लम्बवत

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खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।

प्राथमिक ज्यामिति में, दो ज्यामितीय वस्तुएं लंबवत होती हैं यदि वे एक समकोण (90 डिग्री या π/2 रेडियन) पर प्रतिच्छेद करती हैं। लंबवतता की स्थिति को ' लंबवत प्रतीक ,का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसे दो रेखाओं (या दो रेखाखंडों), एक रेखा और एक तल के बीच और दो तलों के बीच परिभाषित किया जा सकता है।

लंबवतताओर्थोगोनालिटी की अधिक सामान्य गणितीय अवधारणा का एक विशेष उदाहरण है; लंबवतता शास्त्रीय ज्यामितीय वस्तुओं की ऑर्थोगोनलिटी है। इस प्रकार, उन्नत गणित में, लंबवत शब्द का प्रयोग कभी-कभी बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय ऑर्थोगोनैलिटी स्थितियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि सतह और उसके सामान्य (ज्यामिति) के बीच।

परिभाषाएँ

एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत कहलाती है यदि दो रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। स्पष्ट रूप से, एक पहली पंक्ति दूसरी रेखा के लंबवत होती है यदि (1) दो रेखाएँ मिलती हैं; और (2) चौराहे के बिंदु पर पहली पंक्ति के एक तरफ का [[ सीधा कोण ]] दूसरी रेखा द्वारा दो सर्वांगसम (ज्यामिति) कोणों में काटा जाता है। लंबवतता को सममित दिखाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि पहली पंक्ति दूसरी पंक्ति के लंबवत है, तो दूसरी पंक्ति भी पहली पंक्ति के लंबवत है। इस कारण से, हम आदेश निर्दिष्ट किए बिना दो पंक्तियों को लंबवत (एक दूसरे के लिए) कह सकते हैं।

लंबवतता आसानी से रेखा खण्डों और रे (ज्यामिति) तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड ${\overline {AB}}$ एक रेखा खंड के लंबवत है ${\overline {CD}}$ यदि, जब प्रत्येक को एक अनंत रेखा बनाने के लिए दोनों दिशाओं में बढ़ाया जाता है, तो ये दो परिणामी रेखाएँ ऊपर के अर्थ में लंबवत होती हैं। प्रतीकों में, ${\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}$ अर्थात रेखाखंड ए बी, रेखाखंड सीडी पर लंबवत है।

एक रेखा को एक समतल (ज्यामिति) के लिए लंबवत कहा जाता है यदि यह उस समतल की प्रत्येक रेखा के लंबवत हो जिस पर यह प्रतिच्छेद करता है। यह परिभाषा रेखाओं के बीच लंबवतता की परिभाषा पर निर्भर करती है।

अंतरिक्ष में दो विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि डायहेड्रल कोण जिस पर वे मिलते हैं वह एक समकोण है।

लम्ब का पद

पद शब्द का प्रयोग प्रायः लंबवत के संबंध में किया जाता है। इस प्रयोग का उदाहरण शीर्ष आरेख, ऊपर, और इसके शीर्षक में दिया गया है। आरेख किसी भी अभिविन्यास में हो सकता है। जरूरी नहीं कि पद नीचे ही हो।

अधिक सटीक, बंद करें

A एक बिंदु हो और m एक पंक्ति। यदि B चौक का बिंदु है m और अनोखी रेखा के माध्यम से A जो के चक्कर में है m, फिर B के माध्यम से इस लम्बे पद को A कहा जाता है।

लंब का निर्माण

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बिंदु P के माध्यम से रेखा AB पर लंब (नीला) का निर्माण।

File:01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.gif

बिंदु P से अर्ध-पंक्ति h के लंबवत का निर्माण (न केवल अंत बिंदु A पर लागू होता है, M स्वतंत्र रूप से चयन योग्य है), अंत में एनीमेशन 10 s विराम के साथ

कंपास-और-सीधा निर्माण का उपयोग करके पॉइंट P के माध्यम से लाइन AB पर मार्कअप बनाने के लिए, संलग्न आगे बढ़ें (बाएं चित्र देखें):

• चरण 1 (लाल): रेखा AB पर बिंदु A' और B' बनाने के लिए P पर केंद्र के साथ एक वृत्त की रचना करें, जो P से दूरी पर हैं।
• चरण 2 (हरा): समान त्रिज्या वाले A' और B' पर केंद्रित वृत्त बनाएं। माना Q और P ये दो वृतांत के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
• चरण 3 (नीला): सदस्यता PQ बनाने के लिए Q और P कनेक्ट करें।

यह सिद्ध करने के लिए कि PQ AB पर लंबवत है, सर्वांगसमता (ज्यामिति) क्यूपीए' और QPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण OPA 'और OPB' बराबर हैं। फिर सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुजों OPA 'और OPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण POA और POB बराबर हैं।

थेल्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखा जी पर या बिंदु P से होकर लंब बनाने के लिए, दाईं ओर एनीमेशन देखें।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग समकोण बनाने के तरीकों के आधार के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कड़ियों की गिनती करके, 3:4:5 के अनुपात में लंबाई के साथ श्रृंखला के तीन टुकड़े बनाए जा सकते हैं। इन्हें एक त्रिभुज बनाने के लिए बिछाया जा सकता है, जिसकी सबसे लंबी भुजा के विपरीत एक समकोण होगा। यह विधि बगीचों और खेतों को बिछाने के लिए उपयोगी है, जहां आयाम बड़े हैं, और बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है। जब भी आवश्यकता हो, जंजीरों का बार-बार उपयोग किया जा सकता है।

समानांतर रेखाओं के संबंध

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तीर के निशान इंगित करते हैं कि अनुप्रस्थ रेखा c द्वारा काटी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं।

यदि दो रेखाएँ (A और B) दोनों एक तीसरी रेखा (C) के लंबवत हैं, तो तीसरी रेखा के साथ बने सभी कोण समकोण हैं। इसलिए,यूक्लिडियन ज्यामिति में, कोई भी दो रेखाएँ जो दोनों एक तीसरी रेखा के लंबवत हैं, एक दूसरे के समानांतर (ज्यामिति) हैं, क्योंकिसमानांतर अभिधारणा है। इसके विपरीत, यदि एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत है, तो यह उस दूसरी रेखा के समानांतर किसी भी रेखा के लंबवत भी है।

दाईं ओर की आकृति में, सभी नारंगी-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं और सभी हरे-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं, क्योंकि लंबवत (कोण) समांतर हैं और समानांतर काटने वाले तिर्यक द्वारा गठित वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं रेखाएँ सर्वांगसम हैं। इसलिए, यदि रेखाएँ ए और बी समानांतर हैं, तो निम्नलिखित में से कोई भी निष्कर्ष अन्य सभी की ओर ले जाता है:

• आरेख में कोणों में से एक समकोण है।
• नारंगी-छायांकित कोणों में से एक हरे-छायांकित कोणों में से एक के सर्वांगसम है।
• रेखा c, रेखा a के लंबवत है।
• रेखा c, रेखा b के लंबवत है।

कार्यों का ग्राफ

द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके ढलानों का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: y₁ = a₁x + b₁ तथा y₂ = a₂x + b₂, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि a₁a₂ = −1. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)।

एक अन्य विधि के लिए, दो रैखिक कार्य होने दें: a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0. रेखाएँ लंबवत होंगी यदि और केवल यदि a₁a₂ + b₁b₂ = 0. इस विधि को यूक्लिडियन वेक्टर केडॉट उत