जैक फ़ंक्शन: Difference between revisions
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एक [[पूर्णांक विभाजन]] का <math>\kappa</math>, पैरामीटर <math>\alpha</math>, और तर्क <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math> के जैक फलन <math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)</math>को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है | एक [[पूर्णांक विभाजन]] का <math>\kappa</math>, पैरामीटर <math>\alpha</math>, और तर्क <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math> के जैक फलन <math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)</math> को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है | ||
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जहां <math>B_{\kappa\mu}^\nu(i,j)</math> बराबर <math>\kappa_j'-i+\alpha(\kappa_i-j+1)</math> है यदि <math>\kappa_j'=\mu_j'</math> और <math>\kappa_j'-i+1+\alpha(\kappa_i-j)</math> अन्यथा। अभिव्यक्ति <math>\kappa'</math> और <math>\mu'</math> क्रमशः <math>\kappa</math> और <math>\mu</math>, के संयुग्मित विभाजनों को संदर्भित करते हैं। अंकन <math>(i,j)\in\kappa</math> | जहां <math>B_{\kappa\mu}^\nu(i,j)</math> बराबर <math>\kappa_j'-i+\alpha(\kappa_i-j+1)</math> है यदि <math>\kappa_j'=\mu_j'</math> और <math>\kappa_j'-i+1+\alpha(\kappa_i-j)</math> अन्यथा। अभिव्यक्ति <math>\kappa'</math> और <math>\mu'</math> क्रमशः <math>\kappa</math> और <math>\mu</math>, के संयुग्मित विभाजनों को संदर्भित करते हैं। अंकन <math>(i,j)\in\kappa</math> का अर्थ है कि उत्पाद को विभाजन <math>\kappa</math> के यंग आरेख में बक्सों के सभी निर्देशांकों <math>(i,j)</math> पर ले लिया गया है। | ||
=== संयोजन सूत्र === | === संयोजन सूत्र === | ||
1997 में, एफ. नोप और एस. साही {{sfn|Knop|Sahi|1997}} ने | 1997 में, एफ. नोप और एस. साही {{sfn|Knop|Sahi|1997}} ने n चर : | ||
:<math>J_\mu^{(\alpha )} = \sum_{T} d_T(\alpha) \prod_{s \in T} x_{T(s)} | :<math>J_\mu^{(\alpha )} = \sum_{T} d_T(\alpha) \prod_{s \in T} x_{T(s)}</math> | ||
आकार | :में जैक बहुपदों <math>J_\mu^{(\alpha )}</math> के लिए विशुद्ध रूप से संयोजन सूत्र दिया। | ||
आकार <math>\lambda,</math> और | |||
:<math>d_T(\alpha) = \prod_{s \in T \text{ critical}} d_\lambda(\alpha)(s)</math> | :<math>d_T(\alpha) = \prod_{s \in T \text{ critical}} d_\lambda(\alpha)(s)</math> | ||
साथ | के साथ | ||
:<math>d_\lambda(\alpha)(s) = \alpha(a_\lambda(s) +1) + (l_\lambda(s) + 1) | :<math>d_\lambda(\alpha)(s) = \alpha(a_\lambda(s) +1) + (l_\lambda(s) + 1)</math> | ||
आकार | :के सभी स्वीकार्य तालिका पर योग लिया जाता है। | ||
आकार <math>\lambda</math> की एक स्वीकार्य संख्या 1,2,…,n के साथ यंग आरेख <math>\lambda</math> की पूर्ति है जैसे कि तालिका में किसी भी कक्ष (i,j) के लिए, | |||
* <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | ||
* <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | ||
एक | एक कक्ष <math>s = (i,j) \in \lambda</math> तालिका टी के लिए महत्वपूर्ण है यदि <math>j > 1</math> और <math>T(i,j)=T(i,j-1).</math> | ||
यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद]] | यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद|मैकडोनाल्ड बहुपदों]] के लिए अधिक सामान्य संयोजी सूत्र के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। | ||
== सी सामान्यीकरण == | == सी सामान्यीकरण == | ||
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:<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | :<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | ||
