on $G$ and let $\nu$ द्विक आकलन पर ${\widehat {G}}$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है यदि $f:G\to \mathbb {C}$ सुसंहत समर्थन के साथ निरंतर है ${\widehat {f}}\in L^{2}\left({\widehat {G}}\right)$ और

\int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).

विशेष रूप से, फूरियर रूपांतरण एक है

L^{2}

कॉम्पैक्ट समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों से समदूरीकता समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों से समदूरीकता

G

तक

L^{2}

-कार्य करता है

{\widehat {G}}

(का उपयोग

L^{2}

- मानदंड के संबंध में

\mu

कार्यों के लिए

G

और

L^{2}

- मानदंड के संबंध में

\nu

कार्यों के लिए

{\widehat {G}}

)।

सुसंहत समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों के पश्चात से $G$ हैं, $L^{2}$ -सघन, उस स्थान से एकात्मक संचालिका में फूरियर रूपांतरण का एक विशिष्ट विस्तार है;

{\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).

और हमारे पास सूत्र है;

\forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).

ध्यान दें कि गैर-सुसंहत स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए

G

स्थान

L^{1}(G)

में

L^{2}(G)

सम्मिलित नहीं है, इसलिए फूरियर सामान्य का

L^{2}

-प्रकार्य रूपांतरण करता है।

G

किसी भी प्रकार के एकीकरण सूत्र (या वास्तव में किसी स्पष्ट सूत्र) द्वारा नहीं दिया गया है।

L^{2}

को परिभाषित करने के लिए फूरियर रूपांतरण में किसी को कुछ प्रावैधिक योजना की सहायता लेनी पड़ती है, जैसे सुसंहत समर्थनों के साथ के साथ निरंतर कार्यों जैसे घने उप-स्थान पर प्रारम्भ करना और पुनः पूरे स्थान में निरंतरता द्वारा समदूरीकता का विस्तार करना है। फूरियर रूपांतरण का यह एकात्मक विस्तार वर्ग समाकलनीय कार्यों के स्थान पर फूरियर रूपांतरण से तात्पर्य है।

द्विक समूह स्वतः में एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण भी होता है; इसे व्युत्क्रम (या आसन्न, क्योंकि यह एकात्मक है) $L^{2}$ फूरियर रूपांतरण के रूप में चित्रित किया जा सकता है। यह $L^{2}$ की तृप्ति है, और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र जो इस प्रकार है।

Theorem — सुसंहत समर्थन के निरंतर कार्यों के लिए प्रतिबंधित फूरियर रूपांतरण का युगलन व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण है।

L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right)\to L_{\mu }^{2}(G)

जहाँ

\nu

,

\mu

का द्विक माप है।

यदि $G=\mathbb {T}$ द्विविधता समूह ${\widehat {G}}$ पूर्णांकों के समूह के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपीय $\mathbb {Z}$ है और फूरियर रूपांतरण आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना करने में प्रवीण है।

यदि $G$ एक परिमित समूह है, तो हम असतत फूरियर रूपांतरण को पुनः प्राप्त करते हैं। ध्यान दें कि इस स्थिति को सीधे प्रमाणित करना बहुत सरल है।

बोह्र संघनन और प्रायः आवधिकता

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूहों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन है:

Theorem — एक स्थानीय रूप से सुसंहत एबेलियन समूह $G$ सुसंहत है अगर और केवल अगर द्विक समूह ${\widehat {G}}$ असतत है। इसके विपरीत, $G$ असतत है अगर और केवल अगर ${\widehat {G}}$ सुसंहत है।

वह $G$ सुसंहत होने का तात्पर्य है, और ${\widehat {G}}$ असतत है या वह $G$ असतत होने का तात्पर्य है, और ${\widehat {G}}$ सुसंहत है, सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान की परिभाषा का एक प्राथमिक परिणाम है, ${\widehat {G}}$ और पोन्ट्रियाजिन द्विविधता की आवश्यकता नहीं है। रूपांतरण को प्रमाणित करने के लिए एक पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का उपयोग किया जाता है।

बोह्र संघनन को किसी भी सामयिक समूह $G$ के लिए परिभाषित किया गया है, और दोनों में से किसी की उपेक्षा किये बिना $G$ स्थानतः सुसंहत या एबेलियन है। सुसंहत एबेलियन समूहों और असतत एबेलियन समूहों के मध्य पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का उपयोग स्थानतः सुसंहत सांस्थितिक समूह का एक यादृच्छिक एबेलियन के बोह्र संघनन की विशेषता है। बोहर संघनन $B(G)$ का $G$ , ${\widehat {H}}$ है, जहाँ H की समूह संरचना ${\widehat {G}}$ है , परन्तु समावेशन मानचित्र के पश्चात से असतत संस्थितिविज्ञान दी गई है।

\iota :H\to {\widehat {G}}

एक समरूपता, और द्विक आकृतिवाद निरंतर है;

G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}

एक सुसंहत समूह में एक रूपवाद है, जिसे अपेक्षित सार्वभौमिक विषेशता को संतुष्ट करने के लिए सरलता से दर्शाया गया है।

स्पष्ट विचार

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को लाभप्रद और कार्यात्मक रूप से भी माना जा सकता है। निम्नलिखित में, LCA स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और निरंतर समूह समरूपता की श्रेणी है। ${\widehat {G}}$ का द्विक समूह निर्माण एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक LCA → LCA है, जिसे चक्रीय समूह $\mathbb {T}$ जैसा ${\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} )$ द्वारा दर्शाया गया है, विशेष रूप से, द्विक दोहरे प्रकार्य $G\to {\widehat {\widehat {G}}}$ सहसंयोजक है।

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक स्पष्ट सूत्रीकरण तब बताता है कि 'LCA' पर पहचान प्रकार्यक और द्विक दोहरे प्रकार्यक के मध्य प्राकृतिक परिवर्तन एक समरूपता है।^[3] एक प्राकृतिक परिवर्तन की धारणा को अनावलन करना, इसका अर्थ है कि मानचित्र $G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)$ किसी भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के लिए समरूपता $G$ हैं, और ये समरूपताएँ क्रियात्मक $G$ हैं। यह समरूपता परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के द्विक दोहरे (वास्तविक और जटिल सदिश रिक्त स्थान के लिए एक विशेष स्थिति) के अनुरूप है।

इस सूत्रीकरण का एक तात्कालिक परिणाम पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक और सामान्य श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण है: द्विक समूह प्रकार्यक LCA से LCA^op की श्रेणियों की एक तुल्यता है।

एक द्विविधता असतत समूहों और सुसंहत समूहों की उपश्रेणियों का आदान-प्रदान करता है। यदि $R$ एक वलय, $G$ एक वामपंथी और $R$ -प्रतिरूपक, और $R$ -आकलनांक द्विक समूह ${\widehat {G}}$ एक अधिकार बन जाएगा। इस प्रकार हम उस असतत वामपंथी $R$ -प्रतिरूपक को भी देख सकते हैं, और $R$ -प्रतिरूपक पोन्ट्रियाजिन दोहरे से सुसंहत दाएं होंगे। एक वलय ${\text{End}}(G)$ एलसीए में अंतःरूपांतरण को द्विविधता द्वारा इसके विपरीत वलय में परिवर्तित कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $G$ एक अनंत चक्रीय असतत समूह है, ${\widehat {G}}$ एक चक्रीय समूह है: पूर्व में ${\text{End}}(G)=\mathbb {Z}$ तो यह बाद के विषयो में भी सत्य है।

सामान्यीकरण

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सामान्यीकरण दो मुख्य दिशाओं में निर्मित होते हैं: क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए जो स्थानतः सुसंहत समूह नहीं हैं, और गैर-अनुसूचित सांस्थितिक समूहों के लिए निर्मित हैं। इन दोनों स्थितियों में सिद्धांत बहुत भिन्न हैं।

क्रमविनिमेय सामयिक समूहों के लिए द्विविधता

जब $G$ एक हॉउसडॉर्फ एबेलियन सामयिक समूह है, ${\widehat {G}}$ सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान के साथ एक हॉसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह और नेचुरल प्रतिचित्वलय $G$ है। इसके द्विक-दोहरे ${\widehat {\widehat {G}}}$ के लिए समझ में आता है। यदि यह मानचित्रण एक समरूपता है, तो ऐसा कहा जाता है कि $G$ पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को (या वह $G$ एक प्रतिवर्त समूह है,^[4] या एक चिंतनशील समूह^[5])संतुष्ट करता है। इस स्थिति से परे कई दिशाओं में इसे बढ़ाया गया है, और $G$ स्थानतः सुसंहत है।^[6]

विशेष रूप से, सैमुअल कपलान^[7]^[8] ने 1948 और 1950 में दर्शाया है कि यादृच्छिक उत्पाद और स्थानतः सुसंहत (हॉसडॉर्फ) एबेलियन समूहों की गणनीय व्युत्क्रम सीमाएं पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं। ध्यान दें कि स्थानतः सुसंहत गैर-सुसंहत रिक्त स्थान का अनंत उत्पाद स्थानतः सुसंहत नहीं है।

तत्पश्चात, 1975 में, रंगाचारी वेंकटरमन^[9] ने, अन्य तथ्यों के साथ, दर्शाया कि एबेलियन सांस्थितिक समूह का प्रत्येक मुक्त उपसमूह जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और स्वतः पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करता है।

अभी हाल ही में, सर्जियो अर्दंज़ा-ट्रेविजानो और मारिया जेसुज चास्को^[10] ने ऊपर उल्लिखित कपलान के परिणामों को बढ़ा दिया है। उन्होंने दर्शाया कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करने वाले एबेलियन समूहों के अनुक्रमों की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम सीमाएं भी पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं, यदि समूह मेट्रिज़ेबल हैं या $k_{\omega }$ -स्थान परन्तु जरूरी नहीं कि स्थानतः सुसंहत हो, बशर्ते कुछ अतिरिक्त स्थिति अनुक्रमों से संतुष्ट हो सकती है।

हालाँकि, एक मूलभूत अवस्था है जो परिवर्तित हो जाती है यदि हम स्थानतः सुसंहत स्थिति से परे पोन्ट्रियाजिन द्विविधता पर विचार करना चाहते हैं। ऐलेना मार्टिन-पीनाडोर^[11] ने 1995 में प्रमाणित किया कि यदि $G$ हॉउसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह है जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और प्राकृतिक मूल्यांकन युगलन को संतुष्ट करता है;

{\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}

(संयुक्त रूप से) निरंतर है,^{[lower-alpha 1]} तब

G

स्थानतः सुसंहत है, परिणामस्वरूप, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सभी गैर-स्थानतः सुसंहत उदाहरण ऐसे समूह हैं जहां युगलन

G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T}

बनती है, जो (संयुक्त रूप से) निरंतर नहीं है।

एक क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के व्यापक वर्गों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को सामान्य बनाने का एक और माध्यम है, द्विक समूह ${\widehat {G}}$ को थोड़ी अलग संस्थितिविज्ञान के साथ सआकलन्त करना, अर्थात् पूर्णतया बंधे हुए स्थान पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान हैं। पहचान को संतुष्ट करने वाले समूह $G\cong {\widehat {\widehat {G}}}$ इस धारणा के अंतर्गत^{[lower-alpha 2]} रूढि समूह कहलाते हैं।^[5] यह वर्ग भी बहुत विस्तृत है (और इसमें स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह सम्मिलित हैं), परन्तु यह चिंतनशील समूहों के वर्ग की तुलना में संकीर्ण है।^[5]

सांस्थितिक सदिश स्थान के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता

1952 में मैरिएन एफ स्मिथ^[12] ने देखा कि बानाख-समष्‍टि और स्वतुल्य समष्‍टि, जिसे सांस्थितिक समूह (एडिटिव समूह कार्य प्रणाली के साथ) माने जाते है, जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करते है। बाद में बी.एस. ब्रुडोव्स्की,^[13] विलियम सी. वाटरहाउस^[14] और के. ब्रूनर^[15] ने दर्शाया कि यह परिणाम सभी अर्ध-पूर्ण बैरल स्थानों (विशेष रूप से, सभी फ्रेचेट रिक्त स्थान) के वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है। 1990 के दशक में सर्गेई अकबरोव^[16] ने सांस्थितिक सदिश रिक्त स्थान के वर्ग का विवरण दिया जो लौकिक पोन्ट्रियाजिन स्वतुल्यता की तुलना में एक सुदृढ़ विशेषताओं को संतुष्ट करती है;

(X^{\star })^{\star }\cong X

जहां

X^{\star }

का अर्थ है सभी रैखिक निरंतर कार्यात्मकताओं का स्थान

f\colon X\to \mathbb {C}

पूर्णतया बंधे हुए समूहों पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान से संपन्न

X

(और

(X^{\star })^{\star }

का अर्थ है दोहरा

X^{\star }

उसी अर्थ में) इस वर्ग के रिक्त स्थान को स्वतुल्य समष्‍टि कहा जाता है, और संबंधित सिद्धांत को कार्यात्मक विश्लेषण और ज्यामिति में अनुप्रयोगों की एक श्रृंखला मिली, जिसमें गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का सामान्यीकरण सम्मिलित है।

गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए द्विविधता

गैर-क्रमविनिमेय स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए $G$ शास्त्रीय पोन्ट्रियाजिन निर्माण विभिन्न कारणों से कार्य करना बंद कर देता है, विशेष रूप से, क्योंकि स्थितियां सदैव $G$ बिंदुओं को अलग नहीं करती हैं, और अलघुकरणीय निरूपण $G$ सदैव आयामी नहीं होते हैं। साथ ही यह स्पष्ट नहीं है कि अलघुकरणीय एकात्मक निरूपण के समूह पर गुणन $G$ का परिचय कैसे दिया जाए, और यह भी स्पष्ट नहीं है कि क्या यह समूह द्विक वस्तु $G$ की भूमिका के लिए एक अच्छा विकल्प है, अतः इस स्थिति में द्विविधता निर्माण की समस्या पर पूर्ण पुनर्विचार की आवश्यकता है।

आज तक बनाए गए सिद्धांतों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया गया है: सिद्धांत जहां द्विक वस्तु की प्रकृति स्रोत एक के समान होती है (जैसे कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता में ही), और सिद्धांत जहां स्रोत वस्तु और इसकी द्विक एक दूसरे से भिन्न होती है, और उन्हें एक वर्ग की वस्तुओं के रूप में गणना करना असंभव है।

दूसरे प्रकार के सिद्धांत ऐतिहासिक रूप से प्रथम थे: पोन्ट्रियाजिन के कार्य के तुरंत बाद टाडाओ तनाका (1938) और मार्क केरिन (1949) ने यादृच्छिक सुसंहत समूहों के लिए एक द्विविधता सिद्धांत का निर्माण किया, जिसे अब तन्नाका-क्रेन द्विविधता के रूप में जाना जाता है।^[17]^[18] इस सिद्धांत में एक समूह के लिए द्विक वस्तु $G$ एक समूह नहीं बल्कि प्रतिनिधित्व की एक श्रेणी $\Pi (G)$ है।

परिमित समूहों के लिए द्विविधता।

प्रथम प्रकार के सिद्धांत बाद में प्रकट हुए और उनके लिए प्रमुख उदाहरण परिमित समूहों के लिए द्विविधता सिद्धांत था।^[19]^[20] इस सिद्धांत में परिमित समूहों की श्रेणी संक्रिया द्वारा सन्निहित है, समूह बीजगणितीय लेने के $G\mapsto \mathbb {C} _{G}$ $\mathbb {C} _{G}$ (ऊपर $\mathbb {C}$ ) परिमित आयामी हॉफ बीजगणितीय की श्रेणी में, ताकि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता क्रियाकार $G\mapsto {\widehat {G}}$ कार्य प्रणाली में परिवर्तित किया जाता है, $H\mapsto H^{*}$ द्विक सदिश स्थान को लेने के लिए (जो परिमित आयामी हॉफ बीजगणितीय की श्रेणी में एक द्विविधता कारक है)।^[20]

1973 में लियोनिद आई. वेनरमैन, जॉर्ज आई. काक, मिशेल एनॉक और जीन-मैरी श्वार्ट्ज ने सभी स्थानीय सुसंहत समूहों के लिए इस प्रकार का एक सामान्य सिद्धांत बनाया।^[21] 1980 के दशक से क्वांटम समूहों की खोज के पश्चात इस क्षेत्र में अनुसंधान पुनः से प्रारम्भ किया गया, जिसमें निर्मित सिद्धांतों को सक्रिय रूप से स्थानांतरित किया जाने लगा।^[22] इन सिद्धांतों को C* बीजगणितीय, या वॉन न्यूमैन बीजगणितीय की भाषा में तैयार किया गया है, और इसके प्रकारों में से एक स्थानतः सुसंहत क्वांटम समूहों का आधुनिक सिद्धांत है।^[23]^[22]

हालांकि, इन सामान्य सिद्धांतों की कमियों में से एक यह है कि उनमें समूह की अवधारणा को सामान्य बनाने वाली वस्तुएं सामान्य बीजगणितीय अर्थों में हॉफ बीजगणितीय नहीं हैं।^[20] सांस्थितिक बीजगणितीय की आवरण (श्रेणी सिद्धांत) की धारणा के आधार पर निर्मित द्विविधता सिद्धांतों के रूपरेखा के भीतर इन कमियों में (समूहों के कुछ वर्गों के लिए) सुधार किया जा सकता है।^[24]

यह भी देखें

पीटर-वील प्रमेय
कार्टियर द्विविधता
प्रतिवर्ती स्थान

↑ Joint continuousness means here that the map $G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T}$ is continuous as a map between topological spaces, where $G\times {\widehat {G}}$ is endowed with the topology of cartesian product. This result does not hold if the map $G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T}$ is supposed to be separately continuous, or continuous in the stereotype sense.
↑ Where the second dual group ${\widehat {\widehat {G}}}$ is dual to ${\widehat {G}}$ in the same sense.

↑ Hewitt & Ross 1963, (24.2).
↑ Morris 1977, Chapter 4.
↑ Roeder 1974.
↑ Onishchik 1984.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Akbarov & Shavgulidze 2003.
↑ Chasco, Dikranjan & Martín-Peinador 2012.
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↑ Brauner 1973.
↑ Akbarov 2003.
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↑ Kirillov 1976, 12.3.
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↑ Enock & Schwartz 1992.
↑ ^22.0 ^22.1 Timmermann 2008.
↑ Kustermans & Vaes 2000.
↑ Akbarov 2009, 2017a, 2017b

संदर्भ

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[12] Joint continuousness means here that the map $G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T}$ is continuous as a map between topological spaces, where $G\times {\widehat {G}}$ is endowed with the topology of cartesian product. This result does not hold if the map $G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T}$ is supposed to be separately continuous, or continuous in the stereotype sense.

[13] Where the second dual group ${\widehat {\widehat {G}}}$ is dual to ${\widehat {G}}$ in the same sense.

[FOOTNOTEHewittRoss1963(24.2)-1] Hewitt & Ross 1963, (24.2).

[FOOTNOTEMorris1977Chapter_4-2] Morris 1977, Chapter 4.

[FOOTNOTERoeder1974-3] Roeder 1974.

[FOOTNOTEOnishchik1984-4] Onishchik 1984.

[FOOTNOTEAkbarovShavgulidze2003-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Akbarov & Shavgulidze 2003.

[FOOTNOTEChascoDikranjanMartín-Peinador2012-6] Chasco, Dikranjan & Martín-Peinador 2012.

[FOOTNOTEKaplan1948-7] Kaplan 1948.

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[FOOTNOTESmith1952-14] Smith 1952.

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[FOOTNOTEWaterhouse1968-16] Waterhouse 1968.

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[FOOTNOTEHewittRoss1970-19] Hewitt & Ross 1970.

[FOOTNOTEKirillov1976-20] Kirillov 1976.

[FOOTNOTEKirillov197612.3-21] Kirillov 1976, 12.3.

[FOOTNOTEAkbarov2009-22] 20.0 ^20.1 ^20.2 Akbarov 2009.

[FOOTNOTEEnockSchwartz1992-23] Enock & Schwartz 1992.

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[FOOTNOTEKustermansVaes2000-25] Kustermans & Vaes 2000.

