पेडल वक्र: Difference between revisions

Revision as of 07:34, 17 March 2023

P के संबंध में C के पेडल का ज्यामितीय निर्माण

गणित में, दिए गए वक्र का पेडल वक्र इस वक्र की स्पर्श रेखाओं पर निश्चित बिंदु के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण से उत्पन्न होता है। अधिक सटीक रूप से, समतल वक्र C और दिए गए निश्चित पेडल बिंदु P के लिए, C का पेडल वक्र बिंदु X का बिंदुपथ है ताकि रेखा PX बिंदु X से गुजरने वाले वक्र के स्पर्शरेखा T के लंबवत हो। इसके विपरीत, वक्र C पर किसी भी बिंदु R पर, T को उस बिंदु R पर स्पर्श रेखा होने दें; तब स्पर्शरेखा T पर अद्वितीय बिंदु X होता है जो पेडल बिंदु P के साथ स्पर्शरेखा T के लंबवत रेखा बनाता है (विशेष मामले के लिए जब निश्चित बिंदु P स्पर्शरेखा T पर स्थित है, तो बिंदु X और P संयोग करते हैं) - पेडल वक्र ऐसे बिंदु X का सेट है, जिसे निश्चित बिंदु P से स्पर्शरेखा T के लंब के पाद कहा जाता है, क्योंकि चर बिंदु R वक्र C पर होता है।

पेडल कर्व को पूरक करते हुए, R पर C के सामान्य रेखा पर अद्वितीय बिंदु Y है, ताकि PY सामान्य के लंबवत हो, इसलिए PXRY (संभवतः पतित) आयत है। बिंदु Y के स्थान को कॉन्ट्रापेडल वक्र कहा जाता है।

एक वक्र का ऑर्थोटोमिक 2 के कारक द्वारा बढ़ाया गया पेडल है ताकि समानता का केंद्र P हो। यह स्पर्श रेखा T के माध्यम से P के प्रतिबिंब का बिंदुपथ है।

पेडल कर्व C1, C2, C3, आदि की श्रृंखला में पहला है, जहाँ C1, C का पेडल है, C2, C1 का पेडल है, इत्यादि। इस योजना में, C1 को C के पहले सकारात्मक पेडल के रूप में जाना जाता है, C2, C का दूसरा धनात्मक पेडल है, इत्यादि। दूसरी दिशा में जाने पर, C, C1 का पहला नकारात्मक पेडल है, C2 का दूसरा नकारात्मक पेडल है, आदि।^[1]

समीकरण

कार्तीय समीकरण से

P को मूल मान लीजिए। समीकरण F(x, y)=0 द्वारा दिए गए वक्र के लिए, यदि R=(x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा का समीकरण इस रूप में लिखा गया है:

\cos \alpha x+\sin \alpha y=p

तो वेक्टर (cos α, sin α) सेगमेंट PX के समानांतर है, और PX की लंबाई, जो स्पर्शरेखा रेखा से मूल तक की दूरी है, जो की P है। तो X को ध्रुवीय निर्देशांक (p, α) द्वारा दर्शाया गया है और (p, α) को (r, θ) द्वारा प्रतिस्थापित करने से पेडल वक्र के लिए एक ध्रुवीय समीकरण उत्पन्न होता है।^[2]

दीर्घवृत्त (काला) का पेडल वक्र (लाल) है। यहाँ a=2 और b=1 तो पेडल वक्र का समीकरण 4x²+y²=(x²+y²)² है।

उदाहरण के लिए,^[3] दीर्घवृत्त के लिए;

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

पर स्पर्शरेखा रेखा R=(x₀, और₀) है:

{\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1

और इसे ऊपर दिए गए फॉर्म में लिखने की आवश्यकता है;

{\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}

दीर्घवृत्त के लिए समीकरण का उपयोग x₀ और y₀ देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है;

a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2}

और (r, θ) में बदलने से प्राप्त होता है;

a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2}

पेडल के लिए ध्रुवीय समीकरण के रूप में। यह आसानी से कार्टेशियन समीकरण में परिवर्तित हो जाता है;

a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}

ध्रुवीय समीकरण से

P के लिए मूल और C ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में r = f(θ) द्वारा दिया गया है। माना, R=(r, θ) वक्र पर बिंदु बनें और X=(p, α) पेडल वक्र पर संबंधित बिंदु बनता है। माना ψ स्पर्शरेखा रेखा और त्रिज्या सदिश के बीच के कोण को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी ध्रुवीय स्पर्शरेखा कोण के रूप में जाना जाता है। अतः इसे प्रदर्शित किया जाता है;

r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .

तब

p=r\sin \psi

और

\alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.

इन समीकरणों का उपयोग p और α में समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जो r और θ में अनुवादित होने पर पेडल वक्र के लिए ध्रुवीय समीकरण देता है।^[4]

उदाहरण के लिए,^[5] माना वक्र r = a cos θ द्वारा दिया गया वृत्त हो। तब;

a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi

इसलिए

\tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta

साथ ही ,

p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha  \over 2}

तो पेडल का ध्रुवीय समीकरण है

r=a\cos ^{2}{\theta  \over 2}

पेडल समीकरण से

वक्र और उसके पेडल के पेडल समीकरण निकट से संबंधित हैं। यदि P को पेडल बिंदु और मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि बिंदु R पर वक्र और त्रिज्या वेक्टर के बीच का कोण बिंदु X पर पेडल वक्र के संगत कोण के बराबर है। यदि p वक्र की स्पर्शरेखा (अर्थात् PX) पर P से खींचे गए लंब की लंबाई है और q, P से पेडल की स्पर्शरेखा पर खींचे गए संगत लंब की लंबाई है, तो समरूप त्रिभुजों द्वारा

{\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.

