समीकरण गुणांक

गणित में, गुणांकों को समान करने की विधि कई अज्ञात मापदंडों के लिए बहुपद जैसे दो भावों के कार्यात्मक समीकरण को हल करने की विधि है। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि दो व्यंजक स्पष्ट रूप से समान होते हैं जब संगत गुणांक प्रत्येक भिन्न प्रकार के पद के लिए समान होते हैं। सूत्रों को वांछित रूप में लाने के लिए विधि का उपयोग किया जाता है।

वास्तविकिक अंशों में उदाहरण

मान लीजिए कि हम अभिव्यक्ति के आंशिक अंश अपघटन को प्रयुक्त करना चाहते हैं:

${\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,$

अर्थात हम इसे रूप में लाना चाहते हैं:

${\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,$

जिसमें अज्ञात मापदंडों A, B और C हैं। इन सूत्रों को x(x − 1)(x − 2) से गुणा करने पर दोनों बहुपद बन जाते हैं, जिनकी हम सामान्यता करते हैं:

$A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,$

या, x की समान घात के साथ विस्तार और संग्रह करने के बाद:

$(A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,$

इस बिंदु पर यह प्राप्त करना आवश्यक है कि बहुपद 1 वास्तविक में बहुपद 0x² + 0x + 1 के सामान्य है. सकारात्मक घात के लिए शून्य गुणांक वाले। संबंधित गुणांकों को सामान्य करने से अब रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली का परिणाम मिलता है:

$A+B+C=0,\,$

$3A+2B+C=0,\,$

$2A=1.\,$

इसे हल करने का परिणाम है:

$A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,$

नेस्टेड रेडिकल्स में उदाहरण

यदि हम नेस्टेड रेडिकल्स ${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}$ को डी-नेस्ट करना चाहते हैं, तो एक समान समस्या के गुणांकों के अतिरिक्त समान नियम को सम्मिलित करने से उत्पन्न होती है समतुल्य व्यंजक प्राप्त करने के लिए जिसमें स्वयं वर्गमूल वाले व्यंजक का वर्गमूल सम्मिलित न हो, हम परिमेय संख्या प्राचलों d, e के अस्तित्व की कल्पना कर सकते हैं जैसे कि

${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

$a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.$

d और e प्राप्त के लिए हम वर्ग जड़ों को सम्मिलित नहीं करने वाली नियम को सामान्य करते हैं, इसलिए $a=d+e,$ और रेडिकल्स से जुड़े हिस्सों की सामान्यता करें, इसलिए $b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}$ जब वर्गीकित किया जाता है जब $b^{2}c=4de.$ का अर्थ होता है।है यह हमें वांछित मापदंडों d और e में दो समीकरण, एक द्विघात बहुपद और एक रैखिक देता है, और ये नेस्टेड रेडिकल या डेनेस्टिंग नेस्टेड रेडिकल प्राप्त करने के लिए

$e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

$d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

जो एक मान्य समाधान युग्म है यदि ${\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ एक परिमेय संख्या है।

समीकरणों की रैखिक निर्भरता के लिए परीक्षण का उदाहरण

इस अतिनिर्धारित प्रणाली पर विचार करें (सिर्फ 2 अज्ञात में 3 समीकरणों के साथ):

$x-2y+1=0,$

$3x+5y-8=0,$

$4x+3y-7=0.$

यह परीक्षण करने के लिए कि क्या तीसरा समीकरण पहले दो पर रैखिक निर्भरता है, दो मापदंडों a और b को ऐसे मान लें कि पहले समीकरण का a गुना और दूसरे समीकरण का b गुना तीसरा समीकरण के सामान्य है। चूंकि यह सदैव दाएं पक्षों के लिए होता है, जिनमें से सभी 0 हैं, हमें केवल इसे बाएं पक्षों के लिए भी रखने की आवश्यकता है:

$a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.$

दोनों पक्षों पर x के गुणांकों की समानता, दोनों पक्षों पर y के गुणांकों की समानता, और दोनों पक्षों पर स्थिरांकों की समानता, वांछित मापदंडों a, b में निम्नलिखित पद्धति देता है:

$a+3b=4,$

$-2a+5b=3,$

$a-8b=-7.$

इसे हल करने से मिलता है:

$a=1,\ b=1$

मूल्यों की अद्वितीय जोड़ी a, b पहले दो समीकरणों को संतुष्ट करती है (a, b) = (1, 1); चूँकि ये मान तीसरे समीकरण को भी संतुष्ट करते हैं, वास्तविक में a, b का अस्तित्व होता है जैसे कि मूल प्रथम समीकरण का गुणा और मूल द्वितीय समीकरण का गुणा मूल तीसरे समीकरण के सामान्य होता है; हम निष्कर्ष निकालते हैं कि तीसरा समीकरण पहले दो पर रैखिक रूप से निर्भर है।

ध्यान दें कि यदि मूल तीसरे समीकरण में नियत शब्द -7 के अलावा कुछ और होता, तो मान (a, b) = (1, 1) जो मापदंडों में पहले दो समीकरणों को संतुष्ट करता है वह तीसरे को संतुष्ट नहीं करता (a, b) = (1, 1) - 8b = नियत), इसलिए मापदंडों में सभी तीन समीकरणों को संतुष्ट करने वाला कोई a, b उपस्थित नहीं होगा, और इसलिए तीसरा मूल समीकरण पहले दो से स्वतंत्र होगा।

सम्मिश्र संख्या में उदाहरण

सम्मिश्र संख्याओं के साथ काम करते समय अधिकांशतः गुणांकों की समानता की विधि का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या a+bi को सम्मिश्र संख्या c+di से विभाजित करने के लिए, हम मानते हैं कि अनुपात सम्मिश्र संख्या e+fi के सामान्य है, और हम उन मापदंडों e और f के मान ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए यह सत्य है . हम लिखते हैं

${\frac {a+bi}{c+di}}=e+fi,$

और प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को भाजक से गुणा करें

$(ce-fd)+(ed+cf)i=a+bi.$

वास्तविकिक संख्या नियम को समान करना देता है

$ce-fd=a,$

और काल्पनिक इकाई i के गुणांकों की समानता देता है

$ed+cf=b.$

अज्ञात मापदंडों e और f में ये दो समीकरण हैं, और भागफल के वांछित गुणांक प्राप्त करने के लिए इन्हें हल किया जा सकता है:

$e={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad f={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.$

संदर्भ

• Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File. p. 162. ISBN 0-8160-5124-0.