[26] Akbarov 2009, 2017a, 2017b

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Contents

परिचय

परिभाषा

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और फूरियर रूपांतरण

हार आकलनक

L¹ - प्रकार्य के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र

समूह बीजगणितीय

प्लांचरेल और L² फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय

बोह्र संघनन और प्रायः आवधिकता

स्पष्ट विचार

सामान्यीकरण

क्रमविनिमेय सामयिक समूहों के लिए द्विविधता

सांस्थितिक सदिश स्थान के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता

गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए द्विविधता

यह भी देखें

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-{{More footnotes|date=June 2013}}
+[[Image:2-adic integers with dual colorings.svg|thumb|upright=1.35| 2-एडिक पूर्णांक, पोंट्रीगिन द्विक समूहों पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ।]]गणितीय में, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह|स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों]] के मध्य एक द्विविधता है, जो सामान्य रूप से फूरियर को ऐसे सभी समूहों में परिवर्तित करने की अनुमति देता है, जिसमें चक्रीय समूह (आकलनांक एक की जटिल संख्याओं का गुणक समूह), [[परिमित एबेलियन समूह]] (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं, और पूर्णांकों का योगात्मक समूह (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ भी), वास्तविक संख्याएँ, और  {{mvar|p}}-एडिक क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित आयामी सदिश स्थान है।
-[[Image:2-adic integers with dual colorings.svg|thumb|upright=1.35|p-adic पूर्णांक | 2-adic पूर्णांक, Prüfer समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ]]गणित में, पोंट्रीगिन द्वैत [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह]]ों के बीच एक द्वैत (गणित) है जो सामान्य रूप से फूरियर को ऐसे सभी समूहों में बदलने की अनुमति देता है, जिसमें सर्कल समूह (मापांक एक की जटिल संख्याओं का गुणक समूह), [[परिमित एबेलियन समूह]] (साथ) शामिल हैं। [[असतत टोपोलॉजी]]), और पूर्णांकों का योगात्मक समूह (असतत टोपोलॉजी के साथ भी), वास्तविक संख्याएँ, और वास्तविक या पी-एडिक फ़ील्ड पर हर आयाम (वेक्टर स्पेस)|{{mvar|p}}-एडिक फील्ड।
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन ग्रुप का पोंट्रीगिन डुअल स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन टोपोलॉजिकल ग्रुप है, जो ग्रुप से सर्कल ग्रुप तक पॉइंटवाइज मल्टीप्लिकेशन के ऑपरेशन और कॉम्पैक्ट सेट पर [[ एकसमान अभिसरण ]] के टोपोलॉजी के साथ [[समूह समरूपता]] द्वारा बनाया गया है। पोंट्रीगिन द्वैत प्रमेय पोंट्रीगिन द्वैत को यह कहते हुए स्थापित करता है कि कोई भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह स्वाभाविक रूप से अपनी बोली (इसके दोहरे के दोहरे) के साथ आइसोमोर्फिक है। [[फूरियर उलटा प्रमेय]] इस प्रमेय का एक विशेष मामला है।
+स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का पोन्ट्रियाजिन द्विक स्थानतः सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूह है, जो समूह से चक्रीय समूह तक बिन्दुवार गुणक की कार्य प्रणाली और सुसंहत समूह पर [[ एकसमान अभिसरण |एकसमान अभिसरण]] के संस्थितिविज्ञान के साथ [[समूह समरूपता]] द्वारा बनाया गया है। पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को यह कहते हुए स्थापित करता है कि कोई भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह स्वाभाविक रूप से द्विभाषी (इसके द्विक दोहरे) के साथ समरूपीय है। [[फूरियर उलटा प्रमेय|फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय]] इस प्रमेय की एक विशेष स्थिति है।
-इस विषय का नाम [[लेव पोंट्रीगिन]] के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1934 में अपने शुरुआती गणितीय कार्यों के दौरान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों और उनके द्वंद्व के सिद्धांत की नींव रखी थी। असतत। 1935 में [[एगबर्ट वैन कम्पेन]] और 1940 में आंद्रे वेइल द्वारा स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों को कवर करने के लिए इसमें सुधार किया गया था।
+इस विषय का नाम [[लेव पोंट्रीगिन|लेव पोन्ट्रियाजिन]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1934 में अपने प्रारंभिक गणितीय कार्यों के पर्यन्त स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और उनके द्विविधता के सिद्धांत की नींव रखी थी। पोन्ट्रियाजिन के उपचार समूहों के दूसरे-गणनीय होने और या तो सुसंहत या असतत होने पर निर्भर था।1935 में [[एगबर्ट वैन कम्पेन]] और 1940 में आंद्रे वेइल द्वारा स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों को आच्छादित करने के लिए इसमें सुधार किया गया था।
 == परिचय ==
-पोंट्रीगिन द्वैत एक एकीकृत संदर्भ में वास्तविक रेखा पर या परिमित एबेलियन समूहों पर कार्यों के बारे में कई टिप्पणियों को रखता है:
+पोन्ट्रियाजिन द्विविधता एकीकृत संदर्भ में वास्तविक रेखा पर या परिमित एबेलियन समूहों पर कार्यों के विषयो में कई टिप्पणियों को प्रस्तुत करता है:
-* वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित रूप से जटिल-मूल्यवान आवधिक कार्यों में फूरियर श्रृंखला होती है और इन कार्यों को उनकी फूरियर श्रृंखला से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है;
+* वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान आवधिक कार्यों में फूरियर श्रृंखला होती है और इन कार्यों को उनकी फूरियर श्रृंखला से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है;
-* वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित रूप से जटिल-मूल्यवान कार्यों में फूरियर रूपांतरण होते हैं जो वास्तविक रेखा पर भी कार्य करते हैं और, आवधिक कार्यों के लिए, इन कार्यों को उनके फूरियर रूपांतरणों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है; और
+* वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान कार्यों में फूरियर रूपांतरण होते हैं जो वास्तविक रेखाओ पर भी कार्य करते हैं ,और आवधिक कार्यों के लिए, इन कार्यों को उनके फूरियर रूपांतरणों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है; और
-* एक एबेलियन समूह पर जटिल-मूल्यवान कार्य # परिमित एबेलियन समूहों में असतत फूरियर परिवर्तन होते हैं, जो # द डुअल ग्रुप पर कार्य करते हैं, जो एक (गैर-कैनोनिक रूप से) आइसोमोर्फिक समूह है। इसके अलावा, परिमित एबेलियन समूह पर कोई भी कार्य इसके [[असतत फूरियर रूपांतरण]] से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
+* एक एबेलियन समूहों पर जटिल-मूल्यवान कार्यों में असतत फूरियर रूपांतरण होते हैं, जो द्विक समूह पर कार्य करते हैं, और जो एक (गैर-प्रामाणिक रूप से) समरूपीय समूह है। इसके अतिरिक्त, परिमित एबेलियन समूह पर कोई भी कार्य इसके [[असतत फूरियर रूपांतरण]] से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
-सिद्धांत, लेव पोंट्रीगिन द्वारा पेश किया गया और [[जॉन वॉन न्यूमैन]], आंद्रे वेइल और अन्य द्वारा पेश किए गए हार उपाय के साथ संयुक्त रूप से स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान]] एबेलियन समूह के दोहरे समूह के सिद्धांत पर निर्भर करता है।
+लेव पोन्ट्रियाजिन द्वारा प्रस्तुत किया गया सिद्धांत और [[जॉन वॉन न्यूमैन]], आंद्रे वेइल और अन्य द्वारा प्रस्तुत किए गए हार आकलनको के साथ मिलकर [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|स्थानतः सुसंहत]] एबेलियन समूहों के द्विक समूहों के सिद्धांत पर निर्भर करता है।
-यह एक सदिश स्थान के दोहरे सदिश स्थान के अनुरूप है: एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V और इसका दोहरा सदिश स्थान V* स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक नहीं है, लेकिन एक का [[एंडोमोर्फिज्म]] बीजगणित (मैट्रिक्स बीजगणित) विपरीत रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है। एंडोमोर्फिज्म दूसरे का बीजगणित: <math>\text{End}(V) \cong {\text{End}(V^*)}^\text{op},</math> ट्रांसपोज़ के माध्यम से। इसी प्रकार एक समूह <math>G</math> और इसका दोहरा समूह <math>\widehat{G}</math> सामान्य रूप से आइसोमोर्फिक नहीं होते हैं, लेकिन उनके एंडोमोर्फिज्म के छल्ले एक दूसरे के विपरीत होते हैं: <math>\text{End}(G) \cong \text{End}(\widehat{G})^\text{op}</math>. अधिक स्पष्ट रूप से, यह केवल एंडोमोर्फिज्म बीजगणित का एक समरूपता नहीं है, बल्कि श्रेणियों का एक विरोधाभासी तुल्यता है - #श्रेणीबद्ध विचार देखें।
+यह सदिश स्थान के द्विक सदिश स्थान के अनुरूप है: एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V और इसका द्विक सदिश स्थान V* स्वाभाविक रूप से समरूपीय नहीं है, परन्तु एक का [[एंडोमोर्फिज्म|अंतःरूपांतरण]] बीजगणितीय (आव्यूह बीजगणितीय) अंतःरूपांतरण के विपरीत समरूपीय है, और दूसरे का बीजगणितीय: <math>\text{End}(V) \cong {\text{End}(V^*)}^\text{op},</math> परिवर्त के माध्यम से दर्शाया जाता है। इसी प्रकार एक समूह <math>G</math> और इसका द्विक समूह <math>\widehat{G}</math> सामान्य रूप से समरूपीय नहीं होते हैं, परन्तु उनके अंतःरूपांतरण के वलय एक दूसरे के विपरीत होते हैं: <math>\text{End}(G) \cong \text{End}(\widehat{G})^\text{op}</math>अधिक स्पष्ट रूप से, यह केवल अंतःरूपांतरण बीजगणितीय की एक समरूपता नहीं है, बल्कि श्रेणियों की एक विपरीत तुल्यता है। इसके लिए श्रेणीबद्ध विचार देखें।
 == परिभाषा ==
-{{further|Locally compact abelian group}}
+{{further|स्थानीय रूप से सुसंहत एबेलियन समूह}}
-एक [[टोपोलॉजिकल समूह]] स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है यदि अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस और [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] है; एक टोपोलॉजिकल समूह एबेलियन है यदि अंतर्निहित समूह [[एबेलियन समूह]] है।
+एक [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] स्थानतः सुसंहत समूह है, यदि अंतर्निहित सांस्थितिक स्थान स्थानतः सुसंहत और [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ]] है; और यदि अंतर्निहित समूह [[एबेलियन समूह|एबेलियन]] हो तो एक सांस्थितिक समूह एबेलियन है। स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के उदाहरणों में परिमित एबेलियन समूह, पूर्णांक (दोनों असतत संस्थितिविज्ञान के लिए, जो सामान्य आकलनीय द्वारा भी प्रेरित होते हैं), वास्तविक संख्याएं, चक्रीय समूह टी (दोनों अपने सामान्य आकलनीय संस्थितिविज्ञान के साथ), और पी-एडिक संख्या (उनके सामान्य पी-एडिक संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं।
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों के उदाहरणों में परिमित एबेलियन समूह, पूर्णांक (दोनों असतत टोपोलॉजी के लिए, जो सामान्य मीट्रिक द्वारा भी प्रेरित होते हैं), वास्तविक संख्याएं, सर्कल समूह टी (दोनों अपने सामान्य मीट्रिक टोपोलॉजी के साथ), और भी शामिल हैं। पी-एडिक नंबर | पी-एडिक नंबर (उनके सामान्य पी-एडिक टोपोलॉजी के साथ)।
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह के लिए <math>G</math>, पोंट्रीगिन दोहरी समूह है <math>\widehat G</math> निरंतर [[समूह समरूपता]] से <math>G</math> मंडली समूह को <math>T</math>. वह है,
+स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह <math>G</math> के लिए, पोन्ट्रियाजिन द्विक समूह <math>\widehat G</math> निरंतर [[समूह समरूपता]] <math>G</math> से चक्रीय समूह <math>T</math> है,अर्थात
 <math display="block">\widehat G := \operatorname{Hom}(G, T).</math>
-पोंट्रीगिन दोहरी <math>\widehat G</math> आमतौर पर [[कॉम्पैक्ट सेट]] पर समान अभिसरण द्वारा दी गई [[टोपोलॉजी]] से संपन्न होता है (अर्थात, सभी निरंतर कार्यों के स्थान पर [[कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी]] द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी <math>G</math> को <math>T</math>).
+पोन्ट्रियाजिन द्विक <math>\widehat G</math> सामान्यतः [[कॉम्पैक्ट सेट|सुसंहत समूह]] पर समान अभिसरण द्वारा दी गई है, संस्थितिविज्ञान (अर्थात, सभी निरंतर कार्यों के स्थान पर [[कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी|सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान]] द्वारा प्रेरित संस्थितिविज्ञान <math>G</math> को <math>T</math>) से संपन्न होता है।
 उदाहरण के लिए,<math display="block">\widehat{\Z/n\Z}= \Z/n\Z,\ \widehat {\Z} = T,\  \widehat {\mathbb R} = \R,\ \widehat T = \Z.</math>
-== पोंट्रीगिन द्वैत प्रमेय ==
+== पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय ==