यह तुरंत अनुसरण करता है कि यदि वक्र का पेडल समीकरण f(p,r)=0 है तो पेडल वक्र के लिए पेडल समीकरण है;^[6]

f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0

यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो तो इससे सभी सकारात्मक और नकारात्मक पेडल की गणना आसानी से की जा सकती है यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो।

पैरामीट्रिक समीकरणों से

एक ही दीर्घवृत्त का कॉन्ट्रापेडल

दीर्घवृत्त के विकास का पेडल: मूल दीर्घवृत्त के कॉन्ट्रापेडल के समान

माना;

${\vec {v}}=P-R$

R से P के लिए सदिश बनें और लिखें

{\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }

,

के स्पर्शरेखा और सामान्य घटक ${\vec {v}}$ वक्र के संबंध में।

तब ${\vec {v}}_{\parallel }$ R से X तक का सदिश है जिससे X की स्थिति की गणना की जा सकती है।

विशेष रूप से, यदि c वक्र का पैरामीट्रिक वक्र है तो

t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)

पेडल वक्र को पैरामीट्रिसेस करता है (उन बिंदुओं की अवहेलना करता है जहां c' शून्य या अपरिभाषित है)।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र के लिए, पेडल बिंदु (0; 0) के साथ इसका पेडल वक्र परिभाषित किया गया है;

X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}

Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.

कॉन्ट्रापेडल वक्र द्वारा दिया गया है:

t\mapsto P-{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)

समान पेडल बिंदु के साथ, कॉन्ट्रापेडल वक्र दिए गए वक्र के विकास का पेडल वक्र है।

ज्यामितीय गुण

एक समकोण पर सख्ती से चलते हुए विचार करें ताकि एक पाद बिंदु P पर बना रहे और दूसरा पाद वक्र के स्पर्शरेखा पर रहे। फिर इस कोण का शीर्ष X है और पेडल वक्र का पता लगाता है। जैसे-जैसे कोण घूर्णन करता है, P पर इसकी गति की दिशा PX के समानांतर होती है और R पर इसकी गति की दिशा स्पर्शरेखा T = RX के समानांतर होती है। इसलिए, घूर्णन का तत्काल केंद्र PX पर P के लंबवत और RX पर R लंबवत रेखा का प्रतिच्छेदन है, और यह बिंदु Y है। यदि अनुसरण करें कि X पर पेडल के स्पर्शरेखा XY के लंबवत है।

व्यास PR के साथ वृत्त खींचिए, फिर यह आयत PXRY को परिगत करता है और XY अन्य व्यास है। वृत्त और पेडल दोनों XY के लंबवत हैं इसलिए वे X पर स्पर्शरेखा हैं। इसलिए पेडल PR व्यास वाले वृत्तों का आवरण (गणित) है जहाँ R वक्र पर स्थित है।

रेखा YR वक्र के लिए सामान्य है और ऐसे मानदंडों का आवरण इसका विकास है। इसलिए, YR केन्द्रज के लिए स्पर्शरेखा है और बिंदु Y, P से इस स्पर्शरेखा के लंबवत का पाद है, दूसरे शब्दों में Y केन्द्रज के पेडल पर है। यह इस प्रकार है कि वक्र का कॉन्ट्रापेडल इसके उत्थान का पेडल है।

मान लीजिए कि C' को P की ओर 2 के कारक द्वारा C को सिकोड़ने से प्राप्त वक्र है। तब R के संगत बिंदु R' आयत PXRY का केंद्र है, और R' पर C' की स्पर्श रेखा इस आयत को PY और XR के समानांतर समद्विभाजित करती है और XR । प्रकाश की किरण P से शुरू होती है और C' द्वारा R' पर परावर्तित होकर फिर Y से होकर गुजरेगी। परावर्तित किरण, जब विस्तारित होती है, तब वह रेखा XY होती है जो C के पेडल के लंबवत होती है। पेडल के लंबवत रेखाओं का आवरण तो परावर्तित किरणों का लिफाफा या C' का प्रलय है। जो यह साबित करता है कि वक्र का प्रलय उसके ऑर्थोटोमिक का विकास है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, व्यास PR वाला वृत्त पेडल को स्पर्श करता है। इस वृत्त का केंद्र R' है जो वक्र C' का अनुसरण करता है।

मान लीजिए D', C' के सर्वांगसम वक्र है और D' बिना फिसले लुढ़कता है, जैसा कि रूले की परिभाषा के अनुसार, C' पर ताकि D' हमेशा C' का प्रतिबिंब हो, उस रेखा के संबंध में जिस पर वे पारस्परिक रूप से स्पर्शरेखा हैं।फिर जब वक्र R' पर स्पर्श करते हैं तो गतिमान तल पर P के अनुरूप बिंदु X होता है, और इसलिए यह एक रूलेट पेडल वक्र है। समतुल्य रूप से, वक्र का ऑर्थोटोमिक उसकी दर्पण छवि पर वक्र का रूलेट है।

उदाहरण

लिमाकॉन — वृत्त का पेडल वक्र

जब C वृत्त है तो उपरोक्त चर्चा से पता चलता है कि लिमाकॉन की निम्नलिखित परिभाषाएँ समतुल्य हैं:

यह वृत्त का पेडल है।
यह उन वृत्तों का आवरण है जिनके व्यास का अंत बिंदु निश्चित बिंदु पर होता है और दूसरा अंत बिंदु जो वृत्त का अनुसरण करता है।
यह निश्चित बिंदु के माध्यम से मंडलियों का आवरण है जिसका केंद्र चक्र का अनुसरण करता है।
यह एक समान त्रिज्या वाले एक वृत्त के चारों ओर घूमने वाले वृत्त द्वारा गठित रूलेट है।

हमने यह भी दिखाया है हमने भी दिखाया है कि एक वृत्त का प्रलय एक लिमाकॉन का विकास है।

विशिष्ट वक्रों के पेडल

कुछ विशिष्ट वक्रों के पेडल इस प्रकार हैं:^[7]

वक्र	समीकरण	पेडल बिंदु	पेडल वक्र
वृत्त		परिधि पर बिंदु	कार्डियोइड
वृत्त		कोई भी बिंदु	लिमाकॉन
परवलय		फोकस	शीर्ष पर स्पर्श रेखा
परवलय		शीर्ष	डायोक्लेस का सिसोइड
डेल्टाकार		केंद्र	ट्राइफोलियम
केंद्रीय शंकु		फोकस	सहायक वृत्त
केंद्रीय शंकु	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	केंद्र	${a^{2}}\cos ^{2}\theta \pm {b^{2}}\sin ^{2}\theta =r^{2}$ (एक हिप्पोपेड)
आयताकार अतिपरवलय		केंद्र	बर्नौली का लेमनसेट
लघुगणकीय सर्पिल		ध्रुव	लघुगणकीय सर्पिल
साइनसॉइडल सर्पिल	$r^{n}=a^{n}\cos n\theta$	ध्रुव	$r^{\tfrac {n}{n+1}}=a^{\tfrac {n}{n+1}}\cos {\tfrac {n}{n+1}}\theta$ (एक अन्य साइनसोइडल सर्पिल)

यह भी देखें

वक्रों की सूची

संदर्भ

Notes

↑ Edwards p. 165
↑ Edwards p. 164
↑ Follows Edwards p. 164 with m=1
↑ Edwards p. 164-5
↑ Follows Edwards p. 165 with m=1
↑ Williamson p. 228
↑ Edwards p. 167

Sources

J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 161 ff.

Benjamin Williamson (1899). An elementary treatise on the differential calculus. Logmans, Green, and Co. pp. 227 ff.

अग्रिम पठन

Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Internet Archive)
J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. p. 60. ISBN 0-486-60288-5.
"Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley

बाहरी संबंध

[1] Edwards p. 165

[2] Edwards p. 164

[3] Follows Edwards p. 164 with m=1

[4] Edwards p. 164-5

[5] Follows Edwards p. 165 with m=1

[6] Williamson p. 228

[7] Edwards p. 167

[1]

[2]

[3]

[4]

