क्रमचय बहुपद: Difference between revisions

Latest revision as of 10:03, 20 March 2023

गणित में, क्रमचय बहुपद (किसी दिए गए वलय (गणित) के लिए) ऐसा बहुपद है जो वलय के तत्वों के क्रमचय के रूप में प्रदर्शित करता है, अर्थात मानचित्र के अनुसार $x\mapsto g(x)$ का संचरण है। यदि वलय परिमित क्षेत्र है, तो डिक्सन बहुपद, जो कि चेबिशेव बहुपद से निकटता से संबंधित हैं। इस प्रकार परिमित क्षेत्र पर, प्रत्येक कार्य, विशेष रूप से उस क्षेत्र के तत्वों के प्रत्येक क्रमचय को बहुपद फंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है।

परिमित वलय Z/nZ की स्थिति में, ऐसे बहुपदों का भी अध्ययन किया गया है और त्रुटि का पता लगाने और सुधार एल्गोरिदम के इंटरलीवर घटक में लागू किया गया है।^[1]^[2]

परिमित क्षेत्रों पर एकल चर क्रमचय बहुपद

$F q = GF(q)$ की विशेषता का परिमित क्षेत्र (क्षेत्र सिद्धांत) $p$ , अर्ताथ क्षेत्र $q$ वाले त्व जहां $q = p e$ कके कारण हैं। मुख्य रूप से इसके प्राइम मान के लिए $p$ बहुपद $f$ में गुणांक के साथ $F q$ प्रतीकात्मक रूप से लिखा गया है जहाँ पर $f \in F q [x]$ ) का क्रमचय बहुपद $F q$ है, इस प्रकार यदि फ़ंक्शन से $F q$ द्वारा ही परिभाषित किया गया है तो $c\mapsto f(c)$ का क्रमपरिवर्तन $F q$ है।^[3] इसकी परिमितता के कारण $F q$ , इस परिभाषा को कई समान तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:^[4]

फंक्शन $c\mapsto f(c)$ ऑन है ( विशेषण फंक्शन );
फंक्शन $c\mapsto f(c)$ एक-से-एक (इंजेक्शन फंक्शन) है;
$f (x) = a$ में समाधान है $F q$ प्रत्येक के लिए $a$ में $F q$ ;
$f (x) = a$ में मुख्य समाधान $F q$ है जिसमें प्रत्येक के लिए $a$ में $F q$ सम्मिलित रहते हैं।

बहुपद क्रमचय बहुपद हैं जिसका लक्षण इसके वर्णन द्वारा दिया जाता है।

(एकांतवासी के सिद्धांत के अनुसार)^[5]^[6] $f \in F q [x]$ का क्रमचय बहुपद $F q$ है जिसके लिए निम्नलिखित दो शर्तें संलग्न की जाती हैं:

$f$ में आधार $F q$ रहता है ;
प्रत्येक पूर्णांक के लिए $t$ साथ $1 \leq t \leq q - 2$ और $t\not \equiv 0\!{\pmod {p}}$ , की कमी $f (x) t mod (x q - x)$ की डिग्री है $\leq q - 2$ .

इस प्रकार यदि $f (x)$ परिमित क्षेत्र पर परिभाषित क्रमचय बहुपद $GF(q)$ है, तो $g (x) = a f (x + b) + c$ इस प्रकार है कि सभी $a \neq 0, b$ और $c$ में $GF(q)$ के लिए क्रमपरिवर्तन बहुपद $g (x)$ सामान्यीकृत रूप में है यदि $a, b$ और $c$ को चुना जाता है जिससे कि $g (x)$ मोनिक बहुपद के रूप में उपयोग में लाए जाते हैं, इस प्रकार $g (0) = 0$ और (विशेषता प्रदान की $p$ डिग्री को $n$ बहुपद का विभाजित नहीं करता है) जिसका गुणांक $x n -1$ 0 है।

परिमित क्षेत्रों पर परिभाषित क्रमपरिवर्तन बहुपदों से संबंधित कई प्रश्न हैं।^[7]^[8]

छोटी डिग्री

हर्मिट का मानदंड कम्प्यूटरीकृत रूप से गहनता से किया जाता हैं और सैद्धांतिक निष्कर्ष निकालने में इसका उपयोग करना मुश्किल हो सकता है। चूंकि, लियोनार्ड यूजीन डिक्सन सभी परिमित क्षेत्रों में अधिक से अधिक पांच डिग्री के सभी क्रमचय बहुपदों को खोजने के लिए इसका उपयोग करने में सक्षम थे। ये परिणाम हैं:^[9]^[6]

$F q$ का सामान्यीकृत क्रमचय बहुपद	$q$
$x$	any $q$
$x^{2}$	$q\equiv 0\!{\pmod {2}}$
$x^{3}$	$q\not \equiv 1\!{\pmod {3}}$
$x^{3}-ax$ ( $a$ एक वर्ग नहीं हैं)	$q\equiv 0\!{\pmod {3}}$
$x^{4}\pm 3x$	$q=7$
$x^{4}+a_{1}x^{2}+a_{2}x$ (यदि इसकी केवल रूट $F q$ का मान 0 है )	$q\equiv 0\!{\pmod {2}}$
$x^{5}$	$q\not \equiv 1\!{\pmod {5}}$
$x^{5}-ax$ ( $a$ चौथी पावर नहीं हैं)	$q\equiv 0\!{\pmod {5}}$
$x^{5}+ax\,(a^{2}=2)$	$q=9$
$x^{5}\pm 2x^{2}$	$q=7$

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 {{main|ओवल (प्रक्षेपी विमान)}}
-[[परिमित ज्यामिति]] में कुछ बिंदुओं के समुच्चय का समन्वय वर्णन उच्च कोटि के क्रमचय बहुपदों के उदाहरण प्रदान कर सकता है। विशेष रूप से, परिमित प्रक्षेपी तल में अंडाकार (प्रक्षेपी तल) बनाने वाले बिंदु, {{math|PG(2,''q'')}} साथ {{math|''q''}} 2 की शक्ति, इस तरह से समन्वयित किया जा सकता है कि निर्देशांक के बीच संबंध [[ओ-बहुपद]] द्वारा दिया जाता है, जो परिमित क्षेत्र पर विशेष प्रकार का क्रमचय बहुपद {{math|GF(''q'')}} है।
+[[परिमित ज्यामिति]] में कुछ बिंदुओं के समुच्चय का समन्वय वर्णन उच्च कोटि के क्रमचय बहुपदों के उदाहरण प्रदान कर सकता है। विशेष रूप से, परिमित प्रक्षेपी तल में एक अंडाकार (प्रक्षेपी तल) बनाने वाले बिंदु, {{math|PG(2,''q'')}} साथ {{math|''q''}} 2 की शक्ति के साथ, इस तरह से समन्वयित किया जा सकता है कि निर्देशांक के बीच संबंध एक [[ओ-बहुपद]] द्वारा दिया जाता है, जो एक है परिमित क्षेत्र पर विशेष प्रकार का क्रमचय बहुपद {{math|GF(''q'')}} है।
 == कम्प्यूटरीकृत जटिलता ==
@@ Line 146: / Line 146: @@
 वलय 'Z'/p के लिए बहुपद g(x)।<sup>k</sup>''Z क्रमचय बहुपद है, यदि यह परिमित क्षेत्र Z/''p''Z की अनुमति देता है और <math>g'(x) \ne 0 \bmod p</math> सभी x in 'Z'/p के लिए<sup>k</sup>''Z, जहाँ ''g'''(''x'') ''g''(''x'') का [[औपचारिक व्युत्पन्न]] है।<ref>{{cite journal | last1 = Sun | first1 = Jing | last2 = Takeshita | first2 = Oscar | year = 2005 | title = पूर्णांक रिंगों पर क्रमचय बहुपदों का उपयोग करके टर्बो कोड के लिए इंटरलीवर| journal = IEEE Transactions on Information Theory | volume = 51 | issue = 1| page = 102 }}</ref>
 == शूर का अनुमान ==
-K [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]] है जिसमें R पूर्णांकों का वलय है। शब्द शूर का अनुमान इस अभिकथन को संदर्भित करता है कि, यदि K पर परिभाषित बहुपद f को मुख्य रूप से कई प्रमुख आदर्श P के लिए R/P पर क्रमचय बहुपद है, तो f डिक्सन बहुपदों, डिग्री-एक बहुपदों और बहुपदों की संरचना है। फॉर्म x<sup>k वास्तव में, इस दिशा में कोई अनुमान नहीं लगाया जा सकता हैं। उसने जो धारणा की वह फ्राइड के कारण है,<ref>{{cite journal | last=Fried | first=M. | title=शूर के एक अनुमान पर| journal=Michigan Math. J. | year=1970 | pages=41–55 }}</ref> जिसने परिणाम के असत्य संस्करण का त्रुटिपूर्ण प्रमाण दिया हैं। टर्नवाल्ड और मुलर द्वारा सही प्रमाण दिए गए हैं।<ref>{{cite journal | last=Turnwald | first=G. | title=शूर के अनुमान पर| journal=J. Austral. Math. Soc. | year=1995 | pages=312–357 }}</ref> <ref>{{cite journal | last=Müller | first=P. | title=शूर के अनुमान का वील-बाउंड मुक्त प्रमाण| journal=Finite Fields and Their Applications | year=1997 | pages=25–32 }}</ref>
+K एक [[बीजगणितीय संख्या क्षेत्र]] है जिसमें R पूर्णांकों का वलय है। शब्द "शूर का अनुमान" इस अभिकथन को संदर्भित करता है कि, यदि K पर परिभाषित बहुपद f को मुख्य रूप से कई प्रमुख आदर्श P के लिए R/P पर क्रमचय बहुपद है, तो f डिक्सन बहुपदों, डिग्री-एक बहुपदों और बहुपदों की संरचना है। फॉर्म x<sup>k वास्तव में, शूर ने इस दिशा में कोई अनुमान नहीं लगाया जा सकता हैं। उसने जो धारणा की वह फ्राइड के कारण है,<ref>{{cite journal | last=Fried | first=M. | title=शूर के एक अनुमान पर| journal=Michigan Math. J. | year=1970 | pages=41–55 }}</ref> जिसने परिणाम के असत्य संस्करण का त्रुटिपूर्ण प्रमाण दिया हैं। टर्नवाल्ड और मुलर द्वारा सही प्रमाण दिए गए हैं।<ref>{{cite journal | last=Turnwald | first=G. | title=शूर के अनुमान पर| journal=J. Austral. Math. Soc. | year=1995 | pages=312–357 }}</ref> <ref>{{cite journal | last=Müller | first=P. | title=शूर के अनुमान का वील-बाउंड मुक्त प्रमाण| journal=Finite Fields and Their Applications | year=1997 | pages=25–32 }}</ref>
 ==टिप्पणियाँ==
 {{reflist}}
@@ Line 158: / Line 158: @@
 * {{cite book|first1=Gary L.|last1=Mullen|first2=Daniel|last2=Panario|title=Handbook of Finite Fields|year=2013|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4398-7378-6}} Chapter 8.
 * {{cite journal|first1=C.J.|last1=Shallue|first2=I.M.|last2=Wanless|title=Permutation polynomials and orthomorphism polynomials of degree six|journal=Finite Fields and Their Applications|volume=20|date= March 2013|pages=84–92|doi=10.1016/j.ffa.2012.12.003| doi-access=free}}
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