-{{math theorem | name = Theorem{{sfn|Hewitt|Ross|1963|loc=(24.2)}}{{sfn|Morris|1977|loc=Chapter 4}} | math_statement = There is a canonical isomorphism <math>G\cong\widehat{\widehat{G}}</math> between any locally compact abelian group <math>G</math> and its double dual.}}
+{{math theorem | name = प्रमेय{{sfn|Hewitt|Ross|1963|loc=(24.2)}}{{sfn|Morris|1977|loc=Chapter 4}} | math_statement = किसी भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह <math>G</math> और इसके द्विक दोहरे के मध्य एक विहित समरूपता <math>G\cong\widehat{\widehat{G}}</math> है।}}
-विहित रूप का अर्थ है कि स्वाभाविक रूप से परिभाषित नक्शा है <math>\operatorname{ev}_G\colon G \to \widehat{\widehat{G}}</math>; इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि नक्शा क्रियाशील होना चाहिए <math>G</math>. विहित समरूपता <math>\operatorname{ev}_G</math> पर परिभाषित किया गया है <math>x\in G</math> निम्नलिखित नुसार:
+विहित रूप का अर्थ है कि स्वाभाविक रूप से परिभाषित प्रतिचित्र  <math>\operatorname{ev}_G\colon G \to \widehat{\widehat{G}}</math> है; और इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रतिचित्र <math>G</math> में क्रियाशील होनी चाहिए। विहित समरूपता <math>\operatorname{ev}_G</math> पर <math>x\in G</math> परिभाषित की गयी है; जो इस प्रकार है :
 <math display="block"> \operatorname{ev}_G(x)(\chi) = \chi(x) \in\mathbb{T}. </math>
-वह है, <math display="block">\operatorname{ev}_G(x) : (\chi \mapsto \chi(x)).</math>
+अर्थात, <math display="block">\operatorname{ev}_G(x) : (\chi \mapsto \chi(x)).</math>
-दूसरे शब्दों में, प्रत्येक समूह तत्व <math>x</math> दोहरे पर मूल्यांकन चरित्र की पहचान की जाती है। यह एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष]] और इसके दोहरे दोहरे के बीच दोहरे-द्वैत में दोहरे स्थान # इंजेक्शन के समान है, <math>V \cong V^{**}</math>, और यह ध्यान देने योग्य है कि कोई भी सदिश स्थान <math>V</math> एबेलियन समूह है। अगर <math>G</math> एक परिमित एबेलियन समूह है, तब <math>G \cong \widehat{G}</math> लेकिन यह समरूपता विहित नहीं है। इस कथन को सटीक (सामान्य रूप से) बनाने के लिए न केवल समूहों पर, बल्कि समूहों के बीच नक्शों पर भी दोहरीकरण के बारे में सोचने की आवश्यकता है, ताकि दोहरीकरण को एक [[ऑपरेटर]] के रूप में माना जा सके और पहचान फ़ैक्टर को साबित किया जा सके और डुअलाइज़ेशन फ़ंक्टर स्वाभाविक रूप से समकक्ष नहीं हैं। साथ ही द्वैत प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी समूह के लिए (जरूरी नहीं कि परिमित हो) द्वैतकरण फ़ंक्टर एक सटीक फ़ंक्टर है।
+दूसरे शब्दों में, प्रत्येक समूह तत्व <math>x</math> की पहचान द्विक पर मूल्यांकन वर्ण से की जाती है। यह एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष|परिमित-आयामी सदिश स्थान]] और इसके द्विक दोहरे, <math>V \cong V^{**}</math> के मध्य विहित समरूपता के समान है, और यह उल्लेखनीय है कि कोई भी सदिश स्थान <math>V</math> एक एबेलियन समूह है। यदि <math>G</math> एक परिमित एबेलियन समूह है, तब <math>G \cong \widehat{G}</math> होगा, परन्तु यह समरूपता विहित नहीं है। इस कथन को सटीक (सामान्य रूप से) बनाने के लिए न केवल समूहों पर, बल्कि समूहों के मध्य प्रतिचित्रो पर भी द्वैतीकरण के विषय में विचार करने की आवश्यकता है, ताकि द्वैतीकरण को एक [[ऑपरेटर|प्रकार्यक]] के रूप में माना जा सके और पहचान प्रकार्यक को प्रमाणित किया जा सके और द्वैतीकरण प्रकार्यक स्वाभाविक रूप से समकक्ष नहीं हैं। साथ ही द्विविधता प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी समूह के लिए (आवश्यक नहीं कि परिमित हो) द्वैतीकरण प्रकार्यक एक सटीक प्रकार्यक है।
-== पोंट्रीगिन द्वैत और फूरियर रूपांतरण ==
+== पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और फूरियर रूपांतरण ==
-=== उसका नाप ===
+=== हार आकलनक ===
-{{main|Haar measure}}
+{{main|हार मापक}}
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के बारे में सबसे उल्लेखनीय तथ्यों में से एक <math>G</math> यह है कि यह एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्राकृतिक [[उपाय (गणित)]], हार उपाय करता है, जो किसी को पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय के आकार को लगातार मापने की अनुमति देता है <math>G</math>. पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय का अर्थ है [[बोरेल सेट]]; अर्थात्, कॉम्पैक्ट सेट द्वारा उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का एक तत्व। अधिक सटीक रूप से, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर एक सही हार उपाय <math>G</math> के बोरेल सेट पर परिभाषित एक योगात्मक योगात्मक उपाय है <math>G</math> जो इस अर्थ में सही अपरिवर्तनीय है {{math|1=μ(''Ax'') = μ(''A'')}} के लिए <math>x</math> का एक तत्व <math>G</math> और <math>A</math> का एक बोरेल सबसेट <math>G</math> और नियमितता की कुछ शर्तों को भी पूरा करता है (हार उपाय पर लेख में विस्तार से बताया गया है)। सकारात्मक स्केलिंग कारकों को छोड़कर, हार माप पर <math>G</math> निराला है।
+स्थानतः सुसंहत समूह के विषय में सबसे उल्लेखनीय तथ्यों में से एक <math>G</math> है, यह एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्राकृतिक [[उपाय (गणित)|आकलन]] और हार आकलन, जो किसी को पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय <math>G</math> के आकार को निरंतर आकलनने की अनुमति देता है। पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय का अर्थ है कि यहां एक [[बोरेल सेट|बोरेल समूह]] है, अर्थात्, सुसंहत समूह द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणितीय का एक तत्व है। अधिक सटीक रूप से, स्थानतः सुसंहत समूह पर एक सटीक हार आकलन <math>G</math> के बोरेल समूह पर परिभाषित एक योज्य आकलन μ है, <math>G</math> जो इस अर्थ में सटीक अपरिवर्तनीय है; {{math|1=μ(''Ax'') = μ(''A'')}} के लिए <math>x</math> का एक तत्व <math>G</math> और <math>A</math> का एक बोरेल उपसमुच्चय <math>G</math> और नियमितता की कुछ प्रतिबंधों को भी पूर्ण करता है (हार आकलन पर लेख में विस्तार से बताया गया है)। सकारात्मक क्रम गणक कारकों को छोड़कर, हार आकलन  <math>G</math> पर अनुपम है।
-हार नाप रहा है <math>G</math> हमें समूह पर परिभाषित बोरेल कार्यों ([[जटिल संख्या]]-मूल्यवान) के लिए [[अभिन्न]] की धारणा को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, कोई व्यक्ति विभिन्न Lp स्पेस #Lp स्पेस और Lebesgue इंटीग्रल्स|L पर विचार कर सकता है<sup>p</sup> हार से संबंधित रिक्त स्थान μ मापते हैं। विशेष रूप से,
+हार आकलन रहा है कि <math>G</math> हमें समूह पर परिभाषित ([[जटिल संख्या]]-मूल्यवान) बोरेल कार्यों के लिए [[अभिन्न]] की धारणा को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, कोई हार आकलन μ से जुड़े विभिन्न ''L<sup>p</sup>'' स्थानो पर विचार कर सकते है। विशेष रूप से,
 <math display="block"> \mathcal L^p_\mu(G) = \left  \{ (f: G \to \Complex) \ \Big| \ \int_G |f(x)|^p\ d \mu(x) < \infty \right \}. </math>
-ध्यान दें, चूंकि कोई भी दो हार पर उपाय करता है <math>G</math> एक स्केलिंग कारक के बराबर हैं, यह <math>L^p</math>-अंतरिक्ष हार माप की पसंद से स्वतंत्र है और इस प्रकार शायद इसे लिखा जा सकता है <math>L^p(G)</math>. हालांकि <math>L^p</math>-इस स्थान पर मानदंड हार माप की पसंद पर निर्भर करता है, इसलिए यदि कोई आइसोमेट्री के बारे में बात करना चाहता है तो उपयोग किए जा रहे हार माप का ट्रैक रखना महत्वपूर्ण है।
+ध्यान दें, चूंकि कोई भी दो हार पर आकलन करता है, <math>G</math> एक क्रम गणक कारक के समान हैं, यह <math>L^p</math>- स्थान हार आकलन के चयन से स्वतंत्र है और इस प्रकार सम्भवतः इसे <math>L^p(G)</math> लिखा जा सकता है, हालांकि <math>L^p</math>-इस स्थान पर मानदंड हार आकलन के चयन पर निर्भर करता है, इसलिए यदि कोई समदूरीकता के विषय में विचार विमर्श करना चाहते है तो उपयोग किए जा रहे हार आकलन का पथानुसरण रखना महत्वपूर्ण है।
-=== एल के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर उलटा सूत्र<sup>1</sup>-फंक्शन ===
+=== ''L''<sup>1</sup> - प्रकार्य के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र ===
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह के दोहरे समूह का उपयोग फूरियर रूपांतरण के सार संस्करण के लिए अंतर्निहित स्थान के रूप में किया जाता है। अगर <math>f \in L^1(G)</math>, तो फूरियर रूपांतरण कार्य है <math>\widehat f</math> पर <math>\widehat{G}</math> द्वारा परिभाषित
+स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के द्विक समूह का उपयोग फूरियर रूपांतरण के सार संस्करण के लिए अंतर्निहित स्थान के रूप में किया जाता है। यदि <math>f \in L^1(G)</math>, तो फूरियर रूपांतरण कार्य <math>\widehat f</math> पर <math>\widehat{G}</math> द्वारा परिभाषित है:
 <math display="block"> \widehat f(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\ d\mu(x),</math>
-जहां इंटीग्रल हार माप के सापेक्ष है <math>\mu</math> पर <math>G</math>. यह भी बताया गया है <math>(\mathcal{F}f)(\chi)</math>. ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण हार माप की पसंद पर निर्भर करता है। यह दिखाना बहुत मुश्किल नहीं है कि फूरियर एक का रूपांतरण करता है <math>L^1</math> समारोह चालू <math>G</math> पर एक परिबद्ध सतत फलन है <math>\widehat{G}</math> जो [[रीमैन-लेबेस्गु लेम्मा]] है।
+जहां पूर्णांकी हार आकलन के <math>\mu</math> पर <math>G</math> सापेक्ष है, और यह भी <math>(\mathcal{F}f)(\chi)</math> निरूपित है। ध्यान दें, कि फूरियर रूपांतरण हार आकलन के चयन पर निर्भर करता है। यह आलोकन बहुत कठिन नहीं है कि फूरियर एक <math>L^1</math> का रूपांतरण करता है, और कार्य चालू है। <math>G</math> पर एक परिबद्ध सतत फलन <math>\widehat{G}</math> है, जो [[रीमैन-लेबेस्गु लेम्मा|अनंत पर विलुप्त हो जाता]] है।
-{{math theorem | name = Fourier Inversion Formula for <math>L^1</math>-Functions | math_statement = For each Haar measure <math>\mu</math> on <math>G</math> there is a unique Haar measure <math>\nu</math> on <math>\widehat{G}</math> such that whenever <math>f \in L^1(G)</math> and <math>\widehat f \in L^1\left(\widehat{G}\right)</math>, we have <math display="block"> f(x) = \int_{\widehat{G}} \widehat f(\chi)\chi(x)\ d\nu(\chi) \qquad \mu\text{-almost everywhere} </math>
+{{math theorem | name = Fourier Inversion Formula for <math>L^1</math>-Functions | math_statement = प्रत्येक हार आकलन के लिए <math>\mu</math> on <math>G</math> एक विशिष्ट हार आकलन है <math>\nu</math> पर <math>\widehat{G}</math>
-If <math>f</math> is continuous then this identity holds for all <math>x</math>.}}
+ऐसा कि जब भी <math>f \in L^1(G)</math> और <math>\widehat f \in L^1\left(\widehat{G}\right)</math>, हमें प्राप्त है <math display="block"> f(x) = \int_{\widehat{G}} \widehat f(\chi)\chi(x)\ d\nu(\chi) \qquad \mu\text{-almost everywhere} </math> यदि <math>f</math> निरंतर है तो यह पहचान सभी के लिए  <math>x</math> है।}}
-एक समाकलनीय फलन का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण <math>\widehat{G}</math> द्वारा दिया गया है
+एक समाकलनीय फलन का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण <math>\widehat{G}</math> द्वारा दिया गया है;
 <math display="block"> \check{g} (x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi) \chi(x)\ d\nu(\chi),</math>
-जहां इंटीग्रल हार माप के सापेक्ष है <math>\nu</math> दोहरे समूह पर <math>\widehat{G}</math>. पैमाना <math>\nu</math> पर <math>\widehat{G}</math> जो फूरियर व्युत्क्रम सूत्र में प्रकट होता है उसे पुशफॉरवर्ड माप कहा जाता है <math>\mu</math> और निरूपित किया जा सकता है <math>\widehat{\mu}</math>.
+जहां पूर्णांकी हार आकलन के सापेक्ष <math>\nu</math> है, और द्विक समूह <math>\widehat{G}</math> पर आकलन <math>\nu</math> पर <math>\widehat{G}</math> जो फूरियर व्युत्क्रम सूत्र में प्रकट होता है। जिसे द्विक आकलन कहा जाता है, जहां <math>\mu</math> और <math>\widehat{\mu}</math> को निरूपित किया जा सकता है।
-विभिन्न फूरियर रूपांतरणों को उनके डोमेन और रूपांतरण डोमेन (समूह और दोहरे समूह) के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है (ध्यान दें कि <math>\mathbb T</math> मंडल समूह है):
+विभिन्न फूरियर रूपांतरणों को उनके कार्यक्षेत्र और रूपांतरण कार्यक्षेत्र (समूह और द्विक समूह) के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है (ध्यान दें कि एक <math>\mathbb T</math> चक्रीय समूह है):