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[7]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Curve generated by the projections of a fixed point on the tangents of another curve}}
-[[Image:PedalConstruction.svg|200px|right|thumb|P के संबंध में C के पैडल का ज्यामितीय निर्माण]]गणित में, दिए गए वक्र का पेडल वक्र इस वक्र की [[स्पर्श रेखा|स्पर्श रेखाओं]] पर निश्चित बिंदु के [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण]] से उत्पन्न होता है। अधिक सटीक रूप से, [[समतल वक्र]] ''C'' और दिए गए निश्चित पेडल बिंदु ''P'' के लिए, ''C'' का पेडल वक्र बिंदु ''X'' का बिंदुपथ है ताकि [[रेखा (ज्यामिति)|रेखा]] ''PX'' बिंदु ''X'' से गुजरने वाले वक्र के [[स्पर्शरेखा]] ''T'' के लंबवत हो। इसके विपरीत, वक्र ''C'' पर किसी भी बिंदु ''R'' पर, ''T'' को उस बिंदु ''R'' पर स्पर्श रेखा होने दें; तब स्पर्शरेखा ''T'' पर अद्वितीय बिंदु ''X'' होता है जो पेडल बिंदु ''P'' के साथ स्पर्शरेखा ''T'' के लंबवत रेखा बनाता है (विशेष मामले के लिए जब निश्चित बिंदु ''P'' स्पर्शरेखा ''T'' पर स्थित है, अंक ''X'' और ''P'' संयोग करते हैं) - पेडल वक्र ऐसे बिंदुओं का सेट है ''X'', जिसे ''कहा जाता है निश्चित बिंदु ''P'' से स्पर्शरेखा ''T'' के लम्बवत् का पाद, क्योंकि चर बिंदु ''R'' वक्र ''C'' पर स्थित है।
+[[Image:PedalConstruction.svg|200px|right|thumb|P के संबंध में C के पेडल का ज्यामितीय निर्माण]]गणित में, दिए गए वक्र का पेडल वक्र इस वक्र की [[स्पर्श रेखा|स्पर्श रेखाओं]] पर निश्चित बिंदु के [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण]] से उत्पन्न होता है। अधिक सटीक रूप से, [[समतल वक्र]] ''C'' और दिए गए निश्चित पेडल बिंदु ''P'' के लिए, ''C'' का पेडल वक्र बिंदु ''X'' का बिंदुपथ है ताकि [[रेखा (ज्यामिति)|रेखा]] ''PX'' बिंदु ''X'' से गुजरने वाले वक्र के [[स्पर्शरेखा]] ''T'' के लंबवत हो। इसके विपरीत, वक्र ''C'' पर किसी भी बिंदु ''R'' पर, ''T'' को उस बिंदु ''R'' पर स्पर्श रेखा होने दें; तब स्पर्शरेखा ''T'' पर अद्वितीय बिंदु ''X'' होता है जो पेडल बिंदु ''P'' के साथ स्पर्शरेखा ''T'' के लंबवत रेखा बनाता है (विशेष मामले के लिए जब निश्चित बिंदु ''P'' स्पर्शरेखा ''T'' पर स्थित है, तो बिंदु ''X'' और ''P'' संयोग करते हैं) - पेडल वक्र ऐसे बिंदु X का सेट है, जिसे निश्चित बिंदु P से स्पर्शरेखा T के लंब के पाद  कहा जाता है, क्योंकि चर बिंदु R वक्र C पर होता है।
-पैडल कर्व को पूरक करते हुए, ''R'' पर ''C'' के सामान्य रेखा पर अनूठा बिंदु ''Y'' है, ताकि ''PY'' सामान्य के लंबवत हो, इसलिए ''PXRY'' (संभवतः पतित) आयत है। बिंदुओं 'Y' के स्थान को कॉन्ट्रापेडल वक्र कहा जाता है।
+पेडल कर्व को पूरक करते हुए, ''R'' पर ''C'' के सामान्य रेखा पर अद्वितीय बिंदु ''Y'' है, ताकि ''PY'' सामान्य के लंबवत हो, इसलिए ''PXRY'' (संभवतः पतित) आयत है। बिंदु Y के स्थान को कॉन्ट्रापेडल वक्र कहा जाता है।
-वक्र का ओर्थोटोमिक इसका पैडल 2 के गुणक द्वारा आवर्धित होता है ताकि [[समानता का केंद्र]] ''P'' हो। यह स्पर्शरेखा ''T'' के माध्यम से ''P'' के प्रतिबिंब का बिंदुपथ है।
+एक वक्र का ऑर्थोटोमिक 2 के कारक द्वारा बढ़ाया गया पेडल है ताकि [[समानता का केंद्र]] ''P'' हो। यह स्पर्श रेखा ''T'' के माध्यम से ''P'' के प्रतिबिंब का बिंदुपथ है।
-पैडल कर्व ''C'' कर्व्स की श्रृंखला में पहला है<sub>1</sub>, सी<sub>2</sub>, सी<sub>3</sub>आदि, जहां सी<sub>1</sub> C, C का पैडल है<sub>2</sub> C का पैडल है<sub>1</sub>, और इसी तरह। इस योजना में सी<sub>1</sub> सी, सी के पहले सकारात्मक पेडल के रूप में जाना जाता है<sub>2</sub> सी का दूसरा सकारात्मक पेडल है, और इसी तरह। दूसरी दिशा में जाने पर, C, C<sub>1</sub> का पहला नकारात्मक पैडल है, C<sub>2</sub> का दूसरा नकारात्मक पेडल, वगैरह।<ref>Edwards p. 165</ref>
+पेडल कर्व C1, C2, C3, आदि की श्रृंखला में पहला है, जहाँ C1, C का पेडल है, C2, C1 का पेडल है, इत्यादि। इस योजना में, C1 को C के पहले सकारात्मक पेडल के रूप में जाना जाता है, C2, C का दूसरा धनात्मक पेडल है, इत्यादि। दूसरी दिशा में जाने पर, C, C1 का पहला नकारात्मक पेडल है, C2 का दूसरा नकारात्मक पेडल है, आदि।<ref>Edwards p. 165</ref>
 == समीकरण ==
 ===कार्तीय समीकरण से===
-P को मूल मान लीजिए। समीकरण F(x, y)=0 द्वारा दिए गए वक्र के लिए, यदि R=(x पर स्पर्श रेखा का समीकरण<sub>0</sub>, और<sub>0</sub>) के रूप में लिखा गया है