जहां <math>a_\lambda</math> और <math>l_\lambda</math> युवा | जहां <math>a_\lambda</math> और <math>l_\lambda</math> युवा तालिका#हाथ और पैर की लंबाई क्रमशः दर्शाता है। इसलिए, के लिए <math>\alpha=1, P_\lambda</math> सामान्य शूर कार्य है। | ||
शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> युवा | शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> युवा तालिका के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हालाँकि, प्रत्येक तालिका में एक अतिरिक्त वजन जोड़ने की आवश्यकता होती है जो पैरामीटर पर निर्भर करता है <math>\alpha</math>। | ||
इस प्रकार, एक सूत्र {{sfn|Macdonald|1995|pp=379}} जैक फलनके लिए <math>P_\lambda </math> द्वारा दिया गया है | इस प्रकार, एक सूत्र {{sfn|Macdonald|1995|pp=379}} जैक फलनके लिए <math>P_\lambda </math> द्वारा दिया गया है | ||
:<math> P_\lambda = \sum_{T} \psi_T(\alpha) \prod_{s \in \lambda} x_{T(s)}</math> | :<math> P_\lambda = \sum_{T} \psi_T(\alpha) \prod_{s \in \lambda} x_{T(s)}</math> | ||
जहां आकार की सभी | जहां आकार की सभी तालिका पर योग लिया जाता है <math>\lambda</math>, और <math>T(s)</math> T के कक्ष s में प्रविष्टि को दर्शाता है। | ||
भार <math> \psi_T(\alpha) </math> निम्नलिखित फैशन में परिभाषित किया जा सकता है: आकार की प्रत्येक | भार <math> \psi_T(\alpha) </math> निम्नलिखित फैशन में परिभाषित किया जा सकता है: आकार की प्रत्येक तालिका टी <math>\lambda</math> विभाजन के अनुक्रम के रूप में व्याख्या की जा सकती है | ||
:<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | :<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | ||
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:<math>\psi_{\lambda/\mu}(\alpha) = \prod_{s \in R_{\lambda/\mu}-C_{\lambda/\mu} } \frac{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) +1)}{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) + \alpha)} \frac{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + \alpha)}{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) +1)} | :<math>\psi_{\lambda/\mu}(\alpha) = \prod_{s \in R_{\lambda/\mu}-C_{\lambda/\mu} } \frac{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) +1)}{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) + \alpha)} \frac{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + \alpha)}{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) +1)} | ||
</math> | </math> | ||
और उत्पाद केवल सभी बक्सों में लिया जाता है <math>\lambda</math> ऐसा है कि एस से एक | और उत्पाद केवल सभी बक्सों में लिया जाता है <math>\lambda</math> ऐसा है कि एस से एक कक्ष है <math>\lambda/\mu</math> एक ही पंक्ति में, लेकिन एक ही कॉलम में नहीं। | ||
== शूर बहुपद == के साथ संबंध | == शूर बहुपद == के साथ संबंध | ||
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\prod_{(i,j)\in\kappa} (\kappa_i+\kappa_j'-i-j+1) | \prod_{(i,j)\in\kappa} (\kappa_i+\kappa_j'-i-j+1) | ||
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की सभी हुक लंबाई का उत्पाद है <math>\kappa</math> | की सभी हुक लंबाई का उत्पाद है <math>\kappa</math>। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
Revision as of 09:50, 16 March 2023
गणित में, जैक फलन जैक बहुपद का एक सामान्यीकरण है, जिसे हेनरी जैक ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक सजातीय बहुपद, सममित बहुपद बहुपद है जो शूर बहुपद और आंचलिक बहुपद का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और मैकडोनाल्ड बहुपद द्वारा सामान्यीकृत होता है।
परिभाषा
एक पूर्णांक विभाजन का , पैरामीटर , और तर्क के जैक फलन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है
इस प्रकार है:
- एम = 1 के लिए
- एम> 1 के लिए
जहां योग सभी विभाजनों पर है जैसे कि तिरछा विभाजन एक क्षैतिज पट्टी है, अर्थात्
- ( शून्य होना चाहिए या अन्यथा ) और