 {| class="wikitable" style="text-align:center;"
-! Transform !! Original domain, <math> G </math>!! Transform domain, <math> \hat{G} </math>!! Measure, <math> \mu </math>
+! रूपांतरण !! वास्तविक कार्यक्षेत्र, <math> G </math>!! रूपांतरण कार्यक्षेत्र, <math> \hat{G} </math>!! आकलनक, <math> \mu </math>
 |-
-| Fourier transform || <math>\R</math> || <math>\R</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Lebesgue measure}</math>
+| फूरियर रूपांतरण || <math>\R</math> || <math>\R</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Lebesgue measure}</math>
 |-
-| [[Fourier series]] || <math>\mathbb{T}</math> || <math>\Z</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Lebesgue measure}</math>
+| [[Fourier series|फूरियर श्रृंखला]] || <math>\mathbb{T}</math> || <math>\Z</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Lebesgue measure}</math>
 |-
-| [[Discrete-time Fourier transform]] (DTFT) || <math>\Z</math> || <math>\mathbb{T}</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Counting measure}</math>
+| [[Discrete-time Fourier transform|असंतत-समय फूरियर रूपांतरण]] (DTFT) || <math>\Z</math> || <math>\mathbb{T}</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Counting measure}</math>
 |-
-| [[Discrete Fourier transform]] (DFT) || <math>\Z_n</math>|| <math>\Z_n</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Counting measure}</math>
+| [[Discrete Fourier transform|असंतत फूरियर रूपांतरण]] (DFT) || <math>\Z_n</math>|| <math>\Z_n</math> || <math>\text{Constant} \times \text{Counting measure}</math>
 |}
-उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए <math>G = \R^n</math>, ताकि हम सोच सकें <math>\widehat{G}</math> जैसा <math>\R^n</math> जोड़ी द्वारा <math>(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}.</math> अगर <math>\mu</math> यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर लेबेस्ग माप है, हम सामान्य फूरियर रूपांतरण प्राप्त करते हैं <math>\R^n</math> और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र के लिए आवश्यक दोहरी माप है <math>\widehat{\mu} = (2\pi)^{-n}\mu</math>. यदि हम दोनों पक्षों पर समान माप के साथ फूरियर व्युत्क्रम सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं (अर्थात, चूंकि हम इसके बारे में सोच सकते हैं <math>\R^n</math> इसकी अपनी दोहरी जगह के रूप में हम मांग सकते हैं <math>\widehat{\mu}</math> बराबर करने के लिए <math>\mu</math>) तो हमें उपयोग करने की आवश्यकता है
+उदाहरण के लिए, मान लीजिए <math>G = \R^n</math>, ताकि हम विचार सकें कि <math>\widehat{G}</math> के रूप में <math>\R^n</math> युगलन द्वारा <math>(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}</math> परिभाषित है। यदि <math>\mu</math> यूक्लिडियन स्थान पर लेबेस्ग आकलन है, तो हम सामान्य फूरियर रूपांतरण <math>\R^n</math> प्राप्त करते हैं और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र के लिए आवश्यक द्विक आकलन <math>\widehat{\mu} = (2\pi)^{-n}\mu</math> है। यदि हम दोनों पक्षों पर समान आकलनों के साथ फूरियर व्युत्क्रम सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं (अर्थात, चूंकि हम इसके विषय में विचार कर सकते हैं, कि <math>\R^n</math> को इसके द्विक स्थान के रूप में हम याचना कर सकते हैं, और <math>\widehat{\mu}</math> के समान करने के लिए <math>\mu</math>) तो हमें उपयोग करने की आवश्यकता होती है;
 <math display="block">\begin{align}
              \mu &= (2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \times \text{Lebesgue measure} \\
    \widehat{\mu} &= (2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \times \text{Lebesgue measure}
 \end{align}</math>
-हालाँकि, अगर हम अपनी पहचान के तरीके को बदलते हैं <math>\R^n</math> इसके दोहरे समूह के साथ, पेयरिंग का उपयोग करके
+हालाँकि, यदि युगलन का उपयोग करके इसके द्विक समूह <math>\R^n</math>के साथ सर्वसमिकाओ की स्थिति को परिवर्तित करते हैं:
 <math display="block">(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{2\pi i \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}},</math>
-फिर लेबेसेग उपाय <math>\R^n</math> अपने स्वयं के दोहरे माप के बराबर है। यह सम्मेलन के कारकों की संख्या को कम करता है <math>2\pi</math> जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर फूरियर रूपांतरण या व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण की गणना करते समय विभिन्न स्थानों पर दिखाई देता है। (असल में यह सीमित करता है <math>2\pi</math> अभिन्न चिह्न के बाहर एक पूर्व-कारक के बजाय केवल प्रतिपादक के लिए।) ध्यान दें कि पहचान कैसे करें <math>\R^n</math> अपने दोहरे समूह के साथ स्व-दोहरी कार्य शब्द के अर्थ को प्रभावित करता है, जो एक कार्य है <math>\R^n</math> अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के बराबर: शास्त्रीय जोड़ी का उपयोग करना <math>(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}</math> कार्यक्रम <math>e^{-\frac{1}{2} x^2}</math> स्वयं द्वैत है। लेकिन जोड़ी का उपयोग करना, जो पूर्व-कारक को एकता के रूप में रखता है, <math>(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{2\pi i \mathbf v \cdot \mathbf w}</math> बनाता है <math>e^{-\pi x^2}</math> इसके बजाय स्व-दोहरी। फूरियर रूपांतरण के लिए इस दूसरी परिभाषा का लाभ यह है कि यह गुणात्मक पहचान को संकल्प पहचान के लिए मैप करता है, जो उपयोगी है <math>L^1</math> एक कनवल्शन बीजगणित है। #The Group बीजगणित पर अगला भाग देखें। इसके अलावा, यह फॉर्म भी आवश्यक रूप से आइसोमेट्रिक है <math>L^2</math> रिक्त स्थान। नीचे देखें #Plancherel और L2 फूरियर उलटा प्रमेय |Plancherel और L<sup>2</sup> फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय।
+पुनः लेबेसेग आकलन <math>\R^n</math>अपने स्वतः के द्विक आकलन के समान है। यह सम्मेलन के <math>2\pi</math> कारकों की संख्या को कम करता है, जो यूक्लिडियन स्थान पर फूरियर रूपांतरण या व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण की गणना करते समय विभिन्न स्थानों पर, (वास्तव में यह सीमित करता है, कि <math>2\pi</math> केवल घातांक के बदले अभिन्न चिह्न के बाहर एक पूर्व-कारक के रूप में) दिखाई देते है। ध्यान दें कि पहचान करने के माध्यम का विकल्प <math>\R^n</math> अपने द्विक समूहों के साथ "स्वतः-द्विक कार्य" शब्दों के अर्थ को प्रभावित करता है, जो एक कार्य <math>\R^n</math> है, अपने स्वतः के फूरियर रूपांतरण के समान: पारम्परिक युगलन का उपयोग करना <math>(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}</math> प्रकार्य <math>e^{-\frac{1}{2} x^2}</math> स्वतः द्विविधता है। परन्तु युगलन का उपयोग करना जो पूर्व-कारक को एकता के रूप में , <math>(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{2\pi i \mathbf v \cdot \mathbf w}</math> इसके बदले स्व-द्विक <math>e^{-\pi x^2}</math>बनाता है। फूरियर रूपांतरण के लिए इस दूसरी परिभाषा का लाभ यह है कि यह गुणात्मक पहचान को संकल्प पहचान के लिए प्रतिचित्र करता है, जो उपयोगी है, और <math>L^1</math> एक संवलयी बीजगणितीय है। इसके अतिरिक्त, यह फॉर्म भी आवश्यक रूप से  <math>L^2</math> रिक्त स्थान सममितीय है।
-=== समूह बीजगणित ===
+=== समूह बीजगणितीय ===
-{{main|Group algebra of a locally compact group}}
+{{main|स्थानीय रूप से सुसंहत समूह का समूह बीजगणितीय}}
-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह पर पूर्णांक कार्यों का स्थान <math>G</math> एक [[बीजगणित]] है, जहाँ गुणन कनवल्शन है: दो पूर्णांक कार्यों का कनवल्शन <math>f</math> और <math>g</math> परिभाषित किया जाता है
+स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह पर पूर्णांक कार्यों का स्थान <math>G</math> एक [[बीजगणित|बीजगणितीय]]  है, जहाँ गुणन संवलयी है: दो पूर्णांक कार्यों का संवलयी <math>f</math> और <math>g</math> के रूप में परिभाषित किया जाता है:
 <math display="block"> (f  *  g)(x) = \int_G f(x - y) g(y)\ d \mu(y).</math>
-{{math theorem | math_statement = The Banach space <math>L^1(G)</math> is an associative and commutative algebra under convolution.}}
+{{math theorem | math_statement = बनच-समष्‍टि <math>L^1(G)</math> दृढ़ संकल्प के अंतर्गत एक साहचर्य और क्रमविनिमेय बीजगणितीय है।}}
-इस बीजगणित को समूह बीजगणित कहा जाता है <math>G</math>. फ़ुबिनी के प्रमेय के अनुसार|फ़ुबिनी-टोनेली प्रमेय के अनुसार कनवल्शन सबमल्टीप्लिकेटिव है <math>L^1</math> मानदंड, बनाना <math>L^1(G)</math> एक [[बनच बीजगणित]]। बनच बीजगणित <math>L^1(G)</math> यदि और केवल यदि गुणक पहचान तत्व है <math>G</math> एक असतत समूह है, अर्थात् कार्य जो पहचान पर 1 है और कहीं और शून्य है। सामान्य तौर पर, हालांकि, इसकी एक [[अनुमानित पहचान]] होती है जो एक शुद्ध (या सामान्यीकृत अनुक्रम) है <math>\{e_i\}_{i \in I}</math> एक निर्देशित सेट पर अनुक्रमित <math>I</math> ऐसा है कि <math> f  *  e_i \to f. </math>
+इस बीजगणितीय को समूह बीजगणितीय <math>G</math> कहा जाता है। फ़ुबिनी के प्रमेय के अनुसार संवलयी एक उप गुणक <math>L^1</math>है, जिसके संबंध में मानदंड <math>L^1(G)</math> एक बनच बीजगणितीय है। एक बनच बीजगणितीय <math>L^1(G)</math> में गुणात्मक पहचान तत्व है,यदि और केवल यदि <math>G</math> एक असतत समूह है, अर्थात् कार्य जो पहचान पर 1 है और कहीं शून्य है। सामान्यतः, हालांकि, इसकी एक [[अनुमानित पहचान]] होती है जो एक शुद्ध (या सामान्यीकृत अनुक्रम) <math>\{e_i\}_{i \in I}</math> है। एक निर्देशित समूह पर अनुक्रमित <math>I</math> ऐसा है कि <math> f  *  e_i \to f. </math>
-फूरियर रूपांतरण कनवल्शन को गुणन में ले जाता है, अर्थात यह एबेलियन बनच बीजगणित का एक समरूपता है <math>L^1(G) \to C_0\left(\widehat{G}\right)</math> (आदर्श ≤ 1):
+फूरियर रूपांतरण संवलयी को गुणन में ले जाता है, अर्थात यह एबेलियन बनच बीजगणितीय का एक समरूपता <math>L^1(G) \to C_0\left(\widehat{G}\right)</math> (आदर्श ≤ 1) है:
 <math display="block"> \mathcal{F}( f  *  g)(\chi) = \mathcal{F}(f)(\chi) \cdot \mathcal{F}(g)(\chi).</math>
-विशेष रूप से, प्रत्येक समूह के चरित्र पर <math>G</math> द्वारा परिभाषित समूह बीजगणित पर एक अद्वितीय गुणात्मक रैखिक कार्यात्मक से मेल खाता है
+विशेष रूप से, प्रत्येक समूह के स्वरूप पर <math>G</math> द्वारा परिभाषित समूह बीजगणितीय पर एक अद्वितीय गुणात्मक रैखिक कार्यात्मक के अनुरूप है;
 <math display="block"> f \mapsto \widehat{f}(\chi).</math>
-समूह बीजगणित की यह एक महत्वपूर्ण संपत्ति है कि ये समूह बीजगणित पर गैर-तुच्छ (जो समान रूप से शून्य नहीं है) गुणात्मक रैखिक क्रियाओं के सेट को समाप्त करते हैं; की धारा 34 देखें {{harv|Loomis|1953}}. इसका मतलब है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म [[गेलफैंड ट्रांसफॉर्म]] का एक विशेष मामला है।
+एक समूह बीजगणितीय की यह एक महत्वपूर्ण विशेषता है कि ये समूह बीजगणितीय पर गैर-तुच्छ (जो समान रूप से शून्य नहीं है) गुणात्मक रैखिक क्रियाओं के समूह को सआकलन्त करते हैं; {{harv|लूमिस|1953}} की धारा 34 देखें। इसका अर्थ है कि फूरियर रूपांतरण [[गेलफैंड ट्रांसफॉर्म|गेलफैंड रूपांतरण]] की एक विशेष स्थिति है।
-=== प्लांचरेल और एल<sup>2</sup> फूरियर उलटा प्रमेय ===
+=== प्लांचरेल और ''L''<sup>2</sup> फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय ===
-जैसा कि हमने कहा है, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह का दोहरा समूह अपने आप में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह है और इस प्रकार एक हार उपाय है, या अधिक सटीक रूप से पैमाने से संबंधित हार उपायों का एक पूरा परिवार है।
+जैसा कि हमने कहा है, स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का द्विक समूह स्वतः में स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह है और इस प्रकार एक हार आकलन है, या अधिक सटीक रूप से पैमाने से संबंधित हार आकलनों का एक पूर्ण समूह है।
-{{math theorem | math_statement = Choose a Haar measure <math>\mu</math> on <math>G</math> and let <math>\nu</math> be the dual measure on <math>\widehat{G}</math> as defined above. If <math>f : G \to \Complex</math> is continuous with compact support then <math>\widehat{f} \in L^2\left(\widehat{G}\right)</math> and