+P को मूल मान लीजिए। समीकरण F(x, y)=0 द्वारा दिए गए वक्र के लिए, यदि ''R''=(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)  पर स्पर्श रेखा का समीकरण इस रूप में लिखा गया है:
 :<math>\cos \alpha x + \sin \alpha y = p</math>
-तो वेक्टर (cos α, sin α) सेगमेंट पी ्स के समानांतर है, और पी ्स की लंबाई, जो स्पर्शरेखा रेखा से मूल तक की दूरी है, पी है। तो X को ध्रुवीय निर्देशांक (p, α) द्वारा दर्शाया गया है और (p, α) को (r, θ) द्वारा प्रतिस्थापित करने से पेडल वक्र के लिए ध्रुवीय समीकरण उत्पन्न होता है।<ref>Edwards p. 164</ref>
+तो वेक्टर (cos α, sin α) सेगमेंट PX के समानांतर है, और PX की लंबाई, जो स्पर्शरेखा रेखा से मूल तक की दूरी है, जो की ''P'' है। तो X को ध्रुवीय निर्देशांक (p, α) द्वारा दर्शाया गया है और (p, α) को (r, θ) द्वारा प्रतिस्थापित करने से पेडल वक्र के लिए एक ध्रुवीय समीकरण उत्पन्न होता है।<ref>Edwards p. 164</ref>
-[[Image:PedalCurve1.gif|500px|right|thumb|दीर्घवृत्त (काला) का पेडल वक्र (लाल)। यहाँ a=2 और b=1 तो पैडल वक्र का समीकरण 4x है<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)<sup>2</उप>]]उदाहरण के लिए,<ref>Follows Edwards p. 164 with ''m''=1</ref> दीर्घवृत्त के लिए
+[[Image:PedalCurve1.gif|500px|right|thumb|दीर्घवृत्त (काला) का पेडल वक्र (लाल) है। यहाँ a=2 और b=1 तो पेडल वक्र का समीकरण 4''x''<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=(''x''<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)<sup>2</sup>  है।]]उदाहरण के लिए,<ref>Follows Edwards p. 164 with ''m''=1</ref> दीर्घवृत्त के लिए;
 :<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
-पर स्पर्शरेखा रेखा R=(x<sub>0</sub>, और<sub>0</sub>) है
+पर स्पर्शरेखा रेखा R=(x<sub>0</sub>, और<sub>0</sub>) है:
 :<math>\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1</math>
-और इसे ऊपर दिए गए फॉर्म में लिखने की आवश्यकता है
+और इसे ऊपर दिए गए फॉर्म में लिखने की आवश्यकता है;
-:<math>\frac{x_0}{a^2}=\frac{\cos \alpha}{p},\,\frac{y_0}{b^2}=\frac{\sin \alpha}{p}.</math>
+:<math>\frac{x_0}{a^2}=\frac{\cos \alpha}{p},\,\frac{y_0}{b^2}=\frac{\sin \alpha}{p}</math>
-दीर्घवृत्त के समीकरण का उपयोग x को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है<sub>0</sub> और वाई<sub>0</sub> दे रही है
+दीर्घवृत्त के लिए समीकरण का उपयोग ''x''<sub>0</sub> और ''y''<sub>0</sub>  देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है;
-:<math>a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha = p^2,\,</math>
+:<math>a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha = p^2</math>
-और (r, θ) में बदलने से प्राप्त होता है
+और (r, θ) में बदलने से प्राप्त होता है;
-:<math>a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta = r^2,\,</math>
+:<math>a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta = r^2</math>
-पेडल के लिए ध्रुवीय समीकरण के रूप में। यह आसानी से कार्टेशियन समीकरण में परिवर्तित हो जाता है
+पेडल के लिए ध्रुवीय समीकरण के रूप में। यह आसानी से कार्टेशियन समीकरण में परिवर्तित हो जाता है;
-:<math>a^2 x^2 + b^2 y^2 = (x^2+y^2)^2.\,</math>
+:<math>a^2 x^2 + b^2 y^2 = (x^2+y^2)^2</math>
 ===ध्रुवीय समीकरण से===
-पी के लिए मूल और सी [[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली]] में r = f(θ) द्वारा दिया गया है। चलो R=(r, θ) वक्र पर बिंदु बनें और X=(p, α) पेडल वक्र पर संबंधित बिंदु बनें। चलो ψ स्पर्शरेखा रेखा और त्रिज्या वेक्टर के बीच के कोण को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी स्पर्शरेखा कोण#ध्रुवीय के रूप में जाना जाता है। द्वारा दिया गया है
+''P''  के लिए मूल और ''C''  [[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली]] में r = f(θ) द्वारा दिया गया है। माना, R=(r, θ) वक्र पर बिंदु '''बनें''' और X=(p, α) पेडल वक्र पर संबंधित बिंदु बनता है।  माना ψ स्पर्शरेखा रेखा और त्रिज्या सदिश के बीच के कोण को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी ध्रुवीय स्पर्शरेखा कोण के रूप में जाना जाता है। अतः इसे प्रदर्शित किया जाता  है;
 :<math>r=\frac{dr}{d\theta}\tan \psi.</math>
 तब
@@ Line 34: / Line 34: @@
 :<math>\alpha = \theta + \psi - \frac{\pi}{2}.</math>
