क्रमचय बहुपद

गणित में, क्रमचय बहुपद (किसी दिए गए वलय (गणित) के लिए) ऐसा बहुपद है जो वलय के तत्वों के क्रमचय के रूप में प्रदर्शित करता है, अर्थात मानचित्र के अनुसार $x\mapsto g(x)$ का संचरण है। यदि वलय परिमित क्षेत्र है, तो डिक्सन बहुपद, जो कि चेबिशेव बहुपद से निकटता से संबंधित हैं। इस प्रकार परिमित क्षेत्र पर, प्रत्येक कार्य, विशेष रूप से उस क्षेत्र के तत्वों के प्रत्येक क्रमचय को बहुपद फंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है।

परिमित वलय Z/nZ की स्थिति में, ऐसे बहुपदों का भी अध्ययन किया गया है और त्रुटि का पता लगाने और सुधार एल्गोरिदम के इंटरलीवर घटक में लागू किया गया है।

परिमित क्षेत्रों पर एकल चर क्रमचय बहुपद

F_q = GF(q) की विशेषता का परिमित क्षेत्र (क्षेत्र सिद्धांत) p, अर्ताथ क्षेत्र qवाले त्व जहां q = p^e कके कारण हैं। मुख्य रूप से इसके प्राइम मान के लिए p बहुपद f में गुणांक के साथ F_q प्रतीकात्मक रूप से लिखा गया है जहाँ पर f ∈ F_q[x]) का क्रमचय बहुपद F_q है, इस प्रकार यदि फ़ंक्शन से F_q द्वारा ही परिभाषित किया गया है तो $c\mapsto f(c)$ का क्रमपरिवर्तन F_q है। इसकी परिमितता के कारण F_q, इस परिभाषा को कई समान तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

• फंक्शन $c\mapsto f(c)$ ऑन है ( विशेषण फंक्शन );
• फंक्शन $c\mapsto f(c)$ एक-से-एक (इंजेक्शन फंक्शन) है;
• f(x) = a में समाधान है F_q प्रत्येक के लिए a में F_q;
• f(x) = a में मुख्य समाधान F_q है जिसमें प्रत्येक के लिए a में F_q सम्मिलित रहते हैं।

बहुपद क्रमचय बहुपद हैं जिसका लक्षण इसके वर्णन द्वारा दिया जाता है।

(एकांतवासी के सिद्धांत के अनुसार) f ∈ F_q[x] का क्रमचय बहुपद F_q है जिसके लिए निम्नलिखित दो शर्तें संलग्न की जाती हैं:

1. f में आधार F_q रहता है ;
2. प्रत्येक पूर्णांक के लिए t साथ 1 ≤ t ≤ q − 2 और $t\not \equiv 0\!{\pmod {p}}$, की कमी f(x)^t mod (x^q − x) की डिग्री है ≤ q − 2.

इस प्रकार यदि f(x) परिमित क्षेत्र पर परिभाषित क्रमचय बहुपद GF(q) है, तो g(x) = a f(x + b) + c इस प्रकार है कि सभी a ≠ 0, b और c में GF(q) के लिए क्रमपरिवर्तन बहुपद g(x) सामान्यीकृत रूप में है यदि a, b और c को चुना जाता है जिससे कि g(x) मोनिक बहुपद के रूप में उपयोग में लाए जाते हैं, इस प्रकार g(0) = 0 और (विशेषता प्रदान की p डिग्री को n बहुपद का विभाजित नहीं करता है) जिसका गुणांक xⁿ⁻¹0 है।

परिमित क्षेत्रों पर परिभाषित क्रमपरिवर्तन बहुपदों से संबंधित कई प्रश्न हैं।

छोटी डिग्री

हर्मिट का मानदंड कम्प्यूटरीकृत रूप से गहनता से किया जाता हैं और सैद्धांतिक निष्कर्ष निकालने में इसका उपयोग करना मुश्किल हो सकता है। चूंकि, लियोनार्ड यूजीन डिक्सन सभी परिमित क्षेत्रों में अधिक से अधिक पांच डिग्री के सभी क्रमचय बहुपदों को खोजने के लिए इसका उपयोग करने में सक्षम थे। ये परिणाम हैं:

Fq का सामान्यीकृत क्रमचय बहुपद	q
$x$	any $q$
$x^{2}$	$q\equiv 0\!{\pmod {2}}$
$x^{3}$	$q\not \equiv 1\!{\pmod {3}}$
$x^{3}-ax$ ($a$ एक वर्ग नहीं हैं)	$q\equiv 0\!{\pmod {3}}$
$x^{4}\pm 3x$	$q=7$
$x^{4}+a_{1}x^{2}+a_{2}x$ (यदि इसकी केवल रूट Fq का मान 0 है )	$q\equiv 0\!{\pmod {2}}$
$x^{5}$	$q\not \equiv 1\!{\pmod {5}}$
$x^{5}-ax$ ($a$ चौथी पावर नहीं हैं)	$q\equiv 0\!{\pmod {5}}$
$x^{5}+ax\,(a^{2}=2)$	$q=9$
$x^{5}\pm 2x^{2}$	$q=7$
$x^{5}+ax^{3}\pm x^{2}+3a^{2}x$ ($a$ एक वर्ग नहीं हैं)	$q=7$
$x^5$