+{{math theorem | math_statement = एक हार आकलन चयन करे <math>\mu</math> on <math>G</math> and let <math>\nu</math> द्विक आकलन पर <math>\widehat{G}</math> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है यदि <math>f : G \to \Complex</math> सुसंहत समर्थन के साथ निरंतर है <math>\widehat{f} \in L^2\left(\widehat{G}\right)</math> और
 <math display="block"> \int_G |f(x)|^2 \ d \mu(x) = \int_{\widehat{G}} \left|\widehat{f}(\chi)\right|^2 \ d \nu(\chi).</math>
-In particular, the Fourier transform is an <math>L^2</math> isometry from the complex-valued continuous functions of compact support on <math>G</math> to the <math>L^2</math>-functions on <math>\widehat{G}</math> (using the <math>L^2</math>-norm with respect to <math>\mu</math> for functions on <math>G</math> and the <math>L^2</math>-norm with respect to <math>\nu</math> for functions on <math>\widehat{G}</math>).}}
+विशेष रूप से, फूरियर रूपांतरण एक है <math>L^2</math> कॉम्पैक्ट समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों से समदूरीकता समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों से समदूरीकता <math>G</math> तक <math>L^2</math>-कार्य करता है <math>\widehat{G}</math> (का उपयोग <math>L^2</math>- मानदंड के संबंध में <math>\mu</math> कार्यों के लिए <math>G</math> और <math>L^2</math>- मानदंड के संबंध में  <math>\nu</math> कार्यों के लिए <math>\widehat{G}</math>)।}}
-कॉम्पैक्ट समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों के बाद से <math>G</math> हैं <math>L^2</math>-सघन, उस स्थान से एकात्मक संचालिका में फूरियर रूपांतरण का एक अनूठा विस्तार है
+सुसंहत समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों के पश्चात से <math>G</math> हैं, <math>L^2</math>-सघन, उस स्थान से एकात्मक संचालिका में फूरियर रूपांतरण का एक विशिष्ट विस्तार है;
 <math display="block"> \mathcal{F}: L^2_\mu(G) \to L^2_\nu\left(\widehat{G}\right).</math>
-और हमारे पास सूत्र है
+और हमारे पास सूत्र है;
 <math display="block"> \forall f \in L^2(G): \quad \int_G |f(x)|^2 \ d \mu(x) = \int_{\widehat{G}} \left|\widehat{f}(\chi)\right|^2 \ d \nu(\chi).</math>
-ध्यान दें कि गैर-कॉम्पैक्ट स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के लिए <math>G</math> अंतरिक्ष <math>L^1(G)</math> शामिल नहीं है <math>L^2(G)</math>, इसलिए फूरियर सामान्य का रूपांतरण करता है <math>L^2</math>-कार्य चालू है <math>G</math> किसी भी प्रकार के एकीकरण सूत्र (या वास्तव में किसी स्पष्ट सूत्र) द्वारा नहीं दिया गया है। परिभाषित करने के लिए <math>L^2</math> फूरियर रूपांतरण में किसी को कुछ तकनीकी तरकीबों का सहारा लेना पड़ता है जैसे घने उप-स्थान पर शुरू करना जैसे कि कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्य और फिर पूरे अंतरिक्ष में निरंतरता द्वारा आइसोमेट्री का विस्तार करना। फूरियर रूपांतरण का यह एकात्मक विस्तार वर्ग समाकलनीय कार्यों के स्थान पर फूरियर रूपांतरण से हमारा तात्पर्य है।
+ध्यान दें कि गैर-सुसंहत स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए <math>G</math> स्थान <math>L^1(G)</math> में <math>L^2(G)</math> सम्मिलित नहीं है, इसलिए फूरियर सामान्य का <math>L^2</math>-प्रकार्य रूपांतरण करता है। <math>G</math> किसी भी प्रकार के एकीकरण सूत्र (या वास्तव में किसी स्पष्ट सूत्र) द्वारा नहीं दिया गया है। <math>L^2</math> को परिभाषित करने के लिए फूरियर रूपांतरण में किसी को कुछ प्रावैधिक योजना की सहायता लेनी पड़ती है, जैसे सुसंहत समर्थनों के साथ के साथ निरंतर कार्यों जैसे घने उप-स्थान पर प्रारम्भ करना और पुनः पूरे स्थान में निरंतरता द्वारा समदूरीकता का विस्तार करना है। फूरियर रूपांतरण का यह एकात्मक विस्तार वर्ग समाकलनीय कार्यों के स्थान पर फूरियर रूपांतरण से तात्पर्य है।
-दोहरे समूह में अपने आप में एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण भी होता है; इसे व्युत्क्रम (या आसन्न, क्योंकि यह एकात्मक है) के रूप में चित्रित किया जा सकता है <math>L^2</math> फूरियर रूपांतरण। यह की सामग्री है <math>L^2</math> फूरियर उलटा सूत्र जो इस प्रकार है।
+द्विक समूह स्वतः में एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण भी होता है; इसे व्युत्क्रम (या आसन्न, क्योंकि यह एकात्मक है) <math>L^2</math>फूरियर रूपांतरण के रूप में चित्रित किया जा सकता है। यह <math>L^2</math>की तृप्ति है, और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र जो इस प्रकार है।
-{{math theorem | math_statement = The adjoint of the Fourier transform restricted to continuous functions of compact support is the inverse Fourier transform
+{{math theorem | math_statement = सुसंहत समर्थन के निरंतर कार्यों के लिए प्रतिबंधित फूरियर रूपांतरण का युगलन व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण है।
 <math display="block"> L^2_\nu\left(\widehat{G}\right) \to L^2_\mu(G) </math>
-where <math>\nu</math> is the dual measure to <math>\mu</math>.}}
+जहाँ <math>\nu</math>, <math>\mu</math> का द्विक माप है।}}
-यदि <math>G = \mathbb{T}</math> द्वैत समूह <math>\widehat{G}</math> पूर्णांकों के समूह के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है <math>\Z</math> और फूरियर रूपांतरण आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना करने में माहिर है।
+यदि <math>G = \mathbb{T}</math> द्विविधता समूह <math>\widehat{G}</math> पूर्णांकों के समूह के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपीय <math>\Z</math> है और फूरियर रूपांतरण आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना करने में प्रवीण है।
-अगर <math>G</math> एक परिमित समूह है, हम असतत फूरियर रूपांतरण को पुनः प्राप्त करते हैं। ध्यान दें कि इस मामले को सीधे साबित करना बहुत आसान है।
+यदि <math>G</math> एक परिमित समूह है, तो हम असतत फूरियर रूपांतरण को पुनः प्राप्त करते हैं। ध्यान दें कि इस स्थिति को सीधे प्रमाणित करना बहुत सरल है।
-== बोह्र संघनन और लगभग-आवधिकता ==
+== बोह्र संघनन और प्रायः आवधिकता ==
-<!-- This section is linked from [[Discrete space]] -->
+<!-- यह खंड [[असतत स्थान]] से जुड़ा हुआ है -->
-पोंट्रीगिन द्वैत का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग कॉम्पैक्ट एबेलियन टोपोलॉजिकल समूहों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन है:
+पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूहों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन है:
-{{math theorem | math_statement = A locally compact ''abelian'' group <math>G</math> is compact [[if and only if]] the dual group <math>\widehat{G}</math> is discrete. Conversely, <math>G</math> is discrete if and only if <math>\widehat{G}</math> is compact.}}
+{{math theorem | math_statement = एक स्थानीय रूप से सुसंहत ''एबेलियन'' समूह <math>G</math> सुसंहत है [[अगर और केवल अगर]] द्विक समूह <math>\widehat{G}</math> असतत है। इसके विपरीत, <math>G</math> असतत है अगर और केवल अगर <math>\widehat{G}</math> सुसंहत है।}}
-वह <math>G</math> कॉम्पैक्ट होने का तात्पर्य है <math>\widehat{G}</math> असतत है या वह <math>G</math> असतत होने का तात्पर्य है <math>\widehat{G}</math> कॉम्पैक्ट है, कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी की परिभाषा का एक प्राथमिक परिणाम है <math>\widehat{G}</math> और पोंट्रीगिन द्वंद्व की आवश्यकता नहीं है। बातचीत को साबित करने के लिए एक पोंट्रीगिन द्वैत का उपयोग करता है।
+वह <math>G</math> सुसंहत होने का तात्पर्य है, और <math>\widehat{G}</math> असतत है या वह <math>G</math> असतत होने का तात्पर्य है, और <math>\widehat{G}</math> सुसंहत है, सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान की परिभाषा का एक प्राथमिक परिणाम है, <math>\widehat{G}</math> और पोन्ट्रियाजिन द्विविधता की आवश्यकता नहीं है। रूपांतरण को प्रमाणित करने के लिए एक पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का उपयोग किया जाता है।
-[[बोह्र संघनन]] को किसी भी सामयिक समूह के लिए परिभाषित किया गया है <math>G</math>, दोनों में से किसी की परवाह किये बिना <math>G</math> स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट या एबेलियन है। कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों और असतत एबेलियन समूहों के बीच पोंट्रीगिन द्वैत का एक उपयोग स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह के एक मनमाना एबेलियन के बोह्र कॉम्पैक्टिफिकेशन की विशेषता है। बोहर संघनन <math>B(G)</math> का <math>G</math> है <math>\widehat{H}</math>, जहाँ H की समूह संरचना है <math>\widehat{G}</math>, लेकिन असतत टोपोलॉजी दी। समावेशन मानचित्र के बाद से
+[[बोह्र संघनन]] को किसी भी सामयिक समूह <math>G</math> के लिए परिभाषित किया गया है, और दोनों में से किसी की उपेक्षा किये बिना <math>G</math> स्थानतः सुसंहत या एबेलियन है। सुसंहत एबेलियन समूहों और असतत एबेलियन समूहों के मध्य पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का उपयोग स्थानतः सुसंहत सांस्थितिक समूह का एक यादृच्छिक एबेलियन के बोह्र संघनन की विशेषता है। बोहर संघनन <math>B(G)</math> का <math>G</math>, <math>\widehat{H}</math> है, जहाँ H की समूह संरचना <math>\widehat{G}</math> है , परन्तु समावेशन मानचित्र के पश्चात से असतत संस्थितिविज्ञान दी गई है।
 <math display="block"> \iota: H \to \widehat{G} </math>
-निरंतर है और एक समरूपता, दोहरी आकृतिवाद
+एक समरूपता, और द्विक आकृतिवाद निरंतर है;
-<math display="block"> G \sim \widehat{\widehat{G}} \to \widehat{H} </math>	एक कॉम्पैक्ट समूह में एक रूपवाद है जिसे अपेक्षित [[सार्वभौमिक संपत्ति]] को संतुष्ट करने के लिए आसानी से दिखाया गया है।
+<math display="block"> G \sim \widehat{\widehat{G}} \to \widehat{H} </math>	एक सुसंहत समूह में एक रूपवाद है, जिसे अपेक्षित [[सार्वभौमिक विषेशता]] को संतुष्ट करने के लिए सरलता से दर्शाया गया है।
-{{See also|almost periodic function}}
+{{See also|लगभग आवधिक प्रकार्य}}
 == स्पष्ट विचार ==
-पोंट्रीगिन द्वैत को लाभप्रद रूप से कार्यात्मक रूप से भी माना जा सकता है। निम्नलिखित में, LCA स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों और निरंतर समूह समरूपता की [[श्रेणी (गणित)]] है। का दोहरा समूह निर्माण <math>\widehat{G}</math> एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर LCA → LCA है, जिसे सर्कल समूह द्वारा दर्शाया गया है (प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर के अर्थ में) <math>\mathbb{T}</math> जैसा <math>\widehat{G}= \text{Hom}(G, \mathbb{T}).</math> विशेष रूप से, डबल डुअल फंक्शनल <math>G \to \widehat{\widehat{G}}</math> सहपरिवर्ती है।
+पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को लाभप्रद और कार्यात्मक रूप से भी माना जा सकता है। निम्नलिखित में, LCA स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और निरंतर समूह समरूपता की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] है।  <math>\widehat{G}</math> का द्विक समूह निर्माण एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक LCA → LCA है, जिसे चक्रीय समूह <math>\mathbb{T}</math> जैसा <math>\widehat{G}= \text{Hom}(G, \mathbb{T})</math> द्वारा दर्शाया गया है, विशेष रूप से, द्विक दोहरे प्रकार्य <math>G \to \widehat{\widehat{G}}</math> सहसंयोजक है।
-पोंट्रीगिन द्वैत का एक स्पष्ट सूत्रीकरण तब बताता है कि 'LCA' पर पहचान फ़ैक्टर और डबल डुअल फ़ंक्टर के बीच [[प्राकृतिक परिवर्तन]] एक समरूपता है।{{sfn|Roeder|1974}} एक प्राकृतिक परिवर्तन की धारणा को खोलना, इसका मतलब है कि मानचित्र <math>G \to \operatorname {Hom}(\operatorname {Hom}(G, T), T)</math> किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह के लिए आइसोमोर्फिज्म हैं <math>G</math>, और ये समरूपताएँ क्रियात्मक हैं <math>G</math>. यह समरूपता परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के दोहरे दोहरे के अनुरूप है (वास्तविक और जटिल वेक्टर रिक्त स्थान के लिए एक विशेष मामला)।
+पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक स्पष्ट सूत्रीकरण तब बताता है कि 'LCA' पर पहचान प्रकार्यक और द्विक दोहरे प्रकार्यक के मध्य [[प्राकृतिक परिवर्तन]] एक समरूपता है।{{sfn|Roeder|1974}} एक प्राकृतिक परिवर्तन की धारणा को अनावलन करना, इसका अर्थ है कि मानचित्र <math>G \to \operatorname {Hom}(\operatorname {Hom}(G, T), T)</math> किसी भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के लिए समरूपता <math>G</math> हैं, और ये समरूपताएँ क्रियात्मक <math>G</math> हैं। यह समरूपता परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के द्विक दोहरे (वास्तविक और जटिल सदिश रिक्त स्थान के लिए एक विशेष स्थिति) के अनुरूप है।
-इस सूत्रीकरण का एक तात्कालिक परिणाम पोंट्रीगिन द्वैत का एक और सामान्य श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण है: दोहरी समूह फ़ंक्टर एलसीए से एलसीए की श्रेणियों का एक तुल्यता है<sup>ऑप</sup>।
+इस सूत्रीकरण का एक तात्कालिक परिणाम पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक और सामान्य श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण है: द्विक समूह प्रकार्यक LCA से  LCA<sup>op</sup> की श्रेणियों की एक तुल्यता है।
-द्वंद्व असतत समूहों और [[कॉम्पैक्ट समूह]]ों की उपश्रेणियों का आदान-प्रदान करता है। अगर <math>R</math> एक [[अंगूठी (गणित)]] है और <math>G</math> एक बायाँ है <math>R</math>-[[मॉड्यूल (गणित)]], दोहरा समूह <math>\widehat{G}</math> अधिकार बन जाएगा <math>R</math>-मापांक; इस तरह हम उस डिस्क्रीट लेफ्ट को भी देख सकते हैं <math>R</math>-मॉड्यूल पोंट्रीगिन डुअल टू कॉम्पैक्ट राइट होगा <math>R</math>-मॉड्यूल। अंगूठी <math>\text{End}(G)</math> एलसीए में एंडोमोर्फिज्म को द्वैत द्वारा इसके विपरीत रिंग में बदल दिया जाता है # दिए गए से नए रिंग का निर्माण (गुणन को दूसरे क्रम में बदलें)। उदाहरण के लिए, अगर <math>G</math> एक अनंत चक्रीय असतत समूह है, <math>\widehat{G}</math> एक वृत्त समूह है: पूर्व में है <math>\text{End}(G) = \Z</math> तो यह बाद के बारे में भी सच है।
+एक द्विविधता असतत समूहों और [[कॉम्पैक्ट समूह|सुसंहत समूहों]] की उपश्रेणियों का आदान-प्रदान करता है। यदि <math>R</math> एक [[अंगूठी (गणित)|वलय]], <math>G</math> एक वामपंथी और <math>R</math>-[[मॉड्यूल (गणित)|प्रतिरूपक]], और <math>R</math>-आकलनांक द्विक समूह <math>\widehat{G}</math> एक अधिकार बन जाएगा। इस प्रकार हम उस असतत वामपंथी <math>R</math>-प्रतिरूपक को भी देख सकते हैं, और <math>R</math>-प्रतिरूपक पोन्ट्रियाजिन दोहरे से सुसंहत दाएं होंगे। एक वलय <math>\text{End}(G)</math> एलसीए में अंतःरूपांतरण को द्विविधता द्वारा इसके विपरीत वलय में परिवर्तित कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि <math>G</math> एक अनंत चक्रीय असतत समूह है, <math>\widehat{G}</math> एक चक्रीय समूह है: पूर्व में <math>\text{End}(G) = \Z</math> तो यह बाद के विषयो में भी सत्य है।
 == सामान्यीकरण ==
-पोंट्रीगिन द्वैत के सामान्यीकरण दो मुख्य दिशाओं में निर्मित होते हैं: कम्यूटेटिव टोपोलॉजिकल समूहों के लिए जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह नहीं हैं, और गैर-अनुसूचित टोपोलॉजिकल समूहों के लिए। इन दोनों मामलों में सिद्धांत बहुत अलग हैं।
+पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सामान्यीकरण दो मुख्य दिशाओं में निर्मित होते हैं: क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए जो स्थानतः सुसंहत समूह नहीं हैं, और गैर-अनुसूचित सांस्थितिक समूहों के लिए निर्मित हैं। इन दोनों स्थितियों में सिद्धांत बहुत भिन्न हैं।
-=== क्रमविनिमेय सामयिक समूहों के लिए द्वैत ===
+=== क्रमविनिमेय सामयिक समूहों के लिए द्विविधता ===
-कब <math>G</math> हॉउसडॉर्फ एबेलियन सामयिक समूह है, समूह <math>\widehat{G}</math> कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के साथ हॉसडॉर्फ एबेलियन टोपोलॉजिकल ग्रुप और नेचुरल मैपिंग है <math>G</math> इसके दोहरे-दोहरे के लिए <math>\widehat{\widehat{G}}</math> समझ में आता है। यदि यह मानचित्रण एक समरूपता है, तो ऐसा कहा जाता है <math>G</math> पोंट्रीगिन द्वैत को संतुष्ट करता है (या वह <math>G</math> एक प्रतिवर्त समूह है,{{sfn|Onishchik|1984}} या एक चिंतनशील समूह{{sfn|Akbarov|Shavgulidze|2003}}). इस मामले से परे कई दिशाओं में इसे बढ़ाया गया है <math>G</math> स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है।{{sfn|Chasco|Dikranjan|Martín-Peinador|2012}}
+जब <math>G</math> एक हॉउसडॉर्फ एबेलियन सामयिक समूह है,  <math>\widehat{G}</math> सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान के साथ एक हॉसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह और नेचुरल प्रतिचित्वलय <math>G</math> है। इसके द्विक-दोहरे <math>\widehat{\widehat{G}}</math> के लिए समझ में आता है। यदि यह मानचित्रण एक समरूपता है, तो ऐसा कहा जाता है कि <math>G</math> पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को (या वह <math>G</math> एक प्रतिवर्त समूह है,{{sfn|Onishchik|1984}} या एक चिंतनशील समूह{{sfn|Akbarov|Shavgulidze|2003}})संतुष्ट करता है। इस स्थिति से परे कई दिशाओं में इसे बढ़ाया गया है, और <math>G</math> स्थानतः सुसंहत है।{{sfn|Chasco|Dikranjan|Martín-Peinador|2012}}
-विशेष रूप से, सैमुअल कपलान{{sfn|Kaplan|1948}}{{sfn|Kaplan|1950}} ने 1948 और 1950 में दिखाया कि मनमाना उत्पाद और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट (हॉसडॉर्फ) एबेलियन समूहों की गणनीय व्युत्क्रम सीमाएं पोंट्रीगिन द्वैत को संतुष्ट करती हैं। ध्यान दें कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट गैर-कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का अनंत उत्पाद स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।
+विशेष रूप से, सैमुअल कपलान{{sfn|Kaplan|1948}}{{sfn|Kaplan|1950}} ने 1948 और 1950 में दर्शाया है कि यादृच्छिक उत्पाद और स्थानतः सुसंहत (हॉसडॉर्फ) एबेलियन समूहों की गणनीय व्युत्क्रम सीमाएं पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं। ध्यान दें कि स्थानतः सुसंहत गैर-सुसंहत रिक्त स्थान का अनंत उत्पाद स्थानतः सुसंहत नहीं है।
-बाद में, 1975 में, रंगाचारी वेंकटरमन{{sfn|Venkataraman|1975}} ने दिखाया, अन्य तथ्यों के साथ, कि एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह का हर खुला उपसमूह जो पोंट्रीगिन द्वैत को संतुष्ट करता है, स्वयं पोंट्रीगिन द्वैत को संतुष्ट करता है।
+तत्पश्चात, 1975 में, रंगाचारी वेंकटरमन{{sfn|Venkataraman|1975}} ने, अन्य तथ्यों के साथ, दर्शाया कि एबेलियन सांस्थितिक समूह का प्रत्येक मुक्त उपसमूह जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और स्वतः पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करता है।
-अभी हाल ही में, सर्जियो अर्दंज़ा-ट्रेविजानो और मारिया जेसुज चास्को{{sfn|Ardanza-Trevijano|Chasco|2005}} ने ऊपर उल्लिखित कपलान के परिणामों को बढ़ा दिया है। उन्होंने दिखाया कि पोंट्रीगिन द्वैत को संतुष्ट करने वाले एबेलियन समूहों के अनुक्रमों की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम सीमाएं भी पोंट्रीगिन द्वैत को संतुष्ट करती हैं यदि समूह मेट्रिज़ेबल हैं या <math>k_\omega</math>-स्पेस लेकिन जरूरी नहीं कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हो, बशर्ते कुछ अतिरिक्त शर्तें अनुक्रमों से संतुष्ट हों।
+अभी हाल ही में, सर्जियो अर्दंज़ा-ट्रेविजानो और मारिया जेसुज चास्को{{sfn|Ardanza-Trevijano|Chasco|2005}} ने ऊपर उल्लिखित कपलान के परिणामों को बढ़ा दिया है। उन्होंने दर्शाया कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करने वाले एबेलियन समूहों के अनुक्रमों की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम सीमाएं भी पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं, यदि समूह मेट्रिज़ेबल हैं या <math>k_\omega</math>-स्थान परन्तु जरूरी नहीं कि स्थानतः सुसंहत हो, बशर्ते कुछ अतिरिक्त स्थिति अनुक्रमों से संतुष्ट हो सकती है।
-हालाँकि, एक मूलभूत पहलू है जो बदल जाता है अगर हम स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट मामले से परे पोंट्रीगिन द्वंद्व पर विचार करना चाहते हैं। ऐलेना मार्टिन-पीनाडोर{{sfn|Martín-Peinador|1995}} ने 1995 में साबित किया कि अगर <math>G</math> हॉउसडॉर्फ एबेलियन टोपोलॉजिकल समूह है जो पोंट्रीगिन द्वंद्व और प्राकृतिक मूल्यांकन जोड़ी को संतुष्ट करता है
+हालाँकि, एक मूलभूत अवस्था है जो परिवर्तित हो जाती है यदि हम स्थानतः सुसंहत स्थिति से परे पोन्ट्रियाजिन द्विविधता पर विचार करना चाहते हैं। ऐलेना मार्टिन-पीनाडोर{{sfn|Martín-Peinador|1995}} ने 1995 में प्रमाणित किया कि यदि <math>G</math> हॉउसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह है जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और प्राकृतिक मूल्यांकन युगलन को संतुष्ट करता है;
 <math display="block">\begin{cases} G \times \widehat{G} \to \mathbb{T} \\ (x, \chi) \mapsto \chi(x) \end{cases}</math>
-(संयुक्त रूप से) निरंतर है,{{efn|1=Joint continuousness means here that the map <math>G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}</math> is continuous as a map between topological spaces, where <math>G \times \widehat{G}</math> is endowed with the topology of cartesian product. This result does not hold if the map <math>G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}</math> is supposed to be separately continuous, or continuous in the [[Stereotype space#Universality of tensor product|stereotype sense]].}} तब <math>G</math> स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। एक परिणाम के रूप में, पोंट्रीगिन द्वैत के सभी गैर-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट उदाहरण ऐसे समूह हैं जहां जोड़ी बनती है <math>G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}</math> (संयुक्त रूप से) निरंतर नहीं है।
+(संयुक्त रूप से) निरंतर है,{{efn|1=Joint continuousness means here that the map <math>G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}</math> is continuous as a map between topological spaces, where <math>G \times \widehat{G}</math> is endowed with the topology of cartesian product. This result does not hold if the map <math>G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}</math> is supposed to be separately continuous, or continuous in the [[Stereotype space#Universality of tensor product|stereotype sense]].}} तब <math>G</math> स्थानतः सुसंहत है, परिणामस्वरूप, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सभी गैर-स्थानतः सुसंहत उदाहरण ऐसे समूह हैं जहां युगलन <math>G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}</math> बनती है, जो (संयुक्त रूप से) निरंतर नहीं है।
-कम्यूटेटिव टोपोलॉजिकल समूहों के व्यापक वर्गों के लिए पोंट्रीगिन द्वैत को सामान्य बनाने का एक और तरीका है, दोहरे समूह को समाप्त करना <math>\widehat{G}</math> थोड़ा अलग टोपोलॉजी के साथ, अर्थात् पूरी तरह से बंधे हुए स्थान पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी # अन्य संदर्भों में परिभाषाएँ। पहचान को संतुष्ट करने वाले समूह <math>G \cong \widehat{\widehat{G}}</math> इस धारणा के तहत{{efn|1=Where the second dual group <math>\widehat{\widehat{G}}</math> is dual to <math>\widehat{G}</math> in the same sense.}} स्टीरियोटाइप समूह कहलाते हैं।{{sfn|Akbarov|Shavgulidze|2003}} यह वर्ग भी बहुत विस्तृत है (और इसमें स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह शामिल हैं), लेकिन यह चिंतनशील समूहों के वर्ग की तुलना में संकीर्ण है।{{sfn|Akbarov|Shavgulidze|2003}}
+एक क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के व्यापक वर्गों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को सामान्य बनाने का एक और माध्यम है, द्विक समूह <math>\widehat{G}</math>  को थोड़ी अलग संस्थितिविज्ञान के साथ सआकलन्त करना, अर्थात् पूर्णतया बंधे हुए स्थान पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान हैं। पहचान को संतुष्ट करने वाले समूह <math>G \cong \widehat{\widehat{G}}</math> इस धारणा के अंतर्गत{{efn|1=Where the second dual group <math>\widehat{\widehat{G}}</math> is dual to <math>\widehat{G}</math> in the same sense.}} रूढि समूह कहलाते हैं।{{sfn|Akbarov|Shavgulidze|2003}} यह वर्ग भी बहुत विस्तृत है (और इसमें स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह सम्मिलित हैं), परन्तु यह चिंतनशील समूहों के वर्ग की तुलना में संकीर्ण है।{{sfn|Akbarov|Shavgulidze|2003}}
-=== टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के लिए पोंट्रीगिन द्वैत ===
