जैक फ़ंक्शन: Difference between revisions
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एक [[पूर्णांक विभाजन]] का <math>\kappa</math>, पैरामीटर <math>\alpha</math>, और तर्क <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math> के जैक फलन <math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)</math>को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है | |||
इस प्रकार है: | इस प्रकार है: | ||
; एम = 1 के लिए | ; एम = 1 के लिए | ||
: <math>J_{k}^{(\alpha )}(x_1)=x_1^k(1+\alpha)\cdots (1+(k-1)\alpha)</math> | : <math>J_{k}^{(\alpha )}(x_1)=x_1^k(1+\alpha)\cdots (1+(k-1)\alpha)</math> | ||
; एम> 1 के लिए | ; एम> 1 के लिए | ||
: <math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\sum_\mu | : <math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\sum_\mu | ||
J_\mu^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_{m-1}) | J_\mu^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_{m-1}) | ||
x_m^{|\kappa /\mu|}\beta_{\kappa \mu}, </math> | x_m^{|\kappa /\mu|}\beta_{\kappa \mu}, </math> | ||
जहां योग सभी विभाजनों | जहां योग सभी विभाजनों<math>\mu</math> पर है जैसे कि तिरछा विभाजन <math>\kappa/\mu</math> एक क्षैतिज पट्टी है, अर्थात् | ||
:<math> | :<math> | ||
\kappa_1\ge\mu_1\ge\kappa_2\ge\mu_2\ge\cdots\ge\kappa_{n-1}\ge\mu_{n-1}\ge\kappa_n | \kappa_1\ge\mu_1\ge\kappa_2\ge\mu_2\ge\cdots\ge\kappa_{n-1}\ge\mu_{n-1}\ge\kappa_n | ||
</math> (<math>\mu_n</math> शून्य या अन्यथा | </math> (<math>\mu_n</math> शून्य होना चाहिए या अन्यथा <math>J_\mu(x_1,\ldots,x_{n-1})=0</math>) और | ||
:<math> | :<math> | ||
\beta_{\kappa\mu}=\frac{ | \beta_{\kappa\mu}=\frac{ | ||
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}, | }, | ||
</math> | </math> | ||
जहां <math>B_{\kappa\mu}^\nu(i,j)</math> बराबर <math>\kappa_j'-i+\alpha(\kappa_i-j+1)</math> है यदि <math>\kappa_j'=\mu_j'</math> और <math>\kappa_j'-i+1+\alpha(\kappa_i-j)</math> अन्यथा। अभिव्यक्ति <math>\kappa'</math> और <math>\mu'</math> क्रमशः <math>\kappa</math> और <math>\mu</math>, के संयुग्मित विभाजनों को संदर्भित करते हैं। अंकन <math>(i,j)\in\kappa</math> इसका मतलब है कि उत्पाद को सभी निर्देशांकों पर ले लिया गया है <math>(i,j)</math> विभाजन के यंग आरेख में बक्सों की संख्या <math>\kappa</math>. | |||
=== संयोजन सूत्र === | === संयोजन सूत्र === | ||
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* <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | ||
* <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | ||
एक बॉक्स <math>s = (i,j) \in \lambda</math> झांकी टी के लिए महत्वपूर्ण है | एक बॉक्स <math>s = (i,j) \in \lambda</math> झांकी टी के लिए महत्वपूर्ण है यदि <math>j > 1</math> और <math>T(i,j)=T(i,j-1).</math> | ||
यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद]]ों के लिए अधिक सामान्य संयोजी सूत्र के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। | यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद]]ों के लिए अधिक सामान्य संयोजी सूत्र के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। | ||
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:<math>\langle f,g\rangle = \int_{[0,2\pi]^n} f \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right ) \overline{g \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right )} \prod_{1\le j<k\le n} \left |e^{i\theta_j}-e^{i\theta_k} \right |^{\frac{2}{\alpha}} d\theta_1\cdots d\theta_n</math> | :<math>\langle f,g\rangle = \int_{[0,2\pi]^n} f \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right ) \overline{g \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right )} \prod_{1\le j<k\le n} \left |e^{i\theta_j}-e^{i\theta_k} \right |^{\frac{2}{\alpha}} d\theta_1\cdots d\theta_n</math> | ||
यह ओर्थोगोनलिटी संपत्ति सामान्यीकरण से | यह ओर्थोगोनलिटी संपत्ति सामान्यीकरण से अप्रअभिव्यक्तिित है। ऊपर परिभाषित सामान्यीकरण को आमतौर पर जे सामान्यीकरण कहा जाता है। सी सामान्यीकरण के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>C_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha^{|\kappa|}(|\kappa|)!}{j_\kappa} J_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n),</math> | :<math>C_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha^{|\kappa|}(|\kappa|)!}{j_\kappa} J_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n),</math> | ||
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:<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | :<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | ||
जहां <math>a_\lambda</math> और <math>l_\lambda</math> युवा झाँकी#हाथ और पैर की लंबाई क्रमशः दर्शाता है। इसलिए, के लिए <math>\alpha=1, P_\lambda</math> सामान्य शूर कार्य है। | |||
शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> युवा झांकी के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हालाँकि, प्रत्येक झांकी में एक अतिरिक्त वजन जोड़ने की आवश्यकता होती है जो पैरामीटर पर निर्भर करता है <math>\alpha</math>. | शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> युवा झांकी के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हालाँकि, प्रत्येक झांकी में एक अतिरिक्त वजन जोड़ने की आवश्यकता होती है जो पैरामीटर पर निर्भर करता है <math>\alpha</math>. | ||
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:<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | :<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | ||
जहां <math>\nu_{i+1}/\nu_i</math> टी में सामग्री i के साथ तिरछा आकार परिभाषित करता है। फिर | |||
:<math> \psi_T(\alpha) = \prod_i \psi_{\nu_{i+1}/\nu_i}(\alpha)</math> | :<math> \psi_T(\alpha) = \prod_i \psi_{\nu_{i+1}/\nu_i}(\alpha)</math> | ||
| Line 106: | Line 106: | ||
== मैट्रिक्स तर्क == | == मैट्रिक्स तर्क == | ||
कुछ ग्रंथों में, विशेष रूप से यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में, लेखकों ने जैक फ़ंक्शन में मैट्रिक्स तर्क का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक पाया है। कनेक्शन सरल है। | कुछ ग्रंथों में, विशेष रूप से यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में, लेखकों ने जैक फ़ंक्शन में मैट्रिक्स तर्क का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक पाया है। कनेक्शन सरल है। यदि <math>X</math> eigenvalues के साथ एक मैट्रिक्स है | ||
<math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math>, तब | <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math>, तब | ||
Revision as of 08:58, 16 March 2023
गणित में, जैक फलन जैक बहुपद का एक सामान्यीकरण है, जिसे हेनरी जैक ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक सजातीय बहुपद, सममित बहुपद बहुपद है जो शूर बहुपद और आंचलिक बहुपद का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और मैकडोनाल्ड बहुपद द्वारा सामान्यीकृत होता है।
परिभाषा
एक पूर्णांक विभाजन का , पैरामीटर , और तर्क के जैक फलन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है
इस प्रकार है:
- एम = 1 के लिए
- एम> 1 के लिए
जहां योग सभी विभाजनों पर है जैसे कि तिरछा विभाजन एक क्षैतिज पट्टी है, अर्थात्
- ( शून्य होना चाहिए या अन्यथा ) और