 इन समीकरणों का उपयोग p और α में समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जो r और θ में अनुवादित होने पर पेडल वक्र के लिए ध्रुवीय समीकरण देता है।<ref>Edwards p. 164-5</ref>
-उदाहरण के लिए,<ref>Follows Edwards p. 165 with ''m''=1</ref> वक्र को r = a cos θ द्वारा दिया गया वृत्त होने दें। तब
+उदाहरण के लिए,<ref>Follows Edwards p. 165 with ''m''=1</ref> माना वक्र r = a cos θ द्वारा दिया गया वृत्त हो। तब;
 :<math>a \cos \theta = -a \sin \theta \tan \psi</math>
 इसलिए
-:<math>\tan \psi = -\cot \theta,\, \psi = \frac{\pi}{2} + \theta, \alpha = 2 \theta.</math>
+:<math>\tan \psi = -\cot \theta,\, \psi = \frac{\pi}{2} + \theta, \alpha = 2 \theta</math>
-भी
+साथ ही ,
-:<math>p=r\sin \psi\ = r \cos \theta = a \cos^2 \theta = a \cos^2 {\alpha \over 2}.</math>
+:<math>p=r\sin \psi\ = r \cos \theta = a \cos^2 \theta = a \cos^2 {\alpha \over 2}</math>
 तो पेडल का ध्रुवीय समीकरण है
-:<math>r = a \cos^2 {\theta \over 2}.</math>
+:<math>r = a \cos^2 {\theta \over 2}</math>
 === [[पेडल समीकरण]] से ===
-वक्र और उसके पेडल के पेडल समीकरण निकट से संबंधित हैं। यदि P को पेडल बिंदु और मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि बिंदु R पर वक्र और त्रिज्या वेक्टर के बीच का कोण बिंदु X पर पेडल वक्र के संगत कोण के बराबर है। यदि p है P से वक्र की स्पर्शरेखा (यानी PX) तक खींचे गए लंब की लंबाई और q, P से स्पर्शरेखा से पैडल तक खींचे गए संगत लंब की लंबाई है, फिर समान त्रिभुजों द्वारा
+वक्र और उसके पेडल के पेडल समीकरण निकट से संबंधित हैं। यदि P को पेडल बिंदु और मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि बिंदु R पर वक्र और त्रिज्या वेक्टर के बीच का कोण बिंदु X पर पेडल वक्र के संगत कोण के बराबर है। यदि p वक्र की स्पर्शरेखा (अर्थात् PX) पर P से खींचे गए लंब की लंबाई है और q, P से पेडल की स्पर्शरेखा पर खींचे गए संगत लंब की लंबाई है, तो समरूप त्रिभुजों द्वारा
 :<math>\frac{p}{r}=\frac{q}{p}.</math>
-यह तुरंत अनुसरण करता है कि यदि वक्र का पेडल समीकरण f(p,r)=0 है तो पेडल वक्र के लिए पेडल समीकरण है<ref>Williamson p. 228</ref>
+यह तुरंत अनुसरण करता है कि यदि वक्र का पेडल समीकरण f(p,r)=0 है तो पेडल वक्र के लिए पेडल समीकरण है;<ref>Williamson p. 228</ref>
 :<math>f(r,\frac{r^2}{p})=0</math>
-इससे सभी सकारात्मक और नकारात्मक पैडल की गणना आसानी से की जा सकती है यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो।
+यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो तो इससे सभी सकारात्मक और नकारात्मक पेडल की गणना आसानी से की जा सकती है '''यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो'''।
 ===पैरामीट्रिक समीकरणों से===
-[[Image:Contrapedal.gif|500px|right|thumb|ही दीर्घवृत्त का कॉन्ट्रापेडल]]
+[[Image:Contrapedal.gif|500px|right|thumb|एक ही दीर्घवृत्त का कॉन्ट्रापेडल]]
-[[Image:PedalCurve3.gif|500px|right|thumb|दीर्घवृत्त के विकास का पेडल: मूल दीर्घवृत्त के कॉन्ट्रापेडल के समान]]होने देना
+[[Image:PedalCurve3.gif|500px|right|thumb|दीर्घवृत्त के विकास का पेडल: मूल दीर्घवृत्त के कॉन्ट्रापेडल के समान]]माना;
 <math>\vec{v} = P - R</math>
 R से P के लिए सदिश बनें और लिखें
 :<math>\vec{v} = \vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_\perp</math>,
 के [[स्पर्शरेखा और सामान्य घटक]] <math>\vec{v}</math> वक्र के संबंध में।
 तब <math>\vec{v}_{\parallel}</math> R से X तक का सदिश है जिससे X की स्थिति की गणना की जा सकती है।
 विशेष रूप से, यदि c वक्र का [[पैरामीट्रिक वक्र]] है तो
 :<math>t\mapsto c(t)+{ c'(t) \cdot (P-c(t))\over|c'(t)|^2} c'(t)</math>
-पैडल वक्र को पैरामीट्रिसेस करता है (उन बिंदुओं की अवहेलना करता है जहां c' शून्य या अपरिभाषित है)।
+पेडल वक्र को पैरामीट्रिसेस करता है (उन बिंदुओं की अवहेलना करता है जहां c' शून्य या अपरिभाषित है)।
-पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र के लिए, पेडल बिंदु (0; 0) के साथ इसका पेडल वक्र परिभाषित किया गया है
+पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र के लिए, पेडल बिंदु (0; 0) के साथ इसका पेडल वक्र परिभाषित किया गया है;
 :<math>X[x,y]=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2}</math>
 :<math>Y[x,y]=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2}.</math>
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 == ज्यामितीय गुण ==
-समकोण पर सख्ती से चलते हुए विचार करें ताकि पैर बिंदु P पर बना रहे और दूसरा पैर वक्र के स्पर्शरेखा पर रहे। फिर इस कोण का शीर्ष X है और पेडल वक्र का पता लगाता है। जैसे-जैसे कोण चलता है, P पर इसकी गति की दिशा PX के समानांतर होती है और R पर इसकी गति की दिशा स्पर्शरेखा T = RX के समानांतर होती है। इसलिए, [[रोटेशन का तत्काल केंद्र]] पी ्स पर पी ्स के लंबवत और आर ्स पर लंबवत रेखा का चौराहे है, और यह बिंदु वाई है। यदि इस प्रकार है कि ्स पर पेडल के स्पर्शरेखा XY के लंबवत है।
+एक समकोण पर सख्ती से चलते हुए विचार करें ताकि एक पाद बिंदु P पर बना रहे और दूसरा पाद वक्र के स्पर्शरेखा पर रहे। फिर इस कोण का शीर्ष X है और पेडल वक्र का पता लगाता है। जैसे-जैसे कोण घूर्णन करता   है, P पर इसकी गति की दिशा PX के समानांतर होती है और R पर इसकी गति की दिशा स्पर्शरेखा T = RX के समानांतर होती है। इसलिए, [[रोटेशन का तत्काल केंद्र|घूर्णन का तत्काल केंद्र]] PX पर P के लंबवत और RX पर R लंबवत रेखा का प्रतिच्छेदन है, और यह बिंदु Y है। यदि अनुसरण करें   कि X पर पेडल के स्पर्शरेखा XY के लंबवत है।
-व्यास PR के साथ वृत्त खींचिए, फिर यह आयत PXRY को परिगत करता है और XY अन्य व्यास है। वृत्त और पैडल दोनों XY के लंबवत हैं इसलिए वे X पर स्पर्शरेखा हैं। इसलिए पैडल PR व्यास वाले वृत्तों का आवरण (गणित) है जहाँ R वक्र पर स्थित है।
+व्यास PR के साथ वृत्त खींचिए, फिर यह आयत PXRY को परिगत करता है और XY अन्य व्यास है। वृत्त और पेडल दोनों XY के लंबवत हैं इसलिए वे X पर स्पर्शरेखा हैं। इसलिए पेडल PR व्यास वाले वृत्तों का आवरण '''(गणित)''' है जहाँ R वक्र पर स्थित है।
-रेखा YR वक्र के लिए सामान्य है और ऐसे मानदंडों का लिफाफा इसका विकास है। इसलिए, YR एवोल्यूशन के लिए स्पर्शरेखा है और बिंदु Y, P से इस स्पर्शरेखा के लंबवत का पैर है, दूसरे शब्दों में Y इवोल्यूशन के पैडल पर है। यह इस प्रकार है कि वक्र का कॉन्ट्रापेडल इसके उत्थान का पेडल है।
+रेखा YR वक्र के लिए सामान्य है और ऐसे मानदंडों का आवरण इसका विकास है। इसलिए, YR केन्द्रज के लिए स्पर्शरेखा है और बिंदु Y, P से इस स्पर्शरेखा के लंबवत का पाद है, दूसरे शब्दों में Y केन्द्रज के पेडल पर है। यह इस प्रकार है कि वक्र का कॉन्ट्रापेडल इसके उत्थान का पेडल है।
-मान लीजिए कि C' को P की ओर 2 के कारक द्वारा C को सिकोड़ने से प्राप्त वक्र है। तब R के संगत बिंदु R' आयत PXRY का केंद्र है, और R' पर C' की स्पर्श रेखा इस आयत को PY के समानांतर समद्विभाजित करती है और ्सआर। प्रकाश की किरण P से शुरू होती है और C' द्वारा R' पर परावर्तित होकर फिर Y से होकर गुजरेगी। परावर्तित किरण, जब विस्तारित होती है, वह रेखा XY होती है जो C के पैडल के लंबवत होती है। पैडल के लंबवत रेखाओं का आवरण है फिर परावर्तित किरणों का लिफाफा या C' का प्रलय। यह साबित करता है कि वक्र का प्रलय उसके ऑर्थोटोमिक का विकास है।
+मान लीजिए कि C' को P की ओर 2 के कारक द्वारा C को सिकोड़ने से प्राप्त वक्र है। तब R के संगत बिंदु R' आयत PXRY का केंद्र है, और R' पर C' की स्पर्श रेखा इस आयत को PY और XR के समानांतर समद्विभाजित करती है '''और XR''' । प्रकाश की किरण P से शुरू होती है और C' द्वारा R' पर परावर्तित होकर फिर Y से होकर गुजरेगी। परावर्तित किरण, जब विस्तारित होती है, तब  वह रेखा XY होती है जो C के पेडल के लंबवत होती है। पेडल के लंबवत रेखाओं का आवरण तो परावर्तित किरणों का लिफाफा या C' का प्रलय है। जो  यह साबित करता है कि वक्र का प्रलय उसके ऑर्थोटोमिक का विकास है।
-जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, व्यास PR वाला वृत्त पैडल को स्पर्श करता है। इस वृत्त का केंद्र R' है जो वक्र C' का अनुसरण करता है।
+जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, व्यास PR वाला वृत्त पेडल को स्पर्श करता है। इस वृत्त का केंद्र R' है जो वक्र C' का अनुसरण करता है।
-मान लीजिए D', C' के अनुरूप वक्र है और D' को बिना फिसले लुढ़कने दें, जैसा कि रूलेट (वक्र) की परिभाषा में C' पर है, ताकि D' हमेशा उस रेखा के संबंध में C' का प्रतिबिंब हो, जिस पर वे परस्पर स्पर्शरेखा हैं। फिर जब वक्र R' पर स्पर्श करते हैं तो गतिमान तल पर P के अनुरूप बिंदु X होता है, और इसलिए रूलेट पेडल वक्र है। समतुल्य रूप से, वक्र का ऑर्थोटोमिक उसकी दर्पण छवि पर वक्र का रूलेट है।