+=== सांस्थितिक सदिश स्थान के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता ===
-में मैरिएन एफ। स्मिथ{{sfn|Smith|1952}} ने देखा कि [[बनच स्थान]] और [[ प्रतिवर्त स्थान ]], जिसे टोपोलॉजिकल ग्रुप (एडिटिव ग्रुप ऑपरेशन के साथ) माना जाता है, पोंट्रीगिन द्वंद्व को संतुष्ट करता है। बाद में बी.एस. ब्रुडोव्स्की,{{sfn|Brudovskiĭ|1967}} विलियम सी. वाटरहाउस{{sfn|Waterhouse|1968}} और के. ब्रूनर{{sfn|Brauner|1973}} ने दिखाया कि यह परिणाम सभी अर्ध-पूर्ण बरेल्ड रिक्त स्थान (विशेष रूप से, सभी फ्रेचेट रिक्त स्थान) के वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है। 1990 के दशक में सर्गेई अकबरोव{{sfn|Akbarov|2003}} ने टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के वर्ग का विवरण दिया जो शास्त्रीय पोंट्रीगिन रिफ्लेक्सीविटी की तुलना में एक मजबूत संपत्ति को संतुष्ट करता है, अर्थात् पहचान
+में मैरिएन एफ स्मिथ{{sfn|Smith|1952}} ने देखा कि [[बनच स्थान|बानाख-समष्‍टि]] और [[ प्रतिवर्त स्थान |स्वतुल्य समष्‍टि]], जिसे सांस्थितिक समूह (एडिटिव समूह कार्य प्रणाली के साथ) माने जाते है, जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करते है। बाद में बी.एस. ब्रुडोव्स्की,{{sfn|Brudovskiĭ|1967}} विलियम सी. वाटरहाउस{{sfn|Waterhouse|1968}} और के. ब्रूनर{{sfn|Brauner|1973}} ने दर्शाया कि यह परिणाम सभी अर्ध-पूर्ण बैरल स्थानों (विशेष रूप से, सभी फ्रेचेट रिक्त स्थान) के वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है। 1990 के दशक में सर्गेई अकबरोव{{sfn|Akbarov|2003}} ने सांस्थितिक सदिश रिक्त स्थान के वर्ग का विवरण दिया जो लौकिक पोन्ट्रियाजिन स्वतुल्यता की तुलना में एक सुदृढ़ विशेषताओं को संतुष्ट करती है;
-<math display="block">(X^\star)^\star\cong X</math> कहाँ <math>X^\star</math> का अर्थ है सभी रैखिक निरंतर कार्यात्मकताओं का स्थान <math>f \colon X \to \Complex</math> पूरी तरह से बंधे हुए सेटों पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>X</math> (और <math>(X^\star)^\star</math> का अर्थ है दोहरा <math>X^\star</math> उसी अर्थ में)। इस वर्ग के रिक्त स्थान को [[स्टीरियोटाइप स्पेस]] स्थान कहा जाता है, और संबंधित सिद्धांत को कार्यात्मक विश्लेषण और ज्यामिति में अनुप्रयोगों की एक श्रृंखला मिली, जिसमें गैर-कम्यूटेटिव टोपोलॉजिकल समूहों के लिए पोंट्रीगिन द्वंद्व का सामान्यीकरण शामिल है।
+<math display="block">(X^\star)^\star\cong X</math> जहां <math>X^\star</math> का अर्थ है सभी रैखिक निरंतर कार्यात्मकताओं का स्थान <math>f \colon X \to \Complex</math> पूर्णतया बंधे हुए समूहों पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान से संपन्न <math>X</math> (और <math>(X^\star)^\star</math> का अर्थ है दोहरा <math>X^\star</math> उसी अर्थ में) इस वर्ग के रिक्त स्थान को [[स्टीरियोटाइप स्पेस|स्वतुल्य समष्‍टि]] कहा जाता है, और संबंधित सिद्धांत को कार्यात्मक विश्लेषण और ज्यामिति में अनुप्रयोगों की एक श्रृंखला मिली, जिसमें गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का सामान्यीकरण सम्मिलित है।
-=== गैर-कम्यूटेटिव टोपोलॉजिकल समूहों के लिए द्वैत ===
+=== गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए द्विविधता ===
-गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के लिए <math>G</math> शास्त्रीय पोंट्रीगिन निर्माण विभिन्न कारणों से काम करना बंद कर देता है, विशेष रूप से, क्योंकि पात्र हमेशा बिंदुओं को अलग नहीं करते हैं <math>G</math>, और का अलघुकरणीय निरूपण <math>G</math> हमेशा एक आयामी नहीं होते। साथ ही यह स्पष्ट नहीं है कि इरेड्यूसिबल एकात्मक निरूपण के सेट पर गुणन का परिचय कैसे दिया जाए <math>G</math>, और यह भी स्पष्ट नहीं है कि क्या यह सेट दोहरी वस्तु की भूमिका के लिए एक अच्छा विकल्प है <math>G</math>. अतः इस स्थिति में द्वैत निर्माण की समस्या पर पूर्ण पुनर्विचार की आवश्यकता है।
+गैर-क्रमविनिमेय स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए <math>G</math> शास्त्रीय पोन्ट्रियाजिन निर्माण विभिन्न कारणों से कार्य करना बंद कर देता है, विशेष रूप से, क्योंकि स्थितियां सदैव <math>G</math> बिंदुओं को अलग नहीं करती हैं, और अलघुकरणीय निरूपण <math>G</math> सदैव आयामी नहीं होते हैं। साथ ही यह स्पष्ट नहीं है कि अलघुकरणीय एकात्मक निरूपण के समूह पर गुणन <math>G</math> का परिचय कैसे दिया जाए, और यह भी स्पष्ट नहीं है कि क्या यह समूह द्विक वस्तु <math>G</math> की भूमिका के लिए एक अच्छा विकल्प है, अतः इस स्थिति में द्विविधता निर्माण की समस्या पर पूर्ण पुनर्विचार की आवश्यकता है।
-आज तक बनाए गए सिद्धांतों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया गया है: सिद्धांत जहां दोहरी वस्तु की प्रकृति स्रोत एक के समान होती है (जैसे कि पोंट्रीगिन द्वैत में ही), और सिद्धांत जहां स्रोत वस्तु और इसकी दोहरी एक दूसरे से भिन्न होती है उन्हें एक वर्ग की वस्तुओं के रूप में गिनना असंभव है।
+आज तक बनाए गए सिद्धांतों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया गया है: सिद्धांत जहां द्विक वस्तु की प्रकृति स्रोत एक के समान होती है (जैसे कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता में ही), और सिद्धांत जहां स्रोत वस्तु और इसकी द्विक एक दूसरे से भिन्न होती है, और उन्हें एक वर्ग की वस्तुओं के रूप में गणना करना असंभव है।
-दूसरे प्रकार के सिद्धांत ऐतिहासिक रूप से पहले थे: पोंट्रीगिन के काम के तुरंत बाद टाडाओ तनाका (1938) और [[मार्क करें]] (1949) ने मनमाना कॉम्पैक्ट समूहों के लिए एक द्वैत सिद्धांत का निर्माण किया, जिसे अब तन्नाका-क्रेन द्वैत के रूप में जाना जाता है।{{sfn|Hewitt|Ross|1970}}{{sfn|Kirillov|1976}} इस सिद्धांत में एक समूह के लिए दोहरी वस्तु <math>G</math> एक समूह नहीं बल्कि अभ्यावेदन की एक श्रेणी है <math>\Pi(G)</math>.
+दूसरे प्रकार के सिद्धांत ऐतिहासिक रूप से प्रथम थे: पोन्ट्रियाजिन के कार्य के तुरंत बाद टाडाओ तनाका (1938) और [[मार्क करें|मार्क केरिन]] (1949) ने यादृच्छिक सुसंहत समूहों के लिए एक द्विविधता सिद्धांत का निर्माण किया, जिसे अब तन्नाका-क्रेन द्विविधता के रूप में जाना जाता है।{{sfn|Hewitt|Ross|1970}}{{sfn|Kirillov|1976}} इस सिद्धांत में एक समूह के लिए द्विक वस्तु <math>G</math> एक समूह नहीं बल्कि प्रतिनिधित्व  की एक श्रेणी <math>\Pi(G)</math> है।
-[[File:Duality-for-finite-groups.jpg|thumb|परिमित समूहों के लिए द्वैत।]]पहले प्रकार के सिद्धांत बाद में प्रकट हुए और उनके लिए प्रमुख उदाहरण परिमित समूहों के लिए द्वैत सिद्धांत था।{{sfn|Kirillov|1976|loc=12.3}}{{sfn|Akbarov|2009}} इस सिद्धांत में परिमित समूहों की श्रेणी संक्रिया द्वारा सन्निहित है <math>G\mapsto \Complex_G</math> [[ समूह की अंगूठी ]] लेने का <math>\Complex_G</math> (ऊपर <math>\Complex</math>) परिमित आयामी [[हॉफ बीजगणित]] की श्रेणी में, ताकि पोंट्रीगिन द्वैत क्रियाकार <math>G\mapsto \widehat{G}</math> ऑपरेशन में बदल जाता है <math>H\mapsto H^*</math> दोहरे सदिश स्थान को लेने का (जो परिमित आयामी हॉफ बीजगणित की श्रेणी में एक द्वैत कारक है)।{{sfn|Akbarov|2009}}
+[[File:Duality-for-finite-groups.jpg|thumb|परिमित समूहों के लिए द्विविधता।]]प्रथम प्रकार के सिद्धांत बाद में प्रकट हुए और उनके लिए प्रमुख उदाहरण परिमित समूहों के लिए द्विविधता सिद्धांत था।{{sfn|Kirillov|1976|loc=12.3}}{{sfn|Akbarov|2009}} इस सिद्धांत में परिमित समूहों की श्रेणी संक्रिया द्वारा सन्निहित है,[[ समूह की अंगूठी | समूह बीजगणितीय]] लेने के <math>G\mapsto \Complex_G</math>  <math>\Complex_G</math> (ऊपर <math>\Complex</math>) परिमित आयामी [[हॉफ बीजगणित|हॉफ बीजगणितीय]] की श्रेणी में, ताकि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता क्रियाकार <math>G\mapsto \widehat{G}</math> कार्य प्रणाली में परिवर्तित किया जाता है, <math>H\mapsto H^*</math> द्विक सदिश स्थान को लेने के लिए (जो परिमित आयामी हॉफ बीजगणितीय की श्रेणी में एक द्विविधता कारक है)।{{sfn|Akbarov|2009}}
-में लियोनिद आई. वेनरमैन, जॉर्ज आई. काक, मिशेल एनॉक और जीन-मैरी श्वार्ट्ज ने सभी स्थानीय कॉम्पैक्ट समूहों के लिए इस प्रकार का एक सामान्य सिद्धांत बनाया।{{sfn|Enock|Schwartz|1992}} 1980 के दशक से [[क्वांटम समूह]]ों की खोज के बाद इस क्षेत्र में अनुसंधान फिर से शुरू किया गया, जिसमें निर्मित सिद्धांतों को सक्रिय रूप से स्थानांतरित किया जाने लगा।{{sfn|Timmermann|2008}} इन सिद्धांतों को [[सी-स्टार बीजगणित]]|सी*-अलजेब्रा, या [[वॉन न्यूमैन बीजगणित]] की भाषा में तैयार किया गया है, और इसके प्रकारों में से एक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट क्वांटम समूह]]ों का हालिया सिद्धांत है।{{sfn|Kustermans|Vaes|2000}}{{sfn|Timmermann|2008}}
+में लियोनिद आई. वेनरमैन, जॉर्ज आई. काक, मिशेल एनॉक और जीन-मैरी श्वार्ट्ज ने सभी स्थानीय सुसंहत समूहों के लिए इस प्रकार का एक सामान्य सिद्धांत बनाया।{{sfn|Enock|Schwartz|1992}} 1980 के दशक से [[क्वांटम समूह|क्वांटम समूहों]] की खोज के पश्चात इस क्षेत्र में अनुसंधान पुनः से प्रारम्भ किया गया, जिसमें निर्मित सिद्धांतों को सक्रिय रूप से स्थानांतरित किया जाने लगा।{{sfn|Timmermann|2008}} इन सिद्धांतों को [[सी-स्टार बीजगणित|C* बीजगणितीय]], या [[वॉन न्यूमैन बीजगणित|वॉन न्यूमैन बीजगणितीय]] की भाषा में तैयार किया गया है, और इसके प्रकारों में से एक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट क्वांटम समूह|स्थानतः सुसंहत क्वांटम समूहों]] का आधुनिक सिद्धांत है।{{sfn|Kustermans|Vaes|2000}}{{sfn|Timmermann|2008}}
-हालांकि, इन सामान्य सिद्धांतों की कमियों में से एक यह है कि उनमें समूह की अवधारणा को सामान्य बनाने वाली वस्तुएं सामान्य बीजगणितीय अर्थों में हॉफ बीजगणित नहीं हैं।{{sfn|Akbarov|2009}} टोपोलॉजिकल बीजगणित की [[लिफाफा (श्रेणी सिद्धांत)]] की धारणा के आधार पर निर्मित द्वैत सिद्धांतों के ढांचे के भीतर इस कमी को ठीक किया जा सकता है (समूहों के कुछ वर्गों के लिए)।<ref>{{harvs|nb |author=Akbarov |year1=2009 |year2=2017a |year3=2017b}}</ref>
+हालांकि, इन सामान्य सिद्धांतों की कमियों में से एक यह है कि उनमें समूह की अवधारणा को सामान्य बनाने वाली वस्तुएं सामान्य बीजगणितीय अर्थों में हॉफ बीजगणितीय नहीं हैं।{{sfn|Akbarov|2009}} सांस्थितिक बीजगणितीय की [[लिफाफा (श्रेणी सिद्धांत)|आवरण (श्रेणी सिद्धांत)]] की धारणा के आधार पर निर्मित द्विविधता सिद्धांतों के रूपरेखा के भीतर इन कमियों में (समूहों के कुछ वर्गों के लिए) सुधार किया जा सकता है।<ref>{{harvs|nb |author=Akbarov |year1=2009 |year2=2017a |year3=2017b}}</ref>
 == यह भी देखें ==
 * पीटर-वील प्रमेय
-* [[कार्टियर द्वंद्व]]
+* [[कार्टियर द्वंद्व|कार्टियर द्विविधता]]
-* स्टीरियोटाइप स्पेस
+* प्रतिवर्ती स्थान
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 223: / Line 223: @@
 *{{cite journal|last=Smith|first=Marianne F.|title=The Pontrjagin duality theorem in linear spaces|journal=[[Annals of Mathematics]]| year=1952|volume=56|issue=2|pages=248–253|doi=10.2307/1969798|jstor=1969798| mr=0049479}}
 *{{cite journal|last=Waterhouse|first=William C.|author-link=William C. Waterhouse|title=Dual groups of vector spaces|journal=[[Pacific Journal of Mathematics]]| year=1968|volume=26|issue=1|pages=193–196|doi=10.2140/pjm.1968.26.193|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102986038|doi-access=free}}
-[[Category: हार्मोनिक विश्लेषण]] [[Category: द्वैत सिद्धांत]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: फूरियर विश्लेषण]]
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पोंट्रीगिन द्वैत: Difference between revisions

Latest revision as of 13:11, 22 March 2023

परिचय

परिभाषा

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और फूरियर रूपांतरण

हार आकलनक

L1 - प्रकार्य के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र

समूह बीजगणितीय

प्लांचरेल और L2 फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय

बोह्र संघनन और प्रायः आवधिकता

स्पष्ट विचार

सामान्यीकरण

क्रमविनिमेय सामयिक समूहों के लिए द्विविधता

सांस्थितिक सदिश स्थान के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता

गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए द्विविधता

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

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L¹ - प्रकार्य के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र

प्लांचरेल और L² फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय