लम्बवत: Difference between revisions
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{{short description|Relationship between two lines that meet at a right angle (90 degrees)}} | {{short description|Relationship between two lines that meet at a right angle (90 degrees)}} | ||
{{other uses}} | {{other uses}} | ||
[[File:Perpendicular-coloured.svg|right|thumb|236px<!--(approx Sidebar/Infobox)-->|खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=114}}</ref> ]] | [[File:Perpendicular-coloured.svg|right|thumb|236px<!--(approx Sidebar/Infobox)-->|खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=114}}</ref> ]] | ||
{{General geometry |concepts}} | {{General geometry |concepts}} | ||
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अंतरिक्ष में दो विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि डायहेड्रल कोण जिस पर वे मिलते हैं वह एक समकोण है। | अंतरिक्ष में दो विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि डायहेड्रल कोण जिस पर वे मिलते हैं वह एक समकोण है। | ||
== लम्ब का | == लम्ब का पद== | ||
पद शब्द का प्रयोग प्रायः लंबवत के संबंध में किया जाता है। इस प्रयोग का उदाहरण शीर्ष आरेख, ऊपर, और इसके शीर्षक में दिया गया है। आरेख किसी भी अभिविन्यास में हो सकता है। जरूरी नहीं कि पद नीचे ही हो। | |||
अधिक सटीक, बंद करें | अधिक सटीक, बंद करें | ||
''A'' एक बिंदु हो और ''m'' एक पंक्ति। यदि ''B'' चौक का बिंदु है ''m'' और अनोखी रेखा के माध्यम से ''A'' जो के चक्कर में है ''m'', फिर ''B'' के माध्यम से इस लम्बे पद को ''A'' कहा जाता है। | |||
== लंब का निर्माण == | == लंब का निर्माण == | ||
{{multiple image | {{multiple image | ||
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| width1 = 236 | | width1 = 236 | ||
| alt1 = | | alt1 = | ||
| caption1 = | | caption1 = बिंदु P के माध्यम से रेखा AB पर लंब (नीला) का निर्माण। | ||
| image2 = 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.gif | | image2 = 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.gif | ||
| width2 = 256 | | width2 = 256 | ||
| alt2 = | | alt2 = | ||
| caption2 = | | caption2 = बिंदु P से अर्ध-पंक्ति h के लंबवत का निर्माण (न केवल अंत बिंदु A पर लागू होता है, M स्वतंत्र रूप से चयन योग्य है), अंत में एनीमेशन 10 s विराम के साथ | ||
| footer = | | footer = | ||
}} | }} | ||
[[ कंपास-और-सीधा निर्माण |कंपास-और-सीधा निर्माण]] का उपयोग करके पॉइंट | [[ कंपास-और-सीधा निर्माण |कंपास-और-सीधा निर्माण]] का उपयोग करके पॉइंट ''P'' के माध्यम से लाइन ''A''B पर मार्कअप बनाने के लिए, संलग्न आगे बढ़ें (बाएं चित्र देखें): | ||
* चरण 1 (लाल): रेखा | * चरण 1 (लाल): रेखा ''A''B पर बिंदु A' और B' बनाने के लिए P पर केंद्र के साथ एक वृत्त की रचना करें, जो P से दूरी पर हैं। | ||
* चरण 2 (हरा): समान त्रिज्या वाले | * चरण 2 (हरा): समान त्रिज्या वाले A' और B' पर केंद्रित वृत्त बनाएं। माना Q और P ये दो वृतांत के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। | ||
* चरण 3 (नीला): सदस्यता | * चरण 3 (नीला): सदस्यता PQ बनाने के लिए Q और P कनेक्ट करें। | ||
यह सिद्ध करने के लिए कि | यह सिद्ध करने के लिए कि PQ AB पर लंबवत है, सर्वांगसमता (ज्यामिति) क्यूपीए' और QPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण OPA 'और OPB' बराबर हैं। फिर सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुजों OPA 'और OPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण POA और POB बराबर हैं। | ||
थेल्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखा जी पर या बिंदु | थेल्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखा जी पर या बिंदु P से होकर लंब बनाने के लिए, दाईं ओर एनीमेशन देखें। | ||
[[ पाइथागोरस प्रमेय ]] का उपयोग समकोण बनाने के तरीकों के आधार के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कड़ियों की गिनती करके, 3:4:5 के अनुपात में लंबाई के साथ श्रृंखला के तीन टुकड़े बनाए जा सकते हैं। इन्हें एक त्रिभुज बनाने के लिए बिछाया जा सकता है, जिसकी सबसे लंबी भुजा के विपरीत एक समकोण होगा। यह विधि बगीचों और खेतों को बिछाने के लिए उपयोगी है, जहां आयाम बड़े हैं, और बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है। जब भी आवश्यकता हो, जंजीरों का बार-बार उपयोग किया जा सकता है। | [[ पाइथागोरस प्रमेय ]] का उपयोग समकोण बनाने के तरीकों के आधार के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कड़ियों की गिनती करके, 3:4:5 के अनुपात में लंबाई के साथ श्रृंखला के तीन टुकड़े बनाए जा सकते हैं। इन्हें एक त्रिभुज बनाने के लिए बिछाया जा सकता है, जिसकी सबसे लंबी भुजा के विपरीत एक समकोण होगा। यह विधि बगीचों और खेतों को बिछाने के लिए उपयोगी है, जहां आयाम बड़े हैं, और बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है। जब भी आवश्यकता हो, जंजीरों का बार-बार उपयोग किया जा सकता है। | ||
== समानांतर रेखाओं के संबंध | == समानांतर रेखाओं के संबंध == | ||
[[File:perpendicular transversal v3.svg|thumb|236px<!--(as above)-->|तीर के निशान इंगित करते हैं कि [[ अनुप्रस्थ रेखा ]] c द्वारा काटी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं।]]यदि दो रेखाएँ ( | [[File:perpendicular transversal v3.svg|thumb|236px<!--(as above)-->|तीर के निशान इंगित करते हैं कि [[ अनुप्रस्थ रेखा ]] c द्वारा काटी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं।]]यदि दो रेखाएँ (A और B) दोनों एक तीसरी रेखा (C) के लंबवत हैं, तो तीसरी रेखा के साथ बने सभी कोण समकोण हैं। इसलिए,[[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] में, कोई भी दो रेखाएँ जो दोनों एक तीसरी रेखा के लंबवत हैं, एक दूसरे के[[ समानांतर (ज्यामिति) | समानांतर (ज्यामिति)]] हैं, क्योंकि[[ समानांतर अभिधारणा ]]है। इसके विपरीत, यदि एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत है, तो यह उस दूसरी रेखा के समानांतर किसी भी रेखा के लंबवत भी है। | ||
दाईं ओर की आकृति में, सभी नारंगी-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं और सभी हरे-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं, क्योंकि लंबवत (कोण) समांतर हैं और समानांतर काटने वाले तिर्यक द्वारा गठित वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं रेखाएँ सर्वांगसम हैं। इसलिए, यदि रेखाएँ ए और बी समानांतर हैं, तो निम्नलिखित में से कोई भी निष्कर्ष अन्य सभी की ओर ले जाता है: | दाईं ओर की आकृति में, सभी नारंगी-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं और सभी हरे-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं, क्योंकि लंबवत (कोण) समांतर हैं और समानांतर काटने वाले तिर्यक द्वारा गठित वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं रेखाएँ सर्वांगसम हैं। इसलिए, यदि रेखाएँ ए और बी समानांतर हैं, तो निम्नलिखित में से कोई भी निष्कर्ष अन्य सभी की ओर ले जाता है: | ||
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* आरेख में कोणों में से एक समकोण है। | * आरेख में कोणों में से एक समकोण है। | ||
* नारंगी-छायांकित कोणों में से एक हरे-छायांकित कोणों में से एक के सर्वांगसम है। | * नारंगी-छायांकित कोणों में से एक हरे-छायांकित कोणों में से एक के सर्वांगसम है। | ||
* रेखा | * रेखा c, रेखा a के लंबवत है। | ||
* रेखा | * रेखा c, रेखा b के लंबवत है। | ||
== कंप्यूटिंग दूरी | == कंप्यूटिंग दूरी == | ||
{{excerpt}} | {{excerpt}} | ||
== कार्यों का ग्राफ == | |||
द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके [[ ढलानों ]] का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''y''<sub>2</sub> {{=}} ''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>}}, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> {{=}} −1}}. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)। | द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके [[ ढलानों ]] का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''y''<sub>2</sub> {{=}} ''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>}}, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> {{=}} −1}}. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)। | ||
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यदि किन्हीं दो लंब जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर है।<ref>Posamentier and Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 2nd edition, 1996: pp. 104–105, #4–23.</ref> | यदि किन्हीं दो लंब जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर है।<ref>Posamentier and Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 2nd edition, 1996: pp. 104–105, #4–23.</ref> | ||
किसी दिए गए बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग उसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं के समान होता है, और | किसी दिए गए बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग उसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं के समान होता है, और द्वारा दिया जाता है 8r<sup>2</sup> - 4p<sup>2</sup> (जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और p केंद्र बिंदु से चौराहे के बिंदु तक की दूरी है)।<ref>''[[College Mathematics Journal]]'' 29(4), September 1998, p. 331, problem 635.</ref> | ||
थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि एक वृत्त पर एक ही बिंदु के माध्यम से लेकिन एक व्यास के विपरीत छोरों से होकर जाने वाली दो रेखाएँ लंबवत होती हैं। यह कहने के बराबर है कि वृत्त का कोई भी व्यास वृत्त के किसी भी बिंदु पर समकोण बनाता है, व्यास के दो अंत बिंदुओं को छोड़कर। | थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि एक वृत्त पर एक ही बिंदु के माध्यम से लेकिन एक व्यास के विपरीत छोरों से होकर जाने वाली दो रेखाएँ लंबवत होती हैं। यह कहने के बराबर है कि वृत्त का कोई भी व्यास वृत्त के किसी भी बिंदु पर समकोण बनाता है, व्यास के दो अंत बिंदुओं को छोड़कर। | ||
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एक अतिपरवलय आयताकार अतिपरवलय में स्पर्शोन्मुख होते हैं जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं। इसमें[[ विलक्षणता (गणित) ]] के बराबर है <math>\sqrt{2}.</math> | एक अतिपरवलय आयताकार अतिपरवलय में स्पर्शोन्मुख होते हैं जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं। इसमें[[ विलक्षणता (गणित) ]] के बराबर है <math>\sqrt{2}.</math> | ||
==बहुभुज में== | ==बहुभुज में== | ||
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== टिप्पणियाँ == | == टिप्पणियाँ == | ||
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== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
* {{citation |first1=Nathan |last1=Altshiller-Court |year=1925 |lccn=52-13504 |title=College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle |edition=2nd |publisher=[[Barnes & Noble]] |location=New York}} | * {{citation |first1=Nathan |last1=Altshiller-Court |year=1925 |lccn=52-13504 |title=College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle |edition=2nd |publisher=[[Barnes & Noble]] |location=New York}} | ||
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*[http://www.mathopenref.com/constbisectline.html How to draw a perpendicular bisector of a line with compass and straight edge] (animated demonstration). | *[http://www.mathopenref.com/constbisectline.html How to draw a perpendicular bisector of a line with compass and straight edge] (animated demonstration). | ||
*[http://www.mathopenref.com/constperpendray.html How to draw a perpendicular at the endpoint of a ray with compass and straight edge] (animated demonstration). | *[http://www.mathopenref.com/constperpendray.html How to draw a perpendicular at the endpoint of a ray with compass and straight edge] (animated demonstration). | ||
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Latest revision as of 10:16, 21 March 2023
File:Perpendicular-coloured.svg
खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।[1]
| ज्यामिति |
|---|
| File:Stereographic projection in 3D.svg |
| जियोमेटर्स |