+मान लीजिए D', C' के सर्वांगसम वक्र है और D' बिना फिसले लुढ़कता है, जैसा कि रूले की परिभाषा के अनुसार, C' पर ताकि D' हमेशा C' का प्रतिबिंब हो, उस रेखा के संबंध में जिस पर वे पारस्परिक रूप से स्पर्शरेखा हैं।फिर जब वक्र R' पर स्पर्श करते हैं तो गतिमान तल पर P के अनुरूप बिंदु X होता है, और इसलिए यह एक  रूलेट पेडल वक्र है। समतुल्य रूप से, वक्र का ऑर्थोटोमिक उसकी दर्पण छवि पर वक्र का रूलेट है।
 === उदाहरण ===
-[[Image:PedalCurve2.gif|500px|right|thumb|लिमाकॉन — वृत्त का पैडल वक्र]]जब C वृत्त है तो उपरोक्त चर्चा से पता चलता है कि लिमाकॉन की निम्नलिखित परिभाषाएँ समतुल्य हैं:
+[[Image:PedalCurve2.gif|500px|right|thumb|लिमाकॉन — वृत्त का पेडल वक्र]]जब C वृत्त है तो उपरोक्त चर्चा से पता चलता है कि लिमाकॉन की निम्नलिखित परिभाषाएँ समतुल्य हैं:
-* यह वृत्त का पैडल है।
+* यह वृत्त का पेडल है।
 *यह उन वृत्तों का आवरण है जिनके व्यास का अंत बिंदु निश्चित बिंदु पर होता है और दूसरा अंत बिंदु जो वृत्त का अनुसरण करता है।
-* यह निश्चित बिंदु के माध्यम से मंडलियों का लिफाफा है जिसका केंद्र चक्र का अनुसरण करता है।
+* यह निश्चित बिंदु के माध्यम से मंडलियों का आवरण है जिसका केंद्र चक्र का अनुसरण करता है।
-*यह रूलेट (वक्र) है जो समान त्रिज्या वाले वृत्त के चारों ओर घूमने वाले वृत्त द्वारा बनता है।
+*यह एक समान त्रिज्या वाले एक वृत्त के चारों ओर घूमने वाले वृत्त द्वारा गठित रूलेट है।
-हमने यह भी दिखाया है कि वृत्त का प्रलय लिमाकॉन का विकास है।
+हमने यह भी दिखाया है हमने भी दिखाया है कि एक वृत्त का प्रलय एक लिमाकॉन का विकास है।
-== विशिष्ट वक्रों के पैडल ==
+== विशिष्ट वक्रों के पेडल ==
-कुछ विशिष्ट वक्रों के पैडल हैं:<ref>Edwards p. 167</ref>
+कुछ विशिष्ट वक्रों के पेडल इस प्रकार  हैं:<ref>Edwards p. 167</ref>
 {| class="wikitable"
 |-
-! Curve
+! वक्र
-! Equation
+! समीकरण
-! Pedal point
+! पेडल बिंदु
-! Pedal curve
+! पेडल वक्र
 |-
-| Circle
+| वृत्त
 |
-| Point on circumference
+| परिधि पर बिंदु
-| [[Cardioid]]
+| [[Cardioid|कार्डियोइड]]
 |-
-| Circle
+| वृत्त
 |
-| Any point
+| कोई भी बिंदु
-| [[Limaçon]]
+| [[Limaçon|लिमाकॉन]]
 |-
-| Parabola
+| परवलय
 |
-| Focus
+| फोकस
-| The tangent line at the vertex
+| शीर्ष पर स्पर्श रेखा
 |-
-| Parabola
+| परवलय
 |
-| Vertex
+| शीर्ष
-| [[Cissoid of Diocles]]
+| [[Cissoid of Diocles|डायोक्लेस का सिसोइड]]
 |-
-| [[Deltoid curve|Deltoid]]
+| [[Deltoid curve|डेल्टाकार]]
 |
-| Center
+| केंद्र
-| Trifolium
+| ट्राइफोलियम
 |-
-| Central conic
+| केंद्रीय शंकु
 |
-| Focus
+| फोकस
-| [[Auxiliary circle]]
+| [[Auxiliary circle|सहायक वृत्त]]
 |-
-| Central conic
+| केंद्रीय शंकु
 | <math>\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1</math>
-| Center
+| केंद्र
-| <math>{a^2}\cos^2\theta\pm{b^2}\sin^2\theta = r^2</math> (a [[hippopede]])
+| <math>{a^2}\cos^2\theta\pm{b^2}\sin^2\theta = r^2</math> (एक [[hippopede|हिप्पोपेड]])
 |-
-| Rectangular hyperbola
+| आयताकार अतिपरवलय
 |
-| Center
+| केंद्र
-| [[Lemniscate of Bernoulli]]
+| [[Lemniscate of Bernoulli|बर्नौली का लेमनसेट]]
 |-
-| [[Logarithmic spiral]]
+| [[Logarithmic spiral|लघुगणकीय सर्पिल]]
 |
-| Pole
+| ध्रुव
-| Logarithmic spiral
+| लघुगणकीय सर्पिल
 |-
-| [[Sinusoidal spiral]]
+| [[Sinusoidal spiral|साइनसॉइडल सर्पिल]]
 | <math>r^n=a^n \cos n\theta</math>
-| Pole
+| ध्रुव
-| <math>r^\tfrac{n}{n+1}=a^\tfrac{n}{n+1} \cos \tfrac{n}{n+1}\theta</math> (another Sinusoidal spiral)
+| <math>r^\tfrac{n}{n+1}=a^\tfrac{n}{n+1} \cos \tfrac{n}{n+1}\theta</math> (एक अन्य साइनसोइडल सर्पिल)
 |}
 == यह भी देखें ==

v t e Differential transforms of plane curves
Unary operations	Evolute Involute Dual curve Inverse curve Parallel curve Isoptic
Unary operations defined by a point	Pedal & Contrapedal curves Negative pedal curve Pursuit curve Caustic
Unary operations defined by two points	Strophoid
Binary operations defined by a point	Roulette Cissoid
Operations on a family of curves	Envelope

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समीकरण

कार्तीय समीकरण से

ध्रुवीय समीकरण से

पेडल समीकरण से

पैरामीट्रिक समीकरणों से

ज्यामितीय गुण

उदाहरण

विशिष्ट वक्रों के पेडल

यह भी देखें

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