क्लोजर ऑपरेटर: Difference between revisions

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क्लोजर ऑपरेटरों को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, यानी, फॉर्म सीएल (''एक्स'') के सेट द्वारा, क्योंकि सेट 'एक्स' का क्लोजर सीएल (''एक्स'') सबसे छोटा बंद सेट है 'एक्स' युक्त। बंद सेटों के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर सिस्टम या मूर परिवार कहा जाता है<ref>{{Cite journal |last=Diatta |first=Jean |date=2009-11-14 |title=On critical sets of a finite Moore family |url=https://doi.org/10.1007/s11634-009-0053-8 |journal=Advances in Data Analysis and Classification |language=en |volume=3 |issue=3 |pages=291 |doi=10.1007/s11634-009-0053-8 |issn=1862-5355}}</ref> क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को हल ऑपरेटर्स भी कहा जाता है, जो [[बिंदु-सेट टोपोलॉजी]] में अध्ययन किए गए क्लोजर ऑपरेटरों के साथ भ्रम को रोकता है।
क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(''X'') के सेट के बाद से सेट एक्स का क्लोजर cl(''X'') ''X'' युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" <ref>{{Cite journal |last=Diatta |first=Jean |date=2009-11-14 |title=On critical sets of a finite Moore family |url=https://doi.org/10.1007/s11634-009-0053-8 |journal=Advances in Data Analysis and Classification |language=en |volume=3 |issue=3 |pages=291 |doi=10.1007/s11634-009-0053-8 |issn=1862-5355}}</ref> उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ भ्रम को रोकता है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
ईएच मूर ने अपने 1910 के परिचय में सामान्य विश्लेषण के एक रूप में क्लोजर ऑपरेटरों का अध्ययन किया, जबकि एक उपसमुच्चय को बंद करने की अवधारणा टोपोलॉजिकल स्पेस के संबंध में [[फ्रेडरिक रिज]] के काम में उत्पन्न हुई।{{sfn|Blyth|p=11}} हालांकि उस समय इसे औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, लेकिन बंद करने का विचार 19वीं शताब्दी के अंत में अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) द्वारा उल्लेखनीय योगदान के साथ उत्पन्न हुआ। अर्नस्ट श्रोडर, [[रिचर्ड डेडेकिंड]] और [[जॉर्ज कैंटर]]।<ref>[[Marcel Erné]], ''Closure'', in Frédéric Mynard, Elliott Pearl  
ई.एच. मूर ने अपने 1910 के सामान्य विश्लेषण के एक रूप के परिचय में क्लोजर ऑपरेटरों का अध्ययन किया, जबकि एक उपसमुच्चय को बंद करने की अवधारणा टोपोलॉजिकल स्पेस के संबंध में फ्रिग्स रिज के काम में उत्पन्न हुई थी।{{sfn|Blyth|p=11}} हालांकि उस समय इसे औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, लेकिन बंद करने का विचार 19वीं सदी के अंत में अर्न्स्ट श्रोडर, [[रिचर्ड डेडेकिंड]] और [[जॉर्ज कैंटर]] के उल्लेखनीय योगदान के साथ उत्पन्न हुआ था।<ref>[[Marcel Erné]], ''Closure'', in Frédéric Mynard, Elliott Pearl  
(Editors), ''Beyond Topology'', Contemporary mathematics vol. 486, American Mathematical Society, 2009.</ref>
(Editors), ''Beyond Topology'', Contemporary mathematics vol. 486, American Mathematical Society, 2009.</ref>
== उदाहरण ==
[[टोपोलॉजी]] से सामान्य सेट [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|क्लोजर]] एक क्लोजर ऑपरेटर है। अन्य उदाहरणों में एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का रेखीय फैलाव, एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का उत्तल हल या एफ़ाइन हल या एक फलन <math>f \colon E \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}</math> का निम्न अर्द्धसतत हल <math>\overline{f}</math>, जहां <math>E</math> उदा. एक आदर्श स्थान, परिभाषित रूप से <math>\operatorname{epi}(\overline{f}) = \overline{\operatorname{epi}(f)}</math> जहां <math>\operatorname{epi}(f)</math> फ़ंक्शन <math>f</math> का [[एपिग्राफ (गणित)|एपिग्राफ]] है।


सापेक्ष आंतरिक <math>\operatorname{ri}</math> क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: यद्यपि यह वर्गसम है, यह नहीं बढ़ रहा है और यदि <math>C_1</math>, <math>\mathbb{R}^3</math> में एक घन है और <math>C_2</math> इसका एक फलक है, तो <math>C_2 \subset C_1</math>लेकिन <math>\operatorname{ri}(C_1) \ne \emptyset \ne \operatorname{ri}(C_2)</math>⁡ और <math>\operatorname{ri}(C_1) \cap \operatorname{ri}(C_2) = \emptyset</math> इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।<ref>{{cite book |last1=Rockafellar |first1=Ralph Tyrell |title=Convex Analysis |date=1970 |publisher=Princeton University Press |isbn=9781400873173 |page=44 |url=https://doi.org/10.1515/9781400873173}}</ref>


== उदाहरण ==
टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर होते हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए
[[टोपोलॉजी]] से सामान्य सेट [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] एक क्लोजर ऑपरेटर है। अन्य उदाहरणों में एक सदिश स्थान के उपसमुच्चय की [[रैखिक अवधि]], एक सदिश स्थान के उपसमुच्चय का उत्तल हल या एफ़िन हल या निचला अर्धसतत हल शामिल हैं। <math>\overline{f}</math> एक समारोह का <math>f \colon E \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}</math>, कहाँ <math>E</math> उदा. एक आदर्श स्थान, निहित रूप से परिभाषित <math>\operatorname{epi}(\overline{f}) = \overline{\operatorname{epi}(f)}</math>, कहाँ <math>\operatorname{epi}(f)</math> एक फ़ंक्शन का [[एपिग्राफ (गणित)]] है <math>f</math>.
 
रिश्तेदार इंटीरियर <math>\operatorname{ri}</math> क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: हालांकि यह बेवकूफ है, यह बढ़ नहीं रहा है और यदि <math>C_1</math> में घन है <math>\mathbb{R}^3</math> और <math>C_2</math> उसके चेहरों में से एक है, फिर <math>C_2 \subset C_1</math>, लेकिन <math>\operatorname{ri}(C_1) \ne \emptyset \ne \operatorname{ri}(C_2)</math> और <math>\operatorname{ri}(C_1) \cap \operatorname{ri}(C_2) = \emptyset</math>इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।<ref>{{cite book |last1=Rockafellar |first1=Ralph Tyrell |title=Convex Analysis |date=1970 |publisher=Princeton University Press |isbn=9781400873173 |page=44 |url=https://doi.org/10.1515/9781400873173}}</ref>
टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्ध हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए


: <math>\operatorname{cl}(X_1 \cup\dots\cup X_n) = \operatorname{cl}(X_1)\cup\dots\cup \operatorname{cl}(X_n)</math>
: <math>\operatorname{cl}(X_1 \cup\dots\cup X_n) = \operatorname{cl}(X_1)\cup\dots\cup \operatorname{cl}(X_n)</math>

Revision as of 09:32, 21 February 2023

गणित में, एक सेट (गणित) S पर एक क्लोजर ऑपरेटर एक फंक्शन (गणित) है S के घात समुच्चय से स्वयं तक जो सभी समुच्चयों के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है

     (cl विस्तृत है),
     (cl में वृद्धि हो रही है),
     (cl वर्गसम है).

क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(X) के सेट के बाद से सेट एक्स का क्लोजर cl(X) X युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" [1] उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ भ्रम को रोकता है।

इतिहास

ई.एच. मूर ने अपने 1910 के सामान्य विश्लेषण के एक रूप के परिचय में क्लोजर ऑपरेटरों का अध्ययन किया, जबकि एक उपसमुच्चय को बंद करने की अवधारणा टोपोलॉजिकल स्पेस के संबंध में फ्रिग्स रिज के काम में उत्पन्न हुई थी।[2] हालांकि उस समय इसे औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, लेकिन बंद करने का विचार 19वीं सदी के अंत में अर्न्स्ट श्रोडर, रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर के उल्लेखनीय योगदान के साथ उत्पन्न हुआ था।[3]

उदाहरण

टोपोलॉजी से सामान्य सेट क्लोजर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अन्य उदाहरणों में एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का रेखीय फैलाव, एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का उत्तल हल या एफ़ाइन हल या एक फलन का निम्न अर्द्धसतत हल , जहां उदा. एक आदर्श स्थान, परिभाषित रूप से जहां फ़ंक्शन का एपिग्राफ है।

सापेक्ष आंतरिक क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: यद्यपि यह वर्गसम है, यह नहीं बढ़ रहा है और यदि , में एक घन है और इसका एक फलक है, तो लेकिन ⁡ और इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।[4]

टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर होते हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए

सभी के लिए (ध्यान दें कि के लिए यह देता है ).

बीजगणित और तर्कशास्त्र में, कई क्लोजर ऑपरेटर अंतिम क्लोजर ऑपरेटर हैं, यानी वे संतुष्ट हैं